目錄
單元三:利用配方法解一元二次方程式...1
課文 A:利用平方根的概念解一元二次方程式...1
課文 B:配成完全平方式...8
課文 C:利用配方法解 x 2 係數為 1 的一元二次方程式...18
課文 D:利用配方法解 x 2 係數不為 1 的一元二次方程式...25
單元四:利用公式解解一元二次方程式...29
課文 A:一元二次方程式的一般式...29
課文 B:利用公式解解一元二次方程式...32
課文 C:一元二次方程式的判別式...39
單元五:一元二次方程式的應用問題...46
課文 A:一元二次方程式的應用問題...46
單元三:利用配方法解一元二次方程式
(一)課文 A:利用平方根的概念解一元二次方程式
上一單元我們利用因式分解法解一元二次方程式,但是所有的一元 二次方程式都可以利用因式分解法來解嗎?
試試看解一元二次方程式 x2+6 x +2=0 。
要將左邊 x2+6 x +2 因式分解,讓整個成為「 A × B=0 」的形式:
x2、6 x、+2 各項沒有共同的公因式,所以不能提公因式;
如果我們嘗試用和的平方公式因式分解 x2+6 x +2 , x 當成 a ,
6 x=2 ∙ x ∙3 , 3 當成 b ,可是 32=9 不是 2 ,所以不符合乘法公式;
試試看用十字交乘法,「拆前面、拆後面、造中間」,前面 x2 拆
成 x ∙ x ,後面 +2 拆成 (+2)×(+1) ,看看造中間,也發現沒辦法
成功造中間,所以也沒辦法利用十字交乘法。
這種沒辦法利用因式分解法來解的一元二次方程式怎麼辦?
接下來要介紹新的方法!
我們先來看一些比較簡單的例子!
Ex1.解下列一元二次方程式:
(1) x2=4 (2) x2=7
解:這兩題都是很單純一元二次方程式的題目,就其實是求平方根。
(1) x2=4 ,指的意思是 x 是 4 的平方根。
4 是 2 的平方,也是 −2 的平方,所以 x=2 或 −2 。 (2) x2=7 ,指的意思是 x 是 7 的平方根。
x
x 2 3
1 x x 2 x
7 是
√
7 的平方,也是 −√
7 的平方,所以 x=√
7 或 −√
7 。再來看稍微複雜一點的題目!
Ex2.解下列一元二次方程式:
(1) (x−1)2=4 (2) (x+3)2=7
解:(1)這題我們可以利用因式分解的方法來解,也可以用不同方法 來試試看!
(x−1)2=4 ,我們先將 ( x−1) 看成一整個物件。
一整個物件的平方等於 4 : (x−1)2=4 ,所以 (x−1)=2 或
−2 。
x−1=2 或 x−1=−2
x=2+1 或 x=−2+1
x=3 或 −1
(2) (x+3)2=7 ,我們先將 (x+3) 看成一整個物件。
整個物件的平方等於 7 : (x+3)2=7 ,所以 (x+3)=
√
7 或 −√
7 。x+3=
√
7 或 x+3=−√
7x=−3+
√
7 或 x=−3−√
7x=−3+
√
7或
−3−√
7Ex3. 解下列一元二次方程式:
(1) x2=1336 (2) (x+16)
2
=13 36
解:
(1) x2=1336 ,指的意思是 x 是 1336 的平方根,所以 x=±
√
1336 ,而
√
1336=√ √
1336=√
136 。平方根有兩個:正跟負,所以 x=
√
136 或 −
√
136 。
(2) (x+16)
2
=13
36 ,我們先將
(
x +61)
看成一整個物件。整個物件的平方等於 1336 :
(
x +61)
2=1336 , 從(1)可以知道(
x +61)
=√
613 或 −√
136 。
x+1 6=
√
136 或 x+16=−
√
136
x=−1 6 +
√
136 或 x=−16 −
√
136
x=−1+
√
136
或
−1−√
136
在Ex1、Ex2 與 Ex3 中,我們都用到了平方根的觀念來解一元二次 方程式,而這個平方根的觀念就是配方法很重要的想法。
我們要利用平方根的觀念來解一元二次方程式,就需要將每一個一 元二次式變成完全平方式的樣子,像是 (x−1)2 、 (x+3)2 ,於是整 個式子就變成「 (x+□)2=◯ 」形式,像是 (x−1)2=4 、 (x+3)2=7 , 接下來就可以利用平方根的觀念解出 x 來了!
而變成完全平方式的過程,這個方法就是所謂的「配方法」(配成完 全平方式的方法)。
重點提問
1. 根據上面的課文,要利用「配方法」解一元二次方程式,會利用 到什麼樣的觀念?
2. 根據上面的課文,我們可以利用平方根的觀念解怎樣的一元二次 方程式?請舉出一個例子說明。
A.隨堂練習:
1.
解一元二次方程式 x2=82.
解一元二次方程式 x2=173.
解一元二次方程式 x2=3344.
解一元二次方程式 (x+2)2=85.
解一元二次方程式 (x−5)2=176.
解一元二次方程式 (x−52)2=334還是不太懂,
請看下面影片
https://www.youtube.com/w atch?v=-t0PTmieSB8
單元三:利用配方法解一元二次方程式
(二)課文 B:配成完全平方式
「配方法」就是要將式子配成完全平方式的方法,接下來我們就要 先看如何配成完全平方式。
在了解如何配成完全平方式之前,
先複習一下乘法公式,主要會用到兩種公式:
1.和的平方公式: (a+b )2=a2+2 ab+b2
這個公式表示的意思是說 (a+b )2 展開就會變成 a2+2 ab+b2 ;反過 來說就是只要集滿「 a2+2 ab+b2 」,就可以換成 (a+b )2 ,而這就 是一種完全平方式了!
2.差的平方公式: (a−b)2=a2−2 ab+b2
這個公式表示的意思是說 (a−b)2 展開就會變成 a2−2 ab+b2 ;反 過來說就是只要集滿「 a2−2 ab+b2 」,就可以換成 (a−b)2 ,而 這就是一種完全平方式了!
我們就是利用乘法公式的概念去配成完全平方式。
Ex1.在空格中填入適當的數,並將下列各式變成完全平方式。
(1) x2+6 x+□ (2) x2−10 x +□
解:
(1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「
x2+6 x +□ 」這個式子結構跟「 a2+2 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2+2 ab+b2 」就可以換成 (a+b )2 。
x2+6 x +□
這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 6 x 就當成是
2 ab ,
想一下 6 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是多少?
6 x=2 ∙ x ∙3 ,也就是說把 3 當成 b ;
所以最後再加個 b2 就集滿「 a2+2 ab+b2 」了。
如下面的式子:
x2+6 x +□=x2+2 ∙ x ∙3+□
a2+2 a b+b2
所以 □ 只要填入 32 ,
就有集滿「 a2+2 ab+b2 」,可以變成 (a+b )2 。 試試看,
x2+6 x +32=x2+2 ∙ x ∙3+32=(x +3)2 變成完全平方式了!
a2+2 a b+ b2=(a+b)2
(2) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「
x2−10 x+□ 」這個式子結構跟「 a2−2 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2−2 ab+b2 」就可以換成 (a−b)2 。
x2−10 x+□
這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 10 x 就是 2 ab ,
想一下 10 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?
10 x=2∙ x ∙ 5 ,也就是可以把 5 當成 b ;
所以最後再加個 b2 就集滿「 a2−2 ab+b2 」了。
如下面的式子:
x2−10 x+□=x2−2∙ x ∙ 5+□
a2−2 ab +b2
所以 □ 只要填入 52 ,
就有集滿「 a2−2 ab+b2 」,可以變成 (a−b)2 。 試試看,
x2−10 x+52=x2−2∙ x ∙ 5+52=(x−5)2 變成完全平方式了!
a2−2 ab +b2=(a−b)2
Ex2.在空格中填入適當的數,並將下列各式變成完全平方式。
(1) x2−5 x +□ (2) x2+7 x+□
解:
(1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「
x2−5 x+□ 」這個式子結構跟「 a2−2 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2−2 ab+b2 」就可以換成 (a−b)2 。
x2−5 x+□
這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那麼 5 x 就是
2 ab ,
想一下 5 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?
5 x=2∙ x ∙5
2 ,也就是把 52 當成 b ;
所以最後再加個 b2 就集滿「 a2−2 ab+b2 」了。
如下面的式子:
x2−5 x+□=x2−2∙ x ∙5 2+□
a2−2 ab +b2
所以 □ 只要填入 (52)
2
,
就有集滿「 a2−2 ab+b2 」,可以變成 (a−b)2 。 試試看,
x2−5 x+
(
52)
2=x2−2 ∙ x ∙52+(5 2)2
=(x−5 2)
2
變成完全平方式!
a2−2 ab +b2=(a−b)2
(2) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「
x2+7 x +□ 」這個式子結構跟「 a2+2 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2+2 ab+b2 」就可以換成 (a+b )2 。
x2+7 x +□
這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那麼 7 x 就是
2 ab ,
想一下 7 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是多少?
7 x=2 ∙ x ∙7
2 ,就是把 72 當成 b ;
所以最後再加個 b2 就集滿「 a2+2 ab+b2 」了。
如下面的式子:
x2+7 x +□=x2+2 ∙ x ∙7 2+□
a2+2 a b+b2
所以 □ 只要填入 (72)
2
,
就有集滿「 a2+2 ab+b2 」,可以變成 (a+b)2 。 試試看,
x2+7 x +(7 2)
2
=x2+2∙ x ∙7 2+(7
2)
2
=(x+7 2)
2
變成完全平方式!
a2+2 a b+b2=(a+b)2
省思:
我們來對照一下這些例子!
x2+6 x +32=x2+2 ∙ x ∙3+32=(x +3)2 x2−10 x+52=x2−2∙ x ∙ 5+52=(x−5)2 x2−5 x+
(
52)
2=x2−2 ∙ x ∙52+(52)
2
=(x−5 2)
2
x2+7 x +
(
72)
2=x2+2∙ x ∙72+(7 2)2
=(x+7 2)
2
從這4 個例子觀察,可以看到一些特性,
x2 係數都是 1 ,框框填的都是原本 x 前面數字一半的平方,也 就是 b 會是原本 x 前面數字的一半。
例如:
x2+6 x 的 x 前面數字是 6 , b 計算出來就是 3 , 3 就是 6 的 一半。 x2+6 x 再加上 32 才集滿「 x2+2 ∙ x ∙ 3+32 」可以換成 (x+3)2 ;
x2−10 x 的 x 前面數字是 10 , b 計算出來就是 5 , 5 就是 10
的一半。 x2−10 x 再加上 52 才集滿「 x2−2∙ x ∙ 5+52 」可以換成
(x−5)2 ;
x2−5 x 的 x 前面數字是 5 , b 計算出來就是 52 , 52 就是 5 的 一半。 x2−5 x 再加上 (52)
2
才集滿「 x2−2∙ x ∙52+(52)
2
」可以換成
(x−5 2)
2
;
x2+7 x 的 x 前面數字是 7 , b 計算出來就是 72 , 72 就是 7 的 一半。 x2+7 x 再加上 (72)
2
才集滿「 x2+2 ∙ x ∙72+(72)
2
」可以換成
(x+7 2)
2
。
Ex3.在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+13x +□ 。 解:
我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「
x2+1
3x +□ 」這個式子結構跟「 a2+2 ab+b2 」比較像,
所以我們只要集滿「 a2+2 ab+b2 」就可以換成 (a+b )2 。
x2+1 3x +□
這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那麼 13 x 就是
2 ab ,
想一下 13 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是多少?問號會是 13 的一半:
1
6 。
1
3 x=2 ∙ x ∙1
6 ,也就是把 61 當成 b ;
所以最後再加個 b2 就集滿「 a2+2 ab+b2 」了。
如下面的式子:
x2+1
3x +□=x2+2 ∙ x ∙1 6+□
a2+2 a b+b2
所以 □ 只要填入 (16)
2
,
就有集滿「 a2+2 ab+b2 」,可以變成 (a+b)2 。 試試看,
x2+1 3x +(1
6)
2
=x2+2∙ x ∙1 6+(1
6)
2
=(x+1 6)
2
變成完全平方式!
a2+2 a b+b2=(a+b)2
重點提問
1. 根據上面的課文,我們可以利用哪兩個乘法公式來將式子配成完 全平方式?
2. 請在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+mx+□ 。 從題目來觀察,應該要利用和的平方公式來協助配成完全平方法。
集滿「 a2+2 ab+b2 」,就可以換成 (a+b)2 !
將 當成 a 、 當成 2 ab , mx=¿ 2∙ ∙
,
那麼 當成 b ,所以 □ 要填入 b2=¿ 。
填入之後, x2+mx+□=¿
它的完全平方式就是 。
B.隨堂練習:
1.
在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+2 x +□2.
在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2−8 x+□3.
在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+3 x +□4. 在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2−x+□
5. 在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2−12x+□
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/w atch?v=tUGmuWF2rvI
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/w atch?v=8u1fnbAymXk
單元三:利用配方法解一元二次方程式
(三)課文 C:利用配方法解
x2係數為 1 的一元二次方程 式
懂了利用平方根的概念解一元二次方程式,也知道如何將一個一元 二次多項式配成完全平方後,接下來就來看如何利用配方法解一般 的一元二次方程式吧!
課文A 一開始就舉出一個例子,解一元二次方程式 x2+6 x +2=0 , 這個等號左邊的 x2+6 x +2 無法利用提公因式、乘法公式、十字交乘 法來因式分解,自然無法利用因式分解法來解。
那麼怎麼利用配方法來解呢?
首先,我們思考一下,是要解出什麼來?
是要解一元二次方程式 x2+6 x +2=0 這個方程式的解,求出 x ,所 以主角是 x !
那麼我們就習慣將跟 x 比較有關的 x2 、 +6 x 放一起,把 +2 移項到等號右邊,那麼式子就會變成: x2+6 x=−2 。
接下如果我們可以將式子變成「 (x+□)2=◯ 」這個形式的話,就可 以用平方根的概念來解了。
也就是要想辦法配出完全平方式來,要配成完全平方式需要集滿「
a2+2 ab+b2 」才可以換成 (a+b )2 。
嘗試處理 x2+6 x ,把 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 6 x 就當成是 2 ab ,想一下 6 x=2 ∙ x ∙ ? , 6 x=2 ∙ x ∙3 ,也就是說 把 3 當成 b 。
有 a2 、 2 ab ,所以還缺少 b2 ,再加上 b2 就集滿「
a2+2 ab+b2 」。
也就是 x2+6 x 再加上 32 ,就可以配成完全平方了。
因為是等式,等號左邊要加上 32 ,等號右邊當然也要加上 32 , 才能維持等式成立,所以式子就會變成: x2+6 x +32=−2+32
等式左邊: x2+6 x +32=x2+2 ∙ x ∙3+32=(x +3)2 a2+2 a b+b2=(a+b)2
所以式子可以整理成: (x+3)2=−2+32
(x+3)2=−2+9 (x+3)2=7
這時候我們就可以利用平方根的概念來解了,
整個的平方等於 7 : (x+3)2=7 ,所以 (x+3)=
√
7 或 −√
7 。x+3=
√
7 或 x+3=−√
7x=−3+
√
7 或 x=−3−√
7x=−3+
√
7 或 −3−√
7再來看看一題吧!
Ex1.利用配方法解一元二次方程式 x2−10 x+8=0 解題思維:
移項一下,式子變成: x2−10 x=−8 ,我們就來想怎麼配成平方。
x2−10 x ,我們要集滿「 a2−2 ab+b2 」換成 (a−b)2 。
把 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 10 x 就當成是 2 ab ,
想一下 10 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?
10 x=2∙ x ∙ 5 ,也就是說把 5 當成 b 。
有 a2 、 2 ab ,所以還缺少 b2 ,再加上 b2 就集滿「
a2−2 ab+b2 」。
也就是 x2−10 x 再加上 52 ,就可以配成完全平方了。
因為是等式,等號左邊要加上 52 ,等號右邊當然也要加上 52 , 才能維持等式成立,所以式子就會變成: x2−10 x+52=−8+52
等式左邊: x2−10 x+52=x2−2∙ x ∙ 5+52=(x−5)2 a2−2 ab +b2=(a−b)2
所以式子可以整理成: (x−5)2=−8+52
(x−5)2=−8+ 25 (x−5)2=17
這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。
解: x2−10 x+8=0
x2−10 x=−8
x2−10 x+52=−8+52=−8+25=17 (x−5)2=17
(x−5)=
√
17 或 (x−5)=−√
17x=5+
√
17 或 5−√
17再來練習看看一題比較難配方的題目!
Ex2.利用配方法解一元二次方程式 x2−5 x=2 解題思維:
跟 x 比較有關的已經一起,接下來就來想怎麼配成平方吧!
x2−5 x ,我們要集滿「 a2−2 ab+b2 」換成 (a−b)2 。
把 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 5 x 就當成是 2 ab ,
想一下 5 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?
5 x=2∙ x ∙5
2 ,也就是說把 52 當成 b 。
有 a2 、 2 ab ,所以還缺少 b2 ,再加上 b2 就集滿「
a2−2 ab+b2 」。
也就是 x2−5 x 再加上 (52)
2
,就可以配成完全平方了。
因為是等式,等號左邊要加上 (52)
2
,等號右邊當然也要加上
(5 2)
2
,才能維持等式成立,所以式子就會變成:
x2−5 x+(5 2)
2
=2+(5 2)
2
等式左邊: x2−5 x+
(
52)
2=x2−2 ∙ x ∙52+(5 2)2
=(x−5 2)
2
a2−2 ab +b2=(a−b)2
所以式子可以整理成: (x−52)
2
=2+(5 2)
2
(x−5 2)
2
=2+25 4
(x−5 2)
2
=8 4+25
4
(x−5 2)
2
=33 4
這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。
解: x2−5 x−2=0
x2−5 x=2
x2−5 x+(5 2)
2
=2+(5 2)
2
=2+25 4 =8
4+25 4 =33
4
(x−5 2)
2
=33 4
(x−5
2)=
√
334 或(
x−52)
=−√
334(
x−52)
=√ √
334 或(
x−52)
=−√ √
433(
x−52)
=√
233 或(
x−52)
=−√
233 x=√
332 +5
2 或 x=−
√
332 +5 2
x=5+
√
332 或 5−
√
332
重點提問
1. 根據上面的課文,請用自己的話解釋一下什麼是「配方法」。
2. 請利用配方法解一元二次方程式 x2+4 x−4=0
C.隨堂練習:
1.
利用配方法解一元二次方程式 x2+8 x−7=02.
利用配方法解一元二次方程式 x2−2 x =33.
利用配方法解一元二次方程式 x2+x−1=04. 利用配方法解一元二次方程式 x2−3 x=10 還是不太懂,
請看下面影片
https://www.youtube.com/w atch?v=bdFnaAofZZ0
單元三:利用配方法解一元二次方程式
(四)課文 D:利用配方法解
x2係數不為 1 的一元二次方 程式
如果我們今天遇到 x2 係數不為 1 的一元二次方程式,怎麼辦呢?
其實就把它變回去 x2 係數為 1 的一元二次方程式就好了!舉個例 子!
我們要解 3 x2+x−1=0 這個一元二次方程式,它的 x2 係數是 3 啊!
因為是等式,所以等號左右同除以 3 依然相等:
3 x2 3 +x
3−1 3=0
3
它的 x2 係數變成 1 了:
x2+1 3x−1
3=0
將 −13 移項到等號右 邊:
x2+1 3x=1
3
x2+1
3x 想要配成完全平方,我們要集滿「 a2+2 ab+b2 」換成
(a+ b)2 。
把 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 13x 就當成是 2 ab ,
想一下 13 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是 13 的一半: 61 。
1
3 x=2 ∙ x ∙1
6 ,也就是把 61 當成 b ;所以最後再加個 (16)
2
就集 滿「 a2+2 ab+b2 」了。
而等號左邊要加上 (16)
2
,等號右邊當然也要加上 (16)
2
,才能維 持等式成立:
x2+1 3x +(1
6)
2
=1 3+(1
6)
2
等號左邊:
x2+1 3x +(1
6)
2
=x2+2∙ x ∙1 6+(1
6)
2
=(x+1 6)
2
a2+2 a b+b2=(a+b)2
等號右邊: 1
3+
(
61)
2=13+ 1 36¿ 12 3 × 12+ 1
36
¿12 36+ 1
36
¿13 36
整個式子: (x+1 6)
2
=13 36
將
(
x +61)
看成一整個東西,利用平方根的概念:(
x +61)
2=1336(
x +61)
¿√
1336或
−√
1336x+1 6=
√
13√
36或
x+16=−√ √
3613x+1 6=
√
136
或
x+16=−√
613將 +61 移項到等號右 邊:
x=−1 6 +
√
136
或
x=−16 −√
613x=−1+
√
136
或
−1−6√
13重點提問
1. 請利用配方法解一元二次方程式 2 x2−4 x +1=0
D.隨堂練習:
1.
利用配方法解一元二次方程式 2 x2+6 x +1=02.
利用配方法解一元二次方程式 3 x2−2 x=1還是不太懂,
請看下面影片
https://www.youtube.com/w atch?v=ROtxIS8Dm0M
單元四:利用公式解解一元二次方程式
(一)課文 A:一元二次方程式的一般式
我們前面學過解一元二次方程式有兩種方法:因式分解法跟配方法,
接下來我們要來看最後一種解法:公式解。
在介紹這個公式之前,要先介紹「一元二次方程式的一般式」。
什麼是一元二次方程式的一般式呢?就是只要是一元二次方程式,
都一定可以寫成「 a x2+bx+c=0 」的樣子,「 a x2+bx+c=0 」就是 一元二次方程式的一般式!
真的可以代表所有的一元二次方程式嗎?我們舉一些例子來試試看!
3 x2+4 x+1=0 ,明顯跟一般式「 a x2+bx+c=0 」完全符合,再比對 一下: 3 x2 +4 x +1 ¿0
a x2 +bx +c ¿0 會發現 3 x2+4 x+1=0 的 a=3 、 b=4 、 c=1
那 −x2+3 x=−1 呢?看起來好像不太像,但是我們可以移項一下。
等號右邊的 −1 移項到等號左邊變 +1 ,整個式子變成
−x2+3 x +1=0 ,
符合一般式「 a x2+bx+c=0 」了。
比對一下,: −x2 +3 x +1 ¿0
a x2 +bx +c ¿0
−x2 代表是 −1∙ x2 ,所以 a=−1、b=3、c=1
再舉一個例子, 4 x2−5=0 ,好像不太一樣,它只有兩項,但
a x2+bx+c=0 有三項,那怎麼辦?
很簡單, 4 x2−5=0 缺了 x 項,所以就補項 +0 x ,變成:
4 x2+0 x−5=0 。
但是要注意「 a x2 bx+c=0 」每一項都是加的,所以把式子變成:
4 x2 +0 x +(−5) ¿0 a x2 +bx +c ¿0
比對一下,就知道 a=4、b=0、c=−5 。
如果你對找係數很熟悉的話,你也可以用係數來看,在一元二次方 程式的一般式 a x2+bx+c=0 中, a 所代表的就是 x2 的係數、 b 所代表的就是 x 的係數、 c 所代表的就是常數項。
再來看一下 4 x2−5=0 這個一元二次方程式, x2 的係數是 4 ;沒 有 x 項,所以代表 x 項的係數是 0 ;常數項是 −5 。因此
a=4 、 b=0 、 c=−5 。
不管怎麼舉例,只要是一元二次方程式,都一定可以寫成一般式「
a x2+bx+c=0 」的樣子,也可以找出 x2 係數 a 、 x 的係數 b 、 常數 c 。
重點提問
1. 根據上面的課文,請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的「一般式」。並舉出一個例子說明。
A.隨堂練習:
1.
請將下列一元二次方程式化為一般式「 a x2+bx+c=0 」的樣子,並找出各式的 a、b、c 。
(1)
3 x2−2 x=1(2)
x2−2 x =3(3)
x2=3 x−4單元四:利用公式解解一元二次方程式
(二)課文 B:利用公式解解一元二次方程式
只要是一元二次方程式,都一定可以寫成一般式「 a x2+bx+c=0 」 的樣子,也可以找出 x2 係數 a 、 x 的係數 b 、常數 c ,然後
我們就可以將 a 、 b 、 c 代入「 x=−b ±
√
b2−4 ac2a 」這個公式,
而這個公式就是所謂的「公式解」。
那這個公式是怎麼來的呢?
任何的一元二次方程式,都一定可以寫成一般式「 a x2+bx+c=0 」 的樣子,所以我們來解解看 a x2+bx+c=0 這個一元二次方程式的解 會是怎樣。
我們要解一元二次方程式 a x2+bx+c=0 ,它的 x2 係數是 a ,而 且因為它是一元二次方程式,所以 a ≠ 0 。
將它整個式子同除以 a
:
a x2 a +bx
a +c a=0
a
它的 x2 係數變成 1 了:
x2+b a x+c
a=0
將 +ac 移項到等號右 邊:
x2+b
a x=−c a
x2+b
a x 想要配成完全平方,我們要集滿「 □2+2∙ □ ∙△+△2 」換成
(□+△)2 。
把 x2 當成 □2 ,就是把 x 當成 □ ;那 bax 就當成是 2 □ ∙△
,
想一下 bax=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是 ba 的一半: 2 ab 。
b
ax=2 ∙ x ∙ b
2 a ,也就是把 2 ab 當成 △ ;所以最後再加個 (2ab )
2
就集滿「 □2+2∙ □ ∙△+△2 」了。
而等號左邊要加上 (2ab )
2
,等號右邊當然也要加上 (2ab )
2
,才能 維持等式成立:
x2+b a x+( b
2 a)
2
=−c a +( b
2 a)
2
等號左邊:
x2+b a x+( b
2 a)
2
=x2+2∙ x ∙ b 2 a+( b
2 a)
2
=(x + b 2 a)
2
□2+2∙ □ ∙△+△2=(□ +△)2
等號右邊: −c
a +
(
2 ab)
2=−ca + b24 a2
¿−c ∙ 4 a a ∙ 4 a+ b2
4 a2
¿−4 ac 4 a2 + b2
4 a2
¿b2−4 ac
4 a2 整個式子: (x+ b
2 a)
2
=b2−4 ac 4 a2
將
(
x +2 ab)
看成一整個物件,利用平方根的概念:(
x +2 ab)
2=b2−4 ac4 a2(
x +2 ab)
¿±√
b2−4 a4 ac2x+ b
2 a=±
√
b2−4 ac√
4 a2x+ b
2 a=±
√
b2−4 ac2 a
將 +2 ab 移項: x=−b2 a±
√
b2−4 ac2 a =−b ±
√
b2−4 ac2 a
既然知道這個「 x=−b ±
√
b2−4 ac2a 」公式,那麼我們就可以利用公式 解來解一些一元二次方程式了!
Ex1.利用公式解,求出一元二次方程式 x2+6 x +2=0 的解。
解:
一元二次方程式 x2 +6 x +2=0 ,
已經是一般式「 a x2 +bx +c=0 」的樣子了,
所以可以知道 a=1、b=6、c=2 。 將 a=1、b=6 、c=2 代入 −b ±
√
b2−4 ac2 a
一次全部代入的話,計算量太大了,我們可以分批算,先算根 號裡面的東西: b2−4 ac 。
b2−4 ac =62−4 ×1 ×2=36−8=28
x=−b ±
√
b2−4 ac2a =−6 ±√28
2× 1 =−6 ±2√7
2 =−3 ±√7
x2+6 x +2=0 的解是 −3+
√
7 或 −3−√
7Ex2.利用公式解,求出一元二次方程式 x2−5 x=2 的解。
解:還不是一般式的樣子,先換成一般式「 a x2+bx+c=0 」的樣子,
將等號右邊的 2 移項: x2−5 x−2=0 。
x2 的係數是 1 ; x 項的係數是 −5 ;常數項是 −2 。 所以可以知道 a=1、 b=−5、c=−2 。
將 a=1、 b=−5、c=−2 代入 −b ±
√
b2−4 ac2 a
一次全部代入的話,計算量太大了,我們可以分批算,先算根 號裡面的東西: b2−4 ac 。
b2−4 ac =(−5)2−4 ×1 ×(−2)=25+8=33
x=−b ±
√
b2−4 ac2a =−(−5)±
√
332 ×1 =5 ±
√
33 2x2−5 x=2 的解是 5+
√
332 或 5−
√
332