圓心角 1.圓心角的定義:在圓 O 中，任意兩半徑

O 

A 

B 

A  B 

O 60 

圓心角

1.圓心角的定義:在圓 O 中，任意兩半徑 OA 和 OB ，形成一個角∠AOB，叫圓心角 通常 AB 是指∠AOB 所對的劣弧，而優弧則以 ACB 表示。

※註：大於半圓的弧叫做優弧；小於半圓的弧叫做劣弧。

2.圓心角的度數等於所對劣弧的度數，如圖，∠AOB＝AB 的度數＝60 ⁰ 

【範例】 A、B 兩點把圓 O 分成大小兩弧。大弧的度數等於小弧度數的 4 倍少 40 ⁰ ，求 

AOB

Ð

【解答】

弧長：符號

AB

若 360 ⁰ 是圓周所對應的圓心角，則圓心角 x ⁰ 對應的弧長＝ 

^x

360 

A  B 

O  C

30 

O  r 

A  B 

30 ⁰ 

O 

A  B 

1  1 

C  D 

【範例】一圓的半徑是 5 公分，它的一個圓心角是 60 ⁰ ，求這圓心角所對弧的長。

【解答】

【範例】一圓的半徑是 r 公分，它的一個圓心角是 30 ⁰ ，求這圓心角所對弧的長

【解答】

圓心角與弧長的關係

當兩個圓的圓心重疊為同心圓時，他們的圓心角相等，但弧長未必相等。

【已知】∠AOB＝30 ⁰ 

【求證】AB ¹ CD

【證明】

Q ∠AOB＝30 ⁰

\ AB 弧長＝  ₀ 

0 

360 

30  ×2

p

＝ 

6

p （r＝1）

CD 弧長＝  ₀ 

0 

360 

30  ×2

p

＝ 

6

p ×2 （r＝2）

AB 度數＝30 ⁰ ＝ 

6

CD 度數＝30 ⁰ ＝ 

6

Þ AB 度數＝CD 度數，但 AB 弧長 ¹ CD 弧長

O  D  C 

A 

B 

圓心角與弧弦的對應關係

如果兩圓心角相等，則它們所對的弧長相等，所對的弦也相等

【已知】∠AOB＝∠COD。

【求證】 AB ＝ CD ，AB＝CD

【證明】

（1）在△AOB 和△COD 中，

∵∠AOB＝∠COD， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，

∴△AOB @ △COD(SAS)，∴ AB ＝ CD 。

（2）∠AOB＝AB＝∠COD＝CD

如果兩圓心角不等，則較大圓心角所對的弦長也較大

【已知】 ：∠AOB＞∠COD。

【求證】 ： AB ＞ CD ，AB＞CD

【證明】 ：

（1）在△AOB 與△COD 中，

∵ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，

∠AOB＞∠COD，

∴ AB ＞ CD 。 （樞杻定理）

（2）∠AOB＝AB＞∠COD＝CD 

O  C  D 

A 

B

【範例一】 【練習一】

一弦把圓周分成兩弧，其中一弧的度數，是 另一弧度數的三倍，求此弦所對的圓心角度 數。 

AB 、 CD 、 EF 皆為直徑，AC＝2 x ⁰ ， CE＝4 x ⁰ ，EB＝3 x ⁰ ，求 x 及 Ð 4 和 Ð 6。

【範例二】 【練習二】

圓 O 的半徑為 5 公分， Ð AOB＝2 x ⁰ ， Ð BOC

＝3 x ⁰ ， Ð COD＝x ⁰ ， Ð DOA＝4 x ⁰ ，求 x 及 BC 的長。

兩同心圓的半徑分別為 5 公分及 12 公分，設 AB 的長是 4

p

x  3x 

O  1  2 3 

5  4  6  A 

B  C 

D  E 

F 

A  C  O 

D 

B 

A 

O 

C  D 

B

【範例三】 【練習三】

試證垂直於弦的直徑，必平分此弦所對的弧 與圓心角。

已知： CD 是圓 O 的直徑 

AB 是圓 O 的弦  CD

^ 

求證：AC＝BC， Ð AOC＝ Ð BOC

試證連接圓心與弧中點的直線，必垂直平分 此弧所對的弦。

已知：圓 O 中，M 為 AB 的中點 求證： OM 垂直平分 AB 

【範例四】 【練習四】 

AB 是圓 O 的直徑，R 是 AC 的中點，Q 是 BC 的中點。

試證： OR

^ OQ 

AB、CD 是圓 O 上的兩弧，AB＝CD

試證： Ð AOC＝ Ð BOD 

A  B 

C  D 

O 

E  A  B 

O 

M 

A  B 

C  R 

Q 

O 

A  B 

C 

O D 

【範例五】 【練習五】 

AB 為圓 O 之弦， AC ＝ CD ＝ DB  試證：(1) Ð AOC＝ Ð BOD

(2) Ð COD＞ Ð AOC (3)AE＝BF＜EF

如圖，AE＝BF＝EF

試證： CD ＜ AC ＝ DB 

O  A 

B  C  D 

E 

F 

O 

A  C  D  B 

E  F

圓周角的定義

交點在圓周上的相交兩弦，其所形成的角叫做圓周角，如下圖， PA 、 PB 是圓 O 中的兩 弦，相交於圓周上一點 P，∠APB 就是圓周角，AB 是它所對的弧。

有關圓周角的性質

1.圓周角的度數＝所對弧度數的一半 (1)圓心在圓周角的邉上。

【證明】∵ OP ＝ OB  ∴∠1＝∠3＝ 

¹  2 

∠2＝AB（∠2 是圓心角）∴∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

(2)圓周角的一邊不是直徑,且圓心在圓周角的內部。

【證明】作直徑 PC  ∵∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

∴∠APB＝∠1＋∠2＝ 

¹ 

2 

¹  2 

＝ 

¹ 

2 

¹  2 

(3)圓周角的一邊不是直徑,且圓心在圓周角的外部。

【證明】作直徑 PC  ∵∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

∴∠APB＝∠2－∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

＝ 

¹ 

2 

¹  2 

A 

P  O  B 

A  P 

B 

O 

1  3 

2  A 

P  O 

B 

1  2  O 

A  P 

B 

C 

A  B 

P  O  C 

2  1

O 

A  P 

C 

B 

2.圓形中，直徑所對的圓周角必是直角。

【已知】圓 O 中， AB 是直徑。

【求證】∠APB＝90 ⁰ 

【證明】∵ AB 是直徑 ∴AB＝180 ⁰ 

∠APB＝ 

¹ 

2 

¹ 

2 

弦切角

1.弦切角的定義：一切線與過切點的弦所形成的角叫做弦切角。

如下圖，弦 AB 與過 A 點的切線 AP 所形成的角，

則∠PAB 叫做圓 O 的弦切角。

2.弦切角的性質：弦切角的度數等於其兩邊所夾弧度數的一半。

【已知】若 PA 切圓 O 於 A， 

Ð PAB

【試證】∠PAB＝ 

2  1 

【證明】 過 A 點作直徑 AC 。

∵∠PAC＝90 ⁰ ＝ 

2 

1 

2  1 

∴∠PAB＝ 

Ð PAC

Ð BAC

＝ 

2 

1 

2  1 

＝ 

2 

1 

＝ 

2  1 

A 

B  P 

O 

A 

O  B 

P

A  C  B 

D  P 

1  2 

圓內角

1.圓內角的定義：交點在圓內的兩弦，其所形成的角叫做圓內角。

如右圖，兩弦 AB 和 CD 相交圓內一點 P，則∠APC 叫做圓內角。

2.圓內角的性質：圓內角的度數，等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。

【已知】 ： AB 、 CD 兩弦相交於圓內一點 P。

【求證】 ：∠APC＝ 

2 

1 

2 

1 

【證明】 ：(1)連接 AD 。

(2)∵∠APC 是△APD 的一個外角，

∴∠APC＝ 

Ð 1

Ð 2

Ð 1

Ð 2

∴ 

Ð 1

2 

1 

Ð 2

2  1 

∠APC＝ 

Ð 1

Ð 2

＝ 

2  1 

2  1 

＝ 

2 

1 

(5)同理可證，

∠APD＝ 

2 

1 

A  C  B 

D  P

O  A 

B 

C 

D 

P 

圓外角

1.圓外角的定義：兩割線相交於圓外，其所形成的夾角叫做外角。

如右圖，直線 AB suur

和直線 CD suur

相交於圓外一點 P，

則∠APC 叫做圓外角。

2.圓外角的性質：圓外角的度數等於其所夾大弧與小弧度數差的一半。

【已知】直線 AB 與 CD 相交於圓 O 外一點 P，AC＞BD

【求證】∠APC＝ 

2 

1 

【證明】(1)連接 BC 。

(2) ∵∠ABC 為△BCP 的外角，

∴∠ABC＝∠APC＋∠BCP 即∠APC＝∠ABC－∠BCP (3) ∵∠ABC＝ 

2 

1 

2  1 

∴∠APC＝ 

2  1 

2  1 

2 

1 

A 

B 

C 

D 

P  O

O 

A  P 

B 

Q 

110 ⁰ 

A 

B 

C 

D 

P  A 

B  C 

D  E 

有關圓周角與弦切角的計算

【範例】如右圖，∠AOB＝110 ⁰ ，則：

（1）∠AQB 為多少度?

（2）∠APB 為多少度?

【解】

【範例】如右圖，AB＝160 ⁰ ， AP 為切線，則：

（1）∠BDA 為多少度?

（2）∠PAB 為多少度?

【解】

【範例】AC＝80 ⁰ ，BD＝60 ⁰ ，求 Ð AEC 的度數。

【解】

【範例】AB＝60 ⁰ ，CD＝20 ⁰ ，求 Ð P 的度數。

【解】 

A 

O  B 

P 

D

圓外切四邊形

1.切線性質：過圓外一點 P 所作的兩條切線等長，而且 OP 平分此兩條切線的夾角。

【已知】 PA 與 PB 為圓 O 的兩切線，A、B 為切點，

【試證】 PA ＝ PB ，∠APO＝∠BPO。

【證明】(1)連接 OA 、 OB 。 (2)在△APO 與△BPO 中，

∵ OP ＝ OP ， OA ＝ OB ，∠OAP＝∠OBP＝90 ⁰ ，

∴△APO @ △BPO(RHS)，

∴ PA ＝ PB ，∠APO＝∠BPO。

2.圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的對邊長之和相等。

【已知】四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切

【試證】 AB ＋ CD ＝ AD ＋ BC 

O 

A 

B 

P 

A 

B  C 

D  S 

P 

Q 

R

【證明】設 ABCD 分別與圓 O 相切於 P、Q、R、S 四點。

∵ AP ＝ AS ， BP ＝

BQ

CQ

∴ AP ＋ BP ＋ CR ＋ DR ＝ AS ＋

BQ

CQ

即 AB ＋ CD ＝ AD ＋ BC 

【範例】如右圖，ABCD 為一等腰梯形，  D A  // BC ， 

AB ＝ CD ， AD ＝8， BC ＝18，若一圓 O 與它的四邊相切，則：

（1） AB 為多少?

（2）梯形 ABCD 的面積為多少?

【解】 

A 

B  C 

D 

O

【範例一】 【練習一】

AC＝80 ⁰ ， Ð AED＝120 ⁰ ，求 BD 的度數。 AB＝60 ⁰ ， Ð P＝20 ⁰ ，求 CD 的度數。

【範例二】 【練習二】

如圖， AB 、 CD 與圓 O 相交，且 AC＝BD。

試證： AB // CD 。

如圖，直線 AB、CD 與圓 O 相交， AB // CD 。 試證： Ð 1＝ Ð 2，AC＝BD

A 

B  C 

D  E 

120 ⁰ 

A 

B 

C 

D 

P 

A  B 

C  D 

O 

A  B 

C  D 

O  1  2

O 

A 

B  C 

E  D 

1  3  2 

4 

【範例三】 【練習三】

在圓 O 中， AC // DE ， DE 和 BC 為直徑，

AC 的度數為 80 ⁰ ；求 Ð 1、Ð 2、Ð 3、Ð 4 的 度數。

如圖，在圓 O 中，AB＜CD。

試證： Ð AFC＜ Ð BED

【範例四】 【練習四】

如圖， AD 為圓周角 Ð BAC 的平分線， AB 、 

DE 為兩弦且 AB // DE 。

試證： DE ＝ AC 

如圖， Ð DEC＝70 ⁰ ，CD－AB＝20 ⁰ ，求 Ð DAC 的度數。 

O  A 

B  C 

D  F  E 

A 

B  D 

C  E 

A 

B 

D 

E  C  70 ⁰

【範例五】 【練習五】 

AB 為圓的直徑， AP 為切線， Ð PAC＝60 ⁰ ， 求 Ð BAC 及 Ð CDA 的度數。

如圖，PA 切圓 O 於 A，Ð P＝45 ⁰ ，AC＝50 ⁰ ， 求 AB 的度數。 

A  P 

B 

C  D 

A 

C  B 

P  O