110 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）試題
編號： （學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 46 分。
2. 考試時間：2 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。
問題一：
已知a b, 為正整數，a2+b2除以 a b+ 的商為q，餘數為r，求所有滿足2 2021
q + =r 的數對
( )
a b 。 ,(12 分)
問題二：
設a b c A B C, , , , , 為實數，且a≠0,A≠0。假設對所有的實數 x ，不等式2 2
ax +bx+ ≤c Ax +Bx C+
恆成立，試証明
2 2
4 4
b − ac ≤ B − AC 。
(12 分)
《背面尚有試題》
問題三：
已知 z =1（z為複數），求 z3− +z 2 的最大值。(10 分)
問題四：
(1)設p x( )為一個整係數多項式。若 m 為p x( )的一個整數根，則p x( )+2（或p x( ) 2− ）的整數根只有可能為m± 或1 m± 。 (4 分) 2 (2)設p x( )為一個 n 次的整係數多項式。試証明p x( )
(
p x( ) 2+ 最多只有)
2
n+ 個整數根。 (8 分)
《試題結束》
110 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）解答
問題一：
已知a b, 為正整數，a2+b2除以 a b+ 的商為q，餘數為r，求所有滿足2 2021
q + =r 的數對
( )
a b 。 (12 分) ,【解】
按題意，我們有
(1) 𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2 = 𝑞𝑞(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑟𝑟, 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (2) 𝑞𝑞2+ 𝑟𝑟 = 2021
(3) 𝑞𝑞2 ≤ 2021 < 𝑞𝑞2 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏（由(1),(2)）
(4) 𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2 < (𝑞𝑞 + 1)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)…（由(1)）
由(4)，by 𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2 ≥ 2𝑎𝑎𝑏𝑏，得2𝑎𝑎𝑏𝑏 < (𝑞𝑞 + 1)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏).
因此，(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 < 2(𝑞𝑞 + 1)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)
⇒ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 < 2(𝑞𝑞 + 1)
⇒ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≤ 2𝑞𝑞 + 1.
由(3)，𝑞𝑞2 ≤ 2021 < (𝑞𝑞 + 1)2.
Check 442 = 1936, 452 = 2025 ⇒ 𝑞𝑞 = 44.
r = 2021 − 𝑞𝑞2 = 85.
代入(1)，𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2 = 44(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 85
⇒ (𝑎𝑎 − 22)2 + (𝑏𝑏 − 22)2 = 1053
檢查：1053 = 182+ 272.（唯一的兩平方和表示）
i.e. (|𝑎𝑎 − 22|, |𝑏𝑏 − 22|) = (18,27) or (27,18).
得(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)可能為(4,49), (49,4), (40,49), (49,40) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 53 < 𝑟𝑟
（不合）
Ans: (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = (40,49) or (49,40)
問題二：
設a b c A B C, , , , , 為實數，且a≠0,A≠0。假設對所有的實數 x ，不等式2 2
ax +bx+ ≤c Ax +Bx C+
恆成立，試証明
2 2
4 4
b − ac ≤ B − AC 。
(12 分)
【證明】
首先代入大的𝑥𝑥值⇒ |𝐴𝐴| ≥ |𝑎𝑎|.
Case(1): 𝐵𝐵2− 4𝐴𝐴𝐴𝐴 > 0
則𝐴𝐴𝑥𝑥2+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐴𝐴有兩個相異實根𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2
由|𝑎𝑎𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐| ≤ |𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐴𝐴|，知𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2亦為𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐的根。
∴ 𝑏𝑏2− 4𝑎𝑎𝑐𝑐 > 0.
𝐵𝐵2− 4𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴2(𝛼𝛼1− 𝛼𝛼2)2
≥ 𝑎𝑎2(𝛼𝛼1− 𝛼𝛼2)2 = 𝑏𝑏2− 4𝑎𝑎𝑐𝑐（根與係數的關係）
Case(2): 𝐵𝐵2− 4𝐴𝐴𝐴𝐴 ≤ 0且𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 ≤ 0
不失一般性可假設𝐴𝐴 ≥ 𝑎𝑎 > 0且𝐵𝐵 = 0（變數𝑥𝑥取代為𝑥𝑥 +常數）
𝐴𝐴𝑥𝑥2+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐴𝐴 ≥ 𝑎𝑎𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ≥ 0 for all 𝑥𝑥.
∴ 𝐴𝐴 ≥ 𝑐𝑐 ≥ 0.
4𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵2 = 4𝐴𝐴𝐴𝐴 ≥ 4𝑎𝑎𝑐𝑐 ≥ 4𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑏𝑏2. Case(3): 𝐵𝐵2− 4𝐴𝐴𝐴𝐴 ≤ 0且𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 > 0.
𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑥𝑥2+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐴𝐴的圖形不超過𝑥𝑥軸，則𝑦𝑦 = (𝐴𝐴𝑥𝑥2+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐴𝐴) ± (𝑎𝑎𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)的圖 形也不超過𝑥𝑥軸。
∴ (𝐵𝐵 − 𝑏𝑏)2− 4(𝐴𝐴 − 𝑎𝑎)(𝐴𝐴 − 𝑐𝑐) ≤ 0
(𝐵𝐵 + 𝑏𝑏)2− 4(𝐴𝐴 + 𝑎𝑎)(𝐴𝐴 + 𝑐𝑐) ≤ 0�相加得2(𝐵𝐵2− 4𝑎𝑎𝑐𝑐) + 2(𝑏𝑏2− 4𝑎𝑎𝑐𝑐) ≤ 0
∴ 𝑏𝑏2− 4𝑎𝑎𝑐𝑐 ≤ 4AC − 𝐵𝐵2.
問題三：
已知 z =1（z為複數），求 z3− +z 2 的最大值。(10 分)
【解】
設𝑧𝑧 = cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin 𝜃𝜃, 0 ≤ θ < 2π.
設𝑓𝑓(𝑧𝑧) = |𝑧𝑧3− 𝑧𝑧 + 2| = |(cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin 𝜃𝜃)3− (cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin 𝜃𝜃) + 2|
= �(cos 3𝜃𝜃 − cos 𝜃𝜃 + 2)2+ (sin 3𝜃𝜃 − sin 𝜃𝜃)2
= √6 + 4 cos 3𝜃𝜃 − 2 cos 2𝜃𝜃 − 4 cos 𝜃𝜃 ←中間用和角公式 令𝑡𝑡 = cos 𝜃𝜃.
則𝑓𝑓(𝑧𝑧) = �6 + 4(4𝑡𝑡3− 3𝑡𝑡) − 2(2𝑡𝑡2 − 1) − 4𝑡𝑡
= 2�4𝑡𝑡3 − 𝑡𝑡2− 4𝑡𝑡 + 2
= 2�(2𝑡𝑡 + 1)2�𝑡𝑡 −5 4� +
13 4
∵ 𝑡𝑡 −54 < 0 ∴當t =−12時𝑓𝑓(𝑧𝑧)得最大值2�134 = √13 Ans: √13
問題四：
(1)設p x( )為一個整係數多項式。若 m 為p x( )的一個整數根，則p x( )+2（或p x( ) 2− ）的整數根只有可能為m± 或1 m± 。 (4 分) 2 (2)設p x( )為一個 n 次的整係數多項式。試証明p x( )
(
p x( ) 2+ 最多只有)
2
n+ 個整數根。 (8 分)
【證明】
(1) Say 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑚𝑚)𝑞𝑞(𝑥𝑥)，其中𝑞𝑞(𝑥𝑥)為整係數多項式。
若𝑙𝑙為𝑝𝑝(𝑥𝑥) ± 2的整數根，則0 = 𝑝𝑝(𝑙𝑙) ± 2 = (𝑙𝑙 − 𝑚𝑚)𝑞𝑞(𝑙𝑙) ± 2.
因此𝑙𝑙 − 𝑚𝑚|2 ⇒ 𝑙𝑙 − 𝑚𝑚 = ±1 or 𝑙𝑙 − 𝑚𝑚 = ±2 Hence 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚 ± 1 or 𝑙𝑙 = m ± 2.
(2) 如果𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2)沒有整數根，敘述明顯成立。
設𝑚𝑚為𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2)的最小整數根
○1 若𝑚𝑚為𝑝𝑝(𝑥𝑥)的整數根，由引理知𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2的整數根只有可能是𝑚𝑚 + 1, 𝑚𝑚 + 2。
所以𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2)最多只有𝑛𝑛 + 2個整數根。
○2 若𝑚𝑚為𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2的整數根，把引理用到𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2，則𝑝𝑝(𝑥𝑥)的整數根只有可能是 𝑚𝑚 + 1, 𝑚𝑚 + 2。所以𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 2)最多只有𝑛𝑛 + 2個整數根。
