第五章 研究討論與結論
本研究旨在探討國三學生透過不同工具進行構圖活動時，學生對於圖形的概 念、構圖時圖形性質的使用、構圖後幾何性質的察覺及構圖活動是否能引起學生 對幾何學習的興趣。因此，研究者針對以上問題，請十位學生進行構圖的活動，
並於構圖活動後進行深入的訪談，以了解學生的想法。在資料的分析方面，就以 觀察學生的構圖情形、及訪談內容作分析，並作一綜合性的討論與結論，分別說 明如下。
第一節 研究討論
針對本研究所探討的主題，分別作以下的討論：
不同構圖工具時的構圖情形
1.學生的構圖情形與圖形性質的應用
學生在構圖時，對於圖形的概念以定義的呈現，或概念心像為主。在一般 構圖中，大部分學生透過測量的步驟來構圖，且由於構圖的方式與圖形概念較為 貼近，學生利用工具上刻度的協助來作線段與角，所以學生在一般構圖時比較沒 有問題，都能很順利、正確的來構圖。但是仍有部分學生在一般構圖時是採用尺 規作圖方式，尤其以作圖能力為中、高程度的學生最為明顯，由於受到平時上課 作圖方式是尺規作圖的制約影響，構圖時仍是以尺規作圖方式來構圖。
在尺規作圖中，學生依課本所學基本尺規作圖方法來構圖，如中垂線、等 角的作圖、三角形 SSS 全等的作圖等，因此，若對於作圖方法不熟悉的學生，會 造成構圖上的困難，而部分學生則是以視覺估測 (用＂準＂的)(台語) 的方式，
或是利用工具上的特性來構圖，例如有許多學生是利用視覺估測的方式畫直線來 作直角，或利用直尺的角落作直角，又學生在作平行線時，是利用直尺上、下邊 緣來構圖。此種情形，以作圖能力為中、低程度的學生最為明顯。
在 GSP 軟體的構圖中，學生利用軟體所提供的功能指令，如旋轉、鏡射、
平移等方式構圖，而有部分學生呈現出較為特殊的作法或圖形，如利用旋轉方式 來作等腰三角形，或以一線段為半徑，分別以線段兩端點為圓心畫圓來作內角為 60°-120°-60°-120°的特例菱形或正三角形，構圖過程中，雖然學生對於圖形有 特別的思考、也能畫出一個圖形，但是也容易忽略了圖形應具備的定義或性質。
2.不同構圖時圖形性質使用的改變
學生在利用不同工具來構圖時，受到工具特性的限制，其構圖方法、策略 顯然不同，在一般構圖時，學生有了具有「刻度」的構圖工具，在構圖時為了能 畫出「準確」的圖形，以直尺來量得線段的長度、以量角器量出角的度數，再畫 出相等線段、角度或利用三角板來直接畫出直角，整個構圖過程著重於「測量」
的步驟而達到「準確」的構圖。尺規作圖時，少了「刻度」的輔助，學生構圖時 就必須利用課本學過的六個基本尺規作圖的方法來畫圖，部分學生忘了畫等角的 構圖方法時，會利用三角形 SSS 全等的構圖來完成，構圖的內涵是以「性質」為 主來構圖。而利用 GSP 軟體構圖時，軟體提供有平行線、垂直線、旋轉……等功 能，因此學生構圖時，要能察覺出圖形整體的結構，再配合軟體的各項指令操作 來構圖，因此，對於指令的不熟悉會造成構圖上的障礙，也就是說構圖活動的進 行受到「指令使用」的限制。
3.不同構圖工具時幾何性質的學習情形
－性質的察覺
在一般構圖中，部分學生將圖形呈現出來後，藉由工具上的刻度，來對圖形 作測量、驗證，進而確認或得到圖形的性質、定義。如學生 S6 將菱形的概念由 倒反的正方形，修改為四邊相等，學生 S4 作完菱形後，發現了對角要相等，學 生 S1、S3、S8 了解平行線間距離處處相等的性質，學生 S5 則是了解同時垂直於 一直線的兩直線是平行的概念來構圖。另一方面，當學生在作測量、驗證時，與 概念定義的認知是衝突的，進而修改圖形而獲得圖形性質，學生 S1 的菱形構圖 是先作垂直的對角線，接著作四個邊，經過測量與不斷的修改邊長，使得四邊長 相等，最後察覺出菱形的對角線是垂直也要互相平分。
在尺規作圖中，學生為了能利用工具來構圖，學生必須思索構圖的方法，
即因為工具上的需要，必須對於圖形的概念及性質做學習，所以尺規構圖的過程 中會思考而帶出圖形的性質，如中垂線性質作菱形、以三角形 SSS 全等作角度；
而在 GSP 軟體的構圖中，學生藉由軟體提供的功能及指令的操作來完成構圖，過 程中著重於圖形的特性、結構，對於圖形的性質並不注意，如學生在作放大 2 倍時，是利用伸縮的指令來構圖，而對於伸縮指令的內涵則不了解。
－圖形的變換
學生對於圖形變換，著重於邊長的構圖，此與學生的概念最貼近。學生利用 測量長度、圓規、甚至是在尺上做記號，目的即是要作出兩倍的邊長，學生 S10 甚至將圖形切割成長方形與三角形，如此只要作二倍的邊長就能完成構圖，而角 度的呈現上即使是有誤差，只要看起來像、或是差不多，學生就可以接受。此外，
利用平移、三角形 SSS 全等性質，也是學生常用的方法，在 GSP 的構圖中，學生 是利用伸縮的功能來構圖。此外，學生在做兩倍放大圖時，皆是強調於邊長的 2
倍長，因此，若不是整數倍的放大，甚至是縮小某一倍數時，在一般構圖與尺規 作圖中，將會造成學生構圖上的困難。
4.不同構圖工具時圖形結構的瞭解
－GSP 軟體構圖
學生在使用 GSP 軟體構圖時，能促進學生對於圖形結構的分析與了解，並 藉由對圖形的瞭解，配合軟體的操作來完成構圖，亦即因為 GSP 軟體的使用需 要，除了軟體功能指令的操作外，學生必須去針對圖形的整體結構做瞭解。尤其 是在模仿的構圖中，學生利用圖形結構來構圖時，往往能順利、正確的來構圖，
其他如作線段中點及垂直線來做等腰三角形，利用對稱的功能來做菱形及等腰梯 形，對於等腰直角三角形則將線段旋轉 90 度的功能來完成，放大 2 倍的構圖則 使用伸縮的功能來構圖，其構圖的方式著重於圖形的性質、整體結構，而較少專 注於各個線段或角的構圖。
學生在一般構圖與尺規作圖中，對於圖形不會作整體結構的瞭解。在一般 構圖與尺規作圖中，由於有刻度的輔助，學生可以直接測量並畫出線段的長度或 角的度數，而尺規作圖中學生則應用圖形性質來構圖，因此，不必對於圖形結構 作整體的瞭解就可以來構圖。
5.構圖時的困難
在整個構圖活動的進行中，造成學生構圖困難的因素，主要包含有工具操作 與圖形性質。部分學生在構圖的過程中，當形成一個構圖計畫後，有時卻無法完 成，這之間的落差在於學生對於構圖工具操作的不熟悉有關，如不熟悉 GSP 軟體
操作的學生，構圖時經常是須經過一段時間的摸索，或需要老師的指導，才能完 成，又如圓規的操作，一些非典型圖形的作圖，也會給學生一些的困擾。此外，
另一個造成學生構圖上的困難為構圖時學生缺乏圖形性質的概念，或構圖時無法 與圖形性質做連結，以致於構圖時學生憑直覺來作圖的情形常常出現，尤其以構 圖能力為中、下程度的學生更為明顯，如憑視覺估測方法來作垂直線、平行線或 是等腰三角形的兩腰。
構圖活動的態度表現情形
參與本研究的個案只有十位學生，因此，對於構圖活動的喜好態度表現，就 以這十位學生的看法內容為主，研究者依學生填寫「構圖活動的情意表現」及與 學生的訪談內容來分析學生對於構圖活動在喜好態度方面的表現。
－學生對於構圖活動的態度表現
學生對於構圖活動喜好態度的因素主要有學習的經驗及構圖的能力，這 與數學程度的高低及男女性別的差異並沒有很大的關係。學生能在學習各學 科內容或數學知識的過程中，獲得成就感、建立自信心，或相對於學習其他 單元所遭遇大的挫折與困難，對於構圖活動則持有較正向的看法。此外，學 生對於構圖方法與構圖工具操作的不熟悉，會帶給學生在構圖上的困難，以 致無法順利完成構圖，而顯得比較有挫折感，此一負面態度的出現，在尺規 作圖與 GSP 軟體構圖的操作中最為明顯。
－學生對於構圖活動與幾何學習的態度表現
大部分學生認為構圖活動有助於數學幾何知識的學習，一方面是認為經 過構圖的過程後，對於圖形、圖形的元素有更深刻的印象，S9 更認為是他學 數學以來第一次很認真的畫菱形。另一方面構圖能幫助學生對於圖形性質的 瞭解，學生 S1 認為作圖需要了解它的性質，所以作圖過程可以了解更多圖形 性質。S2 則表示如何畫和性質有關，用對的性質可以更容易畫出對的圖形。
因此學生在構圖的過程中會因為工具使用上的需要而去思索構圖方法，過程 中幫助學生在圖形性質的學習。而部分學生則認為構圖活動就只是畫圖，只 要把所要的圖形畫出來就好了，對學習幾何的幫助不大。
－利用不同工具構圖時的態度表現
學生在不同構圖工具時，工具上的限制與工具操作的熟悉度是影響構圖 活動態度表現的二個因素。刻度的提供帶給學生在構圖上的方便性，尤其對 於尺規作圖不熟悉的學生幫助更大，因此一般構圖是最受學生歡迎，尺規構 圖方面，學生可用圓規來作等線段，對於畫等線段影響不大，但是對於畫等 角、垂直線就顯得有些困難而具有挫折感，而學生 S10 則認為尺規作圖方法 好，因為畫不出來可以想很多方法。學生對於 GSP 軟體構圖的態度表現差異 較大，主要是學生是否熟悉軟體操作的程度有關，如學生 S9 認為要畫一個圓 很簡單，不必用圓規，工具裡面都有，且因為電腦，感覺不一樣，比較有新 鮮感。
第二節 研究結論
由分析學生的構圖情形及討論，提出本研究綜合性的結論，分別說明如下：
1.由於一般性構圖與圖形概念較貼近，因此，在一般構圖時大部分學生利用 工具上的刻度作測量或三角板上現有的角來構圖，學生能很順利、正確的 構圖，而部分學生受制約影響仍是以尺規作圖方法來構圖，尤其以構圖能 力較高的學生最明顯。
2.在尺規作圖時，學生利用所學尺規作圖方法構圖，即構圖時需要幾何性質 的使用，而部分學生忘記作法則以視覺估測（用＂準＂的）的方式或利用 工具上的特性來構圖，如以視覺估測或直尺上的角落來畫直角、又利用尺 的上、下邊緣作平行線，此種情形以構圖能力較低的學生最明顯。
3.在 GSP 軟體的構圖，學生透過軟體提供的功能指令來構圖，而部分的構圖 出現特例的圖形，雖然能完成構圖，但是對於圖形性質的學習較少。
4.學生在構圖過程中，對於幾何性質的學習是有幫助的，一般構圖是利用測 量的動作來察覺圖形的性質，尺規作圖，因工具使用的需要，必須應用幾 何性質來構圖，因此構圖過程中，會帶出幾何性質的察覺與學習。GSP 軟體 的構圖對於幾何性質的學習較少。
5.不同構圖工具的使用，能促進學生對於圖形的了解，亦即由於學生使用工 具上的需要，必須去思考圖形的性質及結構。如學生在作尺規作圖時，必
須要應用幾何性質來構圖，而在 GSP 軟體的構圖，學生會主動去對圖形整 體的結構做分析、了解，再配合軟體的指令來構圖。
6.在整個構圖活動的進行中，造成學生構圖困難的因素，主要包含有工具操 作的不熟悉與圖形性質的不了解。
7.影響學生對於構圖活動喜好態度的因素主要有學習的經驗及構圖的能力；
不同構圖工具時，工具上的限制與工具操作的熟悉度是影響學生構圖態度 表現的二個因素。
8.大部分學生對於構圖活動持正向的態度，一方面認為透過購圖活動能對圖 形、元素有深刻的印象，另一方面認為構圖需要性質的使用，對於幾何的 學習是有幫助的。
