1 空間向量

(1)

1-1 1 ^空間向量

1 - 1 空間概念

重點一　直線與直線的關係

例題 1

右圖為一長方體，各邊所決定的線段中，下列何者正確？（6 分）

A

AB // HG，BC // EH

B

AF 與 CH 歪斜

C

AB 與 CE 歪斜

D

AB 與 CH 歪斜

E

BH 與 DF 恰交於一點

解：^A ^○：AB // DC // HG // EF，BC // AD // EH // FG B ○：AF 與 CH 歪斜

C ○：AB 與 CE 歪斜 D ○：AB 與 CH 歪斜 E ○：BH 與 DF 恰交於一點 故選ABCDE

例題 2

如右圖，四面體

D－ABC 中，M、N 分別為 AB 與 CD之中點，

試問下列哪些直線互為歪斜？（10 分）

A直線

AD 與直線 BC 互為歪斜

B直線

AB 與直線 CD 互為歪斜

C直線

AC 與直線 BD 互為歪斜

D直線

BC 與直線 MN 互為歪斜

E直線

BC 與直線 DN 互為歪斜

解：^A ^○：直線 AD 與直線 BC 互為歪斜

B ○：直線 AB 與直線 CD 互為歪斜 C ○：直線 AC 與直線 BD 互為歪斜 D ○：直線 BC 與直線 MN 互為歪斜

(2)

1-1 重點二　直線與平面的關係

例題 3

下列哪些敘述是正確的？（10 分）

A垂直同一平面的兩相異直線必平行 B垂直同一直線的兩相異平面必平行 C垂直同一直線的兩相異直線必平行 D平行同一直線的兩相異直線必平行 E平行同一平面的兩相異直線必平行解：考慮右圖之長方體，可得

選項C之反例：^↔EA⊥A^↔B 且 B^↔C⊥A^↔B，

但 E^↔A 與 B^↔C 不平行

選項E之反例：^↔EF 與 F^↔G 平行平面 ABCD，

但 E^↔F 與 F^↔G 不平行 故選ABD

例題 4

下列有關空間的敘述，哪些是正確的？（10 分）

A過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直 B過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行 C過已知平面外一點，「恰有」一直線與此平面平行 D過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面垂直 E過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行

解：^B ×：無限多個　　　　 C ×：無限多個　　　　 D ×：無限多個

(3)

1-1

重點三　平面與平面的關係

例題 5 ^{（兩面角）}

如右圖，正四面體

ABCD 中，各邊長為 4，若相鄰兩平面的夾角為

θ，則

cosθ = 　　　　。（10 分）

解：^如右圖，AB = 4，

若平面 ACD 與平面 BCD 所形成的兩面角的大小為 θ，

取 CD 中點 M，連接 AM，BM

∴ AM⊥CD，BM⊥CD，AB = 4，

　 AM = 2√3 = BM

∴ cosθ = 12 + 12 − 162 × 2√3 × 2√3 = 13

例題 6

右圖是底部為正方形，側面為正三角形且每邊長為

2 的方錐，

若兩相鄰側面之夾角為

θ，則 cosθ = 　　　　。（10 分）

解：取 OB 中點 H，連接 AH ，CH

∴ AH ⊥OB，CH ⊥OB AH = √3 = CH ，AC = 2√2 cosθ = cos∠AHC

= （√3）² +（√3）² −（2√2）² 2 × √3 × √3 = −26

= − 13

(4)

1-1

例題 7

右圖中

ABCD 為正四面體，M 為 CD 的中點，試問下列哪些敘述

是正確的？（10 分）

A直線

CD 與平面 ABM 垂直

B向量

A

^⇀

B 與向量 C

^⇀

D 垂直

C∠

AMB >∠ADB

D平面

ACD 與平面 BCD 的兩面角（銳角）大於 60°

E

BA = BM

解：^A ○：CD⊥AM ，CD⊥BM ∴ CD⊥平面 ABM

B ○：承A ∵ CD⊥平面 ABM，又 AB ∈ 平面 ABM ∴ A^⇀B⊥C^⇀D

C ○：設平面 ACD 與平面 BCD 的兩面角為 θ，且正四面體的邊長為 2a 則 cosθ = 3a² + 3a² − 4a²

2 × √3a × √3a = 13 又∠ADB = 60°

∴ cosθ < cos60°⇨∠AMB >∠ADB D ○：承C ∴ θ > 60°

E ×：BA = CD，BM = √3

2 CD　∴ BA > BM 故選ABCD

重點四　三垂線定理

例題 8

如右圖，若

OA⊥平面 E，AB⊥BC，

已知

AC = 10，BC = 6，OC = 2

√34，

試求

AB = 　　　　，OA = 　　　　，OB = 　　　　。（12 分）

解：^{由三垂線定理知：}OB⊥BC

∴△OBC 為直角三角形

⇨ AB =

√

^AC²^{− BC}² = √100 − 36 = 8

√

(5)

1-1

例題 9

四面體

A－BCD，若 AD⊥平面 BCD 且 BC⊥BD。已知 BC = 12，AD = 3，BD = 4，

試求：

1

AC 的長度為　　　。（7 分）

2 設∠

BAC = θ，求 sinθ = 　　　。（5 分）

解：¹ ∵AD⊥BD，BC⊥BD，利用三垂線定理得 AB⊥BC ∴△ABC 為直角三角形

∴ AC =

√

^AB²^{+ BC}²⁼

√

^AD²^{+ BD}²^{+ BC}²⁼

^√

³²^{+ 4}²^{+ 12}²^{= 13}

2 sinθ = BCAC = 1213

例題 10

如右圖，平面

E 與平面 F 交於一直線 L，且 E⊥F，點 P、Q

分別在

E、F 上，且 P、Q 在 L 之正射影各為 R、S，已知 PR = 3，RS = 4，QS = 12，試求 PQ = 　　　　。（10 分）

解：如右圖，由三垂線定理知：PS⊥SQ 則∠PSQ = 90°

⇨ PS =

√

³²^{+ 4}²^{= 5}

PQ =

√

⁵²^{+ 12}²^{= 13}