題型 1. 三角形外接圓的半徑
1. 如圖(一)，△ABC 中，∠B＝90°， ¯ AB ＝8， ¯ BC ＝6，則△ABC 的外接圓半徑＝
5 。
2. 如圖(二)，△ABC 中，∠B＝90°，O 為△ABC 的外心，且 ¯ OB ＝ ¯ BC ＝5，則△ABC
的面積＝ 。
3. 如圖(三)，△ABC 中，O 為其外心，且 ¯ AB ＝ ¯ AC ＝15， ¯ BC ＝18，則其外接圓半
徑＝ 。
4. 如圖(四)，△ABC 為正三角形，邊長為 6，O 為其外心，則其外接圓半徑＝ 2 3 。 5. 如圖(五)，△ABC 中，O 為其外心，且 ¯ AB ＝ ¯ AC ＝25， ¯ BC ＝48，則其外接圓半
徑＝ 。
8
6 B
C
A
5 5
B C
A
O
15 15
B 18 C
A
O
6 6 6
B C
A
O B C
O A
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) 圖(五)
題型 2. 三角形外心的角度應用
1. 在銳角△ABC 中，O 為其外心，若∠BAC＝55˚，則∠BOC＝ 110˚ 。
2. 在銳角△ABC 中，O 為其外心，若∠BOC＝124˚，則∠BAC＝ 62˚ 。 3. 在鈍角△ABC 中，O 為其外心，若∠BAC＝120˚，則∠BOC＝ 120˚ 。
4. 在鈍角△ABC 中，O 為其外心，若∠BAC＝115˚，則∠BOC＝ 130˚ 。
5. 在△ABC 中，O 為其外心，若∠BOC＝130˚，則∠BAC＝ 65˚或 115˚ 。
幾何與證明-三角形的外心、內心、重心
班級： 座號： 姓名：
題型 3. 三角形內切圓的半徑與三角形面積
1. 如圖(一)，△ABC 中， ¯ AD ⊥ ¯ BC ，且 ¯ AD ＝8， ¯ BC ＝10，周長＝40，則其內切圓 半徑＝ 2 。
2. 如圖(二)，△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ＝15， ¯ BC ＝18，則其內切圓半徑＝ 。 3. 如圖(三)，△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ＝26， ¯ BC ＝20，則其內切圓半徑＝ 。 4. 如圖(四)，△ABC 為正三角形，邊長為 10，則其內切圓半徑＝ 。
8
10
B D C
A
15 15
B 18 C
A
20
26 26
B C
A
10
10 10
B C
A
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四)
題型 4. 直角三角形的內切圓半徑
1. 如圖(一)，△ABC 中，∠B＝90˚，¯ AB ＝9， ¯ BC ＝12，則其內切圓半徑＝ 3 。 2. 如圖(二)，I 為直角△ABC 的內心，∠B＝90˚，D、E、F 為內切圓與三邊的切點，
若¯ AF ＝6， ¯ CD ＝4，則其內切圓半徑＝ 2 。
3. 如圖(三)，I 為直角△ABC 的內心，∠B＝90˚，D、E、F 為內切圓與三邊的切點，
若¯ AE ＝12， ¯ CD ＝8，則其內切圓半徑＝ 4 。
4. 如圖(四)，I 為直角△ABC 的內心，∠B＝90˚，D、E、F 為內切圓與三邊的切點，
若¯ AF ＝21，¯ CF ＝4，則其內切圓半徑＝ 3 。
9
12 B
C
A 6
4 D B C
A
E F
I 12 8
B D
A C
E
F I
21
4
D B A
I E C
F
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四)
題型 5. 三角形內心的角度應用
1. 在△ABC 中，I 為其內心，若∠BIC＝140˚，則∠BAC＝ 100˚ 。
2. 在△ABC 中，I 為其內心，若∠BIC＝160˚，則∠BAC＝ 140˚ 。
3. 在△ABC 中，I 為其內心，若∠BAC＝40˚，則∠BIC＝ 110˚ 。
4. 在△ABC 中，I 為其內心，若∠BAC＝74˚，則∠BIC＝ 127˚ 。
題型 6. 三角形重心與三角形的面積
1. 如圖(一)，△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ＝10， ¯ BC ＝12，G 為其重心，則△BGC 面積＝
16 。
2. 如圖(二)，△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ＝15， ¯ BC ＝18，G 為中線 ¯ AD 、 ¯ BE 的交點，則
△AGE 的面積＝ 18 。
3. 如圖(三)，△ABC 中，∠B＝90°， ¯ AB ＝16， ¯ BC ＝12，G 為中線 ¯ AD 、 ¯ BE 的交 點，則△BGD 的面積＝ 16 。
4. 如圖(四)，△ABC 為正三角形，且 ¯ AB ＝10，若 G 為中線 ¯ BE 、 ¯ CF 的交點，則四 邊形 AEGF 的面積＝ 。
10 10
B 12 C
A
G
18 15 15
B C
E
D A
G
12 16
C B E
D A
G F E
G 10 10 10
B C
A
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四)
題型 7. 三角形重心性質的面積應用
1. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，E、F 分別為 ¯ BC、¯ CD 的中點，且¯ AE、
¯ AF 與 ¯ BD 相交於 M、N，若 ¯ ON ＝4，則：
(1) ¯ BD ＝ 24 。
(2) △AON 的面積＝ ×△ABC 的面積。
(3) △AON 的面積＝ ×平行四邊形 ABCD 的面積。
2. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，E 為 ¯ BC 的中點，且¯ AE 、 ¯ BD 相交於 F 點，若△BEF 的面積為 6cm 2 ，則：
(1) △ABF 的面積＝ 12 cm 2 。
(2) 四邊形 CEFO 的面積＝ 12 cm 2 。 (3) △ABD 的面積＝ 36 cm 2 。
(4) 平行四邊形 ABCD 的面積＝ 72 cm 2 。 題型 8. 正三角形的外心、內心與重心
1. 正△ABC 中，¯ AB ＝8，則其外接圓半徑＝ ，內切圓半徑＝ 。 2. 正△ABC 中，¯ AB ＝12，O 為其外心，則¯ AO ＋¯ BO ＋ ¯ CO ＝ 12 3 。
3. 正△ABC 中，¯ AB ＝9，I 為其內心，則△AIB 的面積＝ 。 題型 9. 直角三角形的外心、內心與重心
1. 若 O、G 分別為直角△ABC 的外心及重心，且 ¯ OG ＝4，則△ABC 的外接圓半徑＝
12 。
2. 若 O、G 分別為直角△ABC 的外心及重心，且∠B＝90˚， ¯ BG ＝6，則¯ AC ＝
18 。
3. 若 O、G 分別為直角△ABC 的外心及重心，且∠B＝90˚，¯ AB ＝8，¯ BC ＝6，則 ¯ BG
＝ 。
4. 若 O、G 分別為直角△ABC 的外心及重心，且∠B＝90˚，¯ AC ＝14，則 ¯ OG ＝
。
F
A D
B E M
N O
C
A D
B E
F O
C
