第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型§

(1)

相似矩阵及二次型第五章

(2)

§1

向量的内积、长度及正交性

(3)

定义：设有 n 维向量

令

则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．

1 1 2 2

[ , ] x y



x y



x y



x y

_{n n}

向量的内积

1 1

2 2

, ,

n n

x y

   

   

 

   

   

 

 

1

2 1

,

2

, ,

_n

n

y x x x y

y

 

 

  

 

 

 

x y

T



(4)

1 1 2 2

1 1 2 2

[ , ]

n n

n n

x y x y x y x y

y x y x y x

y x

   





[x, y] = x

₁

y

₁

+ x

₂

y

₂

+ … + x

_n

y

_n

= x

^T

y

．

内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，



_为实数）

：

 对称性：

[x, y] = [y, x]

．

(5)

[x, y] = x

₁

y

₁

+ x

₂

y

₂

+ … + x

_n

y

_n

= x

^T

y

．



_为实数）

：

 对称性：

[x, y] = [y, x]

．

 线性性质：

[  x, y] =  [x, y]

．

[x + y, z] = [x, z] + [y, z]

[  x y , ] (



 x )

^T  

y  x

^T  

y  ( x y

^T

)



 [ , ] x y

[ x y z



, ] (



x y



)

^T  

z ( x

^T 

y

^T

)

 

z ( x z

^T

) (



y z

^T

) [ , ] [ , ]



x z



y z

(6)

[x, y] = x

₁

y

₁

+ x

₂

y

₂

+ … + x

_n

y

_n

= x

^T

y

．



_为实数）

：

 对称性：

[x, y] = [y, x]

．

 线性性质：

[  x, y] =  [x, y]

．

[x + y, z] = [x, z] + [y, z]

 当 x = 0 （零向量）时， [

x, x] = 0

； 当 x ≠ 0 （零向量）时， [

x, x]

 0 ．

[x, x] = x

₁₂

+ x

₂₂

+ … + x

_n2

≥ 0

(7)

[x, y] = x

₁

y

₁

+ x

₂

y

₂

+ … + x

_n

y

_n

= x

^T

y

．



_为实数）

：

 对称性：

[x, y] = [y, x]

．

 线性性质：

[  x, y] =  [x, y]

．

[x + y, z] = [x, z] + [y, z]

 当 x = 0 （零向量）时， [

x, x] = 0

； 当 x ≠ 0 （零向量）时， [

x, x]

 0 ．

 施瓦兹（ Schwarz ）不等式

[x, y]

²

≤ [x, x] [y, y]

．

(8)

回顾：线段的长度

2 2

1 2

| OP |



x



x



[ , ] x x x

₁

x

₂

x

₁

x

₂

x

₃

P(x

₁

, x

₂

)

O

P

O

若令 x = (x₁

, x

₂

)

^T ，则

2 2 2

1 2 3

| OP |



x



x



x



[ , ] x x

若令 x = (x₁

, x

₂

, x

₃

)

^T ，则

[x, x] = x

₁²

+ x

₂²

+ … + x

_n²

≥ 0

(9)

[   x , x ]



 [ , x  x ]



  [ x x , ]





2

[ , ] x x

向量的长度

定义：令

称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．

当 || x || = 1 时，称 x 为单位向量．

向量的长度具有下列性质：

 非负性：当 x = 0 （零向量）时， || x || = 0 ； 当 x≠0 （零向量）时， || x ||  0 ．

 齐次性：

||  x || = |  | · || x ||

．

2 2 2

1 2

|| || x



[ , ] x x



x



x



x

_n 

0 ||  x ||



[   x , x ]





2

[ , ] | | [ , ] x x



 x x



|  |



|| | x |

(10)

向量的长度

定义：令

称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．

当 || x || = 1 时，称 x 为单位向量．

向量的长度具有下列性质：

 非负性：当 x = 0 （零向量）时， || x || = 0 ； 当 x ≠ 0 （零向量）时， || x ||  0 ．

 齐次性：

||  x || = |  | · || x ||

．

 三角不等式：

|| x + y || ≤ || x || + || y ||

．

2 2 2

1 2

[

| | x | |



x x , ]



x



x



x

_n

x y

x + y

y

(11)

向量的正交性

施瓦兹（ Schwarz ）不等式

[x, y]

²

≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y ||

当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，

定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把

称为 n 维向量 x 和 y 的夹角．

当 [x, y] = 0 ，称向量 x 和 y 正交．

结论：若 x = 0 ，则 x 与任何向量都正交．

[ , ] arccos

|| || || ||

x y







[ , ]

|| || || || 1 x y

x y





x

y 

(12)

定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．

定理：若 n 维向量 a₁

, a

₂

, …, a

_r 是一组两两正交的非零向量

，

则 a₁

, a

₂

, …, a

_r 线性无关．

证明：设 k₁

a

₁

+ k

₂

a

₂

+ … + k

_r

a

_r

= 0

（零向量），那么

0 = [a

₁

, 0] = [a

₁

, k

₁

a

₁

+ k

₂

a

₂

+ … + k

_r

a

_r

]

= k

₁

[a

₁

, a

₁

] + k

₂

[a

₁

, a

₂

] + … + k

_r

[a

₁

, a

_r

] = k

₁

[a

₁

, a

₁

] + 0 + … + 0

= k

₁

||a

₁

||

²

从而 k₁

= 0

．

同理可证， k₂

= k

₃

= … = k

_r

=0

． 综上所述， a₁

, a

₂

, …, a

_r 线性无关．

(13)

例：已知 3 维向量空间 R³ 中两个向量

正交，试求一个非零向量 a₃ ，使 a₁

, a

₂

, a

₃ 两两正交．

分析：显然 a₁

⊥a

₂ ．

解：设 a₃

= (x

₁

, x

₂

, x

₃

)

^T ，若 a₁

⊥a

₃ ， a₂

⊥a

₃ ，则

[a

₁

, a

₃

] = a

₁^T

a

₃

= x

₁

+ x

₂

+ x

₃

= 0

[a

₂

, a

₃

] = a

₂^T

a

₃

= x

₁ －

2 x

₂

+ x

₃

= 0

1 2

1 1

1 , 2

1 1

a a

   

   

     

   

   

1 2 3

1 1 1 0

1 2 1 0

x

Ax x

x

 

    

        

 

(14)

1 2 3

1 1 1 0

1 2 1 0

x

Ax x

x

 

    

        

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

~ ~ ~

1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 1 0

r r r

       

         

       

得

从而有基础解系，令．

1 3

2

0 x x

x

  

 



1 0 1

  

 

 

3

1 0 1 a

  

 

  

 

 

(15)

定义：

n

维向量 e₁

, e

₂

, …, e

_r 是向量空间中的向量

，满足



e

₁

, e

₂

, …, e

_r 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；



e

₁

, e

₂

, …, e

_r 两两正交；



e

₁

, e

₂

, …, e

_r 都是单位向量，

则称 e₁

, e

₂

, …, e

_r 是 V 的一个规范正交基．

例：

是

R

⁴ 的一个规范正交基．

V



R

n

1 2 3 4

1 0 0 0

0 1 0 0

, , ,

0 0 1 0

0 0 0 1

e e e e

       

       

   

       

       

(16)

也是

R

⁴ 的一个规范正交基．

1 2 3 4

0 0

1 2 1 2

0 0

1 2 , 1 2 , ,

1 2 1 2

0 0

0 0 1 2 1 2

e e e e

       

       

        

           

       

        

       

1 2 3 4

1 1 1 1

0 1 1 1

, , ,

0 0 1 1

0 0 0 1

e e e e

       

       

   

       

        是

R

⁴ 的一个基，但不是规范正交基．

(17)

设 e₁

, e

₂

, …, e

_r 是向量空间 V 中的一个正交基，则 V 中任 意一

个向量可唯一表示为 x =



₁

e

₁

+ 

₂

e

₂

+ …+ 

_r

e

_r

于是

特别地，若 e₁

, e

₂

, …, e

_r 是 V 的一个规范正交基，则

问题：向量空间 V 中的一个基 a₁

, a

₂

, …, a

_r

向量空间 V 中的一个规范正交基

e

₁

, e

₂

, …, e

_r

2

[ , ] [ , ]

, 1, 2, , [ , ] || ||

i i

i

i i i

x e x e

i r

e e e



   

[ , ], 1, 2, ,

i

x e

i

i r



  

(18)

求规范正交基的方法

第一步：正交化——施密特（ Schimidt ）正交化过程 设 a1

, a

₂

, …, a

_r 是向量空间 V 中的一个基，那么令

1 1

b



a

₁

b

₁

a

₂

a

₃

c

₂

b

₂

c

₃

c

₃₁

c

₃₂

b

₃

1 2

2 2 2 2 1

1 1

[ , ] [ , ]

b a c a b a b

   

b b

3 3 3

3 31 32

1 3 2 3

3 1 2

1 1 2 2

[ , ] [ , ]

b a c

a c c

b a b a

a b b

b b b b

 

  

基正交基规范正交基

(19)

第一步：正交化——施密特（ Schimidt ）正交化过程 设 a1

, a

₂

, …, a

_r 是向量空间 V 中的一个基，那么令

于是 b1

, b

2

, …, b

r 两两正交，并且与 a1

, a

2

, …, a

r 等价，即

b

₁

, b

₂

, …, b

_r 是向量空间 V 中的一个正交基．

特别地， b1

, …, b

_k与 a1

, …, a

_k 等价（ 1 ≤ k

≤ r

）．

1 2 1

1 1 2 2

1 2 1

1 1

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

r r r

r

r r r

r

b a b a b a

b b b b

b a b b

b b

b

^



    





1 1

b



a

1 2

2 2 2 2 1

1 1

[ , ] [ , ]

b a c a b a b

   

b b

(20)

第二步：单位化

设 b₁

, b

₂

, …, b

_r 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令

因为

从而 e₁

, e

₂

, …, e

_r 是向量空间 V 中的一个规范正交基．

1 1 2 2

1 2

1 1 1

, , ,

|| || || ||

^r

||

_r

||

^r

e b e b e b

b b b

   

2 1

1 1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 1

|| ||

1 1 1

[ , ] , , 1

|| || || || || || || ||

e e b b b b b

b b b b

 

       

 

1 1 1

|| e ||



[ , ] 1 e e



(21)

例：设，试用施密特正交化

过程把这组向量规范正交化．

解：第一步正交化，取

1 2 3

1 1 4

2 , 3 , 1

1 1 0

a a a

      

     

        

     

     

1 1

1 2

2 2 1

1 1

1 3 2 3

3 3 1 2

1 1 2 2

1 1 1

[ , ] 4 5

3 2 1

[ , ] 6 3

1 1 1

4 1 1 1

[ , ] [ , ] 1 5

1 2 1 2 0

[ , ] [ , ] 3 3

0 1 1 1

b a

b a b a b

b b

b a b a

b a b b

b b b b



 

     

     

          

      

     

        

       

              

        

       

(22)

例：设，试用施密特正交化

过程把这组向量规范正交化．

解：第二步单位化，令

1 2 3

1 1 4

2 , 3 , 1

1 1 0

a a a

      

     

        

     

     

1 1

1

2 2

2

3 3

3

1 1 1

|| || 6 2

1 1 1 1

|| || 3 1

1 1 1 1

|| || 2 0 1

e b

b

e b

b

e b

b

 

 

   

  

 

  

 

   

 

 

  

   

  

(23)

例：已知，试求非零向量 a₂

, a

₃ ，使 a₁

, a

₂

, a

₃ 两两正 交 .

解：若 a₁

⊥a

₂ ， a₁

⊥a

₃ ，则

[a

₁

, a

₂

] = a

₁^T

a

₂

= x

₁

+ x

₂

+ x

₃

= 0 [a

₁

, a

₃

] = a

₁^T

a

₃

= x

₁

+ x

₂

+ x

₃

= 0

即 a₂

, a

₃ 应满足方程 x₁

+ x

₂

+ x

₃

= 0

．

基础解系为

把基础解系正交化即为所求．

1

1 1 1 a

  

  

  

1 2

1 0

0 , 1

1 1

 

   

   

     

     

   

2 3

1 1

0 , 1 2

1 2 1

a a

   

   

     

   

   

（以保证 a₂

⊥a

₃ 成立）

(24)

定义：如果

n

阶矩阵 A 满足 A^T

A = E

， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵．

即 A⁻¹

= A

^T ，

于是

从而可得

 方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位 向量，且两两正交．

[ , ] 1, ( , 1, 2, , ) 0,

T

i j i j

i j

a a a a i j n

i j

 

      

即

A

的列向量组构成 Rⁿ 的规范正交基．

 

1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 2 2

1 2

1 0 0

0 1 0

, , ,

0 0 1

T T T T

n

T T T T

T n

n

T T T T

n n n n n

a a a a a a a

A A a a a

a a a a a a a

     

     

        

     

     

   

 

   

   

 

(25)

定义：如果

n

A = E

，即 A ^{－ 1}

= A

^T ， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵．

 方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位 向量，且两两正交．即

A

的列向量组构成 Rⁿ 的规范正交 基 .

因为 A^T

A = E

与 AA^T

= E

等价，所以

[ , ] 1, ( , 1, 2, , ) 0,

T

i j i j

i j

b b b b i j n

i j

 

      

 

1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 2 2

1 2

1 0 0

0 1 0

, , ,

0 0 1

T T T T

n

T T T T

T n

n

T T T T

n n n n n

b b b b b b b

AA b b b

b b b b b b b

     

     

        

     

     

   

 

   

   

 

(26)

定义：如果

n

A = E

，即 A ^{－ 1}

= A

^T ， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵．

 方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位 向量，且两两正交．即

A

的列向量组构成 Rⁿ 的规范正交基．

 方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位 向量，且两两正交．

即

A

的行向量组构成 Rⁿ 的规范正交基 .

(27)

1 2 1 2 0 0

0 0 1 2 1 2

P

 

 

  

  

 

  

 

例：正交矩阵

R

⁴ 的一个规范正交基

1 2 3 4

0 0

1 2 1 2

0 0

1 2 , 1 2 , ,

1 2 1 2

0 0

0 0 1 2 1 2

e e e e

       

       

        

           

       

        

       

(28)

|| || y



y y

^T 

( Px ) (

^T

Px )



x P Px

^T ^T 

x x

^T 

|| || x

正交矩阵具有下列性质：

 若 A 是正交阵，则 A⁻¹ 也是正交阵，且 |A| = 1 或^－

1

．

 若 A 和 B 是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵．

定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．

经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性．