三角形的四心之向量關係式

(1)

三角形的四心之向量關係式

阮瑞泰

一、前言

在閱讀換個觀點看三角形的四心 (數學傳播 30 卷 2 期) 時, 內容提及

已知銳角 △ABC (BC = a, CA = b, AB = c), G 為重心、 I 為內心、 H 為垂心、 O 為外心、此四心與三頂點的連線所形成的三個的三角形, 其面積比分別為

a△ABG : a△BCG : a△CAG = 1 : 1 : 1 a△ABI : a△BCI : a△CAI = c : a : b

a△ABH : a△BCH : a△CAH = c⁴−(a²− b²)² : a⁴−(b²−c²)² : b⁴−(c²−a²)² a△ABO : a△BCO : a△CAO = c²(a²+b²−c²) : a²(b²+c²−a²) : b²(c² + a²−b²)

使我聯想起, 曾推論所得的三角形之四心向量關係式, 發現其係數比恰為四心與三頂點連線的面積比。所以我透過三角形之四心向量關係式之推論, 來驗證四心與三頂點連線的面積比。

文中用到一些現行高中教材中的公式及定理, 及解題技巧。如三角形的重心及內心的向量關係, 面積公式 (海龍公式) , 解方程組的克拉瑪公式, 三角形的垂心及外心的向量解題技巧, 頗適合高中的同學們閱讀參考。

二、本文

(一) 公式 1: 三角形四心的向量關係式

已知 △ABC 的重心 G, 內心 I, 垂心 H 及外心 O, X 為空間中任一點, 試以 −−⇀

XA,

−−⇀

XB, −−⇀

XC 來表示 −−⇀

XG, −⇀

XI,−−⇀

XH,−−⇀

XO 1. 重心: −−⇀

XG = 1 3

−−⇀

XA +1 3

−−⇀

XB + 1 3

−−⇀

XC 。 2. 內心: −⇀

XI = a a+ b + c

−−⇀

XA + b a+ b + c

−−⇀

XB + c a+ b + c

−−⇀

XC.

29

(2)

3. 垂心: −−⇀

XH = a⁴− (b² − c²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XA+ b⁴− (c²− a²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XB + c⁴− (a²− b²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XC 。 4. 外心: −−⇀

XO = a²(b² + c²− a²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XA + b²(c²+ a²− b²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XB + c²(a² + b²− c²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XC 。解法: 重心及內心的關係式於教材中均有說明, 不再贅述, 僅將關係式列舉如上:

3. 垂心: −−⇀

XH = a⁴− (b²− c²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XA +b⁴− (c²− a²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XB +c⁴− (a²− b²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XC 解法:

設−⇀

AH = x−⇀

AB + y−⇀

AC







−⇀AB·−⇀

AH= x·

−⇀AB

2+y·−⇀

AB·−⇀

AC

−⇀AC·−⇀

AH= x·−⇀

AC·−⇀

AB+y·

−⇀AC

2 (垂心性質: −⇀

AB·−⇀

AH=−⇀

AC·−⇀

AH=−⇀

AB ·−⇀

AC)

⇒











b²+ c²− a²

2 = c²x+b² + c²− a²

2 y

b²+ c²− a²

2 = b²+ c²− a²

2 x+ b²y (1) 若 b²+ c²− a² = 0, 則 x = 0, y = 0,

⇒−⇀

AH = 0−⇀

AB + 0−⇀

AC =⇀

0 , H = A 。 (直角三角形的垂心在直角頂點) (2) 若 b²+ c²− a² 6= 0

⇒











1 = 2c²

b²+ c²− a²x+ y 1 = x + 2b²

b²+ c²− a²y

⇒ 利用克拉瑪公式

△ =

2c²

b²+ c²− a² 1

1 2b²

b²+ c²− a²

= 2bc b²+ c²− a²

2

− 1

= [(b + c)²− a²][a²− (b − c)²] (b²+ c²− a²)²

= (b + c + a)(b + c − a)(a − b + c)(a + b − c) (b²+ c²− a²)² ,

(3)

(令 s =a+ b + c

2 , 則 −a + b + c

2 = s−a, a− b + c

2 = s−b, a+ b − c

2 = s−c)

= 16s(s − a)(s − b)(s − c) (b²+ c²− a²)² ,

△x =

1 1

1 2b² b²+ c²− a²

= a²+ b²− c² b²+ c²− a²,

△y =

2c²

b²+ c²− a² 1

1 1

= c²+ a² − b² b²+ c²− a²,

∵△ 6= 0, ∴ (x, y) 有唯一解

⇒ x = △x

△ = (b²+c²−a²)(a²+b²−c²)

16s(s−a)(s−b)(s−c) = b⁴− (c²− a²)² 16s(s−a)(s−b)(s−c), y=△y

△ = (b²+ c²− a²)(c²+ a²− b²)

16s(s − a)(s − b)(s − c) = c⁴− (a²− b²)² 16s(s − a)(s − b)(s − c),

⇒−⇀

AH = b⁴− (c²− a²)² 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−⇀AB+ c⁴− (a²− b²)² 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−⇀AC

令 X 為空間中的任意一點, 且 −⇀

AH = x−⇀

AB + y−⇀

AC,

∴ −−⇀

XH−−−⇀

XA = x(−−⇀

XB −−−⇀

XA) + y(−−⇀

XC −−−⇀

XA)

⇒−−⇀

XH= (1 − x − y)−−⇀

XA + x−−⇀

XB + y−−⇀

XC

= a⁴− (b²− c²)² 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−−⇀

XA+ b⁴− (c²− a²)² 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−−⇀

XB

+ c⁴ − (a²− b²)² 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−−⇀

XC 且 a△ABC =ps(s − a)(s − b)(s − c) 則−−⇀

XH = a⁴− (b²− c²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XA +b⁴− (c²− a²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XB +c⁴− (a²− b²)² 16(a△ABC)²

−−⇀

XC 。

4. 外心: −−⇀

XO = a²(b²+ c² − a²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XA +b²(c²+ a²− b²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XB +c²(a²+ b²− c²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XC 。

(4)

解法: 設 −⇀

AO= x−⇀

AB+ y−⇀

AC







−⇀AB·−⇀

AO = x ·

−⇀AB

2+ y ·−⇀

AB·−⇀

AC

−⇀AC·−⇀

AO = x ·−⇀

AC ·−⇀

AB+ y ·

−⇀AC

2, (外心性質: −⇀

AB·−⇀

AO = 1 2

−⇀AB

2)

⇒









 c²

2 = c²x+b²+ c²− a²

2 y

b²

2 = b²+ c²− a²

2 x+ b²y (1) 若 b²+ c²− a² = 0, 則 x = 1

2, y = 1

2, (仿垂心的討論)

⇒−⇀

AO= 1 2

−⇀AB +1 2

−⇀AC, O 為 BC 的中點。(直角三角形的外心在斜邊中點) (2) 若 b²+ c²− a² 6= 0

⇒











1 = 2x +b²+ c²− a² c² y 1 = b²+ c²− a²

b² x+ 2y

⇒ 利用克拉瑪公式求解 x, y

△ =

2 b²+ c² − a² c² b²+ c²− a²

b² 2

= 4 −b²+ c²− a² bc

2

=[(b + c)²− a²][a²− (b − c)²] b²c²

=(b + c + a)(b + c − a)(a − b + c)(a + b − c)

b²c² ,

(令 s =a+ b + c

2 , 則 −a + b + c

2 = s−a, a− b + c

2 = s−b, a+ b − c

2 = s−c)

=16s(s − a)(s − b)(s − c) b²c² ,

△x =

1 b²+ c²− a² c²

1 2

=c²+a²−b²

c² , △y=

2 1

b²+c²−a² b² 1

=a²+b²−c² b² ,

(5)

∵△ 6= 0, ∴ (x, y) 有唯一解

⇒ x = △x

△ = b²(c²+ a²− b²)

16s(s−a)(s−b)(s−c), y= △y

△ = c²(a²+ b²− c²) 16s(s−a)(s−b)(s−c)

⇒−⇀

AO= b²(a²+ c²− b²) 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−⇀AB+ c²(a²+ b²− c²) 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−⇀AC,

令 X 為空間中的任意一點, 且 −⇀

AO= x−⇀

AB+ y−⇀

AC,

∴ −−⇀

XO −−−⇀

XA = x(−−⇀

XB −−−⇀

XA) + y(−−⇀

XC −−−⇀

XA)

⇒−−⇀

XO = (1 − x − y)−−⇀

XA + x−−⇀

XB + y−−⇀

XC

= a²(b²+ c²− a²) 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−−⇀

XA+ b²(c²+ a²− b²) 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−−⇀

XB

+ c²(a²+ b²− c²) 16s(s − a)(s − b)(s − c)

−−⇀

XC 且 a△ABC =ps(s − a)(s − b)(s − c) 則−−⇀

XO = a²(b²+ c²− a²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XA +b²(c²+ a²− b²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XB +c²(a²+ b²− c²) 16(a△ABC)²

−−⇀

XC (二) 公式 2:

已知 A, B, C, P 四點共平面, l−⇀

P A+ m−⇀

P B+ n−⇀

P C =⇀ 0 , 則 a△P AB : a△P BC : a△P CA = |n| : |l| : |m|

證明: (1) P 在 △ABC 的內部, 則 l, m, n > 0, (l, m, n < 0 亦同), 如右圖

取−−⇀

P A^′ = l−⇀

P A,−−⇀

P B^′ = m−⇀

P B, −−⇀

P C^′ = n−⇀

P C

∵l−⇀

P A+ m−⇀

P B+ n−⇀

P C =⇀ 0 ,

∴−−⇀

P A^′ +−−⇀

P B^′+−−⇀

P C^′ =⇀

0 , P 為 △A^′B^′C^′ 的重心。

⇒ a△P A^′B^′ = a△P B^′C^′ = a△P C^′A^′ = 1

3a△A^′B^′C^′。又 a△P AB

a△P A^′B^′ =

1 2|−⇀

P A| · |−⇀

P B| · sin θ

1 2|−−⇀

P A^′| · |−−⇀

P B^′| · sin θ

= 1

l· m, (∠AP B = θ)

⇒ a△P AB = 1

l· ma△P A^′B^′, 同理可得 a△P BC = 1

m· na△P B^′C^′, a△P CA = 1

n· la△P C^′A^′。

(6)

⇒ a△P AB : a△P BC : a△P CA = n : l : m (2) P 在 △ABC 的外部, 則 l < 0, m, n > 0 (l > 0, m, n < 0 亦同), 如右圖

取−−⇀

P A^′ = −−⇀

P A, ⇒ P 在 △A^′BC 的內部, 且 ∵ (−l)−−⇀

P A^′ + m−⇀

P B+ n−⇀

P C =⇀ 0 ,

∴a△P A^′B : a△P BC : a△P CA^′ = n : (−l) : m。

a△P AB = 1 2|−⇀

P A| · |−⇀

P B| · sin θ = 1 2|−−⇀

P A^′| · |−⇀

P B| · sin(π − θ) = a△P A^′B, 同理可得 a△P AC = a△P A^′C。

由 (1)、 (2) 得證公式 2。

(三) 公式 3: 三角形四心與三頂點連線所成三角形之面積比已知 △ABC 的重心 G, 內心 I, 垂心 H 及外心 O, 則 (1) a△ABG : a△BCG : a△CAG = 1 : 1 : 1。

(2) a△ABI : a△BCI : a△CAI = c : a : b。

(3) a△ABH : a△BCH : a△CAH = c⁴−(a²−b²)² : a⁴−(b²−c²)² : b⁴−(c²−a²)²。 (4) a△ABO : a△BCO : a△CAO = c²(a²+b²−c²) : a²(b²+c²−a²) : b²(c²+a²−b²)。

證明:

取 X = G, I, O, H, 由公式 1 與公式 2 即可得證。

三、後語

謝謝學長伍榮輝老師的校稿與鼓勵。

—本文作者任教高雄市市立新莊高中—

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