關聯三角形內外徑之間的幾何性質

數學傳播

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, pp. 83-86

關聯三角形內外徑之間的幾何性質

丁 遵標

摘要: 本文獲得了與垂足三角形相關聯的三角形內外徑之間的兩個幾何性質, 並進 行推論。

關鍵詞: 四點共圓、 三角形、 垂足三角形、 內徑、 外徑。

給定 △ABC, 作 AD⊥BC 於 D, BE⊥AC 於 E, CF ⊥AB 於 F , 連接 DEF 得到

△DEF, 則 △DEF 稱之為 △ABC 的垂足三角形。 經過探討, 筆者現已得到與垂足三角形 相關聯的三角形內外徑之間的兩個有趣的幾何性質。

定理1: 若 △DEF 是銳角 △ABC 的垂足三 角形。 且 BC = a, CA = b, AB = c, △AEF 、

△BDF 、 △CDE、 △DEF 、 △ABC 的外徑分別 為 RA、 RB、 RC、 R0、 R, 內徑為 rA、 rB、 rC、 r0、 r。

則有: rAR_A+ rBR_B+ rcR_C = r(R − r⁰) 證明: 利用四點共圓的性質得到

EF = a cos A F D = b cos B DE = c cos C.

讀者可通過網站: http: //zhidao.baidu.com/question/67427277.html 了解其證明過 程。

在 △AEF 中, RA= EF

2 sin A = acos A

2 sin A = 2R sin A cos A

2 sin A = R cos A

∴ cos A = R_A R

同理 cos B = R_B

R cos C = R_C

R (1)

又 AE = c cos A AF = b cos A

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₉₈

₁₂

記 △ABC 的半周長為 P S_△AEF = 1

2r_A(EF + EA + F A) = 1

2r_A(a + b + c) cos A

= 1

2r_A·2P cos A = rAP cos A.

同理 S_△BDF = rBP cos B S_△CDE = rcP cos C

∵ acos A + b cos B + c cos C = 2S

R = 2rP

R (2)

∴ S_△DEF =1

2r₀(EF + F D + DE)

=1

2r₀(a cos A + b cos B + c cos C)

=1

2r₀· 2rP

R = r₀rP R

∵ S_△AEF + S_△BDF + S_△CDE + S_△DEF = S_△ABC

∴ r_AP cos A + r^BP cos B + r^CP cos C +r₀rP R = rP 即 r_Acos A + rBcos B + rccos C = r − r₀r

R (3)

由 (1)、 (3) 得

r_A·R_A

R + rB· R_B

R + rc · R_C R = r

1 −r₀ R

 故 rAR_A+ r^BR_B+ r^CR_C = r(R − r⁰)。

至此, 定理 1 已給出了完整的證明, 但在證明過程中的等式 (2) 簡潔有趣, 現給出它的證 明, 供同學們學習時參考。

註記: 由海倫公式 S =pP (P − a)(P − b)(P − c) 易得

2(a²b²+ b²c²+ c²a²) − (a⁴+ b⁴+ c⁴) = 16S² 由餘弦定理得

cos A = b²+ c²− a²

2bc cos B = c²+ a²− b²

2ca cos c = a²+ b² − c² 2ab

∴ acos A + b cos B + c cos C = a ·b² + c²− a²

2bc + b · c²+ a²− b²

2ca + c · a²+ b²− c² 2ab

=a²(b² + c²− a²) + b²(c²+ a²− b²) + c²(a²+ b²− c²) 2abc

關聯三角形內外徑之間的幾何性質

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=2(a²b²+ b²c²+ c²a²) − (a⁴+ b⁴+ c⁴) 2abc

=16S²

2abc = 8S² abc 由 S = abc

4R 得 abc = 4RS

∴ acos A + b cos B + c cos C = 2S R

定理2: 若 △DEF 是銳角 △ABC 的垂足三角形, 且 BC = a, CA = b, AB = c,

△ABC 的外徑與內徑分別為 R、 r, △DEF 的外徑與內徑分別為 R⁰、 r0, 則有 (1) R = 2R⁰

(2) r⁰ = a²+ b² + c² 4R −2R

證明: (1) ∵ A、 C、 D、 F 與 D、 E、 A、 B 四點共圓

∴ ∠EDC = ∠A ∠F DB = ∠A

∴ ∠EDF = 180^◦− ∠EDC − ∠F DB = 180^◦−2∠A

∵ a= 2R sin A.

在 △DEF 中

R₀ = EF

2 sin ∠EDF = acos A

2 sin(180^◦−2A) = 2R sin A cos A 2 sin 2A = 1

2R 故 R = 2R。

(2) 記 △DEF 、 △AEF 、 △BDF 、 △CDE、 △ABC 的面積分別為 S⁰、 S1、 S2、 S3、 S

∵ △AEF ∽ △ABC ∴ S₁

S =AE AB

²

= cos²A

∴ S1 = S cos²A

同理: S² = S cos²B, S³ = S cos²C

∴ S0= S − S¹− S2− S3

= (1 − cos²A−cos²B −cos²C)S

= (sin²A+ sin²B + sin²C−2)S

=

 a 2R

² + b

2R

²

+ c 2R

²

−2

 S

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₉₈

₁₂

= a²+ b²+ c² 4R² −2



S (4)

又 ∵ S0=1

2r₀(DE + EF + F D)

=1

2r₀(a cos A + b cos B + c cos C)

=1 2r· 2S

R = r₀S

R (5)

由 (4)、 (5) 得

r₀S

R = a²+ b² + c² 4R² −2

 S 故 r0 = a²+ b²+ c²

4R −2R

在此基礎上, 我們來作進一步的探討:

由於 a² + b²+ c² = 2(P²−4Rr − r²) 於是 a²+ b² + c²

4R −2R = P²−4Rr − r²

2R −2R

結合 Gerretsen 不等式:

16Rr − 5r² ≤ P² ≤4R² + 4Rr + 3r² 進一步得到:

16Rr − 5r²−4Rr − r²

2R −2R ≤ r⁰ ≤ 4R²+ 4Rr + 3r²−4Rr − r²

2R −2R

即 6r − 2R − 3r²

R ≤ r0 ≤ r² R 這樣, 我們便可得到:

推論1: 6r − 2R − 3r²

R ≤ r0 ≤ r² R 再結合 Euler 不等式 R ≥ 2r, 又可得到:

推論2: r ≥ 2r⁰

參考文獻

1. 丁遵標, 一個有趣的幾何不等式 (J), 中學數學月刊, Vol.10, p.19, 2001。

—本文作者任教中國安徽省舒城縣杭埠鎮中心學校_—