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Academic year: 2022

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(1)

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單元三:利用配方法解一元二次方程式...1

課文 A:利用平方根的概念解一元二次方程式...1

課文 B:配成完全平方式...8

課文 C:利用配方法解 x 2 係數為 1 的一元二次方程式...18

課文 D:利用配方法解 x 2 係數不為 1 的一元二次方程式...25

單元四:利用公式解解一元二次方程式...29

課文 A:一元二次方程式的一般式...29

課文 B:利用公式解解一元二次方程式...32

課文 C:一元二次方程式的判別式...39

單元五:一元二次方程式的應用問題...46

課文 A:一元二次方程式的應用問題...46

(2)
(3)

單元三:利用配方法解一元二次方程式

(一)課文 A:利用平方根的概念解一元二次方程式

上一單元我們利用因式分解法解一元二次方程式,但是所有的一元 二次方程式都可以利用因式分解法來解嗎?

試試看解一元二次方程式 x2+6 x +2=0

要將左邊 x2+6 x +2 因式分解,讓整個成為「 A × B=0 」的形式:

x2、6 x、+2 各項沒有共同的公因式,所以不能提公因式;

如果我們嘗試用和的平方公式因式分解 x2+6 x +2x 當成 a

6 x=2 ∙ x ∙33 當成 b ,可是 32=9 不是 2 ,所以不符合乘法公式;

試試看用十字交乘法,「拆前面、拆後面、造中間」,前面 x2

x ∙ x ,後面 +2 拆成 (+2)×(+1) ,看看造中間,也發現沒辦法

成功造中間,所以也沒辦法利用十字交乘法。

這種沒辦法利用因式分解法來解的一元二次方程式怎麼辦?

接下來要介紹新的方法!

我們先來看一些比較簡單的例子!

Ex1.解下列一元二次方程式:

(1) x2=4 (2) x2=7

解:這兩題都是很單純一元二次方程式的題目,就其實是求平方根。

(1) x2=4 ,指的意思是 x4 的平方根。

4 是 2 的平方,也是 −2 的平方,所以 x=2−2 。 (2) x2=7 ,指的意思是 x7 的平方根。

x

x 2 3

1 x x 2 x

 

(4)

7

7 的平方,也是

7 的平方,所以 x=

7

7

再來看稍微複雜一點的題目!

Ex2.解下列一元二次方程式:

(1) (x−1)2=4 (2) (x+3)2=7

解:(1)這題我們可以利用因式分解的方法來解,也可以用不同方法 來試試看!

(x−1)2=4 ,我們先將 ( x−1) 看成一整個物件。

一整個物件的平方等於 4(x−1)2=4 ,所以 (x−1)=2

−2 。

x−1=2x−1=−2

x=2+1x=−2+1

x=3−1

(2) (x+3)2=7 ,我們先將 (x+3) 看成一整個物件。

整個物件的平方等於 7(x+3)2=7 ,所以 (x+3)=

7

7

x+3=

7 x+3=−

7

x=−3+

7x=−3−

7

x=−3+

7

−3−

7

Ex3. 解下列一元二次方程式:

(1) x2=1336 (2) (x+16)

2

=13 36

解:

(1) x2=1336 ,指的意思是 x1336 的平方根,所以 x=±

1336

1336=

1336=

136

(5)

平方根有兩個:正跟負,所以 x=

13

6

13

6

(2) (x+16)

2

=13

36 ,我們先將

(

x +61

)

看成一整個物件。

整個物件的平方等於 1336

(

x +61

)

2=1336 , 從(1)可以知道

(

x +61

)

=

613

13

6

x+1 6=

13

6x+16=

13

6

x=−1 6 +

13

6x=−16

13

6

x=−1+

13

6

−1−

13

6

在Ex1、Ex2 與 Ex3 中,我們都用到了平方根的觀念來解一元二次 方程式,而這個平方根的觀念就是配方法很重要的想法。

我們要利用平方根的觀念來解一元二次方程式,就需要將每一個一 元二次式變成完全平方式的樣子,像是 (x−1)2(x+3)2 ,於是整 個式子就變成「 (x+□)2=◯ 」形式,像是 (x−1)2=4(x+3)2=7 , 接下來就可以利用平方根的觀念解出 x 來了!

而變成完全平方式的過程,這個方法就是所謂的「配方法」(配成完 全平方式的方法)。

(6)

重點提問

1. 根據上面的課文,要利用「配方法」解一元二次方程式,會利用 到什麼樣的觀念?

2. 根據上面的課文,我們可以利用平方根的觀念解怎樣的一元二次 方程式?請舉出一個例子說明。

(7)

A.隨堂練習:

1.

解一元二次方程式 x2=8

2.

解一元二次方程式 x2=17

3.

解一元二次方程式 x2=334

4.

解一元二次方程式 (x+2)2=8

5.

解一元二次方程式 (x−5)2=17

(8)

6.

解一元二次方程式 (x−52)2=334

還是不太懂,

請看下面影片

https://www.youtube.com/w atch?v=-t0PTmieSB8

(9)

單元三:利用配方法解一元二次方程式

(二)課文 B:配成完全平方式

「配方法」就是要將式子配成完全平方式的方法,接下來我們就要 先看如何配成完全平方式。

在了解如何配成完全平方式之前,

先複習一下乘法公式,主要會用到兩種公式:

1.和的平方公式: (a+b )2=a2+2 ab+b2

這個公式表示的意思是說 (a+b )2 展開就會變成 a2+2 ab+b2 ;反過 來說就是只要集滿「 a2+2 ab+b2 」,就可以換成 (a+b )2 ,而這就 是一種完全平方式了!

2.差的平方公式: (a−b)2=a2−2 ab+b2

這個公式表示的意思是說 (a−b)2 展開就會變成 a22 ab+b2 ;反 過來說就是只要集滿「 a2−2 ab+b2 」,就可以換成 (a−b)2 ,而 這就是一種完全平方式了!

我們就是利用乘法公式的概念去配成完全平方式。

Ex1.在空格中填入適當的數,並將下列各式變成完全平方式。

(1) x2+6 x+□ (2) x2−10 x +□

解:

(1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「

x2+6 x +□ 」這個式子結構跟「 a2+2 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2+2 ab+b2 」就可以換成 (a+b )2

(10)

x2+6 x +□

這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 6 x 就當成是

2 ab

想一下 6 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是多少?

6 x=2 ∙ x ∙3 ,也就是說把 3 當成 b

所以最後再加個 b2 就集滿「 a2+2 ab+b2 」了。

如下面的式子:

x2+6 x +□=x2+2 ∙ x ∙3+□

a2+2 a b+b2

所以 只要填入 32

就有集滿「 a2+2 ab+b2 」,可以變成 (a+b )2 。 試試看,

x2+6 x +32=x2+2 ∙ x ∙3+32=(x +3)2 變成完全平方式了!

a2+2 a b+ b2=(a+b)2

(2) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「

x2−10 x+□ 」這個式子結構跟「 a22 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2−2 ab+b2 」就可以換成 (a−b)2

x2−10 x+□

這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 10 x 就是 2 ab

想一下 10 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?

10 x=2∙ x ∙ 5 ,也就是可以把 5 當成 b

所以最後再加個 b2 就集滿「 a22 ab+b2 」了。

如下面的式子:

x2−10 x+□=x2−2∙ x ∙ 5+□

a2−2 ab +b2

所以 只要填入 52

就有集滿「 a2−2 ab+b2 」,可以變成 (a−b)2 。 試試看,

x2−10 x+52=x2−2∙ x ∙ 5+52=(x−5)2 變成完全平方式了!

a22 ab +b2=(a−b)2

(11)

Ex2.在空格中填入適當的數,並將下列各式變成完全平方式。

(1) x2−5 x +□ (2) x2+7 x+□

解:

(1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「

x2−5 x+□ 」這個式子結構跟「 a22 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2−2 ab+b2 」就可以換成 (a−b)2

x2−5 x+□

這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那麼 5 x 就是

2 ab

想一下 5 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?

5 x=2∙ x ∙5

2 ,也就是把 52 當成 b

所以最後再加個 b2 就集滿「 a22 ab+b2 」了。

如下面的式子:

x2−5 x+□=x2−2∙ x ∙5 2+□

a2−2 ab +b2

所以 只要填入 (52)

2

就有集滿「 a2−2 ab+b2 」,可以變成 (a−b)2 。 試試看,

x2−5 x+

(

52

)

2=x2−2 ∙ x ∙52+(5 2)

2

=(x−5 2)

2

變成完全平方式!

a2−2 ab +b2=(a−b)2

(2) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「

x2+7 x +□ 」這個式子結構跟「 a2+2 ab+b2 」比較像,所以我 們只要集滿「 a2+2 ab+b2 」就可以換成 (a+b )2

x2+7 x +□

這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那麼 7 x 就是

2 ab

(12)

想一下 7 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是多少?

7 x=2 ∙ x ∙7

2 ,就是把 72 當成 b

所以最後再加個 b2 就集滿「 a2+2 ab+b2 」了。

如下面的式子:

x2+7 x +□=x2+2 ∙ x ∙7 2+□

a2+2 a b+b2

所以 只要填入 (72)

2

就有集滿「 a2+2 ab+b2 」,可以變成 (a+b)2 。 試試看,

x2+7 x +(7 2)

2

=x2+2∙ x ∙7 2+(7

2)

2

=(x+7 2)

2

變成完全平方式!

a2+2 a b+b2=(a+b)2

省思:

我們來對照一下這些例子!

x2+6 x +32=x2+2 ∙ x ∙3+32=(x +3)2 x2−10 x+52=x2−2∙ x ∙ 5+52=(x−5)2 x2−5 x+

(

52

)

2=x2−2 ∙ x ∙52+(5

2)

2

=(x−5 2)

2

x2+7 x +

(

72

)

2=x2+2∙ x ∙72+(7 2)

2

=(x+7 2)

2

從這4 個例子觀察,可以看到一些特性,

x2 係數都是 1 ,框框填的都是原本 x 前面數字一半的平方,也 就是 b 會是原本 x 前面數字的一半。

例如:

x2+6 xx 前面數字是 6b 計算出來就是 33 就是 6 的 一半。 x2+6 x 再加上 32 才集滿「 x2+2 ∙ x ∙ 3+32 」可以換成 (x+3)2

x2−10 xx 前面數字是 10b 計算出來就是 55 就是 10

的一半。 x2−10 x 再加上 52 才集滿「 x2−2∙ x ∙ 5+52 」可以換成

(x−5)2

(13)

x2−5 xx 前面數字是 5b 計算出來就是 5252 就是 5 的 一半。 x2−5 x 再加上 (52)

2

才集滿「 x2−2∙ x ∙52+(52)

2

」可以換成

(x−5 2)

2

x2+7 xx 前面數字是 7b 計算出來就是 7272 就是 7 的 一半。 x2+7 x 再加上 (72)

2

才集滿「 x2+2 ∙ x ∙72+(72)

2

」可以換成

(x+7 2)

2

Ex3.在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+13x +□ 。 解:

我們需要利用乘法公式來配成完全平方式,從題目來觀察,「

x2+1

3x +□ 」這個式子結構跟「 a2+2 ab+b2 」比較像,

所以我們只要集滿「 a2+2 ab+b2 」就可以換成 (a+b )2

x2+1 3x +□

這裡的 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那麼 13 x 就是

2 ab

想一下 13 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是多少?問號會是 13 的一半:

1

6

1

3 x=2 ∙ x ∙1

6 ,也就是把 61 當成 b

所以最後再加個 b2 就集滿「 a2+2 ab+b2 」了。

如下面的式子:

(14)

x2+1

3x +□=x2+2 ∙ x ∙1 6+

a2+2 a b+b2

所以 只要填入 (16)

2

就有集滿「 a2+2 ab+b2 」,可以變成 (a+b)2 。 試試看,

x2+1 3x +(1

6)

2

=x2+2∙ x ∙1 6+(1

6)

2

=(x+1 6)

2

變成完全平方式!

a2+2 a b+b2=(a+b)2

重點提問

1. 根據上面的課文,我們可以利用哪兩個乘法公式來將式子配成完 全平方式?

2. 請在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+mx+□ 。 從題目來觀察,應該要利用和的平方公式來協助配成完全平方法。

集滿「 a2+2 ab+b2 」,就可以換成 (a+b)2

將 當成 a 、 當成 2 abmx=¿ 2∙

那麼 當成 b ,所以 要填入 b2=¿ 。

填入之後, x2+mx+□=¿

(15)

它的完全平方式就是 。

(16)

B.隨堂練習:

1.

在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+2 x +□

2.

在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2−8 x+□

3.

在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2+3 x +□

4. 在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x2x+□

5. 在空格中填入適當的數,並變成完全平方式: x212x+□

(17)

還是不太懂,

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/w atch?v=tUGmuWF2rvI

還是不太懂,

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/w atch?v=8u1fnbAymXk

(18)

單元三:利用配方法解一元二次方程式

(三)課文 C:利用配方法解

x2

係數為 1 的一元二次方程

懂了利用平方根的概念解一元二次方程式,也知道如何將一個一元 二次多項式配成完全平方後,接下來就來看如何利用配方法解一般 的一元二次方程式吧!

課文A 一開始就舉出一個例子,解一元二次方程式 x2+6 x +2=0 , 這個等號左邊的 x2+6 x +2 無法利用提公因式、乘法公式、十字交乘 法來因式分解,自然無法利用因式分解法來解。

那麼怎麼利用配方法來解呢?

首先,我們思考一下,是要解出什麼來?

是要解一元二次方程式 x2+6 x +2=0 這個方程式的解,求出 x ,所 以主角是 x

那麼我們就習慣將跟 x 比較有關的 x2+6 x 放一起,把 +2 移項到等號右邊,那麼式子就會變成: x2+6 x=−2

接下如果我們可以將式子變成「 (x+□)2=◯ 」這個形式的話,就可 以用平方根的概念來解了。

也就是要想辦法配出完全平方式來,要配成完全平方式需要集滿「

a2+2 ab+b2 」才可以換成 (a+b )2

嘗試處理 x2+6 x ,把 x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 6 x 就當成是 2 ab ,想一下 6 x=2 ∙ x ∙ ?6 x=2 ∙ x ∙3 ,也就是說 把 3 當成 b

a22 ab ,所以還缺少 b2 ,再加上 b2 就集滿「

(19)

a2+2 ab+b2 」。

也就是 x2+6 x 再加上 32 ,就可以配成完全平方了。

因為是等式,等號左邊要加上 32 ,等號右邊當然也要加上 32 , 才能維持等式成立,所以式子就會變成: x2+6 x +32=−2+32

等式左邊: x2+6 x +32=x2+2 ∙ x ∙3+32=(x +3)2 a2+2 a b+b2=(a+b)2

所以式子可以整理成: (x+3)2=−2+32

(x+3)2=−2+9 (x+3)2=7

這時候我們就可以利用平方根的概念來解了,

整個的平方等於 7(x+3)2=7 ,所以 (x+3)=

7

7

x+3=

7 x+3=−

7

x=−3+

7 x=−3−

7

x=−3+

7−3−

7

再來看看一題吧!

Ex1.利用配方法解一元二次方程式 x2−10 x+8=0 解題思維:

移項一下,式子變成: x2−10 x=−8 ,我們就來想怎麼配成平方。

x2−10 x ,我們要集滿「 a2−2 ab+b2 」換成 (a−b)2

x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 10 x 就當成是 2 ab

想一下 10 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?

10 x=2∙ x ∙ 5 ,也就是說把 5 當成 b

a22 ab ,所以還缺少 b2 ,再加上 b2 就集滿「

a22 ab+b2 」。

(20)

也就是 x2−10 x 再加上 52 ,就可以配成完全平方了。

因為是等式,等號左邊要加上 52 ,等號右邊當然也要加上 52 , 才能維持等式成立,所以式子就會變成: x2−10 x+52=−8+52

等式左邊: x2−10 x+52=x2−2∙ x ∙ 5+52=(x−5)2 a2−2 ab +b2=(a−b)2

所以式子可以整理成: (x−5)2=−8+52

(x−5)2=−8+ 25 (x−5)2=17

這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。

解: x2−10 x+8=0

x2−10 x=−8

x2−10 x+52=−8+52=−8+25=17 (x−5)2=17

(x−5)=

17 (x−5)=−

17

x=5+

175−

17

再來練習看看一題比較難配方的題目!

Ex2.利用配方法解一元二次方程式 x2−5 x=2 解題思維:

x 比較有關的已經一起,接下來就來想怎麼配成平方吧!

x2−5 x ,我們要集滿「 a2−2 ab+b2 」換成 (a−b)2

x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 5 x 就當成是 2 ab

想一下 5 x=2∙ x ∙ ? ,問號會是多少?

(21)

5 x=2∙ x ∙5

2 ,也就是說把 52 當成 b

a22 ab ,所以還缺少 b2 ,再加上 b2 就集滿「

a22 ab+b2 」。

也就是 x2−5 x 再加上 (52)

2

,就可以配成完全平方了。

因為是等式,等號左邊要加上 (52)

2

,等號右邊當然也要加上

(5 2)

2

,才能維持等式成立,所以式子就會變成:

x2−5 x+(5 2)

2

=2+(5 2)

2

等式左邊: x2−5 x+

(

52

)

2=x2−2 ∙ x ∙52+(5 2)

2

=(x−5 2)

2

a2−2 ab +b2=(a−b)2

所以式子可以整理成: (x−52)

2

=2+(5 2)

2

(x−5 2)

2

=2+25 4

(x−5 2)

2

=8 4+25

4

(x−5 2)

2

=33 4

這時候我們就可以利用平方根的概念來解了。

解: x2−5 x−2=0

x2−5 x=2

(22)

x2−5 x+(5 2)

2

=2+(5 2)

2

=2+25 4 =8

4+25 4 =33

4

(x−5 2)

2

=33 4

(x−5

2)=

334

(

x−52

)

=−

334

(

x−52

)

=

334

(

x−52

)

=

433

(

x−52

)

=

233

(

x−52

)

=

233 x=

33

2 +5

2x=

33

2 +5 2

x=5+

33

25−

33

2

重點提問

1. 根據上面的課文,請用自己的話解釋一下什麼是「配方法」。

2. 請利用配方法解一元二次方程式 x2+4 x−4=0

(23)

C.隨堂練習:

1.

利用配方法解一元二次方程式 x2+8 x−7=0

2.

利用配方法解一元二次方程式 x2−2 x =3

3.

利用配方法解一元二次方程式 x2+x−1=0

4. 利用配方法解一元二次方程式 x2−3 x=10 還是不太懂,

請看下面影片

https://www.youtube.com/w atch?v=bdFnaAofZZ0

(24)

單元三:利用配方法解一元二次方程式

(四)課文 D:利用配方法解

x2

係數不為 1 的一元二次方 程式

如果我們今天遇到 x2 係數不為 1 的一元二次方程式,怎麼辦呢?

其實就把它變回去 x2 係數為 1 的一元二次方程式就好了!舉個例 子!

我們要解 3 x2+x−1=0 這個一元二次方程式,它的 x2 係數是 3 啊!

因為是等式,所以等號左右同除以 3 依然相等:

3 x2 3 +x

31 3=0

3

它的 x2 係數變成 1 了:

x2+1 3x−1

3=0

−13 移項到等號右 邊:

x2+1 3x=1

3

x2+1

3x 想要配成完全平方,我們要集滿「 a2+2 ab+b2 」換成

(a+ b)2

x2 當成 a2 ,就是把 x 當成 a ;那 13x 就當成是 2 ab

想一下 13 x=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是 13 的一半: 61

1

3 x=2 ∙ x ∙1

6 ,也就是把 61 當成 b ;所以最後再加個 (16)

2

就集 滿「 a2+2 ab+b2 」了。

而等號左邊要加上 (16)

2

,等號右邊當然也要加上 (16)

2

,才能維 持等式成立:

(25)

x2+1 3x +(1

6)

2

=1 3+(1

6)

2

等號左邊:

x2+1 3x +(1

6)

2

=x2+2∙ x ∙1 6+(1

6)

2

=(x+1 6)

2

a2+2 a b+b2=(a+b)2

等號右邊: 1

3+

(

61

)

2=13+ 1 36

¿ 12 3 × 12+ 1

36

¿12 36+ 1

36

¿13 36

整個式子: (x+1 6)

2

=13 36

(

x +61

)

看成一整個東西,利用平方根的概念:

(

x +61

)

2=1336

(

x +61

)

¿

1336

1336

x+1 6=

13

36

x+16=

3613

x+1 6=

13

6

x+16=

613

+61 移項到等號右 邊:

x=−1 6 +

13

6

x=−16

613

x=−1+

13

6

−1−6

13

(26)

重點提問

1. 請利用配方法解一元二次方程式 2 x24 x +1=0

D.隨堂練習:

1.

利用配方法解一元二次方程式 2 x2+6 x +1=0

2.

利用配方法解一元二次方程式 3 x2−2 x=1

(27)

還是不太懂,

請看下面影片

https://www.youtube.com/w atch?v=ROtxIS8Dm0M

(28)

單元四:利用公式解解一元二次方程式

(一)課文 A:一元二次方程式的一般式

我們前面學過解一元二次方程式有兩種方法:因式分解法跟配方法,

接下來我們要來看最後一種解法:公式解。

在介紹這個公式之前,要先介紹「一元二次方程式的一般式」。

什麼是一元二次方程式的一般式呢?就是只要是一元二次方程式,

都一定可以寫成「 a x2+bx+c=0 」的樣子,「 a x2+bx+c=0 」就是 一元二次方程式的一般式!

真的可以代表所有的一元二次方程式嗎?我們舉一些例子來試試看!

3 x2+4 x+1=0 ,明顯跟一般式「 a x2+bx+c=0 」完全符合,再比對 一下: 3 x2 +4 x +1 ¿0

a x2 +bx +c ¿0 會發現 3 x2+4 x+1=0a=3b=4c=1

−x2+3 x=−1 呢?看起來好像不太像,但是我們可以移項一下。

等號右邊的 −1 移項到等號左邊變 +1 ,整個式子變成

x2+3 x +1=0

符合一般式「 a x2+bx+c=0 」了。

比對一下,: x2 +3 x +1 ¿0

a x2 +bx +c ¿0

x2 代表是 −1∙ x2 ,所以 a=−1、b=3、c=1

再舉一個例子, 4 x2−5=0 ,好像不太一樣,它只有兩項,但

a x2+bx+c=0 有三項,那怎麼辦?

很簡單, 4 x2−5=0 缺了 x 項,所以就補項 +0 x ,變成:

4 x2+0 x−5=0

但是要注意「 a x2 bx+c=0 」每一項都是加的,所以把式子變成:

(29)

4 x2 +0 x +(−5) ¿0 a x2 +bx +c ¿0

比對一下,就知道 a=4、b=0、c=−5

如果你對找係數很熟悉的話,你也可以用係數來看,在一元二次方 程式的一般式 a x2+bx+c=0 中, a 所代表的就是 x2 的係數、 b 所代表的就是 x 的係數、 c 所代表的就是常數項。

再來看一下 4 x2−5=0 這個一元二次方程式, x2 的係數是 4 ;沒 有 x 項,所以代表 x 項的係數是 0 ;常數項是 −5 。因此

a=4b=0c=−5

不管怎麼舉例,只要是一元二次方程式,都一定可以寫成一般式「

a x2+bx+c=0 」的樣子,也可以找出 x2 係數 ax 的係數 b 、 常數 c

(30)

重點提問

1. 根據上面的課文,請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的「一般式」。並舉出一個例子說明。

A.隨堂練習:

1.

請將下列一元二次方程式化為一般式「 a x2+bx+c=0 」的樣子,

並找出各式的 a、b、c

(1)

3 x2−2 x=1

(2)

x2−2 x =3

(3)

x2=3 x−4

(31)

單元四:利用公式解解一元二次方程式

(二)課文 B:利用公式解解一元二次方程式

只要是一元二次方程式,都一定可以寫成一般式「 a x2+bx+c=0 」 的樣子,也可以找出 x2 係數 ax 的係數 b 、常數 c ,然後

我們就可以將 abc 代入「 x=−b ±

b2−4 ac

2a 」這個公式,

而這個公式就是所謂的「公式解」。

那這個公式是怎麼來的呢?

任何的一元二次方程式,都一定可以寫成一般式「 a x2+bx+c=0 」 的樣子,所以我們來解解看 a x2+bx+c=0 這個一元二次方程式的解 會是怎樣。

我們要解一元二次方程式 a x2+bx+c=0 ,它的 x2 係數是 a ,而 且因為它是一元二次方程式,所以 a ≠ 0

將它整個式子同除以 a

a x2 a +bx

a +c a=0

a

它的 x2 係數變成 1 了:

x2+b a x+c

a=0

+ac 移項到等號右 邊:

x2+b

a x=c a

x2+b

a x 想要配成完全平方,我們要集滿「 2+2∙ □ ∙△+△2 」換成

(□+△)2

x2 當成 2 ,就是把 x 當成 ;那 bax 就當成是 2 □ ∙

(32)

想一下 bax=2 ∙ x ∙ ? ,問號會是 ba 的一半: 2 ab

b

ax=2 ∙ x ∙ b

2 a ,也就是把 2 ab 當成 ;所以最後再加個 (2ab )

2

就集滿「 2+2∙ □ ∙△+△2 」了。

而等號左邊要加上 (2ab )

2

,等號右邊當然也要加上 (2ab )

2

,才能 維持等式成立:

x2+b a x+( b

2 a)

2

=−c a +( b

2 a)

2

等號左邊:

x2+b a x+( b

2 a)

2

=x2+2∙ x ∙ b 2 a+( b

2 a)

2

=(x + b 2 a)

2

2+2∙ □ ∙△+△2=(□ +△)2

等號右邊: c

a +

(

2 ab

)

2=−ca + b2

4 a2

¿−c ∙ 4 a a ∙ 4 a+ b2

4 a2

¿−4 ac 4 a2 + b2

4 a2

¿b2−4 ac

4 a2 整個式子: (x+ b

2 a)

2

=b2−4 ac 4 a2

(

x +2 ab

)

看成一整個物件,利用平方根的概念:

(

x +2 ab

)

2=b2−4 ac4 a2

(

x +2 ab

)

¿±

b24 a4 ac2

x+ b

2 a

b2−4 ac

4 a2

(33)

x+ b

2 a

b2−4 ac

2 a

+2 ab 移項: x=−b2 a±

b24 ac

2 a =b ±

b2−4 ac

2 a

既然知道這個「 x=−b ±

b2−4 ac

2a 」公式,那麼我們就可以利用公式 解來解一些一元二次方程式了!

Ex1.利用公式解,求出一元二次方程式 x2+6 x +2=0 的解。

解:

一元二次方程式 x2 +6 x +2=0

已經是一般式「 a x2 +bx +c=0 」的樣子了,

所以可以知道 a=1、b=6、c=2 。 將 a=1、b=6 、c=2 代入 −b ±

b2−4 ac

2 a

一次全部代入的話,計算量太大了,我們可以分批算,先算根 號裡面的東西: b2−4 ac

b24 ac =624 ×1 ×2=36−8=28

x=−b ±

b2−4 ac

2a =−6 ±√28

2× 1 =−6 ±2√7

2 =−3 ±√7

x2+6 x +2=0 的解是 −3+

7−3−

7

(34)

Ex2.利用公式解,求出一元二次方程式 x2−5 x=2 的解。

解:還不是一般式的樣子,先換成一般式「 a x2+bx+c=0 」的樣子,

將等號右邊的 2 移項: x2−5 x−2=0

x2 的係數是 1x 項的係數是 −5 ;常數項是 −2 。 所以可以知道 a=1、 b=−5、c=−2

a=1、 b=−5、c=−2 代入 −b ±

b2−4 ac

2 a

一次全部代入的話,計算量太大了,我們可以分批算,先算根 號裡面的東西: b2−4 ac

b24 ac =(−5)2−4 ×1 ×(−2)=25+8=33

x=−b ±

b2−4 ac

2a =−(−5)±

33

2 ×1 =5 ±

33 2

x2−5 x=2 的解是 5+

33

25−

33

2

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