則此球所受到的黏滯力為

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臺 灣 省 中 投 區 100 學 年 度 高 級 中 學 數 理 及 資 訊 學 科 能 力 競 賽

物 理 科 理 論 試 題 編號：

** 本試題共 3 頁，試題請連同答案卷一併繳回 **

一、將ㄧ個半徑為 R 的球放入黏滯係數為 η 的液體中，若球對於液體的相對速度為 V，

則此球所受到的黏滯力為

F = ⁶ πη RV

上式為流體力學的 Stokes 定律。假設液體的密度為 ρ ^{，球的密度為} ρ

且 ρ

ρ ^，重 力加速度為 g，今將球放入一個裝滿此液體的大水箱中，

(a) 請考慮球所受到的各種外力後，寫出球的運動方程式。(5 分) (b) 請根據(a)的結果，計算出球的終端速度。(4 分)

(c) 已知甘油的密度為 1.26 g/cm

，而甘油的黏滯係數為8.3 kg/(m⋅s)。今將ㄧ半徑為 1cm 密度為 8.5 g/cm

的鐵球放入充滿甘油的大水箱中，重力加速度為 9.8 m/s

， 請計算出鐵球的終端速度。(4 分)

二、(1)高溫之下氫的同位素氘以非常高的速度相撞而發生核融合反應，當氘原子核融合 成為氦原子核的過程中，損失的質量轉變成為能量。已知此反應發生的溫度約為 10

K，請計算在此溫度下兩個氘原子核正面對撞，則兩原子核可接近的最近距離 為何？(假設氘原子核之間僅有庫侖力。靜電常數 k=9×10

Nm

/C

) (4 分)

(2)(a)理想氣體的比熱依據加熱時的條件不同，可區分為定容比熱(C

)與定壓比熱 (C

)，即分別在加熱的過程中維持體積不變或壓力不變，將一莫耳氣體升高溫度 1K 所需之熱。請以熱力學第一定律及理想氣體的性質，建立 C

與 C

之間的關係。

(4 分)

(b)假設我們可將理想氣體視為單原子分子，利用氣體動力論的結果推導理想氣體 的定容比熱。(3 分)

(3)有一束粒子流以與一牆面的法線夾角 45 的方向射向牆面，每個粒子的質量為 3.3

×10

g、速度為 1 km/s，牆的面積為 2 cm

。假設每秒有 10

個粒子撞上牆面，粒

子與牆的碰撞為彈性碰撞。請計算此粒子流對牆所造成的壓力。(4 分)

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三、考慮一光波導元件，置放於空氣中(折射率為 1)，其結構如下圖。介質 B 之折射率 隨波長改變之公式為 n

( λ ) = 2.5 − 0.0001× λ ⁽ λ 的單位為 nm, 400 nm< λ < 1500 nm, n(400nm) = 2.46 )，介質 A 之折射率 n

固定為 2.3。

(a) 假設入射光為連續光，其波長範圍由 400 nm 至 1500 nm，請問最大可接受之 入射角θ為多少時?可使某ㄧ波長的入射光由甲地傳到乙地。(5 分)

(b) 考慮介質 B 厚度為 100 μm，甲地到乙地距離 1 公里，分別以最大可接受入射 角入射波長 400 nm 與 1300 nm 的入射波，請問何者先到達，兩者到達時間差 多少? (不考慮光的干涉) (5 分)

(c) 若是在介質 A 外層添加一層介質 C，其折射率 n

為 2.2，則最大可接受之入射 角 θ 變化為多少?可以使入射光由甲地傳到乙地。(5 分)

四、虎克（Robert Hooke）早在牛頓發表重力定律（1684）之前，就曾在英國皇家學會 用圓錐擺（擺錘可作圓周運動的單擺）的運動來探討行星繞太陽的行為（1666 年 5 月 23 日）。除了名字不同、應用的對象不同，試比較「圓錐擺」這個系統（虎克系 統）和「行星繞太陽」這個重力系統（克卜勒系統）的在理論結構上的相異與相同 之處（請逐點條列並加以註解，依深度給分）。(12 分)

五、兩個直角三角形板塊如圖疊放，每個板塊的重量為 W，下面板塊與地面的摩擦係數 為μ，現在對上面板塊施加水平推力 F 恰好使兩個板塊一起作等速運動，且使他們 保持相對靜止。

(a) 假如兩個板塊接觸的斜面光滑，求斜面的傾角θ。(5 分) (b) 設兩個板塊接觸的摩擦係數為λ，求 F 值的範圍。(10 分)

介質 A 介質 B

介質 A 入射光

入射角θ

甲地 乙地

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六、一半徑為 r，質量為 m

的均質圓柱放在傾角為θ的光滑斜面上。在此圓柱表面繞有質 量可忽略且長度不可伸長的繩子。此繩沿著斜面經過一個質量可忽略不計的滑輪後，

在下端懸掛一質量為 m

的重物，假設繩子與均質圓柱之間只有滾動並無滑動。

試求(a)圓柱質心的加速度 a

，(b)重物的加速度 a

，及(c)繩子的張力 T。(15 分)

七、在水平地面上，一個非常寬廣且深的容器內，裝入不相容的兩種液體，讓兩種液體 靜止且深度皆為 100 m，密度分別為 1.0

kg/ m 與

3.0×10

kg/ m 。今將一根長

為 9.8 m，密度為 2.0 ×10

kg/ m 的均勻棍子，直立置於在上面的液體內，讓棍子下

端距離兩液體交界面，高度為 7.35 m，由靜止開始落下做直立運動，設不計棍子運 動所受的液體阻力，重力加速度為 9.8 m/s

，試求下列問題：

(a) 棍子由靜止落下到下端接觸液體交界面時，所需時間為多少? (5 分) (b) 棍子由最高處靜止釋放落到最低處時，所行經的距離為何? (5 分) (c) 棍子由最高處靜止釋放落到最低處時，所需的時間為何? (5 分)

m1

m₂ θ

a₁

a2