磨過沉體的流動 9

章將討論流體流過沉浸於流體中之物體所形成之流動。這類的例子包括 空氣流經飛機及汽車、飄落的雪花的流動，以及水流過潛艇或鍵的流 動。這種情況下物體完全被流體所環繞，因此流體稱為外流鍵external flow鍵。

對這類流動，我們可藉由理論技巧鍵包括解析及數值的理論技巧鍵獲得許多鍵 關資訊。不過，由於所使用的統御方程式以及物體的幾何形狀較為複雜，由鍵 理論分析所能獲得的資訊鍵屬有限，因此大部分有關外流的資訊仍須藉助於鍵 對實際物體之縮尺模型所得之實驗結果。

考慮一沉浸於流動流體中的物體，由於物體與其周圍流體的互動，將有合 力施於物體上。我們可以將座標系統固定在該物體上，同時令流體以上游速度 U鍵upstream velocity鍵流過該固定物體。

圖 9.1 所示為物體的三種分類鍵
a 二鍵物體鍵具無限長度之物體且有等截

磨過沉體的流動

Flow over Immersed Bodies

流體以推進方式通過一列圓柱形物體：以層流通過具相當簡單幾何之結構體所形成之複雜流動架構，在在說 明了對外流取得精確無誤之解析解的困難度（圖片中以染料顯像；感謝法國 ONERA 公司提供本照片）。

9.1 外流的一般特性

General External Flow Characteristics

9

本

面形狀鍵鍵，
b 鍵對稱物體鍵藉由截面形狀繞一對稱鍵迴鍵所形成的物體鍵鍵

c 可具有一對稱鍵或對稱面之三鍵物體。

物體體型之為流鍵形或鈍形與否亦可作為區分物體形狀的方法。流動特性 與流鍵形程度有密切關係。一般而鍵，流鍵形物體鍵streamlined bodies鍵，例如 機翼或黤車，幾乎不受周圍流體影鍵，而鈍形物體鍵blunt bodies鍵，例如降落傘 或建鍵物，受周圍流體的影鍵較大。

9.1.1 ^{升力糑糑力糑念}

任何物體在流體中移動時，該物體與其周圍流體將發生互動鍵我們可利用 在物體與流體接觸面上的作用力或應力說明該互動之效果－亦即因黏滯而成的 壁面剪應力
w，以及由壓力 p 所造成的正向應力。圖 9.2 a 與 9.2 b 所示為常見 之剪應力與壓力分布，並由該圖鍵示，
w與 p 沿著物體表面而改變其大小與方 向。

在圖 9.2 c 中，與上游速度同向的合力稱為阻力鍵drag鍵
鍵而與上游速度 互為垂直的合力則稱為升力鍵lift鍵鍵。我們可依圖 9.3 所示將作用在物體表面 剪應力與壓力之效應加以鍵分以獲得剪應力與壓力的合成力。作用在物體上之 淨力其在 x、y 方向的分量分別為

圖 9.1 流動的分類：
a

二 維 流 動 ，
b 軸 對 稱 流 動，
c 三維流動。

以及

當然，欲完成上述升力與阻力之鍵分，我們必須知鍵物體形狀鍵以  表示沿著 物體的位鍵鍵與沿著表面
w及 p 之分布情形。不論是經由實驗或基於理論，該 分布狀況通常不易獲得。

圖 9.2 由環繞流體 施加在二維物體的作 用力：
a 壓力，
b

黏滯力，
c 合成力

（升力與阻力）。 壓力分布

剪應力分布

鍵9.1鍵

圖 9.3 作用在物體表面一個小 元素上的壓力與剪力。

鍵9.2鍵

E XAMPLE 例簪 9.1

如圖 E 9.1 所示，空氣以標準狀態流經一平板。請考慮兩種情況鍵
a 例中的平板 與上游流的方向平鍵，
b 例中的平板與上游流的方向互為垂直。如圖所示鍵為作用 在平板表面的壓力與剪應力分布，試決定作用在平板上的升力與阻力。

簪答

不論平板的方向為何，阻力與升力的鍵式分別為 9.1 式與 9.2 式。鍵平板與上游流同 向，平板上下表面與上游流的夾鍵 將分別為 90 與 270，如此升力與阻力將分別為

以及

頂部 底部

頂部 底部 頂部 鍵1鍵

圖 E 9.1

b

p

x 的單位為 ft

y 的單位為 ft

高壓 低壓

上式中由於對稱的關係，剪應力與壓力的分布在上下表面鍵鍵同鍵不論我們使用鍵壓 力或鍵對壓力鍵。經計鍵得到升力為零－平板本鍵無法區分何鍵為上表面、何鍵為下 表面。由已知的剪應力分布並由 1 式得

或

當平板垂直上游流時，平板前後表面的夾鍵 分別為 0 與 180。由 9.1 式與 9.2 式分別得到

以及

因為壓力作用方向平鍵於上游流鍵在阻力而非升力的方向鍵，而且剪應力對稱於平板 中心，因此沒有升力。由於前板面具有鍵當大的壓力鍵平板中心為一停滯鍵鍵，而後 板面卻形成鍵壓力鍵小於上游壓力鍵，因此阻力為

或

很明鍵地，剪應力與壓力為形成阻力的兩種機制。鍵物體為極度流鍵形的極限實 例鍵厚度為零且平鍵於流動的平板鍵，則流體阻力完全是由表面的剪應力造成，在本 例中其值很小。但是對於極度鈍形的物體鍵垂直於上游流動的平板鍵，物體前後方的 壓力差將完全造就阻力的發生，在本例中此值鍵當大。如圖 E 9.l c 所示，鍵平板與上 游流呈其他鍵度，則升力與阻力就將依剪應力與壓力而決定。在上下表面的壓力與剪 應力分布將各有不同。

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

鍵缺乏作用於物體上剪應力與壓力分布資料，便無法使用9.1 式與 9.2 式。

在這種情形下，較為廣泛使用之替代方案為定鍵升力係數及阻力係數，並利用 簡化的分析、數值分析或適當的實驗決定係數之近似值。升力係數鍵lift coeffi- cient鍵C_L鍵，與阻力係數鍵drag coefficient鍵C_D鍵分別定鍵如下

前面 後面

前面 後面

以及

方程式中 A 為物體的特徵面鍵鍵見鍵 7 章鍵。通常 A 為正面面鍵鍵frontal area鍵

—鍵與上游速度 U 平鍵方向，正視物體在其正前方的投影面鍵。在一些情況 下，A 也可為頂部俯鍵面鍵鍵planform area鍵—鍵與上游速度垂直方向，由上往 下俯鍵物體的投影面鍵。

9.1.2 ^{糑糑物糑的流動特性}

通過一個物體之外流含有鍵當多樣之流體力學現鍵。對一已知形狀的物 體，其流動特性與一些參數如物體的尺寸、方向、速率及流體性質有密切的關 係。根據鍵 7 章中因次分析的論證，流動特性將視所涵鍵之無因次參數而定。

對於典型的外流而鍵，最重要的參數包括了雷諾數、馬赫數與福勞得數。

現在，我們將考慮外流及其升力、阻力與雷諾數之間的關係。雷諾數的意 鍵為慣性效應與黏性效應的比值。流經物體的流動本質與 Re  1 或 Re  l 有 密切之關鍵。

圖 9.4 所示為流經三塊長度鍵為  的平板之流動，其鍵對之雷諾數 Re 

U 分別為 0.1、10 及 10⁷ 的流動情形。鍵雷諾數很小時，則黏性效應鍵對 明鍵，平板將影鍵平板前方、上、下面以至後端之均勻上游流。通過平板的流 速與平板前遠方鍵由流速鍵差小於 l % 範圍內鍵即 U u 0.01U鍵的區域，亦 即將發生在平板後段鍵當遠處。在低雷諾數的流動中，即便距鍵物體鍵當遠的 任意方向，都可感受到黏性的效應。

當增加雷諾數時鍵例如增加 U鍵，除了下游之外，黏性效應鍵著區域將會縮 小，如圖 9.4 b 所示。在平板四周能夠感受到黏性效應的區域較小。來鍵上游原 始的均勻流流鍵，將產生偏移，但偏移量並不及圖 9.4 a 中 Re  0.1 之流動狀 況。

1904 年普朗特鍵Ludwig Prandtl鍵即提出，當雷諾數很大時鍵但不是無限 大鍵，慣性效應將完全主宰流動的狀況。除了在極近平板範圍內以及平板後方鍵 當鍵的尾流區鍵wake region鍵外，其他區域的黏性效應均可加以忽視，如圖 9.4 c 所示。由於流體黏度鍵大於零鍵Re ∞鍵，流體必然會黏滯在物體表面上鍵亦 即無滑動之邊界條件鍵，因此在平板表面會形成厚度為  
x   的鍵邊界層 鍵boundary layer鍵所謂鍵是指鍵對平板長度而鍵鍵。在此鍵層內，流速由上游流

速度變化至平板面上之零速度。平板的存在對邊界層外鍵平板前方、上面或下 面鍵的流鍵幾乎沒有影鍵。不過尾流區完全基於平板與流體間之黏滯互動。

考慮前述之平板流動，當流體流經鈍形物體鍵如圓柱鍵時，雷諾數依然影 鍵著流動特性。一般而鍵，當雷諾數愈大，則流場中黏性效應鍵著的區域便愈 小。不過，對於較不具流鍵形之物體，將會產生另一種如圖 9.5 所示的流動分 鍵鍵flow separation鍵的流動特性。

當流體以低雷諾數鍵Re  UD l鍵流經一個圓柱時，在流場鍵當廣泛的

黏性效應顯著

流線明顯偏移

黏性效應顯著 流線有些偏移

黏性效應不顯著

流線有 些偏移

邊界層

黏性效應不顯著 尾流區

流線輕微偏移 圖 9.4 通過一平行於上游

流平板之流體，其穩態黏性 流動之特性：
a 低雷諾數流 動，
b 中度雷諾數流動，
c

高雷諾數流動。

區域內，可由圓柱體及黏性效應表示流動的特性。如圖 9.5 a 所示，當 Re  0.1 時，在數倍於圓柱直徑的範圍內，黏性效應均極為鍵著。

在雷諾數逐漸增加的情況下，位於圓柱前側的黏性鍵著區將變小。由於黏 性區域會延伸至下游，因而圓柱前後端的流動對稱性將逐漸消失。此時，另一 種外流特性便逐漸鍵著了－物體在分鍵位鍵鍵separation location鍵所形成的流動 分鍵，如圖 9.5 b 所示。

流體以高雷諾數流動時，黏性效應鍵著的區域被推向更下游處，直到在圓 柱前端的邊界層變得很鍵鍵  D鍵，並在下游形成一不規則且不鍵定鍵或許為 鍵流鍵的尾流區鍵尾流區可由圓柱後端延伸至更下游處。流體於邊界層與尾流

圖 9.5 一穩態黏性流體通過圓柱物體後之 流動特性：
a 低雷諾數流動，
b 中度雷諾數 流動，
c 高雷諾數流動。

整個流域黏滯 效應顯著 Re  UD  0.1

黏滯效應 不重要區

黏滯效應顯著

分離氣泡 分離點

黏滯效應 不重要區

邊界層

黏滯效應不重要區

尾流區 邊界層分離

區以外鍵，可視為無黏性流體。

9.2 邊界層特性

Boundary Layer Characteristics

在上一節談到，我們可以將流經物體的流動，視為兩種流動的鍵合鍵在邊 界層內為黏性流，而在層外為無黏性流。鍵雷諾數夠大的話，只有在物體鍵近 的邊界層中鍵包括在物體後端的尾流區鍵黏性效應才具有其重要性。邊界層的 存在才能滿足流體在固體表面具有無滑動的條件－亦即流體質鍵將緊鍵在固體 的表面。在邊界層外垂直於流動方向之速度梯度鍵當小，因此即使黏性不會為 零，我們可視流體為無黏性。亦即，夠大的雷諾數是構成一種上述流動結構的 必要條件。

9.2.1 平板的邊界層糑構糑厚度

在本節中我們將考慮當一黏性、不可壓縮流體流過一個長的平板時，在平 板周圍形成邊界層的情形，如圖 9.6 所示。對於一個長度非為無限長的平板而 鍵，板長  可被視為特徵長度，其雷諾數的定鍵則為 Re  U。至於長度為 無限長的平板，板長由 x  0 至 x  ∞，並不具有特徵長度而且厚度鍵對為 零，因此我們很鍵直接定鍵其雷諾數。

鍵對無限長的平板我們選取 x，以平板前緣為座標原鍵沿平板長度之距 鍵，為特徵長度，並將雷諾數定鍵為 Re_x  Ux。如此，當平板足夠長時，對 任何流體或上游流速度而鍵，凡是具邊界層的流動鍵如圖 9.4 c 示鍵，其雷諾數 都足夠大。實際上，圖 9.4 所描述的流動狀況都可被視為在同一平板上的流 況，前提是如同我們遠鍵平板來分別觀察圖 9.4 a、 9.4 b 與 9.4 c 中所示平板大 部位之區域，因此當平板足夠長時，流體之雷諾數 Re  U 便足夠大，因而 流動便具有邊界層特性鍵除了非常鍵近平板前緣處鍵。

圖 9.6 流體質點在邊界 層內扭曲的現象。

層流邊界層 前緣

x

紊流邊界層 流體

質點

我們可藉由對流入邊界層之流體質鍵考慮其可能發生的狀況，鍵而了解邊 界層流的結構。如圖 9.6 所示，一流體質鍵在邊界層外的均勻流中鍵持其原來 之矩形形狀。當該質鍵流鍵邊界層時，質鍵開始扭曲變形－這是由於邊界層內 存在有速度梯度－質鍵上方的速率較之下方鍵為大。在鍵近前緣處存在著層流 邊界層鍵laminar boundary layer鍵流動。

在前緣下游一段距鍵處，邊界層流鍵變成鍵流，而且由於鍵流鍵機、不規 則之本質流體質鍵更加扭曲。一般在 2 10⁵到 3 10⁶間之鍵界雷諾數 Re_xcr範 圍內，層流將過渡鍵transition鍵到紊流邊界層鍵turbulent boundary layer鍵，但其 確定之雷諾數值則視表面粗糙度與上游流的鍵流而定鍵這一鍵將在 9.2.4 節中討 論。

平板邊界層將使流體速度由板面的零速度變化到上游流速 U，也就是在 y

 0 時 V  0 與在 y  時　　　　，同時在邊界層內的速度曲鍵為 u  u
x, y

以界定邊界層厚度。我們定鍵邊界層厚度鍵boundary layer thickness鍵 為鍵在 距鍵平板的某高度處，流體的速度將鍵近於上游速度值。一般而鍵，如圖 9.7 a 所示其定鍵為

在  y 處，u  0.99 U

為使定鍵更為確定鍵例如，何以特別鍵定 99% 而不是 98%?鍵，我們將採用 下列定鍵。如圖 9.7 b 所示之兩種流經平板的速度曲鍵，一為沒有黏度鍵均勻速 度鍵之流動，另一為具有黏度且在板面無滑動之流動。由於在邊界層內速度減 緩之緣故，該速度鍵缺量 U u 將導鍵流體通過 b b 截面的流率小於通過 a a 截面的流率。如果我們將 a a 截面處的平板向上移動一個適當的位移量*，也 就是向上移動一個邊界層位移厚度鍵boundary layer displacement thickness鍵，則 經過其中任一截面的流率都將鍵同。亦即

其中 b 為平板寬度，因此

位移厚度意味著將物體鍵平板鍵厚度增加，鍵使假想之無黏性流的質量流 率與實際的黏性流的質量流率鍵同，同時亦表示由於平板黏性效應，使得流鍵 向外的位移量。

在決定物體的阻力時，我們常採用邊界層厚度的另一種定鍵，邊界層動量 厚度鍵boundary layer momentum thickness鍵鍵。由於在邊界層內速度鍵缺 U u ， 鍵9.3鍵

在圖 9.7 中流經 b b 截面的動量通量會將少於流經 a a 截面的通量，所以實際 邊界層流的動量通量的減少可以表示為

鍵當於以均勻速度 U，流過厚度為 流層之動量通量，亦即

或

至此我們定鍵的三個邊界層厚度、* 與  都常被應用於邊界層的分析。

9.2.2 普朗特糑布拉修士邊界層的糑

理論上，任何流經物體的黏性、不可壓縮流，我們可藉由對 6.8.2 節中所討 論之那鍵爾—史托克斯方程式加以解析。對於鍵定、二鍵層流且不計重力效應 的流動，6.120 a 式、6.120 b 式與 6.120 c 式等可簡化成

此二式即在描述牛頓鍵二定律。此外，適用於不可壓縮流體的質量守恆方程式 6.31 式，可寫成

圖 9.7 邊界層厚 度：
a 標準邊界 層 厚 度
b 邊界 層偏移厚度。

相同面積

鍵9.4鍵

鍵9.5鍵

鍵9.6鍵

鍵9.7鍵

該式之適當邊界條件為遠鍵物體處的流速，即為上游流速與流體黏著於物體表 面。雖然數學問題已由公式完整表達，但卻無人鍵對流經任意形狀的流動獲得 統御方程式的解！

普朗特利用前面章節所介紹之邊界層觀念，鍵對高雷諾數流動提出特定的 近似法鍵而簡化上示之統御方程式。1908 年，普朗特的學生布拉修士鍵H.

Blasius鍵，就曾經以這些簡化的方程式，鍵對流經與流動平鍵的平板，獲得邊界 層流動的解析解鍵參考文獻 1、2、3鍵。

由布拉修士所得的解發現，邊界層厚度為

或為

其中 Re_x Ux。同時，位移與動量厚度分別為

以及

很明鍵地，Re_x愈大時邊界層愈鍵鍵當 Re_x→ ∞，x → 0鍵。

當速度曲鍵為已知時，我們將不鍵鍵出壁面剪應力
w
u yy0，其中 之速度梯度為在板面的速度梯度值。在 y  0 處的 u y 值可由布拉修士的解 得到，故壁面剪應力為

由上式可得因為邊界層厚度逐漸增加，所以壁面剪應力鍵著 x 的增加而降低－

壁面的速度梯度鍵著 x 的增加而減小。同時，
w 正比於 U^32，而不像在完全展 開的層流鍵流動中
w正比於 U。

對於一塊長為 、寬為 b 的平板而鍵，我們可利用由摩擦阻力係數鍵fric- tion drag coefficient鍵C_Df鍵加以表示淨摩擦阻力
f鍵

鍵9.8鍵

鍵9.9鍵

鍵9.10鍵

鍵9.11鍵

鍵9.12鍵

9.12 式之布拉修士解為

其中 Re_ U 為以平板長度計鍵的雷諾數。

9.2.3 平板之動糑糑分邊界層方糑式

邊界層理論中的重鍵之一為決定因作用在物體表面之剪應力所導鍵的阻 力。由前節討論得知，我們可利用層流邊界層的統御微分方程式獲得該阻力 值。由於這些方程式並不容易解，因此重鍵便鍵移至替代的近似方法。本節所 要介紹的動量鍵分方法即為該替代方法。

為了考量如圖 9.8 所示之均勻流體流經一平板面與一固定之控制容鍵，並 配合更鍵一步的理論與實驗，我們假鍵整個流場的壓力為常數。流體以均勻流 動於平板前緣之「截面
1」鍵入控制容鍵，同時當流體在「截面
2」流出控 制容鍵時，流速由邊界層處的上游流流速變化至板面上的零速度。

控制容鍵的選定係以緊鋰平板處的流體做為下端控制表面，上端控制表面 則為在截面
2 處與邊界層緣接髑的流鍵。該流鍵僅在截面
2 處與邊界層緣重 合。假使我們對該控制容鍵內鍵定流動考慮其動量方程式鍵即 5.17 式鍵的 x 分 量，則

由於在截面
1 的鍵口處流體為均勻流動，則

其中 b 為平板寬度。又由於在截面
2 的出口處流體非均勻流動，則

因此，動量方程式的 x 分量為

圖 9.8 對邊界層流動推 導其動量積分方程式所 使用的控制容積。

流線

控制表面

邊界層層緣

此外平板作用在流體的淨力，又稱阻力
，為

合併 9.13 與 9.14 式得

雖然高度 h 為未知數，但由質量守恆原理得知通過截面
1 與截面
2 的質 量流率必然鍵等而得

也可以寫成

將 9.15 與 9.16 式合併，我們已經由控制容鍵出口的動量通量的減少表示阻力，

亦即

鍵流體為無黏性，則阻力為零，此由於 u  U，使得 9.17 式中等號右邊鍵 分鍵變為零鍵此與當 鍵 0 ，
w鍵 0 一鍵鍵。 9.17 式指出一鍵重鍵，那就是平 板上的邊界層流動由剪切阻力鍵9.17 式等號左邊鍵鍵與流動之動量減量鍵9.17 式等號右邊鍵鍵是否平鍵所統御。比較 9.4 及 9.17 式得知，我們可以動量厚度

 表示阻力

不論層流或鍵流，該式鍵成鍵。

我們可將 9.18 式等號兩邊分別對 x 微分而獲得剪應力分布，即

由於 d

wb dx 鍵見 9.14 式鍵，故

鍵9.15鍵

鍵9.16鍵

鍵9.17鍵

鍵9.18鍵

鍵9.19鍵

鍵9.20鍵 鍵9.13鍵

鍵9.14鍵

平板 平板

因此，合併 9.19 與 9.20 式便可得到平板邊界層流之動量鍵分方程式鍵momen- tum integral equation鍵，如下所示

上述關係式之效益在於使用鍵當寬鍵的假鍵並簡易地獲得邊界層流動的近似 解。例題 9.2 將鍵一步敘述前述方法。

鍵9.21鍵

E XAMPLE 例簪 9.2

考慮一不可壓縮、層流流體經過 y  0 的平板，其近似之邊界層速度曲鍵為 0  y  、u  Uy鍵y  、u  U，如圖 E 9.2 所示。試應用動量鍵分方程式求剪應 力。並將結果與 9.11 式的布拉修士解作比較。

簪答

由 9.21 式得剪應力的公式為

鍵為層流時，則為
w
u yy0。由題意已知之速度曲鍵可得

由 9.4 式可知

或

圖 E 9.2

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵3鍵

9.2.4 ^{由層流糑渡到糑流}

在 9.2.2 節中的解析結果，僅適用於流經平板且不具壓力梯度的層流邊界層 流動。在邊界層流鍵變成鍵流以前，該結果與實驗結果鍵當吻合鍵在足夠長的 平板上，任何具有鍵由流動速度之任河流體都將發生鍵流。這是因為雷諾數就 是使過渡流鍵變成鍵流的控制參數－就以平板範例來說，雷諾數的計鍵乃是以 平板前緣距鍵為準，即 Re_x Ux。

在過渡位鍵的雷諾數是由許多參數所決定的複雜函數，這些參數包括表面 粗糙度、表面曲率鍵平板或圓球鍵，與邊界層外一定程度的擾動。空氣流經具有 尖銳前緣的平板時，大鍵在距前緣 x 處且 Re_xcr 2 10⁵ 3 10⁶時便會出現 過渡流動情況。除非特別指定，一般在計鍵時我們取 Re_xcr 5 10⁵。

當流動由層流過渡到鍵流時，邊界層內速度曲鍵的形狀亦將產生鍵著的變 化。圖 9.9 所示為在接近過渡位鍵鍵近之一些典型速度曲鍵。由這些圖示的曲 至此 仍為一未知數鍵但是  為 x 的函數鍵。

將 l 、 2 與 3 式合併，可以得到下列 的微分方程式鍵

亦即

將上式對 x 鍵分鍵由平板前緣鍵x  0 ，  0鍵至任意位鍵 x鍵邊界層厚度為 鍵，得 結果為

亦即

此近似解鍵亦即速度曲鍵，事實上並不如我們假鍵之單鍵直鍵鍵與 9.8 式所獲得的布 拉修士結果加以比較將鍵當吻合。

將 1、3、4 式合併並加以化簡，我們得到壁面剪應力

此近似結果鍵當接近於從 9.11 式所得之布拉修士
w值鍵鍵差在 13% 以內鍵。

鍵4鍵

鍵Ans鍵

鍵可看出，鍵較於層流曲鍵，鍵流曲鍵較為平坦，且在壁面具有較大的速度梯 度，因而邊界層厚度也較大。

圖 9.9 流過平板之層流、過渡流、紊流之典 型邊界層曲線（參考文獻 l ）。

x

x

x

過渡流

U

紊流

層流

E XAMPLE 例簪 9.3

鍵定流體以 U  10 fts 之速度流經平板。試分別考慮
a 60℉ 的水鍵
b 標準空 氣鍵(c) 68℉ 的甘油，決定在何處邊界層將鍵變成鍵流，且在該處的邊界層厚度為多 少鍵

簪答

對任河流體，使用 9.8 式計鍵層流邊界層厚度

而邊界層將保持層流直到

令 Re_xcr 5 10⁵，代入上式得

y ， ft

u

U

9.2.5 ^{糑流邊界層流}

鍵流邊界層流的結構鍵當複雜、鍵機而且不規則。鍵流邊界層流有許多的 特徵與 8.3 節鍵流鍵流動有鍵同之處。特別是在某些流場的位鍵中，其速度具 鍵機式之不鍵定。這種流動可被視為由許多不同尺寸鍵直徑及鍵速度鍵鍵互纏 繞之渦流鍵或漩渦鍵所混合而成之流動。如同在層流邊界層內一樣，鍵流邊界 層流所包含之各種物理量鍵亦即質量、動量、能量鍵，沿鍵由流動方向傳鍵至下 游。同時這些物理量也因鍵流漩渦鍵機傳鍵有限尺寸流體質鍵的特性鍵沿著垂 直板面方向鍵被傳鍵至邊界層外。這些有限尺寸的流體質鍵所形成之混合程度 鍵當大－遠大於層流中的混合鍵層流中的混合僅限於分子尺寸等鍵。因此鍵流 邊界層流的剪應力遠大於層流邊界層流的剪應力鍵見 8.3.2 節鍵。

鍵流邊界層流並無確切的解。在 9.2.2 節中我們曾談到，鍵對流過平板之層 流流動，以普朗特邊界層方程式求出布拉修士解是有可能的。由於尚未有確實 的鍵流剪應力表示式鍵見 8.3 節鍵，我們無法得到鍵流解，因此將鍵要使用經驗 關係式以表達壁面剪應力及鍵關之阻力係數。

一般而鍵，長度為 的平板其阻力係數 為雷諾數 Re_與鍵

對粗糙度

ε 的函數。圖 9.10 所示為許多實驗所得的阻力係數結果鍵這些實驗

並且涵鍵了大範圍的鍵關參數。對於層流邊界層流而鍵，阻力係數僅為雷諾數 的函數—表面粗糙度並不重要。此結果與層流鍵流動鍵似。至於鍵流流動，表 面粗糙度確實會影鍵剪應力鍵而影鍵阻力係數。這種現鍵與鍵流鍵流動鍵似。

對於不同材料的表面粗糙度

ε，可鍵表 8.1 獲得。

由此可得

其中 的單位為 ft²s，xcr與cr的單位均為 ft。表 E 9.3 中所示為由表 1.41.6 所得的 鍵動黏度值及所對應的 x_cr與cr值。

結果鍵示當黏度增加時，可在板面較長的區域內鍵持層流流動，然而當平板夠長 的話，邊界層流動中將變為鍵流。同理，當黏度增加時，邊界層厚度亦鍵之增加。

鍵Ans鍵

即使統御邊界層流與鍵流流動的機制明鍵不同，但是邊界層流的阻力係數 鍵如圖 9.10 所示鍵有許多特性與鍵流的慕鍵圖鍵圖 8.11 所示鍵鍵似。完全發展 之水平鍵流是由壓力與黏性力的平鍵主導，而在整個流動中的流體慣性保持不 變。至於水平平板的邊界層流，主要是慣性效應與黏性力的平鍵來統御，且在 整個流動中的壓力鍵持常數。

通常，以方程式將阻力係數表示成雷諾數與鍵對粗糙度的函數，比以如圖 9.10 的圖示法來得更方便。雖然我們必須使用不止一個方程式來表達在整個

Re_

ε 範圍內之阻力係數，但是表 9.1 中所示之方程式可以滿足在表中指定

之流動狀況下計鍵合理的阻力係數。

圖 9.10 平行於上游流平板之摩擦 阻力係數（參考文獻 12，並經允許 刊印）。

完全紊流

紊流

過渡流

層流 光滑平板之紊流

表 9.1 平板阻力係數之經驗方程式（參考文獻 1 ）

E XAMPLE 例簪 9.4

如圖 E9.4 a 所示，滑水板以速度 U 在 70

fts 時，由於滑水板底面的剪應力所造成的阻力。

簪答

很明鍵地，滑水板不是一平板，而且滑鍵時並沒有與上游流平鍵。不過，我們可將之 視為平板而得到合理的剪力近似值，亦也就是說即由滑水板底部的剪應力鍵壁剪應 力鍵，產生的摩擦阻力
f是

方程式中 A  b  4ft 0.5ft  2 ft²，再由表 B.l 查得  1.94 slugsft³且  2.04 10 ⁵1b鍵sft²，代入上式可得

其中
f與 U 的單位分別為 lb 與 fts，

1 式中的阻力係數 C_Df，可由圖 9.10 或從表 9.1 選取適當的方程式得到。由於在本 題鍵中，大部分的流動屬於過渡流動範圍，亦即平板鍵沿長度向鍵上大部分為層流與 鍵流邊界層流動。因此我們由表 9.1 中選取適當的方程式計鍵 C_Df。

由已知條件，我們可計鍵出雷諾數為

其中 U 的單位為 fts 。由已知 U  10 fts ，其對應的雷諾數為 Re_鍵 3.80 × 10⁶U，

圖 E 9.4

b

完全邊界層層流

鍵1鍵

, 1b x

, ft

9.2.6 ^{壓力梯度的效應}

在 9.2 節前半部分所討論的邊界層流動為考慮流體為平板，並且整個流場 保持定值壓力的流動。通常當流體流經非平板之物體時，流場之壓力不再為均 勻分布。由圖 9.5 鍵示，雷諾數變大，沿著物體表面形成的邊界層將變鍵。即 使垂直於表面方向的壓力梯度小至可以忽略不計，不過在此鍵層內沿著流動方 向鍵亦即沿著物體表面鍵的壓力梯度將不再為零。也就是說，我們由物體表面 循法鍵方向至邊界層緣量測壓力值，將會發現實際上壓力是呈定值的。但是當 物體具有曲面時，沿著物體表面壓力是有變化的。邊界層內的壓力梯度就是造 成邊界層緣的自由流動速度鍵free-stream velocity鍵U_fs鍵發生變化的原因。整個 流場鍵包括邊界層內、層外的流場鍵的特性，與邊界層內流體的壓力梯度具有 高度的鍵關性。

對於一個平鍵於鍵由流的平板而鍵，上游流速度鍵遠在平板前方的速度鍵 與鍵由流速度鍵在邊界層緣的速度鍵鍵等，亦即 U  Ufs，這是由於平板的厚度 鍵當鍵鍵甚至可忽略其厚度鍵所導鍵的結果。至於厚度非為零的物體，該兩種 速度值並不鍵等。這一鍵我們可由流體流經直徑是 D 的圓柱看出。令上游流速 度與壓力依次為 U 與 p₀，鍵流體為完全無黏性鍵  0鍵，雷諾數將變成無限大 並由表 9.1 得 C_Df 0.455
log Re_^2.58 1700Re_ 0.00308。代入 l 式得阻力值為

圖 E 9.4 b 為考慮一定範圍的上游流速度，阻力 C_Df的結果。

假鍵 Re  1000 時，則邊界層理論將不適用－此乃因為慣性效應並不是很鍵著而 且較鍵於平板的長度，邊界層厚度尚不夠鍵。依本例而鍵，Re  1000 所對應的 U  2.63 10 ³fts，從實務鍵的來看，由於 U 通常大於此值，因此經過滑水板的流動仍 然是邊界層流動形式。

由雷諾數 Re_cr鍵 Uxcr  5 10⁵ 所定鍵之層流過渡到鍵流邊界層流動之大鍵 位鍵如圖 E 9.4 b 所示。在 U  1.31 fts 以下時，整個邊界層流仍鍵持為層流。鍵著 速度的逐漸增加，層流邊界層的部份會減少，而當 U  30 fts 時，層流邊界層只會 鍵持到距鍵平板前緣 0.18 ft 處。

對滑過水的人而鍵，在 30 fts 的速度時，所鍵拖拉的力量鍵然地將遠鍵過 2 4.88 lb  9.76 lb鍵考慮兩支滑水板並參考圖 E 4.9 b鍵。我們將在 9.3 節中討論到，對一 些如滑水板的物體而鍵，摩擦阻力只是顩阻力的一部份，其他阻力包括壓力阻力與波 浪阻力反而是顩阻力鍵當重要的成分。

鍵Re  UD  ∞鍵，流鍵將如圖 9.11 a 所示呈對稱形態。沿著圓柱表面的流 速，將由圓柱的前、後端鍵停滯鍵 A 與 F鍵之 U_fs  0 變化至圓柱頂鍵、底鍵 鍵C 鍵鍵的最大速度 U_fs鍵 2U。在圓柱表面的壓力分布將與通過圓心的垂直面形 成對稱，且在圓柱前、後端之壓力具最大值 p₀U²2鍵停滯壓力鍵，在圓柱的 頂鍵與底鍵具有最小值 p₀ 3U²2。圖 9.11 b 與 9.11 c 分別表示在圓柱表面的 壓力與鍵由流速度分布。由於不考慮流體的黏度鍵以鍵
w 0鍵，而且流經圓柱 的無黏性流壓力呈對稱分布之故，因此作用在圓柱的阻力為零。

考慮一真實鍵具黏性鍵流體以高雷諾數流過一圓柱。就如在 9.1.2 節所討 論，我們預期黏性效應侷限在表面鍵近的鍵邊界層中，鍵而允許流體黏在圓柱 表面鍵V 0鍵－此為任何
0 的流體的必要條件。邊界層流理論的基本觀念 在於邊界層厚度鍵當鍵，因而邊界層將不影鍵層外的流動。基於此理論，對於 高雷諾數的流動而鍵，整個流場的流動將如圖 9.11a 所示之無黏性流動。

圖 9.11 b 所示之壓力分布乃加鍵於沿著圓柱表面的邊界層流動。事實上，

邊界層上下端的壓力變化通常可以加以忽略，因此在邊界層內的壓力由無黏性 流場以確定邊界層內的壓力。在圓柱表面的壓力分布如同由圓柱鼻部的停滯流 鍵在   0 處之 Ufs 0 鍵被加速到上、下頂鍵的最大速度值鍵在   90 處之 U_fs 2U鍵，再被減速至圓柱尾部的零速度鍵在  180 處之 Ufs 0 鍵。此壓力 分布之變化主要由於壓力與慣性效應間的平鍵作用所鍵鍵對於邊界層外的無黏

圖 9.11 通過圓柱體之無黏性流 動：
a 無黏性效應之流線，
b 圓 柱表面之壓力分布，
c 圓柱表面之 自由流動速度。

，角度 ，角度

U

U

U

U

性流動，我們將不考慮黏性效應。

就物理意鍵來說，當黏性效應不考慮時，流體質鍵由圓柱前端流至後端的 過程中，其壓力鍵  0 的 「壓力頂」滑落至   90 鍵圖 9.11 b 中的 A 鍵至 C 鍵鍵，然後再攀升至  180 時之壓力頂鍵由 C 鍵移至 F 鍵鍵，因此整個移動 過程中並無能量損失。過程中雖然有動能與壓力能的交換，但是沒有能量損 失。同樣的壓力分布亦可加鍵於黏性流的邊界層中。在圓柱前半部沿著流動方 向的壓力鍵減稱為順壓梯度鍵favorable pressure gradient鍵，而在圓柱後半部沿著 流動方向的壓力鍵增稱逆壓梯度鍵adverse pressure gradient鍵。

考慮如圖 9.12 所示位於邊界層內之流體質鍵。該質鍵由位鍵 A 流動至 F 鍵 時之壓力分布，鍵當於邊界層緣外鍵由流中之質鍵的壓力分布－也就是無黏性 流場的壓力。然而，在邊界層的質鍵由於流動的黏性效應產生能量損失，亦即 質鍵的能量將不足以使得質鍵上升至壓力丘頂鍵由 C 至 F鍵，更鍵論到達圓柱後 方的 F 鍵。這種動能不足可從圖 9.12 a 中 C 鍵的速度曲鍵得以了解。同時由於 摩擦因鍵，邊界層流體將無法由圓柱的前端流動至後端鍵這個結論亦可由下述 觀念得之，亦即，由於黏性效應，位於 C 的質鍵沒有足夠的動量使之上升至壓 力丘頂的 F 鍵鍵。

當流體抵抗漸增的壓力至極限時，邊界層便從固體表面鍵鍵鍵有如火鍵鍵 鍵地面般鍵，這個現鍵即如圖 9.12 a 所示的邊界層分離鍵boundary layer separa- tion鍵，而圖 9.12 b 所示為沿著表面於特定位鍵的典型速度曲鍵。在分鍵位鍵 鍵D鍵鍵處，壁面的速度梯度與壁面剪應力均是零。過了該鍵後鍵由 D 至 E

鍵鍵，邊界層內將出現鍵向流。

如圖 9.12 c 所示，由於邊界層的分鍵，會使得圓柱後半部壓力明鍵地小於 前半部，即使由於黏性較低、黏性剪切阻力較小，但也形成鍵當大的壓力阻 力。

動能不足之邊界層流體 邊界層

邊界層 分離位置

邊界層流的本質左右了分鍵鍵的位鍵、物體後方尾流區的寬度與表面的壓 力分布。較之於層流邊界層，鍵流邊界層具有較大的動能與動量，這是由於鍵

1 鍵流邊界層流的速度曲鍵較為完整，如圖 9.9 所示，較接近理想的均勻曲 鍵，
2 鍵流中有大部分的能量來鍵漩渦、鍵機速度分量鍵未能於 x 分量鍵示 鍵鍵，因此如圖 9.12 c 所示，鍵流邊界層可繞鍵較長的距鍵鍵或升至壓力丘頂鍵 而使邊界層分鍵延後發生。

在9.1 節中我們討論過，在流體中移動的任何物體將受到阻力
的作用 － 亦即由作用在物體表面的壓力和剪力，在流動方向所形成的淨力。該淨力乃是 由作用在物體上之法向與切鍵力於流動方向分量之鍵合。同時，鍵壓力分布 p 及壁面剪應力
w 為已知，則可由 9.1 與 9.2 式求出該淨力。不過僅在極少數的 流動實例中，我們得以解析的方式獲得壓力與壁面剪應力分布。

對於各種物體所承受阻力的資訊，大都來鍵於包括風洞、水洞、拖曳桶及 其他精緻鍵備等比例模型量測阻力之實驗。通常對任何形狀物體而鍵，我們以 阻力係數 C_D表示之，

9.3 阻力

Drag

圖 9.12 圓柱體之邊界層特性：
a 邊界層分離位置，
b 圓柱體上不同位置之邊界層速度曲線，
c 無黏性 流與邊界層流之表面壓力分布。

圖9.12 a 所示之位置

分離流

無黏性理論

紊流 層流

曲線 D 上於 y  0 處

u

y

C

= p p

U

2 1



其中 C_D 為其他無因次參數，鍵如雷諾數 Re、馬赫數 Ma、福勞得數 Fr，與表 面鍵對粗糙度

ε 等函數，亦即

C_D鍵形狀、Re、Ma、Fr、ε鍵

9.3.1 ^摩擦糑力

摩擦阻力鍵Friction drag鍵
f鍵是阻力的一種，並與物體的剪應力
w有直接 之關係。摩擦阻力是壁剪力的函數，同時也和物體表面的方向有關，在 9.1 式 中的
wsin  便已指出。對高度流鍵型的物體或低雷諾數的流動而鍵，大多數的 阻力與摩擦有關。

寬為 b、長為，並平鍵於上游流之平板，其摩擦阻力之計鍵式為

其中 C_{D f}是摩擦阻力係數，且為雷諾數 Re_  U 與表面鍵對粗糙度

ε 的

大多數物體並不是平鍵於上游流的平板，反而是具曲面外表並且壓力鍵曲 面而變化的。對非平面物體欲精確地計鍵表面之剪應力是鍵當困鍵的。雖然我 們可以利用一些技巧獲得近似結果鍵參考文獻 1、2鍵，不過這並不是本書所要 討論的範圍。

9.3.2 ^壓力糑力

壓力阻力鍵pressure drag鍵
p鍵亦為阻力的一種，並與物體的壓力 p 有直接 之關係。壓力阻力又稱為形狀阻力鍵form drag鍵，因為它與物體的形狀有極度密 切關鍵。壓力阻力為壓力與受壓力作用之表面元鍵的方位的函數。以平鍵於上 游流的平板為例，其上、下側的壓力可能鍵當大，但壓力是垂直於平板鍵或鍵 由流速鍵的方向，所以不會形成阻力。但是，當平板垂直於流動方向時，全部 阻力將由壓力所造成。

在前面我們也指出，大多數物體的表面有部分平鍵於上游流的，部分垂直 於上游流的，也有大部分與上游流度呈一定鍵度的。鍵物體的壓力分布已知，

且外形確定，則 9.1 式則為壓力阻力的計鍵式，

鍵9.22鍵

鍵以壓力阻力係數鍵pressure drag coefficient鍵C_Dp鍵表示則為

其中 C_p
p p0
U²2 稱為壓力係數鍵pressure coefficient鍵，其中 p0為參考 壓力。參考壓力 p₀ 的大小並不會直接影鍵阻力，因為鍵物體表面的參考壓力鍵 是定值鍵即 p₀鍵，則壓力的淨力為零。

9.3.3 ^{糑力係數數據糑實例}

在上一節我們討論過，淨阻力是由壓力和剪應力效應產生的，而在多數的 情形下，這兩種效應都會被一鍵考慮，並以由 9.22 式所定鍵之顩阻力係數 C_D 表示之。讀鍵可在許多參考文獻中充分獲得有關顩阻力係數的數據。在本節中 我們僅考慮一小部分之數據來描述一些代表性的流動狀況，其他數據可參考鍵 關的文獻鍵參考文獻 4、 5鍵。

形狀相依性。物體的阻力係數很鍵然地與物體形狀鍵關，這些形狀涵鍵流 鍵形以至鈍形。今以縱橫比為 D 之橢圓形體鍵D 與  分別表示平鍵於流動的 厚度與長度鍵敘述形狀鍵依性。如圖 9.13 所示鍵為以正面面鍵 A 鍵 bD 為基準 之阻力係數 C_D

U²bD2，其中 b 為垂直流動方向的長度。愈是鈍形的物 體，其阻力係數愈大。當D 鍵 0 時鍵即垂直於流動之平板鍵，阻力係數值 CD

 1.9。當 D  1，即得圓柱體的阻力係數。且當 D 值愈大時，CD 值就愈 鍵9.23鍵

圖 9.13 以正面面積 A

 bD 或頂部俯視面積 A

 b 為特徵面積的橢圓 形體之阻力係數（參考文 獻 4）。

垂直於流動之平板

長度

平行於流動之平板

C

小。

對於縱橫比鍵當大鍵D → ∞ 鍵的橢圓形體而鍵，我們可視之為平鍵流動 的平板，因而摩擦阻力遠大於壓力阻力。對於極端鍵形的物體鍵亦即D → ∞ 的橢圓形體、平板或鍵翼型體鍵而鍵，一般採用頂部俯視面鍵 A  b 以定鍵阻 力 係 數 。 以 頂 部 俯 視 面 鍵 為 基 準 的 橢 圓 形 體 ， 其 阻 力 係 數 定 鍵 為 C_D 


U²b2 ，就如圖 9.13 所示。很明鍵地，以任一阻力係數所求得的阻力都 將鍵同。我們只是以兩種不同的方法整合鍵同的涵鍵。

物體流鍵形的程度也明鍵地影鍵阻力。令人訝鍵的是，流體作用在如圖 9.14 所示之兩個二鍵物體的阻力竟然鍵等。圖中之流鍵形支撐桿尾流寬度鍵當 鍵，並且與直徑很小的圓柱的尾流寬度同鍵數。

雷諾數相依性。與阻力係數關係密切的另一參數為雷諾數。統御低雷諾數 流動鍵Re l鍵之因鍵為黏性力與壓力間的平鍵度，慣性效應則小到可以被忽 略。此種情形下，阻力為上游流速度 U、物體尺寸 與黏度 的函數，

由因次分析鍵見 7.7.1 節鍵可得

方程式中常數 C 與物體形狀有關。鍵將 9.24 式以阻力係數之標準定鍵 C_D 

 U²A，鍵化成無因次形式，則

方程式中 Re 鍵U。對於圓球來說，CD 24Re，令方程式中   D，D 為 球體直徑。對大多數物體來說，我們可引用低雷諾數流動的結果直到至 Re 鍵 近於 1。

圖 9.14 尺寸明顯不同卻有相等阻力的兩個物體：
a 圓柱 CD 1.2，
b 流線形支撐桿 CD 0.12。

常數

E XAMPLE 例簪 9.5

一鍵直徑 D  0.10 mm、比重 SG  2.3 的小砂粒被經過的船隻攪動後沉至湖底。

試求砂粒在鍵水中下沉的速度。

鍵9.24鍵

直徑 D

簪答

如圖 E 9.5 所示，砂粒以質鍵表示的鍵由體圖。此砂粒以等速度 U 向下移動，該速度 由質鍵重量 、湖水的浮力 FB，以及湖水作用在砂粒阻力
，三鍵間的平鍵所統 御。由鍵由體圖的力平鍵可得

其中

以及

我們假鍵鍵由於物體鍵當小鍵本題屬潛變流鍵Re l鍵流動，而且 CD 24Re，

故

得

我們將在最後驗證是否 Re 1，以確定假鍵是否有效。3 式稱為史托克斯定律鍵以鍵 念英國的數學家暨物理學家鍵，它用於潛變流中的圓球鍵動。將 1、2 及 3 式合併後得

又  g，故

令水溫為 15.6℃，由表 1.5 得_H2O 999 kgm³以及_H2O 1.12 10 ³N•sm²，並由 4 式可計鍵出

圖 E 9.5

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵3鍵

鍵4鍵

中度雷諾數流有形成邊界層流動結構的鍵勢。這類流動流經流鍵型物體 時，鍵雷諾數的增加，阻力係數將鍵減。在平板的層流邊界層中，C_D  Re ^12 鍵見表 9.1 鍵就是一例。中度雷諾數流經鈍形物體所形成的阻力係數可被視為常 數，圖 9.15 a 對球體及圓柱體所示之 C_D，在 10^{3 5}間便鍵示該特性。

圖 9.15 b 所示為在圖 9.15 a 中選出一些不同雷諾數之流動所對應的流場結 構。任一物體由於雷諾數的不同，所形成的流動情形變化鍵當大。我們極力建 鍵讀鍵觀看參考文獻 6 和 19 中鍵關流動情形之圖片。

當邊界層鍵變成鍵流時，許多形狀的物體的阻力係數特性會產生快速變 化，就如圖 9.10 所示之平板流動與圖 9.15 所示之通過圓柱與圓球的流動。在這 種過渡流動發生的雷諾數為物體形狀的函數。

當邊界層鍵變成鍵流時，對於流鍵形物體來說，阻力係數將會增加，這是 由於阻力由剪力造成，而鍵流之剪力大於層流中的剪力。但是對鍵如圓柱或圓 球之鈍形物體而鍵，當邊界層開始鍵變為鍵流時，阻力係數反而減小。就如 9.2.6 節中所討論的，鍵流邊界層可延伸至圓柱後端之鍵壓梯度區，並使分鍵延 後發生，同時所造成的結果是使鍵流邊界層流動的尾流區域變鍵、壓力阻力變 小。如圖 9.15 所示，在 10^{5 6}範圍中，C_D值形成鍵降的狀況。

對極度鈍形體而鍵，例如垂直於流動的平板，不論邊界層流的本質是什 鍵，在平板端緣便會產生分鍵，因此其阻力係數與雷諾數幾乎無關。

或

同時

由於 Re l ，故採用的阻力係數形式是有效的。

鍵質鍵的密度與周鍵的流體密度鍵等，則由 4 式得 U  0。這是合理的結果，因 為 U  0 表示質鍵呈中性漂浮，也無任何作用力以克服因移動而鍵生的阻力。同時，

在解題時我們假鍵質鍵以鍵端速度鍵定地下沉，且鍵端速度鍵當小，表示不鍵考慮由 鍵止到鍵端速度的加速時間。對於快速落下的物體鍵例如鍵由落下的鍵傘鍵鍵，下降 的加速度就必須考慮。

鍵Ans鍵

圖 9.15
a 光滑圓柱與光 滑球體之阻力係數與雷諾數 之曲線圖。
b 圖
a 所示於 不同之雷諾數時，流體通過 圓柱體的流動情形。

光滑圓柱

光滑球體

無分離 穩定分離氣泡

大範圍紊流尾流 之層流邊界層

狹窄紊流尾流 之紊流邊界層

圖 9.16 鍵對一系列具有不同鈍形程度之二鍵物體，鍵示其阻力係數鍵雷諾 數變化的情形。前述之流動特性亦鍵示於其中。

C

圖 9.16 在二維 流場中，各種不同 流 線 程 度 之 物 體

（形狀由垂直於流 場、上游流流動至 平行於流場）其阻 力係數隨雷諾數變 化的情形（參考文 獻 4 ）。

平板

長度

圓截面

橢圓截面

機翼形 平板

E XAMPLE 例簪 9.6

冰雹是冰粒在暴風雨的上升氣流中往復上升與下降而形成的，如圖 E 9.6 所示。

當冰雹變得夠大時，由於上升氣流的空氣動力阻力無法支撐冰雹重量，於是冰雹由暴 風雨的烏鍵中下落。欲形成直徑 D  1.5 in鍵大小如高爾夫球般鍵的冰雹，試估計上 升氣流的速度 U。

簪答

就如例題 9.5 的討論，位於鍵定狀態時，在流體中下降的物體的平鍵力可以表示為

方程式中，F_BairV 表示空氣作用在質鍵的浮力， iceV 為質鍵的重量鍵
為空 氣動力阻力。由此上式可重寫為

圖 E 9.6 砧部

冰雹 到

呎

下降 氣流

上升氣流

暴風雨 移動方向

雨 地面

鍵1鍵

壓縮性效應。倘鍵物體的速度鍵當大，則壓縮效應將變得極為重要，而且 阻力係數會變為馬赫數 Ma  Uc 的函數，其中 c 代表流體中的音速。對於低 由於 V  D³6 且iceair鍵亦即  FB鍵，所以 1 式可化簡成

同時ice 1.84 slugsft³、air 2.38 10 ³slugsft³，以及 D  1.5 in.  0.125 ft，代 入 2 式得

或

方程式中，U 的單位是 fts。欲求出 U 必須先求得 CD值，然而 C_D值為雷諾數的函數 鍵見圖 9.15鍵，而雷諾數又由 U 值決定。因此，我們必須使用如 8.5 節類似以慕鍵圖處

理鍵流問題之鍵代方式處理之。

由圖 9.15 我們假鍵 C_D 0.5 ，再由 3 式可得

其鍵當的雷諾數鍵假鍵  1.57 10 ⁴ ft²s鍵為

由上式鍵出的 Re 值，我們可利用圖 9.15 查出 C_D  0.5，此值和原先假鍵的完全鍵 合。故 U 值則為

上面的結果乃是根據空氣在標準海平面的性質而得。鍵考慮在 20,000 ft 高空的空氣 鍵由表 C.l 查得鍵air 1.267 10 ³slugsft³、  3.324 10 ⁷1b•sft²鍵，則速度應為

U  125 fts  85.2 mph。

很明鍵地，穿鍵過如此上升氣流的飛機鍵即使它能閃躲冰雹鍵也將感受到上升氣 流的效應。由 2 式可以看出，冰雹鍵大，必要的上升氣流也鍵強。直徑大於 6 in. 的 冰雹也曾被報導過。事實上，冰雹很少是圓形的，也不是光滑表面的。不過，本例所 計鍵之上升氣流速度與實際量測質鍵當鍵合。

鍵2鍵

鍵3鍵

鍵Ans鍵

馬赫數的流動來說，亦即 Ma 0.5，壓縮效應並不鍵著，阻力係數與馬赫數無 關。而對高馬赫數流動而鍵，阻力係數與馬赫數有密切的關係。

對於大多數的物體來說，C_D 值在 Ma 接近 l 時鍵音速流鍵將有急劇的變 化。這種特性的改變如圖 9.17 所示，主要與鍵波鍵即流場中流體參數發生近乎 不連續變化之極狹小之區域鍵有關。鍵波提供了阻力產生的一種機制，次音速 流動中並不會形成鍵波，也因此在低速率的次音速流動中不存在阻力。有關這 類重要的主題，讀鍵可逕鍵參閱有關壓縮性流體及空氣動力學的書鍵鍵參考文 獻 7、8、18 鍵。

表面粗糙度。通常，流鍵形體的阻力會因為表面粗糙度的增加而增大，這 也就是為何鍵計飛機機翼時會盡可能使其表面光滑，因為突出的鉚釘或是螺鍵 頭會使得以阻力大增。另一方面，對於極度之鈍形體鍵如垂直於流動的平板鍵 而鍵，阻力與表面粗糙度就無關，此乃因為剪應力並不是在上游流方向，所以 不會形成阻力。

鈍形體如圓柱或圓球鍵，表面粗糙度的增加實際上會降低阻力，如圖 9.18 對圓球的說明便是。如同 9.2.6 節的討論，當雷諾數達到鍵界值時鍵如光滑圓球 之 Re  3 10⁵鍵邊界層會鍵變成鍵流，而且圓球後端的尾流區將變得比層流

U

震波

U

Ma  1.5

Ma  3

圖 9.17 超音波流動之 阻力係數與馬赫數呈函數 關係（參考文獻 13 ）。

圓柱體

球體

具尖端 之哥德 式穹窿 之弧稜

圖 9.18 圓球阻力係數隨表面粗糙度的變化曲線。在圖示 之雷諾數範圍內，層流邊界層轉變成紊流（參考文獻 4 ）。

相對粗糙度

（光滑面）

高爾 夫球

E XAMPLE 例簪 9.7

一個被正常揮擊之高爾夫球鍵直徑 D  1.69 in.、重量   0.0992 lb鍵以 U  200 fts 的速度飛鍵 T 形球座鍵當桌球鍵直徑 D  1.50 in.、重量  0.00551 lb 鍵被 拍擊後，以 U  60 fts 速度飛鍵球拍。在上述條件下，試求標準高爾夫球、光滑高 爾夫球和桌球的阻力，並計鍵其減速度。

簪答

任一鍵球的阻力可由下式獲得，

鍵1鍵 鍵更狹鍵鍵見圖 9.12 與 9.15 鍵，結果明鍵地降低了壓力阻力，而摩擦力阻力僅 略為增加，因而阻力顩和鍵和 C_D鍵變得較小。

在低雷諾數的流動中，鍵增加球體的表面粗糙度增加，可能使邊界層形成 鍵流。例如，高爾夫球的鍵界雷諾數鍵為 Re  4 10⁴，而在 4 10⁴

10⁵ 範圍中，標準含凹孔粗糙面的高爾夫球其阻力遠比具光滑面之高爾夫球 鍵來得小鍵C_D糑糙鍵C_D光滑鍵 0.250.5  0.5鍵。由例題 9.7 鍵示，一般被正常揮 擊之高爾夫球便鍵現前述雷諾數之範圍。一般被正常揮擊之桌球其雷諾數範圍 低於 Re  4 10⁴，因此桌球的表面通常是光滑的。

如圖 9.18 所示，C_D 方程式中阻力係數為雷諾數與表面粗糙度的函數。對在標準空氣 中的高爾夫球來說

而桌球的雷諾數則可表示為

其阻力係數可分別為鍵標準高爾夫球的 C_D  0.25、光滑高爾夫球的 CD 0.51、桌球 的 C_D 0.50。代入 1 式得鍵標準高爾夫球的阻力

光滑高爾夫球的阻力

桌球的阻力

減速度的計鍵公式為 a 
m  g
，其中 m 為球的質量。所以，減速度對 重力加速度之比值為 ag 
，故得

且

結果鍵示粗糙表面之高爾夫球比光滑表面之高爾夫球具有明鍵較小的減速度。同時，

桌球具有較大的阻力質量比，因此桌球在拍擊後鍵速落下，故而飛鍵距鍵不及高爾夫 球鍵當標準高爾夫球之 U  60 fts 時，其阻力為
 0.0200 lb、減速比值 ag  0.202 遠小於桌球之 ag  4.77。鍵反的，以 U  200 fts 被擊鍵 T 形球座之桌球，其 減速度為 a  1740 fts²或 ag  54.1，因而不會飛得和高爾夫球一樣遠鍵。

粗糙表面高爾夫球的阻力小於光滑表面高爾夫球鍵的雷諾數範圍介於 4 10⁴ 到 鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

對標準高爾夫球而鍵

對光滑高爾夫球而鍵

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

對桌球而鍵 鍵Ans鍵

福勞得數效應。另一個與阻力係數可能密切鍵關的參數為福勞得數，Fr  U 。在鍵 10 章中我們將談到福勞得數為鍵由流流速與兩流體介面間鍵例 如海洋之表面鍵波速之比值。鍵如船隻之物體在該表面移動時由於能量存在而 產生波動。這種能量來鍵船體，而且很明鍵的就是阻力鍵因為能量的時間變率 鍵功鍵等於速度與力的乘鍵。該波動的本質通常與流動之福勞得數及物體形狀有 關－滑水鍵在水中以低速鍵低 Fr鍵「鍵浪」前鍵所產生的波動與滑水鍵以高速 鍵高 Fr 鍵「滑浪」前鍵所產生的波動並不鍵同。

組合體阻力。鍵合物體的阻力概鍵，可將物體視為幾個簡單形狀的鍵合，

而各部份的阻力和即為顩阻力。

4 10⁵，其對應的飛鍵速度鍵會在 45

的擊球速度區間。在 9.4.2 節中亦將提及，高爾夫球表面之小凹鍵有助於產生升力，

較光滑表面之高爾夫球能飛得更遠。

E XAMPLE 例簪 9.8

風以速率 60 mph 鍵亦即 88 fps鍵吹過圖 E 9.8 a 所示的水塔。今欲鍵止水塔受風 傾倒，試估計在水塔底部須施加多少力矩鍵扭矩鍵M鍵

簪答

將水塔視為一個鍵鍵在圓柱上的圓球，假鍵顩阻力是這兩部份阻力之合力。圖 E 9.8 b 所示為其鍵由體圖。對水塔基底求力矩顩和得

其中

鍵1鍵

圖 E 9.8

有關大部分物體的阻力係數鍵關訊息在許多文獻中都有鍵述。在圖 9.19、

9.20 與 9.21 中，我們將各種二鍵、三鍵、天然或是人工的物體之阻力係數加以 整理。同時，阻力係數等於 1 鍵當於作用在面鍵 A 的動態壓力形成的阻力，亦 即 ，其中 C_D  1。而且一般之非流鍵型物體之阻力係數 值亦在此一鍵數。

以及

2 與 3 式各為施於圓球與圓柱的阻力。在標準大氣狀況下，雷諾數依次為

和

而阻力係數 C_Ds與 C_Dc，可分別由圖 9.15 取得近似值

值得注意的是，由於雷諾數 Re_s已不在圖 9.15 所示的範圍內，所以必須藉由外插法來 獲得 C_Ds鍵一種具潛在危鍵性之作法鍵。由 2 與 3 式分別求得

以及

由 1 式可知，為免水塔傾倒的力矩應為

以上的結果僅為預估值，因為
a 在塔頂至地面之範圍內，風可能不是均勻流 動，
b 水塔不全然是光滑球體與圓柱之鍵合體，
c 圓柱並非無限長，
d 吹過圓柱之 流動與吹過圓球之流動必然鍵互作用，所以淨阻力不完全是兩鍵顩和，
e 阻力係數 值乃由外插方式取得。雖然如此，但這個近似結果仍具準確性。

鍵3鍵

及

鍵Ans鍵 鍵2鍵