【解答】± 15 【詳解】 c代入d ⇒ 15x

高雄市明誠中學 高二(下)平時測驗 日期：95.03.13 班級 普二 班

範

圍 1-4 直線與錐線

座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)已知雙曲線Γ： 1 4 5

2 2

=

− y

x ，過下列哪些點作Γ 之切線恰有一條？

(A)(0，0) (B)(4，1) (C)(3，

5

4 ) (D)( 5 ， − 2) (E)(1，2)

【解答】(C)(D)

【詳解】

(A)(0，0)為中心，過中心沒有切線

(B) 1

4 1 5 4²

>

− ，點(4，1)與焦點在同一區域內，過(4，1)沒有切線 (C)(3，

5

4 )在Γ 上，過此點恰有一條切線

(D)( 5 ，− 2)在漸近線 2x + 5 y = 0 上，過此點恰有一條切線 (E) −

5

12 = 4 2²

5 1

1 − < 1，點(1，2)與中心(0，0)在同一區域內且不在漸近線上 過點(1，2)有兩條切線

二、填充題(每題 10 分)

1. 已知直線y = 2x + k與雙曲線x² − 4y² = 4 相切，則實數k之值為 。

【解答】± 15

【詳解】

c代入d ⇒ 15x

⎩⎨

⎧

=

− +

=

4 4 2

2

2 y

x

k x

y ……c

……d

2 + 16kx + 4(k² + 1) = 0

∵ 相切 ∴ 判別式 = (16k) ² − 4 × 15 × 4(k² + 1) = 0，得k = ± 15

2. 一直線通過點(0，2)，而與雙曲線x² − y² = 4 恰有一個交點，則此直線之斜率為 。

【解答】± 2

【詳解】一直線通過點(0，2)，設直線方程式L：y = mx + 2，入Γ：x² − y² = 4 中 則x² − (mx + 2)² = 4，得(1 − m²)x² − 4mx − 8 = 0 ∵ L與Γ 恰有一個交點

∴ 令D = ( − 4m)² − 4(1 − m²)( − 8) = 0 ⇒ m² = 2 ⇒ m = ± 2 3. 已知P為橢圓

4 ) 1 (x− ² +

9 ) 2

(y+ ² = 1 上之一點，則P到直線 2x − y + 6 = 0 的最長距離為

，此時P點的坐標為 。

【解答】3 5 ，(

2 13，

5

−19 )

【詳解】橢圓Γ： 4

) 1 (x− ²

+ 9 ) 2 (y+ ²

= 1，其中心(1， − 2)，設y = 2x + k為Γ 之切線

y = 2x + k代入Γ 得 4

) 1 (x− +

9 ) 2 2

( x+ k+ = 1 ⇒25x² + (16k + 14)x + 4k² + 16k − 11 = 0 D = (8k + 7)² − 25(4k² + 16k − 11) = 0 ⇒ k² + 8k − 9 = 0 ⇒ k = − 9 或 1

求最長距離 ∴ k = − 9，

2

2 1

2

| ) 9 ( 6

| +

−

− =

5

15 = 3 5

y = 2x − 9 代入Γ，得(5x − 13)² = 0 ⇒ x = 5 13，y =

5

−19

∴ P(

5 13，

5

−19 )

4. 試求與橢圓Γ1： 4 x +2

9

y2 = 1 共焦點，且通過點(2，3)之雙曲線Γ2方程式為 ；

並求過點(

3 2

4 ，1)且與橢圓Γ1相切的直線方程式為 。

【解答】 3 y −2

2

x = 1，3 2 x + y = 9 2

【詳解】

Γ1焦點(0， 5 )，(0， − 5 ) ∴ Γ2： ₂

2

ay − ₂²

bx = 1，a² + b² = 5……c Γ2過點(2，3) ∴ ⁹₂

a − ⁴₂

b = 1……d，c代入d得a⁴ − 18a² + 45 = 0

⇒ a² = 3 或 15（不合），代入c得b² = 2 ∴ Γ₂： 3 y −2

2

x = 1，(2

3 2

4 ，1)在Γ₁上

∴ 其切線方程式為 4

3

2 4 ．x

+ 9

1．y = 1，即 3 2 x + y = 9

5. 直線L：x − y + 1 = 0 被雙曲線 3x² − y² = 3 截出一弦（線段），此弦的長度為 。

【解答】3 2

【詳解】

，由c y = x + 1 代入d， ⇒

⇒ 2x

⎩⎨

⎧

− =

= +

−

3 3

0 1

2

2 y

x y

x ……c

……d 3x² − x( +1)² =3 3x² −x² −2x−1=3

2 − 2x − 4 = 0 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0

∴ x = 2 或− 1，代入c得y = 3 或 0 二交點

∴ 此弦長度

( 2, 3), ( 1, 0)

⇒ −

2 3 ) 0 3 ( ) 1 2

( + ² + − ² =

=

6. 若直線過(3，6)與橢圓 4x² + 9y² = 36 相切，則直線方程式為 。

【解答】8x− y9 +30=0及x=3

【詳解】

Sol一：

點(3，6)不在橢圓 4x² + 9y² = 36 上，設切線方程式為y−6=m(x−3)

⇒ y=mx+6−3m代入橢圓方程式 ⇒ 4x²+9(mx+ −6 3 )m ² =36

⇒

⇒

∵ 相切 ∴

⇒

+324 m

36 ) 3 6 ( 9 ) 3 6 ( 18 9

4x² + m²x² + m − m x+ − m ² =

0 ) 81 324 288 ( ) 3 6 ( 18 )

9 4

( + m² x² + m − m x+ − m+ m² =

0 ) 81 324 288 )(

9 4 ( 4 )]

3 6 ( 18

[ − ² − + ² − + ² =

= m m m m m

D

) 9 36 32 )(

9 4 ( ) 9 36 36 (

9m² m m² m² m m²

D= − + − + − +

2 2

4 3

2 324 81 128 144 36 288

324m − m + m − + m− m − m

= ³ − 81m⁴

=−128+144m=0 ⇒

9

= 8 m

∴ 切線方程式為 ( 3)

9 6=8 −

− x

y ，即 8x − 9y + 30 = 0，另一切線為鉛直線 Sol二：

橢圓 9x

=3 x

2 + 4y² = 36 ^{2 2} 1 4 9 x y

⇒ + = ，設切線方程式為y− =0 m x( − ±0) 4m²+ ， 9 切線過點(3，6)代入⇒ =6 3m± 9m²+4 ⇒ −(6 3 )m ² = ±( 9m²+4)²

，所以

2 2

36 36− m+9m =9m + ⇒4 36m=32

9

= 8

m …….

7. 雙曲線Γ：x² − y² − 4x + 8y − 16 = 0，

(1)Γ之共軛雙曲線方程式為 。

(2)一弦AB之中點為( 4，3 )，則含此弦AB之直線方程式為 。

【解答】(1) − 4

) 2 (x− ² +

4 ) 4 (y− ²

= 1 (2) 2x + y − 11 = 0

【詳解】(1)Γ：x² − y² − 4x + 8y − 16 = 0 ⇒ (x − 2)² − (y − 4)² = 4 ⇒

4 ) 4 ( 4

) 2

( ² − ²

− − y

x = 1

故Γ之共軸雙曲線為

4 ) 4 ( 4

) 2

( − ² + − ²

− x y = 1

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)

AB 之方程式y − 3 = m(x − 4) ⇒ y = mx − 4m + 3

∴ ⇒ x

⎩⎨

⎧

=

− +

−

−

+

−

=

0 16 8 4

3 4

2

2 y x y

x

m mx

y ₂

− (mx − 4m + 3)² − 4x + 8(mx − 4m + 3) − 16 = 0

⇒ (1 − m²)x² + (8m² + 2m − 4)x + (− 16m² − 8m − 1) = 0 二根x1，x2 ⇒ x1 + x2 =

1 4 2 8

2 2

−

− + m

m

m ∵ AB之中點(4，3)

⇒ 2

2

1 x

x +

= 4 ⇒

1 2 4

2 2

−

− + m

m

m = 4 ⇒ m = − 2 故 AB 之方程式為y = − 2x + 11 ⇒ 2x + y − 11 = 0

8. 設拋物線y² = 4x上一弦以(2，2)為中點，則此弦所在的直線方程式 為 ，又弦長 = 。

【解答】x − y = 0；4 2

設拋物線y² = 4x，以(2，2)為弦中點的弦所在的直線為 y − 2 = m(x − 2)

2 4

2 ( 2) 2 y x

y m

y m x x

m

⎧ =⎪

⎨ + −

− = − ⇒ =

⎪⎩ 2，得my² = 4y +8 − 8 二交點以(2，2)為中點，即 y

m

m ² − 4y + (8 − 8 m ) = 0……(※)，兩根和 ⁴

m = 4，可得 = 1 所求的弦所在的直線方程式為y − 2 = 1

m

⋅ (x − 2)，即x − y = 0 當m = 1 時，(※)式為y² − 4y = 0，即y = 0 或 4，

當y = 0 時，x = 0，y = 4 時，x = 4，兩交點(0，0)，(4，4)，所以弦長 = 4² +4² = 4 2 9. 若點P(2，− 3)為拋物線y² = 8x之一弦AB的中點，則直線 AB 方程式為 ，

弦AB的長為 。 2

7

【解答】4x + 3y + 1 = 0，5

【詳解】

(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2) ∵ P(2， − 3)為AB中點 ∴ x1 + x2 = 4，y1 + y2 = − 6

又 ，c − d得( y

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

2 2 2

1 2 1

8 8 x y

x

y ……c

……d ¹ + y2) ( y₁ − y2) = 8( x1 − x2)

⇒ AB 斜率 =

2 1

2 1

x x

y y

−

− =

2 1

8 y y + =

6 8

− = − 3 4

⇒ AB ：y + 3 = − 3

4(x − 2) ⇒ AB ：4x + 3 y + 1 = 0

(2)由(1)，x₁ − x2 = − 4

3(y₁ − y2)

⎩ ⇒ y

⎨⎧

=

= + +

x y

y x

8

0 1 3 4

2

2 + 6y + 2 = 0，二根為y1，y2 ∴ y1 y2 = 2 AB2= ( x1 − x2)² + ( y1 − y2)² =

16

9 ( y1 − y2)² + ( y1 − y2)²

= 16

25( y1 − y2)² = 16

25[( y1 + y2)² − 4 y1y2] = 16

25[( − 6)² − 4．2] = 4

7 25 ．

⇒ AB = 2

7 5

10.雙曲線Γ：x² − y² = 8，A(1，1)，由A向Γ 作切線，則切線方程式為 。

【解答】9x + 7y − 16 = 0

【詳解】

Sol一：

設切線L：y − 1 = m(x − 1)，

c代入d ⇒ (1 − m

⎩⎨

⎧

=

−

− +

=

8 ) 1 (

2

2 y

x

m mx

y L

：

： Γ

……c

……d

2)x² + 2m(m − 1)x + (2m − m² − 1 − 8) = 0

∵ 相切 ∴ D = 4m²(m − 1)² − 4(1 − m²)(2m − m² − 9) = 0 ⇒ 4(m − 1)(7m + 9) = 0

⇒ m = 7

−9或m = 1（不合 ∵ m = 1 時，切線L與其中一條漸近線重合）

∴ L：y − 1 = 7

−9(x − 1) ⇒ 9x + 7y − 16 = 0 Sol二：

雙曲線Γ：x² − y² = 8 ^{2 2} 1 8 8 x y

⇒ − =

設切線L：y − 0 = m(x − 0)± 8m²−8 ，A(1，1)代入⇒ = ±1 m 8m²−8

2 2 2 2 2

1 2m m 8m 8

⇒ − + = −

(1−m) = ±( 8m −8) ⇒(7m+9)(m− =1) 0

⇒ m = 7

−9或m = 1（不合 ∵ m = 1 時，切線L與其中一條漸近線重合）……

11.若拋物線y² = 4x與直線y = 2x + k交於相異兩點，則k的範圍為 。

【解答】k <

2 1

【詳解】

y = 2x + k代入y² = 4x中，(2x + k)² = 4x，得 4x² + 4(x − 1)x + k² = 0

∵ 交於相異兩點 ∴ 判別式D = [4(k − 1)]² − 4．4．k² > 0

⇒ k² − 2k + 1 − k² > 0 ⇒ 2k < 1 ⇒ k <

2 1

12.設 為通過橢圓A Γ₁： 3

) 1 (x− ²

+ 4 ) 2 (y− ²

=4

1與橢圓Γ2：4x² + 3y² − 18y + 25 = 0 兩交點之直 線，則直線 之方程式為A 。

【解答】4x − 3y + 6 = 0

【詳解】

Γ₁：4(x − 1)² + 3(y − 2)² = 3 ⇒ 4x² + 3y² − 8x − 12y +13 = 0

兩式相減⇒ − 8x + 6y − 12 = 0 ⇒ 4x − 3y + 6 = 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

− +

= +

−

− +

0 25 18 3

4

0 13 12 8 3 4

2 2

2 2

y y

x

y x y x

13.橢圓 8 x +2

4

y = 1 在直線x + 2y − 12 = 0 上正射影長為 。 2

【解答】 5

5 12

【詳解】

橢圓在直線x + 2y − 12 = 0 上正射影長即為垂直於x + 2y − 12 = 0 且與橢圓相切之兩平行 線間的距離，設

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= +

− 4 1 8

0 2

2

2 y

x

k y x L

： 橢圓

： 切線

Γ

……c

……d

由c ⇒ y = 2x + k代入d ⇒ 9x² + 8kx + 2(k² − 4) = 0

∵ 相切 ∴ D：64k² − 4 × 9 × 2(k² − 4) = 0 得k = ± 6 代入c

⇒ 兩切線分別為L1：2x − y + 6 = 0 及L2：2x − y − 6 = 0 所求 = d(L₁，L₂) =

1 4

| ) 6 ( 6

| +

−

− = 5

5 12

14.求橢圓x² + 2y² − 2x = 4 與直線y = x − 1 之交弦長為 。

【解答】 3

【詳解】

d代入c ⇒ 3x

⎩⎨

⎧

−

=

=

−

− +

1

0 4 2 2 ²

2

x y

x y x 直線：

橢圓： ……c

……d

2 − 6x − 2 = 0 之二根為x1，x₂

則交點分別為A(x1，x1 − 1)，B(x2，x2 − 1)，又x1 + x2 = 2，x1 x2 = 3

−2

AB2=(x1 − x2)² + [(x1 − 1) − (x2 −1)]² = 2(x1 − x2)² = 2[(x1 − x2)² − 4x1 x2] = 2[2² − 4 × (

3

−2

)] = 3

40，弦長=AB= 40 =3

3 30 2

15.拋物線y = 4x− x²在點(1，3)之切線與坐標軸圍成一個三角形，此三角形的面積 = 。

【解答】4 1

【詳解】

點(1，3)在y = 4x− x²之圖形上，切線方程式為 ³ 4 ¹ 1

2 2

y x

+ + x

= ⋅ − ⋅ ⇒ y = 2x + 1，

此切線與x，y軸交點分別為A(− 2

1，0)，B(0，1)，故△OAB之面積 = 2 1

4

| 1 1 2) ( 1

| − × = 16.求與x + 2y = 0 垂直，且與拋物線y² = 16x相切之直線方程式為 。

【解答】y = 2x + 2

【詳解】

∵ 所求直線L與x + 2y = 0 垂直 ∴ 斜率為 2，又與拋物線(y −0)² = 4 x −0)相切 故此直線方程式為y −0= 2 (x −0) +

×4(

2

4，即y = 2x + 2 17.Γ：x² + 2y² = 2，由A(1，2)向Γ 作切線得二切點B，C，則 BC

長為 。

【解答】 119 9 2

【詳解】

切點弦 BC ：1．x + 2．(2．y) = 2 ⇒ BC ：x + 4y = 2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

=

2 2

4 2

2

2 y

x

y x

BC

：

： Γ

……c

……d

c代入d ⇒(2 − 4y)² + 2y² = 2 ⇒9y² − 8y + 1 = 0 之二根為y1，y2

則

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

= +

9 1

9 8

2 1

2 1

y y

y y

且 ^{1 1}

2 2

2 4 2 4

x y

x y

⎧ = −

⎨ = −

⎩ ， BC= (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² = [ 4(− y₁−y₂)]²+(y₁−y₂)²

= 17(y₁ −y₂)² = 17[(y₁ +y₂)² −4y₁y₂]= ] 9 4 1 9) [(8

17 ² − × = 119 9 2

18.直線y=−2x+4上一點P與拋物線y=1 x− ²上的點Q之距離最小，則P 之坐標為 ，

Q之坐標為 。

【解答】(

5 9，

5

2)；(1，0)

【詳解】

設Q( , 1t −t²)，Q到直線 2x + y −4 =0 的距離為

2

2 2

| 2 1 4 | 2 1 t+ − −t

+ =| ( ² 2 1) 2 | 5

t t

− − + −

=| ( 1)² 2 | 5 t− +

當t=1時，最小值 5

2 ，此時Q(1，0)，又過Q作 2x + y −4 =0 之垂直線 x − 2y = 1

二直線交點P ，(x y)， 5

= 9

x ，

5

= 2

y ，即P( 5 9，

5 2)

19.橢圓 1

9 4

2 2

= + y

x 之任一切線分別與x軸，y軸交點於A，B，則線段AB之最小值為 ， 又△OAB面積最小值為

【解答】5；6

【詳解】

橢圓 1

9 4

2

2 + y =

x 上一點P( 2cosθ，3sinθ )且P不是頂點

過P之切線 1

9 ) sin 3 ( 4

) cos 2

( θ x+ θ y =

，即( 3cosθ )x + ( 2sinθ )y = 6 與x軸交點A(

θ cos

2 ，0 )，與y軸交點B( 0，

θ sin

3 ) (1)線段AB之長

= ²θ sin²θ 9 cos

4 + = ) ](cos sin )

sin ( 3 sin )

[( 2 ^{2 2 2}θ ²θ θ

θ ^{+ + (2 3) 5}

2 = +

≥ （柯西不等式）

∴ 最小值為 5

(2)△OAB的面積 = 6

| 2 sin |

6 sin

3 cos

2 2

1 × = ≥

θ θ

θ

∵ | sin2θ |≤ 1 ∴ 最小值 = 6

20.拋物線Γ：(y − 1)² = 6x，一入射光沿直線y = 3 射到Γ上一點P，經 拋物線反射後，反射光與對稱軸交於一點Q，則P之坐標為

，Q之坐標為 。

【解答】P(

3

2，3)；Q(

2 3，1)

【詳解】

Γ：(y − 1)² = 6x對稱軸y − 1 = 0，頂點(0，1)，y = 3 代入得x = 3 2

64 = ，知P點為(

3 2，3) 又反射光與對稱軸的交點即為焦點F，故Q = F的坐標為(

4

6，1) = ( 2 3，1)

21.設E，F為橢圓 4x² + y² = 8 的兩焦點，點A(1，2)，求∠EAF的角平分線方程式為 。

【解答】x − 2y + 3= 0

【詳解】

橢圓 4x + y = 8，點A( 1，2 )在橢圓上，E，F為焦點，則∠EAF的角平分線方程式為過A 之法線⇒切線為 4．1．x + 2．y = 8 ⇒ 2x + y = 4，m= − 2

故過A之法線 2 ¹( 1

y− = 2 x− )，即角平分線方程式為 x − 2y + 3= 0

22.設拋物線Γ：y² = x，一光線從點( 5，2 )射出，平行Γ 的對稱軸，射在Γ 上的P點，經反 射後，又射到Γ 上的Q點，則P點的坐標為 ，Q點的坐標為 。

【解答】(4，2)，(

64 1 ， −

8 1)

【詳解】

Γ：y² = x，焦點為F(

4

1，0)，以y = 2 代入，得x = 4 ∴ P(4，2) 令Q( t²，t )∈Γ，t < 0，由P，F，Q共線得

4 2

2 −

− t

t =

4 4 1

2 0

−

− ⇒ t = − 8

1 ∴ Q(

64 1 ， −

8 1)

23.已知橢圓方程式為 1

16 ) 1 ( 4

) 1

( ^{2 2}

− =

− + y

x ，則此橢圓焦點坐標為 ，若自

左邊焦點F上發射一直線光，打在橢圓某一點P，再自P反射，最後需落在F′上，則此光

線最少需走多少距離？ 。

【解答】(1，1 2± 3 )，8，

【詳解】

橢圓方程式： 1

16 ) 1 ( 4

) 1

(x− ² + y− ² =

，中心(1，1)，a² = 16，a = 4，b² = 4，b = 2

⇒ c² = a² − b² = 16 − 14 = 12 ∴ c = ± 2 3 ∴ 焦點坐標為(1，1 ± 2 3) 設P(x，y)，由定義：|PF +PF′|= 2a = 2．4 = 8

24. 設F與F′為橢圓x² + 4y² = 8 的兩焦點，若A的坐標為(2，1)，

求∠FAF′的角平分線方程式 。

【解答】2x − y = 3

【詳解】

過A( 2，1 )之切線L1：2x + 4y = 8，由光學性質可知∠FAF′的

角平分線為過A之法線L2，∵L2 ⊥ L1 ∴設L2：y − 1 = 2(x − 2) ⇒ L2：2x − y = 3

25.雙曲線Γ： 8 x −2

8

y = 1，又A∈2 Γ，已知A( 4，2 2 )，F( 4，0 )，若由F射至A之光線被雙 曲線Γ 反射，反射光通過P(8，k)，則k = 。

【解答】3 2

【詳解】

由光學性質可知反射光線必通過直線F ′ ， A mF ′A =

) 4 ( 4

0 2 2

−

−

− = 4

2

F ′ ：y − 0 =A 4

2 (x + 4)，P(8，k)代入 AF ′ ⇒ k = 3 2

26.已知橢圓方程式 25 x +2

16

y = 1，若有光束自焦點A(3，0)2

射出，經二次反射回到A點，設二次反射點為B，C，如圖所示，求△ABC之周長 。

【解答】20

【詳解】

Γ： 25 x +2

16

y = 1 ⇒ a = 5，b = 4，由橢圓的光學性質知 2

若光束自焦點 A(3，0)射出，經一次反射後，必通過另一焦點 A′ ( − 3，0)

∴ △ABC 之周長 =AB+ BC +CA = (AB+B ′A ) + ( CA′ +CA ) = 2a + 2a = 4a = 4 × 5 = 20