科學月刊【數‧生活與學習】專欄 101 年 5 月
視覺的平面幾何
單維彰‧101 年 4 月 12 日
本欄似乎每年要放讀者一次假，挑選一篇在網路流傳而內容淺易近人的消息，賦 予數學教育的詮釋，與讀者分享。例如〈算術的潛規則〉(100 年 8 月)、〈財富月 和 9〉(99 年 12 月)、〈數學標準答案〉(98 年 12 月) 和〈解決生活問題的數學公 式〉(97 年 10 月) 皆屬此類。這一期要分享的不算是新消息，某些中學老師可能 十幾年前就知道了，可是它最近又熱門了一次。讀者用「64=65」搜尋即可。
但是，我的故事卻想要從國 小數學教材中慣用的一個「證 明」說起。以下是一個『三角形 內角和是 180 度』的「剪紙證 明」。先讓學生自己剪一個三角 形，為了方便把最長的邊放在下 方，如右側的上圖；為了辨識，
我將較小的兩個內角畫上了記 號。
然後，讓孩子們剪下兩個較 小的角，拼湊到上方那個角的兩 側，使得三角形原來的三個頂點 聚在同一點，而其中兩個邊緊鄰 而銜接起來。觀察拼在一起的三 個角形成一條直線，如右側的下 圖。
一個班級或許同時產生了 廿多種不同的三角形，卻都有一 致的結果（三個內角湊成一條直 線），應該足夠讓孩子們相信這 是個普遍的現象，而獲致一個數 學結論：三角形內角和等於一 個平角。上述操作程序，張海
潮教授戲稱之為「剪紙幾何學」。在小學或者八年級以下的數學學習中，剪紙幾 何學無可厚非，它相當有趣（注意安全即可），而且它的思維方式或者形成知識 的程序，就科學教育而言也算是正確的：先觀察大量的例子，然後歸納。
但是，數學畢竟不是科學。訴諸於視覺的剪紙幾何學，其基本問題倒不在於 歸納相對於演繹的推論方式（雖然這也是個問題），而在於一個更根本的事實：
除了某些關於正整數的論述以外，數學的精確性在物質世界中是不存在的。這就
是使得數學有別於科學的關鍵理由之一，也就是九年一貫課程綱要，必須將數學 獨立一個領域而不能併入自然領域的原因。
前述剪紙證明的關鍵數學問題在於，那三個內角可以拼湊成『一條直線』的 這個命題，是須要證明的。如果不經過數學論述而訴諸於視覺，會產生很多可能 的謬誤，這就是「64=65」派上用場的地方了。
首先，如以下的左圖，將一個 8x8 的正方形分割成甲、乙、丙、丁四份。然 後將這四份如右圖方式重組，變成了一個 5x13 的長方形。因為「面積」並沒有 改變，所以左圖的面積8 8 64就應該等於右圖的面積5 13 65，亦即 64=65。
更有熱心人士將上述程序做成動畫，請看 YouTube 影片 www.youtube.com/
watch?v=QTxQDjGQh-0。既然提到 YouTube，作者有個小小的「視覺錯覺」收 集，請看 www.youtube.com/playlist?list=PL1DEC6D341482A500。看過這些錯 覺藝術之後，可要對『眼見為憑』這句話多做保留啊。
當然，以上「64=65」的視覺推論是錯誤的。它其實連「錯覺」都談不上，
純粹只是視覺的不精確造成的。著名的數學老師「昌爸」在他的網路工作坊裡提 供了一份圖解，請看www.mathland.idv.tw/fun/6465.html。
一個旨趣相若的例子如下圖。圖下方的兩個小三角形是全等的等腰直角三角 形，而垂足是底邊的中點。
上圖的「梗」是：矩形內白色部分的面積為 24（三塊三角形），故灰色部分（兩 個部分重疊的鈍角三角形）面積應為32 24 8。但是以三角形面積公式計算灰 色部分面積，卻得到 7：兩個鈍角三角形的面積減掉一份重疊的小三角形面積為
。而此圖的謬誤在於，那個灰色鈍角「三角形」的最長邊根本不是 一條直線段，所以它根本不是「邊」，圖中所見的灰色部分，根本不是重疊的兩 個鈍角「三角形」。
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這些例子告訴我們：不應該用視覺觀察獲致數學結論。
至於「剪紙幾何學」，個人認為最經典的範例，莫過於劉徽那『出入相補』
的畢氏定理（勾股定理）證明。令 a、b 為兩正數，假設ab，用它們為邊長做 兩個（全等）的長方形，如下面之左圖放置在一張邊長為a b 的正方形白紙上，
則白色部分明顯為兩個邊長分別為 a 和 b 的正方形，故面積為a2b2。
將長方形都沿對角線剪開，則形成四個全等的直角三角形，令其斜邊長為 c
（也就是原本長方形的對角線長）。將這四個直角三角形按上面的右圖方式擺置 在正方形白紙上，則可以推論內部白色部分是一個以 c 為邊長的正方形（小學生 不必證明它，只要觀察即可），故其面積為 。因為左右兩種配置之白色部分顯 然面積相等，所以得到畢氏定理的結論：
c2
2 2
a b 。 c2
前述『三角形內角和等於一個平角』和『畢氏定理』的結論都是正確的（還 須強調「平面上」）。我們只是提醒，不該在數學課程中讓學生養成訴諸於視覺觀 察的習慣。視覺觀察的歸納性推論，在小學階段是無可厚非的，但是進入中等教 育之後，應指出視覺觀察的謬誤可能，並開始學習數學的演繹性推論。
