【解答 詳解

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.11.13 班級 普一 班

範

圍 2-1 數列、級數(2)

座號

姓 名 一、填充題(題 每題 10 分)

1. 給定數列 1 1，

1 2，

2 1，

1 3，

2 2，

3 1，

1 4，

2 3，

3 2，

4 1，

1 5，

2 4，

3 3，

4 2，

5

1，…，則 10

3 為 數列的第 項。

【解答】76

【詳解】

找規則，第 1 組(

1

1 )，第 2 組(

1 2，

2

1)，第 3 組(

1 3，

2 2，

3

1)，……

知10

3 在第 12 組的第 10 個數，(1 + 2 + 3 + 4 + … + 11) + 10 = 76 個 2. 有一凸n邊形，內角度數依次成等差數列，公差為 5°，最小角為 120°，則

(1) n = 。 (2)最大角為 。

【解答】(1) 9 (2) 160°

【詳解】

2 2

[2 120 ( 1) 5]

( 2) 180 [235 5 ] ( 2) 360 2

5 125 720 0 25 144 0

n n

n n n n

n n n n

× + − × = − × ⇒ + = − ×

− + = ⇒ − + =

最大角為120 (不合)，

(n−9)(n−16)= ⇒ =0 n 9,16 16

n= ⇒ +(16 1) 5 195− × = n= 9

最大角為120

9

n= ⇒ + − × =(9 1) 5 160

3. 集合序列{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，…，若Sn表第n個集合內之元素各 數值總和，求S21 = 。

【解答】4641

【詳解】

1 + 2 + 3 + … + 20 =

2 20 ) 20 1

( + × = 210，1 + 2 + 3 + … + 21 = 2

21 ) 21 1

( + × = 231

∴ S₂₁ = 211 + 212 + … + 231 =

2

21 ) 231 211

( + × = 4641

4. 數列 4 1，

8 4，

12 7 ，

16

10，…，第n項為an，則

(1) an可為 。 (2)若an >

40

29，則n之最小值為 。

【解答】(1) n n

4 2 3 −

(2) 21

【詳解】

(1)觀察數列 4 1，

8 4，

12 7 ，

16

10，…，第 n 項 ^{3 2}

n 4 a n

n

= − (2)^{3 2 29} 10(3 2) 29 20

4 40

n n n n

n

− > ⇒ − > ⇒ > ，即正整數n≥21 5. 自 1 到 500 的正整數中，4 或 6 的倍數共有n個，其和為S，則

(1) n = 。 (2) S = 。

【解答】(1) 167 (2) 42084

【詳解】

(1) 4 或 6 的倍數即 (4 的倍數) + ( 6 的倍數) −(4 且 6 的倍數) [⁵⁰⁰] [⁵⁰⁰] [⁵⁰⁰] 125 83 41 16

4 6 12

n= + − = + − = 7

(2) 4 或 6 的倍數和即 (4 的倍數和) + ( 6 的倍數和) −(4 且 6 的倍數和)

^{125(4 500) 83(6 498) 41(12 492)} 31500 20916 10332 42084

2 2 2

S= + + + − + = + − =

6. 設x ∈ R，高斯符號[x]表不大於x的最大整數，令f (x) = [ x ]，x > 0，

(1) x ∈ N，使f (x) = k之自然數x有 個。

(2) f (1) + f (2) + f (3) + … + f (100)之值= 。

【解答】(1) 2k + 1 個 (2) 625

【詳解】

(1)∵ f (x) = [ x ]，使f (x) = k ∈ N，即[ x ] = k ⇒k ≤ x < k + 1 ⇒ k² ≤ x < (k +1)² ∵ x ∈ N ∴ x共有(k + 1)² − k² = 2k + 1 個

即x = k²，k² + 1，k² + 2，…，k² + 2k，共 2k + 1 個 (2) f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + … + f (100)

= f (1) + f (2) + f (3) + f (2²) + f (2² + 1) + … + f (3²) + … + f (10²) =

個 3

1 1

1+ + +   

個 5

2 2 2 2

2+ + + + + 

7個

3 3 3 3 3 3

3+ + + + + + + … + " 

19個

9 9+ + +10 = (3 × 1 + 5 × 2 + 7 × 3 + … + 19 × 9) + 10= 615 + 10 = 625

7. 等比數列x，3x + 3，4x + 4，…，求第 4 項為 （不可以x表示）。

【解答】−

15 64

【詳解】

x x 3 3 + =

3 3

4 4

+ + x

x ⇒ (3x + 3)² = x(4x + 4)

⇒ 9x² + 18x + 9 = 4x² + 4x ⇒ 5x² + 14x + 9 = 0

⇒ (5x + 9)(x + 1) = 0 ⇒ x = − 5

9或x = − 1

c當x = − 5

9時，公比r =

5 9

3 5) ( 9 3

− +

−

． =

3

4，a₄ = (−

5 9)．(

3

4)³ = (−

5 9)．(

27 64) = −

15 64

d當x = − 1 時，公比r = 1

3 ) 1 ( 3

− +

− = 0（不合）

由c，d知a4 = − 15 64

8. 有兩個等差數列，其第n項的比為 3n + 1：7n − 11，則其前 9 項和的比為 。

【解答】3 2

【詳解】

設此二等差數列各為< an >，< bn >，前n項和各為Sn，Sn′，則

n n

ba =

11 7

1 3

− + n

n

∴ S ' S

9

9 = ^{5 5}

5 5

9 9

a a

b b

× = =

× 7(5) 11 1 ) 5 ( 3

− + =

24 16 =

3 2

9. 有兩等差級數，其首n項和之比為(2n + 3)：(3n + 2)，試求兩級數第 11 項的比為

。

【解答】9：13

【詳解】

11 11 21

11 11 21

21 2(21) 3

21 ' 3(21) 3

a a S

b b S

× +

= = =

× + =

65 45，即

11 11

b a =

13

9 ，兩級數第 11 項的比為 9：13

10. 一等差數列之前 10 項之和為 30，前 30 項之和為 10，則其前 40 項之和為 。

【解答】− 40

【詳解】

解一：

前n項和為S_n，令S₂₀ = a，S₄₀ = b，則S₁₀，S₂₀ − S₁₀，S₃₀ − S₂₀，S₄₀ − S₃₀亦成等差數列 即 30，a − 30，10 − a，b − 10 成等差數列，由前三項2( 30) 30 (10 ) ¹⁰⁰

a− = + −a ⇒ =a 3

0

由後三項則 2 (10 − a) =(b − 10)+ (a − 30)，得S40 = b = − 40 解二：

數列<a_n >成等差，則S10，S20 − S10，S30 − S20，S40 − S30亦成等差數列

即a₁+a₂ + +a₃ ""+a₁ ，a₁₁+a₁₂+a₁₃+""+a₂₀，a₂₁+a₂₂ +a₂₃+""+a₃₀， 成等差。

由 ，

設 因為S

31 32 33 40

a +a +a +""+a

1 2 3 10 10

a +a + +a ""+a =

11 12 13 20 30

a +a +a +""+a = +d

21 22 23 30 30 2

a +a +a +""+a = + d

31 32 33 40 30 3

a +a +a +""+a = + d

30 = 10 30 (30 ) (30 2 ) 10, ⁸⁰

d d d 3

⇒ + + + + = = −

代入S₄₀ = 30 (30+ +d)+(30+2 )d +(30 3 )+ d = −40

11.有一等比數列< an >，已知Sn = 16，S2n = 20，則S3n = 。

【解答】21

【詳解】

Sn，S_2n − Sn，S_3n − S2n成G.P.，公比為rⁿ，即S_n = 16，S2n − Sn = 16rⁿ，S_3n − S2n = 16．(rⁿ)²

∴ 即 16，4，S_3n − 20 成G.P.⇒ S3n − 20 =1 ∴ S3n = 21

12.數列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，其前 100 項之和為 。

【解答】945

【詳解】

( 1 )，(2，2)，(3，3，3)，(4，4，4，4)，…

第n組之末項為整個數列之第 1 + 2 + … + n = 2

1n(n + 1)項

n = 13 時，

2

1．13．14 = 91，100 − 91 = 9 ∴ 第 100 項位在第 14 組內之第 9 項

∴ S₁₀₀ = 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + … + 13 × 13 + 14 × 9 = 6

1．13．14．27 + 126 = 945

13.一個球從 81 公尺自由落下，每次著地後又跳回原高度的 3

1再落下，當它第五次著地時，

共經過 公尺。

【解答】161

【詳解】

球首先落下經過 81 公尺，因每次反彈的高度為前高度的 3 1

第一次著地所經過的距離為 81 公尺 第二次著地所經過的距離為 2 × 81 × 3 1公尺 第三次著地所經過的距離為 2 × 81 × (

3

1)²公尺 第四次著地所經過的距離為 2 × 81 × (

3

1)³公尺 第五次著地所經過的距離為 2 × 81 × (

3

1)⁴公尺 所求距離和= 81 + 2 × 81 ×

3

1 + 2 × 81 × ( 3

1)² + 2 × 81 × ( 3

1)³ + 2 × 81 × ( 3 1)⁴

= 81 + 162 [ 3 1+ (

3 1)² + (

3 1)³ + (

3

1)⁴] = 81 + 162 × 81

40= 81 + 80 = 161 14.二等差數列< a_n >，< b_n >，S_n =∑ ，T

= n k ak

1

n =∑ ，若S

= n k bk

1

n：T_n = (5n + 3)：(3n + 1)，則

9 9

ba =

。

【解答】13 22

【詳解】

解一：

n n

TS =

] ) 1 ( 2 2[

] ) 1 ( 2 2[

1 1

d n n b

d n n a

− ′ +

−

+ =

d n b

d n a

− ′ +

− +

) 1 ( 2

) 1 ( 2

1

1 =

1 3

3 5

+ + n n

取 n = 17 ∴

9 9

ba =

d b

d a

+ ′ +

8 8

1

1 = ¹

1

2 16 2 16

a d

b d

+

+ ′=^{5 17 3} 3 17 1

× +

× + = 13 22

解二：

9 9 17

9 9 17

17 S 5 17 3 88 22 17 T 3 17 1 52 13

a a

b b

= = = × + = =

× +

15.數列< an >之遞迴表示式為a1 = 1，an + 1 = 2

1a_n + 1（n ≥ 1），求此數列之一般項an =？

【解答】2 − ( 2 1)^{n − 1}

【詳解】

an + 1 = 2

1 an + 1 ⇒ 2an + 1 = an + 2 ⇒ 2(an + 1 − 2) = (an − 2)

因為 2

1 2

−

+ −

n n

a

a =

2 1

令bn = an − 2，則

n n

b b ₊₁ =

2

1 2

−

+ −

n n

a

a =

2

1，故< bn >為公比r = 2

1，首項b1 = a1 − 2 = 1 − 2 = − 1 之

等比數列bn = b1r^{n − 1} = (− 1)(

2

1)^{n − 1}，即an − 2 = (− 1)(

2

1)^{n − 1} ∴ an = 2 − ( 2 1)^{n − 1} 16.有一等比級數 1 +

3 1+ ₂

3

1 + … + ₁ 3

1

−

n + …，其前n項和為Sn，求滿足 | Sn − 2 3| <

2000 3 的最 小正整數n。

【解答】7

【詳解】

(1) S_n = r

r

a ⁿ

−

− 1

) 1

1( =

3 1 1

) 3) (1 1 ( 1

−

− ⁿ

=2 3(1− _n

3 1 )

(2)由 | 2

3− S_n | <

2000 3 ∴

2 3( _n

3 1 ) <

2000

3 ⇒ 2(3ⁿ) > 2000 ⇒ 3ⁿ > 1000 (3)∵ 3⁵ = 243，3⁶ = 729，3⁷ = 2187 ∴ n的最小值為 7

17.1 + 2 3+ ₂

2 5 + ₃

2

7 + … + ₁ 2

1 2

−

−

n

n 之和。

【解答】6 − ₁ 2

3 2

−

+

n

n

【詳解】

令 S = 1 + 2 3+ ₂

2 5 + ₃

2

7 + … + ₁ 2

1 2

−

−

n

n ……c

則得2 1S =

2 1+ ₂

2 3 + ₃

2

5 + … + ₁ 2

3 2

−

−

n

n + ⁿ_n 2

1 2 −

……d 由c − d，可得

2

1S = 1 + 2 2+ ₂

2 2 + ₃

2

2 + … + ₁ 2

2

−

n − ⁿ_n

2 1 2 −

= 1 + (1 + 2 1+ ₂

2

1 + … + ₂ 2

1

−

n ) − ⁿ_n

2 1 2 − = 1 +

2 1 1

2) (1

1 ¹

−

− ⁿ⁻

− ⁿ_n 2

1 2 −

= 1 + 2(1 − ₁ 2

1

−

n ) − ⁿ_n

2 1

2 − = 3 − ₂ 2

1

−

n − ⁿ_n

2 1 2 −

∴ S = 6 − ₂ 2

2

−

n − ₁

2 1 2

−

−

n

n = 6 − ₁ 2

3 2

−

+

n

n

18.規定∑ = a

= n k

ak

1

1 + a2 + a3 + … + an，則∑ + 之值為

= n k

k

1

) 4 3

( 。

【解答】2

1n(3n + 11)

【詳解】

= 3 + = 3(1 + 2 + 3 + … + n) + 4n = 3(

∑ +

= n k

k

1

) 4 3

( ∑

= n k

k

1

∑= n k 1

4 2

) 1 (n+

n ) + 4n = 2

1n(3n + 11)

19.若1 1+

2 1

1 + +

3 2 1

1 +

+ + … +

+n + + +2 3 "

1

1 =

11

21，則自然數n之值= 。

【解答】21

【詳解】

ak = 2

) 1 (

1 + k

k = 2 1 1

2 2[

( 1) ( 1) 1

k k = ⋅k k = k−k

+ +

1 ] +

= 2[(

∑= n k ak

1 1

1− 2 1) + (

2 1−

3 1) + (

3 1−

4

1) + … + ( n 1−

1 1 +

n )] = 2(1 − 1 1 + n ) =

11 21

∴ n = 21