【求證】L 為圓 O 的切線

點與圓的位置關係

任意一點 P 與圓 O 的位置：將一點 P 慢慢向圓靠近，會有下列三種情形：

1.P 點在圓 O 外：如圖，即 OP ＞r

2.P 點在圓 O 上：如圖，即 OP ＝r

3.P 點在圓 O 內：如圖，即 OP ＜r

直線與圓的位置關係

在平面上一圓與一直線位置關係：將一直線 L 慢慢向圓靠近，會有下列三種情形：

r  P 

O 

O  P  r  O 

P  r 

2.相交於一點：直線 L 與圓 O 只交於 P 點，則直線 L 叫做圓 O 的切線，P 點叫做切點，

直線 L 與圓 O 的距離 OP ＝r（圓 O 的半徑）

3.相交於兩點：直線 L 與圓 O 相交於 A 與 B 兩點，則稱直線 L 叫做圓 O 的割線。

直線 L 與圓 O 的距離 OD ＜r（圓 O 的半徑）

切線性質：

【性質 1】圓心到切線距離等於圓的半徑且圓心與切點的連線必垂直此切線。

【性質 2】過一圓直徑端點的垂線必為此圓切線。

1.圓心到切線距離等於圓的半徑且圓心與切點的連線必垂直此切線。

【已知】L 為圓 O 之切線，切點為 P 點，圓的半徑為 r。

【求證】 OP ＝r 且 L

^  OP 

【證明】(i)自圓心 O 作直線 L 的垂線交 L 於 Q 點 (ii)若點 P 與 Q 點不是同一點，則△OPQ 中，

∵∠OQP＝90 ⁰ 

∴ ∠OQP＞∠OPQ

Þ OP ＞ OQ ，即 OQ ＜r Þ Q 點在圓 O 的內部

(iii) ∵L 為圓 O 之切線，切點為 P 點

∴L 與圓 O 只交一點 P

Þ L 上除了 P 點以外的均在圓 O 外部，與（ii）矛盾 Þ 點 P 與 Q 點是同一點；即 OP ＝

OQ

^  OP 

L 

A 

B  O 

D  r  P 

L

r  O 

O 

L  P Q

L 

Q 

A 

O  P 

o 

A 

B 

o 

2.過一圓直徑端點的垂線必為此圓切線

【已知】 AP 為圓 O 的直徑，L

^  AP 。

【求證】L 為圓 O 的切線。

【證明】(1)設 Q 為 L 上異於 P 的任意一點，連接

OQ

∵

OQ

OQ

(3)∵ OP 是圓 O 的半徑且

OQ

∴

OQ

(4)∵L 上除了 P 以外的任意一點都在圓 O 外，

∴直線 L 與圓 O 僅相交於一點 P，即直線 L 與圓 O 相切於 P。

3.切線作圖：過圓 O 上一點 A，求作圓 O 的切線

【已知】A 為圓 O 上一點。

【求證】過 A 作圓 O 的切線。

【求作】(1)作 OA 

(2)過 A 點作 OA 的垂線 AB suur

，則直線 AB suur

即為所求

【證明】(1) ∵

suur AB 

^  OA 於 A

suur

A  O 

B 

C  D 

M 

N 

A  O 

B 

C  D 

M 

N 

弦心距的性質:

等圓中，如果兩弦相等，則它們的弦心距也相等，反之，如果兩弦的弦心距相等，

則這兩弦相等

注意: 1.通過圓心的弦是最長的弦，也就是直徑。

2.在等圓(同圓)中，如果兩弦相等，則其弦心距也相等，反之亦然。

3.在等圓(同圓)中，如果兩弦不相等，則較長弦的弦心距較短，如下圖: 

AB ＝ CD Û OM ＝ ON  AB ＞ CD Û OM ＜ ON 

【已知】圓 O 與 O'是等圓， AB ＝ CD，OM 是 AB 的弦心距，  N 

O'  是 CD 的弦心距。

【求證】 OM ＝  N 

O'  。

【證明】(1)連接 OA 和  C 

O'  ，則 OA ＝  C  O'  。

(2)∵ OM 是 AB 的弦心距，

∴ OM 垂直平分 AB ， ∴ AM ＝ MB ＝ 

2 

1  AB ，  Ð 1

(3)∵  N 

O'  是 CD 的弦心距，

∴  N 

O'  垂直平分 CD ， ∴ CN ＝ DN ＝  2 

1  CD ，  Ð 2

(4)∵ AB ＝ CD ， ∴ AM ＝ CN 。 (5)∵△AOM 與△CO

'

AO ＝  CO  ， AM ＝ CN ，

∴△AOM @ △CO

'

O'  。 

A  M  B  C  N  D 

O  O' 

1  2

A 

B  M  P  O 

有關弦心距的計算：弦心距的計算問題多與垂直有關，因此常常會用到商高定理計算之。

【範例】圓 O 的半徑是 17，弦 AB 垂直半徑 OP 且交於 M， OM ＝8，求 AB 的長。

【解】

【範例】 AB ＝6 公分， CD ＝8 公分， AB 的弦心距 OM 為 4 公分，

求 CD 的弦心距 ON 之長。

【解】 

A 

B 

C  D 

O  M 

N

A  P  B 

O 

【範例】將乒乓球放入高腳杯內，若該球與杯子的接觸點為

A

C

B

【解】

【範例】左圖為兩個同心圓， AB 切小圓於 P 點，已知 AB 長為 10，則灰色面積為?

【解】

O 

B 

C 

A 

【範例一】 【練習一】

過圓 O 上一點 A，求作圓 O 的切線 已知：A 為圓 O 上一點

求作：通過 A，作圓 O 的切線 

AB 切圓 O 於 B， AO 交圓 O 於 C， AB ＝12， 

OC ＝5，求 AC 的長

【範例二】 【練習二】

圓 O 的半徑是 15，弦 AB 垂直半徑 OP 且交於 M， OM ＝12，求 AB 的長。

圓 O 的直徑 AB 平分弦 CD 於 M 點， CD ＝6 公分， AM ＝1 公分，求 AB 的長。 

O  A 

B  M  P 

O 

C  D 

A 

M 

B 

O  A

【範例三】 【練習三】 

AB 、 CD 是圓 O 中相等的兩弦相交於 P 點。

試證： Ð 1＝ Ð 2 

AB 是圓 O 的直徑， Ð 1＝ Ð 2。

試證： AC ＝ AD 

【範例四】 【練習四】 

AB ＝8 公分，CD ＝6 公分，AB 的弦心距 OM 

已知圓 O 的直徑是 26 公分， AB 是圓 O 的一 弦，它的弦心距為 12 公分，求 AB 的長。 

O  C 

1  2  D  P  A 

B 

A  O  B 

C 

D  1  2 

O 

A  B 

C 

N  D 

M 

O 

A  M B 

O  A 

B  C 

M  N 

O  A 

B 

C  D 

M 

N 

【範例五】 【練習五】

圓 O 是△ABC 的外接圓， Ð C＞ Ð B， 

OM ^  AB ， ON ^  AC 。

在圓 O 中， OM

^  AB ， ON ^  CD ， Ð OMN

＜ Ð ONM。

兩圓的位置關係：我們如果兩圓慢慢靠近可以依序得到下列五種兩圓的位置關係 (一)兩圓不相交:

1.兩圓外離：圖中，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 兩圓外離。

2.兩圓內離：圖(一)中，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 兩圓內離。

在內離的情況下，若圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的圓心重疊，我們稱這兩圓為同心圓(如 圖二)。

圖(一) 圖(二)

(二)兩圓相交於一點:

3.兩圓外切：圖中，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 兩圓外切。

4.兩圓內切：圖中，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 兩圓內切。

＊這兩圓叫做相切圓，相切的點叫做切點。

(三)兩圓相交於兩點:圖中，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 兩圓相交兩點。 

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

r1 

r2 

o2 

o1 

o1  o2 

r1  r2 

o1  o2 

r1  r2 

r1 

o1 

o2 

r2 

連心線的定義及性質 1. 連心線的定義：

(1) 連心線: 平面上，兩圓的圓心分別為 O ₁ 與 O ₂ ，連接 O ₁ 、O ₂ 的直線，稱為這兩圓 的連心線。

(2) 連心線長:為連接圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的直線，稱為圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的連心線， 

O O 

(3) 連心線長與兩圓半徑的關係:

設圓 O ₁ 的半徑為 r ₁ 、圓 O ₂ 的半徑為 r ₂ ，則:

兩圓關係 圖示 連心線長與半徑關係

內切 

1 2 

O O 

r -

r 

外切 

1 2 

O O 

r +

r 

相交於兩點 

2 

1 

r 

r -

O O 

r +

r 

內離 

1 2 

O O 

r -

r 

O

O

【範例 1】已知有兩圓半徑分別為 5 公分和 3 公分，若兩圓的位置關係是外切，則連心線 長為何?

【解答】

【範例 2】若兩圓半徑分別為 5 公分和 3 公分，而連心線長為 4 公分，則兩圓的位置關係 為何?

【解答】

2.連心線的相關性質:

（1）兩圓相交於 P、Q 兩點，兩圓的連心線必垂直

PQ 

【已知】圓 O ₁ 與圓 O ₂ 相交於 P、Q 兩點，

PQ

O 

O 

【求證】 

O

O 

^  PQ

QM 

【證明】連接 

O 

P 

O 

Q 

O 

P 

O 

Q 

∵ 

O 

P 

O 

Q 

O 

P 

O 

Q 

∴ 

O 

O 

PQ

QM 

O 1  O 2 

P 

Q  M

O  O2 

1 

P 

O 1  O 

2  A 

B 

O 1  O 

2  A 

B  M 

O ₁  O 

2 

P 

【範例】如下圖，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 相交於 A、B 兩點，若 

O 

O 

O 

A 

O 

B 

則 AB ＝?四邊形 A O ₁ B O ₂ 的面積為?

【解答】

（2）兩圓相切，則這兩圓的切點必在它們連心線上

【已知】如圖，圓 O ₁ 與圓 O ₂ 相交於 P。

【求證】P 點在 

O O 

【證明】設 P 點不在 

O O 

則圓 O ₁ 與圓 O ₂ 必有另一交點 Q。

但此與兩圓相切僅有一交點的事實互相矛盾，

所以 P 點不在 

O O 

的假設不能成立，因此 P 點必在 

O O 

O 

O 

2 

O 

O 

O 

O 

o

o

o

o

兩圓的公切線:

(1)在平面上，如果直線 L 同時為兩圓的切線，則直線 L 稱為這兩圓的公切線，兩切點間 的距離，稱為公切線的長。

若一直線是兩圓的公切線，且兩圓分別在直線的兩側，則此直線稱為兩圓的內公切線；

如上圖的 L ₁ 與 L ₂ 。

若一直線是兩圓的公切線，且兩圓分別在直線的同側，則此直線稱為兩圓的外公切線。

如上圖的 L ₃ 與 L ₄ 。

(2)根據兩圓的位置關係，其公切線有下列情形:

(一) 兩圓不相交

(a) 外離:4 條公切線 (b) 內離:沒有公切線

(二)兩圓相交

(a) 相交兩點:2 條公切線 (b)內切:1 條公切線 (c)外切:3 條公切線

公切線的求法

若 r ₁ 、r ₂ 為圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的半徑，且 r ₁ ＞r ₂ ， 

O 

O 

（1）外公切線長＝

O O

( r

r

) 

O O

( r

r

) 

O O

內公切線 內公切線

外公切線

外公切線

1 2 

L1 

L2 

L3 

L4

A  B 

O

O

P 

O

O

P  C 

D 

r

r

【公式推導】

（1） 外公切線長：

如右圖，若 r ₁ 、r ₂ 為圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的半徑，且 r ₁ ＞r ₂ ， 

O 

O 

切線 AB 的長度?

【解】:過 O ₂ 作 

O P

O A

Þ  AB ＝ 

O P 

＝ 

O O -

O P 

＝

O O

( r

r

) 

（2）內公切線長：

如右圖，若 r ₁ 、r ₂ 為圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的半徑，且 r ₁ ＞r ₂ ， 

O 

O 

切線 CD 的長度?

【解】

過 O ₂ 作 

O P

O C  suuur

Þ CD ＝ 

O P 

＝  ^{2 2} 

【範例】圓 O ₁ 的半徑為 4，圓 O ₂ 的半徑為 2， 

O 

O 

【解】

【範例】圓 O ₁ 的半徑為 4，圓 O ₂ 的半徑為 2， 

O 

O 

於 C 和 D 兩點，試求 CD 的長

【解】 

A  B 

O1 

O2 

P  2  1 

3  4 

O

O

P 

1  2 

3 

4  C 

D

【範例一】 【練習一】

已知： AB 為圓 O ₁ 與圓 O ₂ 的外公切線，A、B 為切點

求證： 

O 

A 

O 

B 

已知：圓 O ₁ 與圓 O ₂ 外切於 P， MP suur

為其內公 切線， AB suur

為其外公切線，A 和 B 為切 點， AB 與 MP 交於 M

試證： MA ＝ MB 。

【範例二】 【練習二】

求下列各圖中連心線 

OO  的長：

(2)兩圓外切，其半徑分別為 4 與 5，求連心 線的長。 

O  O 

2  1 

A  B  O 

O 

A 

B 

P  M 

A 

B 

4 

4  3 

O  O' 

O  O' 

A 

7 

B 

4 

O 

O' 

4  2 

兩圓外離 兩圓內切 兩圓外切

E 

A  D  C 

B 

O  O1 O2 O3

【範例三】 【練習三】

O ₁ 、O ₂ 和 O ₃ 分別是兩兩相互外切的三圓的圓 心，已知 

O O 

O O 

O O 

＝3 公分，求此三圓的半徑。

三圓兩兩外切，圓心分別為 O ₁ 、O ₂ 、O ₃ ，若 

1 2 

O O 

O O 

【範例四】 【練習四】

如圖，丸子三兄弟的身體都是等圓，他們住 在

D

D

＝3，Ð C＝90 ⁰ ，三個等圓除了互相外切外，

與

D

如圖，

D

且切 AB 於 E、切 BC 於 C，若 AC ＝4 公分、 

BC ＝3 公分，則此半圓的半徑為多少? 

O

O

O

O  D  E 

B 

F  C  A 

【範例五】 【練習五】

圓 O ₁ 與圓 O ₂ 外切於 P， MP 為其內公切線， 

AB 為其外公切線，A 和 B 為切點，AB 與 PM 

試證：(1) MA ＝ MB  (2) Ð O ₁ MO ₂ ＝90 ⁰ 

如圖，設 O 為圓 O 的圓心，AB 切圓 O 於 B 點， 

AO 交圓 O 於 C、D 兩點，而弦 BE 垂直 AD 於

A  M  B 

O

O

P