數學素養評量試題工作坊

數學素養評量試題工作坊

許志農（國立臺灣師範大學數學系）

目錄

一、素養簡介... 2

二、課程規劃... 4

三、如何發掘或設計一道優質數學素養評量試題... 6

四、數學核心素養的思維與評量... 9

五、數學素養評量試題的格式與樣本... 11

六、國內中學教師所命的優良素養試題... 14

七、附錄：PISA 數學試題命題須知 ... 23

一、素養簡介

台灣中學生近十年來無論是在 TIMSS 的數學成就測驗，或 PISA 的數學素養評量等國際評比 中皆名列前茅。但是相關數據也顯示出台灣學生在「數學正向態度」 和「學習自信心」上顯 著低於國際平均。這種反差現象影響的將是學生未來透過數學探索與瞭解世界的信心與動力。

真正的數學素養不僅僅在於知識的深度，而更在於知識應用的廣度。數學素養就是一種數學眼 光，一種從數學瞭解世界的眼光。然而要培養瞭解世界的數學眼光，不能只強調數學知識的工 具面，還必須關心其文化面。

我國傳統學校教育向來相當重視「知識」的重要性，國民中小學九年一貫課程改革則進一 步強調「能力」的重要性，未來中小學的課程改革，則更宜重視「素養」的重要性。素養不只 是指成就，也不是性向，而是一個人在面對各種複雜多變的情境及實際問題時，能夠靈活運用 學校所學，抱持主動積極的態度及多元開放的精神，整合各種相關資訊，發揮思辨、統整、溝 通能力與創意來解決問題的能力。

什麼是數學素養？PISA 所定義的數學素養是指個人能在多樣不同的情境之下，將情境問 題轉化成數學問題、使用數學及詮釋數學的能力。這素養包括了數學推理及使用、應用數學概 念、程序、事實、工具來解釋、描述及預測現象。它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色，

且能夠針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動，進行有根據的評斷，以成為一個具有 積極態度及反思能力的國民。

以 PISA 來看，數學素養評量的目的：

1.追蹤並報告 15 歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準。

2.提供政策制定者、教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的消息。

讓我們先用流程圖解釋數學素養脈絡，再以文字說明：

數學解答 確認答案

使用符號、

形式及術語 與運算 情境脈絡裡的問題

情境脈絡裡的答案

數學問題

數學素養的脈絡

真實世界 數學世界

形成模式

詮釋答案

使用數學

情境與數學

間的溝通 問題數學化 使用及轉換

表徵 推理與論述 發展策略 使用數學輔

助工具

數學力

解決 PISA 情境問題的三個步驟為：

(1) 將情境問題轉化成數學問題

(2) 使用數學概念、事實、步驟、和推理 (3) 詮釋、應用及評鑑數學結果

其內蘊的數學力則包括底下七項：

(a) 情境與數學間的溝通 (b) 問題數學化 (c) 使用及轉換表徵 (d) 推理和論述

(e) 發展策略 (f) 使用符號、形式及術語與運算 (g) 使用數學輔助工具

另 PISA 評量試題，根據題目的情境與解題所需的數學知識做如下兩種分類：

1. 試題的情境脈絡：

試題的情境脈絡應該是包含 15 歲小孩（學生）世界的一部分，且情境脈絡應該包羅萬象 的，如

P 學生個人生活 E 教育/職業 C 社會(公民) S 科學性的

2. 解題的數學知識：

解題所需的數學知識以涉及底下四個領域為原則 F 變化和關係

S 空間和圖形 Q 數與量

U 不確定性與數據分析

例如 PISA2006 數學樣本試題中編號 M047《地衣》的題目：

全球性暖化會造成一部分冰川融化的結果。約在冰川消失的十二年後，微小的植物─地衣，

會開始在岩石間生長。地衣生長的形式有如圓圈一般：

圓圈的直徑與地衣的年齡之間關係約可用下列的公式來表示：

) 12 ( 0 .

7

 

 t

d

t  12

這裡的圓圈直徑 d 是以公釐為單位，而 t 表示冰後的年數。

(1) 利用公式，算出冰川消失後 16 年的地衣直徑，並寫出你的計算方法。

(2) 安安測量出某地區地衣的直徑為 35 公釐。請問在這地區的冰川是多少年前消失？並寫出 你的計算方法。

《地衣》這道題目在數學素養分類裡，情境脈絡是科學（S），數學知識是變化和關係（F）；

而根據我國國中數學課綱的能力指標是在第 3 冊、第 2 章、第 1 節。

數學內容 情境脈絡 解題步驟 數學力

 變化和關係 □ 學生個人生活的  將情境問題轉化成數 學問題

 情境與數學間的溝通

□ 空間與圖形 □ 教育/職業 □ 問題數學化

□ 數與量 □ 社會（公民）  使用數學概念、事 實、步驟、和推理

□ 使用及轉換表徵

□ 不確定性  科學性的 □ 推理和論述

 詮釋、應用及評鑑數 學結果

□ 發展策略

 使用符號、形式及術 語與運算

□ 使用數學輔助工具

二、課程規劃

數學素養評量試題命題能力的養成需要長時間的磨練，從理論理解，實例欣賞，親自仿效 到掌握命題要領，都需要相當的時間。所以素養命題工作坊都需要三到四次的課程規劃（含回 家作業），而且整個工作坊只會要求每位學員命一道素養評量試題，底下是四次的課程規劃說 明：

次別 課程目標 分組討論的內容

第一次

增進數學素養評量的認識

 簡介與舉例

 試題的情境脈絡

 試題的數學知識

分組討論：

 特招數學素養評量的意義

 閱讀討論數學素養評量架構及意涵

 教師素養試題設計經驗分享

 討論與分配回家的命題作業

回家作業

 教師依分配或自行設計一道素養試題題組（約 2~4 小題）

 用網路或電話與組內學員討論設計的試題，也請同事對試題作評析

 分析該道試題的情境脈絡與數學知識，並確認該試題隸屬於能力指標的哪一冊、哪

一章及哪一節

 找幾位學生做讀題與初步測試工作

第二次

疑惑、解答與試題分享

 提出對素養內容的疑問

 回家命題過程困難點的 因應之道

 各組推派學員分享自己 設計的試題

 授課教授的總結

分組討論:

 數學素養的疑惑討論

 分享自己命題的過程

 組內學員討論與分享設計試題內容

 各組推派學員做試題分享

 討論大範圍的施測與給分標準的訂定

回家作業

 修訂自我的試題設計

 選擇一至二個班級進行第一次施測，分析學生的答題類型或答題選項百分比

 依國際素養規範訂定評分標準

 在第一次施測後對試題作進一步的修訂

 將修訂完的試題寄給組長或授課教授，進行第一次專家修正

第三次

評量試題分享

 提出對第一次施測的疑 問

 每位學員分享自己設計 的試題

 授課教授的總結

分組討論

 組內學員討論試題與施測結果

 組間學員分享與報告試題與施測結果

回家作業

 再次修訂自我設計的試題與評分標準

 再選擇一至二個班級進行第二次施測

 在第二次施測後對試題作進一步的修訂

 將修訂完的試題寄給組長或授課教授，進行第二次專家修正

第四次 評量試題的分享、回饋與 心得報告

分組討論

 組內學員討論第二次施測結果

 組間學員分享與報告第二次施測結果

 參與工作坊的心路歷程（分享、回饋與心得報告）

回家作業

 完成試題的最後修訂

 寄回定稿的試題供編印

 寄回設計心得報告

附錄：學生施測成績參考表格

得分 0 1 2

類型 總計 人數

0A 4

0B 16

1A 24

1B 20

2A 16

百分比 5% 20% 30% 25% 20%

人數 百分比

20 25%

44 55%

16

20% 80

平均值:0.95 標準差:0.67

三、如何發掘或設計一道優質數學素養評量試題

「解題」與「命題」是老師經常要從事的兩件工作，教人解題的書不勝枚舉，但是傳授命 題要領的書卻付之闕如。之所以這樣，是由於解題與命題來自頭腦的兩種截然不同的運作模式，

解題是一種技術，而命題是一項藝術，或者說，「怎麼解題」是一種收斂型思考的過程，而「如 何命題」卻是一種發散型創意的行為。

命一道優質素養題本需要經驗的積累，還是態度的轉變呢？兩者都需要，經驗的積累對題 幹與題目設計等修題技巧的幫助比較大；而命題態度的轉變會直接影響整道題本的質量。在命 題的過程中，會經歷至少兩個階段

1. 學徒階段：

凡事起頭難，放下身段，屈身當學徒是最困難的階段。在學徒階段，必須經歷模仿、依樣 畫葫蘆、臨摹與舊瓶裝新酒等漫長過程。

2. 師父階段：

對人類過去數學發展史要有一定的認識，並養成閱讀科普書籍的好習慣。

數學家龐加萊在《數學的創造》中提出的數學思考三時期，適合作為素養試題開發的三段 歷程：

一﹑準備期

就是對問題下很大功夫，又深陷混亂的階段，在這個階段，人們都會採取觀察、實作、分 析、學習與內化等有意識的策略。

二﹑孕育期

就是停止有意識的思考，讓潛意識發酵，當腦袋裡的小燈泡忽然被點亮，那個「恍然大悟」

的時刻就會到來。

三﹑收割期

也是收割階段，這一階段只是寫下所有的事情，檢查細節，進行組織並發表。

龐加萊特別強調孕育階段的潛意識角色，這是最難懂，也是至為關鍵的階段。在這裡舉三 個實例來說明數學素養評量試題是如何孕育出來（被發現或發明），並期待在某個無法掌握與 期待的時刻，各位可以享受到阿基米得從浴缸跳出來說「我知道怎麼命數學素養試題」的喜悅。

例一（以人口老化指數為命題動機…發明）：

準備期：台灣與日本受少子化衝擊，人口分佈成倒金字塔。上網查閱衡量一地區人口老化程度 的指標，發現「人口老化指數」，Google 一下發現人口老化指數的定義為



老年人口數 幼年人口數

其中老年人口數是指 65 歲以上人口數，幼年人口數則是未滿 15 歲人口數。

再 Google 一 下 數 據，世 界 各 國來看，日 本 的 184.62％、德 國 161.54％、英 國 94.44

％、法 國 89.47％、加 拿 大 87.5％、台 灣 76.21％、澳 洲 73.68％、紐 西 蘭 70％ 、 韓 國 68.75％ 、 美 國 65％ 。

全 國 各 縣 市 來 看 ， 嘉 義 縣 的 人 口 老 化 最 嚴 重 ， 老 化 指 數 為 127.68％ ， 次 為 澎 湖 縣 113.61％ ， 雲 林 縣 110.1％ ； 最 低 則 是 桃 園 縣 51.11％ ， 次 為 新 竹 市 51.9％ ， 台 中 市 56.4％ 。

孕育期：根據上述資料，思索題幹與答題項目的設計（包含搜尋更多資訊）。 收割期：設計成素養題目。

例二（以三角形面積公式為命題動機…發現）：

準備期：一百多年前（西元 1899 年）皮克發現並證明了三角形面積的一個有趣公式：

1 1 2

S   I

這個公式是當三角形的三個頂點都落在格子點上時才成力的，而且符號S 代表落在三 角形邊上的格子點數，符號 I 代表落在三角形內部的格子點數。舉例來說，下圖中的 三角形邊上一共有 6 個格子點，內部有 10 格子 點，即

10

S  I 

根據皮克公式，三角形的面積為

1 10

6 1 12.

2    

〈皮克公式之我譯〉

每個數學公式發現之前總是有他的雛形或基本想法，究竟皮克是透過怎樣的創意發現 了面積公式，我們不得而知，但是，將上圖想成鋪地磚的想法，似乎可以給我們皮克 公式之合理性的一點啟發。

孕育期：根據上述科普知識，思索題幹與答題項目的設計（包含搜尋更多資訊）。 收割期：設計成素養題目。

例三（以身體質量指數 BMI 為命題動機…發明）：

準備期：「環肥燕瘦」是漂亮身材的成語，那麼胖瘦判斷方式有公式嗎？Google 一下發現身體 質量指數(Body Mass Index，BMI)是目前國際上通用的胖瘦判斷方式，其定義為

身體質量指數 BMI＝體重（公斤）_{2 2} 身高（公尺 ）

孕育期：根據上述資料，思索題幹與答題項目的設計（包含搜尋更多資訊）。 收割期：龍門國中陳怡橋老師設計成素養題目如下：

身體質量指數 BMI

設計者：陳怡橋 有個性的你，身材不是個絕對值，體重比別人重五公斤就是胖嗎？哈哈～身材好壞是 要算 BMI 值，一起來看看吧！

BMI(身體質量指數)的兩三事：

身體質量指數(Body Mass Index，BMI)是目前國際上通用的胖瘦判斷方式，藉由將身 高、體重代入公式所得出的數值，來客觀的評判一個人的體型是否理想或太胖、太瘦。

身體質量指數 BMI＝體重（公斤）_{2 2} 身高（公尺 ）

身體質量指數 BMI 值判定

年齡

男生 女生

過輕 (BMI＜)

正常範圍 (BMI 介於)

過重 (BMI＞)

肥胖 (BMI≧)

過輕 (BMI＜)

正常範圍 (BMI 介於)

過重 (BMI＞)

肥胖 (BMI≧) 11 15.8 15.8～21.0 21.0 2

3.5 15.8 15.8～20.9 29.0 23.1 12 16.4 16.4～21.5 21.5 24.2 16.4 16.4～21.6 21.6 23.9 13 17.0 17.0～22.2 22.2 24.8 17.0 17.0～22.2 22.2 24.6 14 17.6 17.6～22.7 22.7 25.2 17.6 17.6～22.7 22.7 25.1 15 18.2 18.2～23.1 23.1 25.5 18.0 18.0～22.7 22.7 25.3 16 18.6 18.6～23.4 23.4 25.6 18.0 18.0～22.7 22.7 25.3 17 19.0 19.0～23.6 23.6 25.6 18.3 18.3～22.7 22.7 25.3 18 19.2 19.2～23.7 23.7 25.6 18.3 18.3～22.7 22.7 25.3 成人 18.5 18.5～24.0 24 27 18.5 18.5～24.0 24.0 27.0

資料來源：行政院衛生署「青春營養秘笈」

http://plan-consumer.fda.gov.tw/young/body.html

問題 1：蘇軾：「短長肥瘠各有態，玉環飛燕誰敢憎」說明了不同朝代有不同的審美觀。

據史記記載楊貴妃身高 1.64 米、體重 138 斤；趙飛燕身高 1.6 米、體重 118 斤。依目前衛生署所公布的 BMI 公式來計算，楊貴妃肥胖嗎？趙飛燕過輕嗎？

(唐朝 1 斤約為現在的 600 克，漢朝 1 斤約為現在的 250 克)

問題 2：二十五歲的張小姐身高 160 公分，體重 77 公斤，請問張小姐至少要減重多少 公斤才能讓 BMI 值達到正常範圍呢？

四、數學核心素養的思維與評量

在 TIMSS 或 PISA 這一類國際評量中，我國學生雖然在數學知識的測試上表現優異，但是 在關於喜好數學程度、對數學的信心、以及數學是否有用的認知上，都呈現相當負面的態度。

這種現象反映出我國的數學教育並未把數學當做「人格發展的基礎」之一環，從而造成學生學 習數學時的偏差態度，也無法由數學以簡馭繁的嚴密精神中，獲得精神美感的提升。

在培養數學核心素養時，應先重視數學思維，再追求數學知識，而數學思維以下列三種特 色最值得彰顯：

1. 走進抽象思考

在真實世界的情境脈絡中，用以簡馭繁來處理事情；而在數學世界裡，數學的抽象性讓我 們得以充分發揮化繁為簡的解題功能。

2. 進行邏輯推理

在日常生活裡，以理性的思考作為個人思想的陶冶；而在數學世界裡，合乎邏輯的思維是 演繹數學不可缺的要素。

3. 讓所學的數學是活的

在真實世界中，數學知識的活用往往是創造力的泉源。

在數學素養的知識內容層面上，PISA 梳理出四大領域來評量學生的數學核心素養，現分 述四大數學知識素養領域如下：

1、變化與關係

「關係」是日常生活裡經常使用到的詞語。發生關係的兩端主體，有的是恆常穩定的，譬 如親子關係；也有是變動的，譬如油料與油價之間的關係。「變化」則在其前與其後的主體間 搭建起一定的關係。生活及科學裡充斥著各式各樣為人所在意的變化與關係。在處理事物時，

想要達成有效的成果，常需掌握其間的各種變化與關係。數學的訓練是了解變化與關係本質的 極佳途徑。

數學裡的關係，有些是物件先存在，而後人意識到其間的精微的關係，例如二次方程式根 與係數的關係，二者知其一便知其二。有些關係是人為賦予定義，然後在物件間以此關係加以 聯繫，例如各種等價關係、對稱關係等。有兩種關係在數學裡特別受到關注：函數關係與邏輯 因果關係。簡言之，函數就是一種對應關係，將指定物件唯一對應到另一物件。雖然在國民教 育階段裡，函數多以某種y = f(x) 的形式表現出來，但是從數學素養的觀點來看，更應培養 學生能從對應中去理解函數。至於邏輯因果關係，則是指在某假設或前提下，必然導致某結論 成立。有些邏輯因果關係較明顯，如任一偶數的平方仍為偶數，有些則須經歷證明的過程而後 得知，例如若某整數各個數字的和為 3 的倍數必可被 3 整除。數學裡由於經常在檢驗邏輯因果 關係是否成立，因此使人熟練數學思維方法，也有助於了解生活及科學裡的種種變化與關係。

2、空間與形狀

處理空間與形狀資訊需有良好的空間感。空間感是個人對生活中各種幾何形狀的基本性質、

組成、結構、以及形狀間相對關係的一般性理解與認知，從而發展彈性靈活的方法去使用這種 理解。與空間感相關的有效的解題策略，是處理生活中所遭遇的圖形和視覺表徵問題的要素。

例如地圖的解讀，汽車導航器的使用，在陌生街道裡的自我定位與辨識目標方向，居住空間的

規劃，甚至環境的美化，都與良好的空間感息息相關。處理空間與形狀的知識主要依賴幾何，

幾何經常在其他科學學門中，也發生重要的作用，最明顯的例子是力學，但是即使是生命科學 裡，生物的樣態或蛋白質的空間形狀，也都是值得研究的對象。因此，良好的空間感與處理形 狀的能力，是現代國民應具備的基本素養。

3、數與量

對於數的認識，不僅僅是一種量化的符號，而是生活中經常與度量單位結合產生的數感。

數感是個人對數字（帶單位或不帶單位）、運算、以及兩者間產生的情境的一般性理解與認知，

以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展有效的解題策略（包括心算、估算），來處 理日常生活中所遭遇與數量有關的問題。在科技快速進步，資訊複雜且多變化的時代裡，一般 國民更應具備良好的數感以解決現實生活中所遭遇的數量問題。例如，一般人生活中常會面對 定存與年利率問題。如目前一年期定存最高是某銀行之 1.41%，存一年期定存 1 百萬，一年可 以領多少利息？一個月又是多少利息？具良好數感者，可以立刻反應一年利息是 14100 元，那 麼一個月的利息大約是的多少呢？具良好數感者，透過心算與估算，知道 14400 元除以 12（個 月）是 1200 元，所以一個月的利息比 1200 元少一些。再如 A 銀行開辦人民幣定存，宣稱年利 率是 3.2%，另一家 B 銀行宣稱定存人民幣 1 百萬一個月可以領利息 2500 元，請問哪家銀行的 利息較高？具良好數感者，可以立刻心算 250012 等於 25000＋5000，共得 30000 元，所以存 A 銀行較划算。

4、不確定性與數據分析

宇宙的運轉，有必然性及隨機性。當銅板以自由落體方式落下時，若給定高度，則落地所 需時間為定值，這是必然性。但那一面朝上卻未可知，此便屬隨機性。但是隨機性並非全然混 亂，隨機性的規律建立在機率理論上。由於生活中充滿著隨機性，使得人們對很多事物常感不 確定，因此需做各種預測。有些預測方式，雖然缺乏科學依據，但是即使胡亂猜測，獲得正確 答案的機率仍有可能不為零，致使人們難以放棄擲爻算命、求神拜佛等手段。為了做有科學根 據的預測，也就是所謂讓數據說話，可利用統計方法，先收集資料，加以整理及分析，然後給 出推論。由於預測常不可能百分之百精準，因此在給出預測值之外，通常也要給出誤差大小。

對於隨機現象，並無法保證預測的誤差必有多大，只能給出誤差不超過某定值的機率。統計的 運用，通常不像數學證明那樣獲取必然的結論，而是給出允許誤差下的機率式保證。並且所能 保證的機率，不但不是百分之百，還附帶有誤差。在隨機世界中，人們常面臨抉擇，或對現況 做推測，或對未來做預測。因此充分了解隨機性，以及具備基本的處理數據的能力，確實有其 必要性。

五、數學素養評量試題的格式與樣本

我們以〈臺灣 2011 數學素養評量樣本試題〉工作坊中，新北市五峰國中鄧家駿所設計的

《世足賽》問題為例，給出學員將來要提交的素養試題樣本。因為《世足賽》這道題目在數學

素養分類裡，情境脈絡是社會（公民）（C），數學知識是不確定性（U）；而根據我國國中數學 課綱的能力指標是在第 6 冊、第 3 章、第 2 節，所以我們把試題的 word 檔名取為

632CU 世足賽（鄧家駿）.doc 並建議用標楷體 12 或 13 號字形當題目內文字體。

世足賽

新北市五峰國中鄧家駿設計 earvinte@gmail.com 世界盃足球賽每四年舉行一次，在剛開始 32 強分成 8 組（A 至 H）的分組賽。分組賽內採積 分制，勝隊得到 3 分積分，打平則各得 1 分，輸隊獲得 0 分。小組賽的排名方法為依據積分高 低順序，每組晉級前兩名。若積分相同，以「淨球數」來決定。所謂淨球數就是進球數減掉失 球數的結果。若淨球數又相同，就直接比「總進球數」；倘若總進球數又相同，就比雙方對戰 的戰績，若還是相持不下，最後就只能憑運氣抽籤來決定。

資料來源：http://sports.hinet.net/2010fifa/standings.html 問題 1

新聞報導說，「號外！！目前日本隊積分 8 分，已經在分組晉級！！」

請判斷此新聞報導是正確或錯誤，並舉出理由說明。

問題 2

以下是 A 組的賽程及比賽結果。

A 組 比賽日期 比賽時間 球隊 1 比賽結

果 球隊 2 比賽場地 2010/06/11 22:00 南非 1 : 1 墨西哥 約翰尼斯堡體育場 2010/06/12 02:30 烏拉圭 0 : 0 法國 開普敦 2010/06/17 02:30 南非 0 : 3 烏拉圭 比勒陀利亞 2010/06/18 02:30 法國 0 : 2 墨西哥 波羅克瓦尼 2010/06/22 22:00 墨西哥 0 : 1 烏拉圭 勒斯滕堡 2010/06/22 22:00 法國 1 : 2 南非 布隆泉

請問這個分組晉級的隊伍是哪兩隊？請分別寫出國名以及晋級的原因。

問題 3

以下新聞報導公布 C 組目前的比賽結果積分表。

隊伍 勝場數 和場數 敗場數 積分

斯洛維尼亞 1 1 1 4

美國 1 2 0 5

阿爾及利亞 0 2 1 2

英格蘭 1 2 0 5

但是其中有不合理的地方，請指出不合理之處。

計分說明－問題 1 滿分（1 分）

代碼 1A：

分組只比賽 3 場，積分不可能為 8 分。

零分

代碼 0A：其他答案 代碼 0B：沒有作答

計分說明－問題 2

計分說明－問題 3 滿分（2 分）

代碼 2A：

積分表完全正確，且計算出淨勝球數。並寫出 第一、二名。

部分給分（1 分）

代碼 1A：

積分表完全正確，但未考慮到淨勝球數，因此 只寫出第一名。

代碼 1B：

積分表完全正確，但未考慮到淨勝球數，因此除 寫出第一名，第二名的理由錯誤。

代碼 1C：

積分表填寫不完全正確，但正確依據規則判別名 次。

零分

代碼 0A：其他答案 代碼 0B：沒有作答

滿分（1 分）

代碼 1A：勝場數與敗場數不合。

代碼 1B：和場數應該是偶數。

代碼 1C：兩個理由均寫出。

零分

代碼 0A：指出積分算錯 代碼 0B：其他答案 代碼 0C：沒有作答

六、國內中學教師所命的優良素養試題

最後我們列舉一些國內素養工作坊上所命的優良試題：

1. 體感溫度（321SF）

根據國際民航組織(ICAO)的數據指出，高山上的氣溫會低於平地的氣溫，且每上升一千公 尺氣溫便會降低 6℃。在高地上，因為地形缺乏屏障，因此會帶來強風，而風所引起的空氣流 動也會不斷把熱量由體表移走，稱為「風寒效應」，這會使人體所感受的溫度(即體感溫度) 比溫度計上所測量的溫度來得低，美國的科學家 Paul Siple 曾簡化出關係式：

體感溫度 (

C)  當地氣溫 (

C)  2  風速 ( m / sec )

問題 1：

陽明山國家公園平均高度為 500 公尺，與平地氣溫相差多少度?

問題 2：

台灣第一高山--玉山，主峰海拔將近 4000 公尺，若某日小明從 37℃的平地前往玉山登山，抵 達主峰時，當時的氣溫為多少度？

問題 3：

途中小明拿出風速器，測得風速為 9

m

2. 身份證（113PQ）

◎身份證字號（連同英文字母共 10 碼）中的每碼代表的意義如下：以 A123456789 為例

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

號碼配賦時所屬的縣市

﹝未必為出生地﹞

A：台北市、B：台中市…

性別 1：男性 2：女性

流水編號

依照配賦順序累加 檢驗碼

◎檢查碼產生的規則：

1. 將第一個英文字母轉換成數字，轉換規則如下：

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

10 11 12 13 14 15 16 17 34 18 19 20 21 22 35 23 24 25 26 27 28 29 32 30 31 33

2. 轉換後的 2 位數字連同性別代碼和流水編號共有 10 個位數，將每個位數由左至右依照 ×1、×9、×8、×7、×6、×5、×4、×3、×2、×1 的順序相乘。

3. 將步驟 2 的 10 個乘積相加後除以 10 並取其餘數。

1 1         0 9 1 8 2 7    8 1 121

1 2 1  1 0  1 2 1

4. 利用 10 減去該餘數後即得檢查號碼（若餘數為 0 時，則設定其檢查碼為 0），若驗證碼 與身份證相符則該身分證字號即為有效證號。因為 10 −1 = 9 ，所以 A123456789 為有 效之證號。

問題 1：

試問有效之身分證字號 C12345678□的檢查碼為何？請寫出你的計算過程。

問題 2：

試問身分證字號 Q202020202 是否為一有效之證號？請寫出你的計算過程。

問題 3：

若身分證字號 X112233445 為無效的身分證字號，試問在「只修改一個數字號碼」的前提下要 如何將此號碼修正為一個有效證號？請寫出至少兩種不同的做法。

3. 標準身材（113PQ）

標準身材的定義是

肚臍高度 肚臍與頭頂距離=

身高 肚臍高度 單位：公分 問題 1：

有一身高 150 公分，肚臍高度 90 公分的女孩，欲藉由穿高跟鞋來提高身高與肚臍高度來滿足 標準身材的定義，試問該女孩穿多少公分的高跟鞋較恰當？(取最接近的整數)

每個位數由左而右依序乘上固定數字 檢查號碼 A 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 9

× 1 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

4. 標準體重（233SF）

身材是否過胖、標準或過瘦?不過體重是否標準，更要考慮美麗、自信、個人本身的主觀價 值。由於每個人的骨架、體型不同，所以可採用身體質量指數 BMI 為檢視標準或利用理想體重 計算公式，來推算個人的理想體重。

根據行政院衛生署公佈，台灣地區成年人理想體重計算方法如下：

男性：（身高－80）×0.7＝理想體重 女性：（身高－70）×0.6＝理想體重 其中身高的單位為公分。

＊在理想體重的正負 10﹪為正常體重 問題 1：

假定成人男性的身高 x 公分，依據衛生署公布的理想體重計算方法，寫出計算成人男性正常 體重的範圍公式。

問題 2：

小善是一位成年女性，其身高為 180 公分，請問小善的理想體重為多少公斤？

問題 3：

某家雜誌社報導：「由衛生署公佈之台灣區成年人理想體重計算方法可以發現，一般來說，

成人女性其理想體重較同樣身高的成人男性要略為減少。」。

依據理想體重計算方法來考慮，身高超過多少公分的女性，較同樣身高的男性其理想體重會 降低。寫出你的計算過程。

5. 最老的狗（241SF）

2006 年英國週日電訊報(Sunday Telegraph)報導：住在英國紐澤西 Bridgewater 的狗狗--黑莓（Bramble）剛剛歡度 27 歲生日，這可能使牠 成為英國有史以來還活著最老的狗，也將有機會競選全球最老的狗。而 根據美國賓州州立大學獸醫學系 Dr. Fred L. Metzger 博士之研究報告指 出，9 公斤以下狗狗的人狗

年齡概略對照表如下：

狗狗 年齡

1 個 月大

2 個 月大

3 個 月大

6 個 月大

9 個

月大 1 歲 1 歲

半 2 歲 3 歲 4 歲 人類

年齡 1 歲 3 歲 5 歲 9 歲 13 歲 17 歲 21 歲 24 歲 28 歲 32 歲

黑莓（Bramble）

狗狗

年齡 5 歲 6 歲 7 歲 8 歲 9 歲 10 歲 11 歲 12 歲 13 歲 … 人類

年齡 36 歲 40 歲 44 歲 48 歲 52 歲 56 歲 60 歲 64 歲 68 歲 … 資料來源：（最老的狗）http://www.suiis.com/info/InfoArticle.asp?no=146#axzz2Mjoy0RSQ

問題 1：

如果新聞中的狗狗--黑莓（Bramble）體重是在 9 公斤以下，試問狗齡 27 歲的牠換算成人類的 年齡應該已經幾歲了？請寫出你的計算方法。

問題 2：

假設人類年齡為 H，狗狗年齡為 D，試利用上表資料寫出「狗齡 2 歲後」（

D  2

問題 3：

圖表(甲)、(乙)是利用人狗年齡概略對照表所繪製出的函數關係圖，請從兩個圖表中選出一個 較適合表示「狗狗成長速度趨勢」的關係圖，並且寫出你的挑選的理由。

6. 煞車距離（241SF）

設汽車駕駛踩煞車後所走的距離（煞車距離）s 公尺，踩煞車瞬間的速度是每小時 v 公里 與汽車的總重量 w 公噸三者會滿足關係式

s  kv w

現有一輛空車， 它在每小時60 公里的速度下行駛的煞車距離為10 公尺．又知一般司機從 發現情況到踩煞車操作之間需0.6 秒的反應時間。

問題 1：

狗 狗 年 齡( 歲)

人 類 年 齡( 歲)

試問此空貨車在每小時 80 公里的速度下行駛的煞車距離為幾公尺？請寫出你的計算過程。

問題 2：

試問此空貨車在每小時 60 公里的速度下行駛時，該車必須與前車保持至少幾公尺的距離才安 全（安全距離）？請寫出你的計算過程。

問題 3：

如果這輛貨車載有等於自身重的貨物行駛時，試問當行駛車速為每小時 90 公里時，該車必須 與前車保持至少幾公尺的距離才安全（安全距離）？請寫出你的計算過程。

7. 液晶電視最佳觀賞距離（252EF）

新聞報導，電子業龍頭集團跨足液晶電視的市場，以六十吋的大螢幕，低於四萬塊的價錢 進軍消費市場，造成消費者及電視製造廠商不小震撼。現實生活中，對液晶電視來說，家中空 間的「觀賞距離」才是決定家中螢幕尺寸的最大關鍵因素，一般來說。

以下是目前歐美國家針對最佳觀賞距離的計算公式與目前市面上的螢幕畫面尺寸對照表：

「最佳觀賞距離」=「螢幕高度」÷「垂直解析度」×常數，其中最佳觀賞距離的單位為公分、

畫面高度單位為公分，常數值為3400。

垂直解析度依液晶電視的種類分為「非Full HD機種」，其解析度為720 i/p之液晶電視；「Full HD機種」，其解析度為1080 i/p之液晶電視。

以下是目前螢幕尺寸與高度的對照表：

螢幕對角線尺寸（吋）

１吋為 2.54 公分

螢幕高度

（公分）

22 26.7

32 39.84

37 46.07

40 49.80

42 52.29

46 57.27

47 58.52

50 62.25

60 74.70

100 124.50 103 128.24

問題 1：

小文家購買了一台 60 吋 「Full HD 機種」的液晶電視，請問最佳觀賞距離為多少公尺？

8. 省水馬桶（422PQ）

為了達到環保省水的目標，在長方體馬桶水箱的角落放入一塊長方體磚頭，如下圖所示:

當馬桶沖水之後，會以 40cm³/秒的速率注水入馬桶內，下圖表示當馬桶沖水完畢後，開始 注水時馬桶水面高度 H(cm)對時間 t(秒)的關係圖:

問題 1：

當馬桶注滿水時，此裝置可以省水 立方公分？

22cm

12cm

15cm 6cm

時間 t(秒) 高度 H(cm)

問題 2：

設水面尚未淹沒磚塊時，水位上升的速度為

v cm/秒；淹沒磚塊後，水位上升的速度為

v cm/

v 、

v 是否相等？並說明造成

v 、

v 相等或不相等的理由。

9. 鑲嵌（442SS）

鑲嵌就是用幾類不同形狀的磁磚來鋪滿整個平面，例如下圖的實線分割就是用正方形與正 八邊形鑲嵌整個平面，而虛線則是用兩個大小正方形來鋪滿整個平面：

這是1933年崔弗斯的兩種巧妙切割法，而且崔弗斯讓實線正方形與虛線小正方形的邊長都 是1，關於同一平面上的這兩種鑲嵌，虛線的切割把實線正八邊形分割成四個全等五邊形外加 一個邊長為1的正方形，實線的切割把虛線大正方形分割成四個全等五邊形外加一個邊長為1 的正方形。

問題 1：

邊長為 1 的正八邊形面積為何？

問題 2：

虛線大正方形的面積為何？

10.室內設計（512CS）

下圖為樓中樓的剖面圖，在建造客廳到閣樓的樓梯 AC 時，實際測量施工現場得到以下數 據:

客廳高

AB  DE 

AF 

EF 

問題 1：

為了避免上樓時，頭會碰到牆角 F，規劃預留牆角 F 到樓梯的高度 FG 為 180cm，

則樓梯底端 C 到牆角 D 的距離應為多少公分?

問題 2：

已知客廳高度

AB  DE 

AE 

cm

以及讓樓梯能平緩些而要求樓梯的傾斜角 ACB



30

45

CD 的範圍。

11.滾動硬幣（521PS）

有若干個半徑為 1 的硬幣(皆為半徑相同的等圓)按下圖的形式固定排列著，有一個半徑也 是 1 的

A

B

問題 1：

當硬幣

^A

B

A

240

210

250

G A

B C D

F E

閣樓 陽台

客廳

A B

問題 2：

設 N 表示灰色固定等圓的個數，

K

A

N (固定等圓的個數) K

A

4 8

12.莎翁用字（622CU）

統計莎士比亞(或稱莎翁)戲劇中所用英文單字的長度，繪製長條圖如下:這個分布有一個尖 峰，而且大致左偏。顯示劇中用了許多短字及少數很長的字，使得直方圖的右尾延伸得比左尾 遠。

問題 1：

莎士比亞的戲劇中最常用到幾個字母數的單字(即眾數為何)?

問題 2：

「莎士比亞的戲劇中至少有 60%的單字字母數不超過 4 個字母數」，這個說法正確嗎?

問題 3：

下表是某篇文章所用英文單字長度為 1 到 15 個字母的字所佔百分比：

字母數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 百分比

七、附錄：PISA 數學試題命題須知

本附錄的資料來源為台南大學林素微教授『數學素養評量設計』投影片：

1. PISA 是一個以 15 歲學生為對象的國際素養技能測驗，所有的試題應能適合每一個 國家的 15 歲學生。

2. 試題不可從教科書或參考書中擷取。

3. 試題開發以單元(Unit)為單位，每個單元包含 3~5 問題(Question)，每個問題儘可能相 互獨立。

4. 每個試題的內容必須包含：題目、題幹、試題說明(題旨、數學歷程、內容領域、情 境脈絡)、問題，編碼方式。

5. 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試，這些結果可用來修正試題，且學生作 答反應可置入計分規範。

6. 試題必須符合四種數學內容領域(數量、空間與形狀、改變與關係、不確定性)之一。

7. 試題類型比例：1/3 選擇題、1/3 封閉式建構反應題、1/3 開放式建構反應題。

8. 能以常用文具(尺、橡皮擦、計算機、圓規)答題。

9. 試題的閱讀層次需詳加考量，試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握，避免會造成文 化偏誤的試題。

 使用主動式，避免被動式句子

 避免使用艱澀難懂的字詞

 避免選用可能會有性別差異的試題

10. 建議每個一問題完成作答時間不應超過 2 分鐘(for the “average” student) 11. 每一個單元不應超過 15 分鐘。

12. 費時的試題(time-consuming items)應該避免。

13. 避免不當的問題設計。

 例：試題的計分太過於開放。

 例題：假設你要設計一個體積為 80 公升的玻璃水族箱。請你建議一些合適的長、

寛、高尺寸，並描述如何你得到這些結果，最後，再依據你得到值描繪出此水族箱。

 從課堂活動來看，此題目是測試真實生活問題解決的好問題，但評分架構太複雜，

且在跨國、跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性。

14. 翻譯問題

因為施測語言超過 25 種， 故試題中包含特定語言可能不太適合， 如下：

改成如下會較佳

15. 避免不完整的敘述。

Line X is shorter than A. Line Y

B. Line Z C. Line W D. Line T

 Instead, write “Which line is longer than Line X?”

16. 真實的情境

 農夫約翰養了許多雞和免子。約翰計算得到共有 65 個頭、180 隻腳。請問約翰有多 少隻雞?（較人為化）

可改寫成

 學校音樂會的成人票每張 4 元，學生票每張 2 元。今天共賣出 65 張票，共得 180 元。請問今天賣了多少張學生票?（較為真實）

17. 數學化

 例題：超市 A 和超市 B 賣的森森牛奶糖本週都在特價。超市 A 的優惠方式為「買 二條送一條」，超市 B 的優惠方式為「打七折」。

(1) 如果二間超市的森森牛奶糖的售價相同，哪一間超市提供的優惠方式較佳? 提供 理由支持你的答案。

(2) 如果超市 A 的森森牛奶糖售價為 7 元，小明在超市 A 買了 6 條，根據優惠方式 為「買二條送一條」他要付多少錢?

 例題：

(1) 有一位木匠要為花圃建圍欄。圍欄長度的單位為公尺。這位木匠要買多長的圍欄?

(2) 木匠有 32 公尺的木材，他想要在花圃周圍做圍欄。他考慮將花圃設計成以下的造 型。哪一個造型可以用 32 公尺的木材圍成?

（需要數學化）

18. 非數學情境脈絡的試題

OECD/PISA 強調真實的情境但並未排除重要和/或有趣的數學（有時這些情境可能會 是比較虛擬性）。

 列出 496 的因數（標準化的教科書問題）：

數字 6 是一個完全數(perfect number)，因為它（除了本身之外）的因數 1，2，3 的 加總，剛好等於 6。下一個完全數是 28，因為它的因數有 1、2、4、7、14。再下一 個完全數是 496。請證明 496 是完全數（較佳）。

參考文獻

[1]PISA 2006 數學樣本試題，數學素養評量，經濟合作暨發展組織（OECD）著，國立 台南大學譯。

[2]台灣 2011 數學素養評量樣本試題（上）﹑（下），林福來教授主編。

[3]台北市 101 學年度提升教學與評量效能，第一學期國中數學素養評量工作坊甲﹑丙 班，台北市政府教育局。

[4]臺灣 PISA 國家研究中心，http://pisa.nutn.edu.tw/。