守恆律方程組簡介

守恆律方程組簡介

陳宜良

一. 簡介

守恆律方程組 (Conservation Laws) 是 50 年代新起的一個數學領域。 其名稱之由 來是因為這類型的偏微分方程式通常是由一 些物理的守恆定律所導出。 比如它的一個研 究對象—空氣模型方程—是導自質量、 動量 及能量守恆定律。 守恆律方程組所涵蓋的物 理模型十分廣泛, 幾乎所有的連續體力學的 模型方程均屬於這種型式, 其中包括了氣體、

液體、 彈性體、 電漿、 星雲、· · ·等。 守恆律方 程組發展的目標是一套具普遍性的數學理論, 比如非線性波理論、 計算方法理論、 宏觀極 限理論等。 其發展過程常是經由深入研究許 多具代表性的個別模型, 從中歸納出本質性 的結果, 再發展成具普遍性的數學理論。 因 此, 把握具體模型是研究這個領域的一個特 色, 而豐富的模型也帶給這個領域源源不絕 的生機。 在這篇短文裡, 我將舉幾個周遭的例 子, 來介紹基本的守恆律方程式。 同時以車流 問題為例, 介紹簡單的非線性波理論, 最後再 提出如何快速進入這個領域的建議。

二. 守恆律方程組的實例

例一． 車流問題

我們想要了解高速公路上車流在宏觀尺 度下的變化過程。 令△x表宏觀下的小尺度, 比如宏觀下的標準尺度定為5公里, 則△x可 定為 200公尺。 令N(x, t)表在t 時刻在(x −

△x, x + △x)區間內的車輛數。 令ρ = N/2△表車流密度,u(x, t)表在 (x−△x, x+

△x)區間內的平均車速。 由此可得通過一 點 x的車流量為ρ(x, t)u(x, t)。 現在我們 考慮在任意區間(a, b)內的車數變化, 此量 為^d

dt

Rb

aρ(x, t)dx。 由 「車數守恆律」 可得此 量等於通過端點 a, b 的車流量之差。 亦即

d dt

Z b

a ρ(x, t)dx = [−ρu]^b_a

= −

Z b

a (ρu)xdx。

由於(a, b) 為任意區間, 因此我們導得 ρt+ (ρu)x = 0。

此式即為 「車數守恆律」 方程式。 又, 在高速 公路上,u 通常為ρ的函數, 比如 ρ大時車速會 減慢。 因此一個模型為u = u(ρ)如下圖所示:

1

圖一

(參考 [2])。 此時, 車數守恆率可寫為

ρt+ f (ρ)x= 0, (1) 其中f (ρ) = ρ · u(ρ)。 這便是一個典型的單 一守恆律方程式。

例二 ． 人潮問題

香港最近發生新年遊行人潮擠死人的意 外事件, 引發我提出一個人潮流動的數學模 型之想法。 在二維空間裡, 令ρ表人潮密度,^⇀u 表人潮速度。 引申上例可得 「人數守恆律」 為 ρt+ ∇ · (ρ^⇀u) = 0 (2) 而^⇀u與ρ的關係可由下式模擬:

⇀u = −Dρ0(ρ)∇ρ, Dρ0之形式如圖二所示:

圖二

這裡,ρ0為一參數。 當ρ < ρ0時,Dρ0 < 0表是 人潮往密度高處聚集, 此用來模擬人潮在喜 湊熱鬧之特質。 而當ρ > ρ₀時, Dρ0 > 0表示 人潮太擁擠時有疏散之特徵。 我們將 (3) 代 入 (2) 得

ρt = ∇ · (Bρ0(ρ)∇ρ)

Bρ0(ρ) = ρDρ0(ρ)。 (4)

我們稱之為擴散-聚集 (diffusion-accumul- ation)方程式, 也是一種守恆律方程式。

例三． 洪水問題

在河川或渠道裡, 通常垂直方向的流速 較水平方向的流速小很多, 可忽略不計。 又為 方便說明起見, 我們僅考慮一維的洪水問題。

在這種情形下, 令h表水深、u表流速, 則水流 通量為hu。 引用與例一相同之理由可得下列

「質量守恆律」:

ht+ (hu)x = 0。 (5) 在洪水問題裡,u的變化需用動量守恆律來描 述, 茲說明如下。 考慮在任意區間(a, b) 之水 流的動量變化, 即_dt^{d R}_a^bρ0u dx, 其中ρ0為水 的密度, 假設為常數。 動量守恆律為: 水流 動量的變化等於由端點所流入之動量流通量 之差再加上端點所受之壓力差。 動量流通量 為(ρ₀u)u, 靜水壓為gh,g為重力加速度。 因 此, 動量守恆律可寫成

d dt

Z b

a ρ0u dx = [−ρ0u²−gh]^b_a

= −

Z b

a (ρ0u²+ gh)xdx。

由於(a, b)為任意區間, 故得

(ρ0u)t+ (ρ0u²+ gh)x = 0。 (6) (5)(6) 式稱作一維的 「淺水方程式」。 如果 河川不是水平, 設其傾斜角為α, 則河川受重 力ρ0g tan α之影響。 又, 河床有阻力, 而阻 力的一個模型為 −Cfu²,Cf為阻力係數。 在 此情況下, 動量守恆律應修正為

(ρ0u)t+ (ρ0u²+ gh)x

= ρ0g tan α − Cfu² (7)

(5) 和 (7) 即為一維的洪水模型方程式。

例四． 空氣動力學

空氣的模型方程式可由質量、 動量和能 量守恆律導得。 在一維時, 其方程為

ρt+ (ρu)x = 0

(質量守恆律) (8) (ρu)t+ (ρu²+ p)x = (µux)x

(動量守恆律) (9) Et+ ((E + p)u)x= (µuux+ κTx)x

(能量守恆律) (10)

這 裡,ρ為 密 度,p為 壓 力,u為 速 度,E =

1

2ρu² + ρe 為 總 能 量,e為 內 能,T 為 溫 度。µ和κ均為大於 0 之常數, 分別是黏性係 數與導熱係數。 其中熱力學之變數ρ,p,e,T 要 滿足兩個方程式: p = p(ρ, e),T = T (ρ, e), 稱作氣體的建構方程式。(8)–(10) 為惰性氣 體的方程式。

綜合上面的例子, 我們將一維守恆律方 程組寫成下列一般型式:

ut+ f (u)x+ g(x, u) = (B(u)ux)x。 (11) 其中,u = (u₁, . . . , un)^T稱作守恆向量,f : Rⁿ → Rⁿ稱作流通向量,g稱作源向量 或反應向量,B為n × n矩陣, 稱作黏性矩 陣。 我們又習稱 f (u)x為對流項,g為反應 項,(B(u)ux)x為擴散項 (或黏性項)。

三. 簡單的理論

在 (11) 式中, 各項之機制概述如下: 對 流項形成 「非線性波」 並刻畫其行進行為; 黏 性項磨光不連續解; 反應項有屬穩定化機制 者, 如洪水問題裡的源項, 亦有屬不穩定化機 制者, 如燃燒氣體裡的源項 [3]。 茲以車流問 題為例, 簡述對流項的最簡單機制。

首先, 我們有下列之觀察:(1) 可寫成 (∂

∂t + a(ρ) ∂

∂x)ρ = 0,

其中a(ρ) = f^′(ρ)。 此式意為ρ沿曲線:^dx_dt = a(ρ) 不變, 亦即ρ在此曲線上為常數, 故此 曲線之斜率a(ρ)亦為常數, 由此得此曲線必 為直線。 我們稱這些線為特徵線。 由這個簡 單的觀察, 我們可造解如下: 設 ρ(x, 0) = ρ0(x)為給定之初始值。 通過初始軸之任意 點(x₀, 0), 我們畫一斜率為a(ρ₀(x₀))的直 線。 在此直線上, 定義解ρ = ρ₀(x0)。 此解 亦可用下列隱函數型式表示:

ρ(x, t) = ρ₀(x − a(ρ)t)。 (12)

如果ρ0光滑時,(12) 是 (1) 在t = 0附近的一 個光滑解。 值得注意的是當特徵線相交時 (如 圖三所示),ρ的定義不唯一, 此時產生不連續 解 (如圖四所示)。

圖三

圖四

我們習稱不連續處為間斷面。 而這些不連續 解在物理學上是有意義的, 比如在車流問題 中, 它反映的是塞車的情況。 為使方程 (1) 和 初始條件ρ(x, 0) = ρ₀(x) 包含不連續解, 我 們定義其弱解如下:

設ρ為局部可積函數, 若對任意光滑且非 零區為緊緻集之檢定函數 ϕ,ρ均滿足

Z ∞ 0

Z ∞

−∞ρϕt+ f (ρ)ϕxdxdt +

Z ∞

−∞ρ0(x)ϕ(x, 0)dx = 0, (13) 則我們稱ρ為 (1) 的弱解。 讀者很容 易檢查光滑解仍適用弱解的定義。 而對不連 續的弱解, 由此定義可導得在間斷面:x = x(t)上,ρ需滿足下列跳躍條件:

˙x[ρ] = [f (ρ)], (14) 其中[u] ≡ u(x(t)+, t) − u(x(t)−, t),u = ρ或f (ρ)。 為了解弱解在間斷面發生後如何延 續, 我們考慮下列最簡單且包含間斷面的初 值條件:

ρ(x, 0) =

(ρL, x < 0

ρR, x > 0, (15) 其中ρL,ρR為二常數。(1) 與 (15) 合稱 Rie- mann 問題。 Riemann 問題的特點是 (1) 與 (15) 在x 7−→ λx,t 7−→ λt, ∀λ之變換下不 變。 因此我們可以求其自模解ρ = ρ(^x_t)。 我 們將此式代入 (1) 得

(a(ρ) − x

t)ρ^′ = 0。

因此, 在光滑區域裡, 如果ρ^′ 6= 0則a(ρ) =

x

t。 現分兩種情形來造解:

1. ρL > ρR: 由f 的圖形知在此情形下, a(ρL) < a(ρR)。 由此, 我們造一解如下:

ρ(x, t) =











ρL, x ≤ a(ρL)t

ρ, a(ρ) =^x_t, a(ρL) <^x_t< a(ρR) ρR, x ≥ a(ρR)t

其特徵線如圖五所示:

圖五

此解稱為稀疏波(rarefaction wave), 反映的 是過了收費站後車子逐漸稀疏的現象 。

2. ρL < ρR: 由(14), 我們造一不連續 如下:

ρ(x, t) =

(ρL, x < σt ρR, x > σt σ = f (ρR) − f (ρL)

ρR −ρL

。

圖示如下:

圖六

此解稱為震波(shock wave), 反映的是收費 站前的塞車的情況。 這兩種波都是非線性波, 統稱為基本波, 是由f 的非線性所造成的。

基本波的重要性在於:(1) 它們容易被建 構,(2) 它們 反映任意不連續解在間斷面附近 的短時間行為,(3) 它們也反映了一般解的長 時間行為。 基於這幾點, 它們可被用來建構一 般初始值的逼近解。 茲舉一種建構方法如下:

我們以△x,△t將 x-t平面劃分成網格狀。 假 定逼近解u△x在n△t前已被定義, 我們定義 其在(n△t, (n + 1)△t)區域內之值如下:(1) 在每一區段(j△x, (j + 1)△x)裡, 令

u△x(x, n△t+)

= 1

△x

Z (j+1)△x

j△x u△x(x, n△t−) dx。

(2) 由於u△x(·, n△t+)為片片常數函數, 其 對應的解在一小段時區裡恰為一序列 Rie- mann 問題的解。 我們取△t 使得由n△t發出 之基本波到(n + 1)△t時仍未交會 (見圖七)。

圖七

對單一守恆律方程式, 可證明 當△x → 0時u△x會收歛 到一弱解。

四. 結語

守恆律方程組所牽涉的物理現象十分豐 富, 是一個有旺盛生命的領域。 進入這個領 域最便捷的方法是請教這方面的專家。 史丹 福大學的劉太平教授是這個領域的權威人士。

參考書方面可讀 Smoller 書 [1]之第三部分,

由此學習基本知識和知道那些問題已被解決。

而 Whitham^[2]和 Courant and Friedrichs [3] 的書則提供了許多值得嚐試的問題。 計算 方面的東西可參考 Leveque 的書^[4]。 嚐試做 問題和問人是進入這個領域最有效率的方法。

參考書目

1. J. Smoller, Shock Waves and Reaction- Diffusion Equations, Springer - Ver- lag, 1983.

2. Whitham, Linear and Nonlinear Waves.

3. Courant and Friedrichs, Supersonic Flow and Shock Waves, Springer- Verlag, 1948.

4. Leveque, Numerical Methods for Con- servation Laws, Birkh¨auser, 1990.

—本文作者任教於臺灣大學數學系—