單元

單元 _3: 方程式的圖形

( 課本 x 1.2)

一 _. 方程式的圖形

y = 7 3x 的點 ₍有序對₎ 如下表

x 0 1 2


y 7 4 1

連結這些點_, 得圖形為一直線_, 如圖示_. 滿足方程式

y = x² 2 的點如下表

x 0 1 -1


y -2 -1 -1

連結這些點_, 得圖形為一開口向上的拋物線_, 如圖示_.

二 _. 截距

一圖形的 _y-截距乃圖形與 _y-軸的交點_{; x-}截距乃圖形與 x-軸的交點_. 如圖示_,

第一圖只有一個 _y-截距_, 沒有 _x-截距_; 第二圖有三個 _x-截距_, 一個 _y-截距_; 第三圖有一個 _x-截距_, 二個 _y-截距_; 第四圖無任何截距_.

三 _. 求截距的方法

因為 _x-截距在 _x-軸上_, 故 _{y = 0,} 且 求 _x-截距

相當於

令 _{y = 0;} 解 _x

同理_, 因為 _y-截距在 _y-軸上_, 故 _{x = 0,} 且 求 _y-截距

相當於

令 _{x = 0;} 解 _y 例如_, 求

y = x³ 4x 的所有截距的過程如下_.

x-截距_: 令 _{y = 0,} 解 _x, 得

0 = x(x² 4) = x(x 2)(x + 2) 由此得

x = 2; 0; 2 因此_{, x-}截距為

( 2; 0); (0; 0); (2; 0)

y-截距_: 令 _{x = 0,} 解 _y, 得 y = 0 故_{, y-}截距為

(0; 0) 如圖示_.

四 _. 圓

圓心 _(center) 為 _{(h; k),} 半徑 _(radius) 為 _r 的圓的 標準式 (standard form) 為

(x h)² + (y k)² = r² 如圖示_. 圓的一般式 (general form) 為

Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0

可經由 _"配方法" (completing the square), 而得出 圓的標準式 ₍易繪圖的方程式_), 例如_, 試繪

4x² + 4y² + 20x 16y + 37 = 0 的圖形_.

<解_> 兩邊同除 _4, 得

x² + y² + 5x 4y = 37 4 經由配方法_, 得

x² + 5x + 25

4 + y² 4y + 4 = 37

4 + 25

4 + 4 亦相當於

x + 5 2

₂

+ (y 2)² = 1

所以_, 得一以 ⁵

2; 2 為圓心_, 半徑為 ₁ 的圓_, 如圖示_.

五 _. 交點

同時滿足二方程式的共同點稱為交點_. 例如_, 試求 y = x² 3 與 _{y = x 1}

的交點_.

<解_> 因為是共同點_, 故可令二個 _y 值相等_, 得 x² 3 = x 1

接著_, 解 _x, 得

x² x 2 = 0 經由因式分解_, 上式相當於

(x 2)(x + 1) = 0 故

x = 1 或 ₂ 由 _{x = 1,} 得

y = ( 1)² 3 = 2

由 _{x = 2,} 得

y = 2 1 = 1 因此_, 二交點為

( 1; 2) 與 _{(2; 1)}

例 _1.

又此公司的最初投資額為 _$10,000. 試問需銷售多少單 位的產品才可達損益平衡點_?

<解_> 設 _x 為銷售量_, 則根據題意_, 總成本 _(total cost)

C = 10000 + 0:65x 且總收益 (total revenue)

R = 1:20x

又損益平衡點為總成本與總收益相等的產量 _x 以及所對應 的成本或收益_, 亦即_, 滿足

C = R 的 _x, 亦相當於解

10000 + 0:65x = 1:2x

整理後_, 得

10000 = 0:55x 故_, 當產量

x = 10000

0:55  18182 時_, 可達損益平衡點_, 如圖示_.

數學模型

處理實際問題 ₍如_, 預測_, 分析₎ 時_, 經常根據已有的資料 (data) 建構出一數學模型 ₍常以方程式的型式出現_), 而 在此模型下_, 運用知識_, 獲致所要的結果_.

在建構數學模型時_, 常面臨的兩難為_: 準確性

(accuracy) 與簡單性 (simplicity), 如何拿捏_, 就相 當於不同的建構方法_, 是需要根據不同因素而調整的_, 這 就是專業及挑戰的部分_.

例 _2.

年 1992 1993 1994 1995 1996

t 2 3 4 5 6

Dell 2014 2873 3475 5296 7759 Sun 3589 4309 4690 5902 7095 其中的 _t 值為以 ₁₉₉₀ 為基準而平移後的數值_, 亦即_, 1990 年相當於 t = 0, 1991 年相當於 t = 1, 1992 年相當於 _{t = 2,} 以此類推_.

在 ₁₉₉₇ 年的夏天, Value Line 公司預測 ₁₉₉₈ 年此 二家公司的年銷售額分別為

Dell 電腦 _$15,000 以及

Sun 微處理系統 _$10,350 試問你對此二預測的看法如何_?

<解_> 此乃一根據過去資料預測未來銷售額的問題_. 可建 構一可靠的模型_, 然後與 _{Value Line} 的推測相比較_. 設根據一種稱為 _"最小平方迴歸分析" (least squares regression analysis) 的統計方法_, 得 _Dell 電腦的年 銷售額

R_D = 316t² 1138t + 3145; 2  t  6

且 _Sun 微處理系統的年銷售額

R_S = 127t² 155t + 3452; 2  t  6

則在 ₁₉₉₈ 年_, 亦即_{, t = 8} 時_{, Dell} 電腦的年銷售額 為

R_D(8) = 316(8)² 1138(8) + 3145 = 14265 且 _Sun 微處理系統的年銷售額為

R_S(8) = 127(8)² 155(8) + 3452 = 10340 因此_, 建構出的模型的預測值與 _{Value Line} 的預測值 相當接近_.