1-1 空 間 概 念

1-1 空 間 概 念

1. 在空間中﹐試問哪一選項的條件﹐恰決定一平面？

(1)相異的三個點 (2)一直線及一點 (3)不相交的二直線

(4)同時垂直於平面E的兩相異直線﹒

解： (1)三點共線時﹐無法決定一平面﹒(2)點在直線上時﹐無法決定一平面﹒

(3)歪斜時﹐無法決定一平面﹒(4)兩直線必平行﹒

選項為(4)﹒

2. 在空間中有平面E及E外一點P﹐試問哪一選項正確？

(1)通過點P的直線中﹐恰有一直線與E平行 (2)通過點P的直線中﹐恰有一直線與E垂直 (3)通過點P的平面中﹐恰有一平面與E垂直

(4)通過點P的平面中﹐恰有一平面與E相交成一直線﹒

解： (1)無限多條﹒(3)無限多個﹒(4)無限多個﹒

選項為(2)﹒

3. 在空間中有直線L及L外一點Q﹐試問哪一選項正確？

(1)通過Q的平面中﹐恰有一平面與L平行 (2)通過Q的平面中﹐恰有一平面與L垂直 (3)通過Q的直線中﹐恰有一直線與L歪斜

(4)通過Q的直線中﹐恰有一直線與L相交於一點﹒

解： (1)無限多個﹒(3)無限多條﹒(4)無限多條﹒選項為(2)﹒

4. 有一長方體的長﹐寬﹐高分別為 6﹐3﹐2﹐試求任意兩 頂點間最長的距離﹒

解： 最長的距離為AB﹐

2 2 2

6 3 2 7 AB    ﹒

5. 已知PQ垂直平面E於Q點﹐L在E上﹐QR垂直L於R 點﹐若 S 在L上﹐QS17﹐RS  ﹐8 PQ20﹐試求PR﹐

PS 之值﹒

解： ∵PQQR﹐QRRS﹐由三垂線定理可知 PRRS﹐ 由直角△QRS中﹐QS 17﹐RS  ﹐得8 QR15﹒ 由直角△PQR中﹐PQ20﹐QR15﹐得PR25﹒ 由直角△ PRS 中﹐RS  ﹐8 PR25﹐得PS 689﹒

6. 右圖為一正四面體﹐任兩面角的銳角為﹐ (1)若 G 是△ ABC 的重心﹐ PGMC是否正確？

(2)試求 cos的值﹒

解： (1) 是； PAPBPC且 GA GB GC  ﹐故 PGMC﹒ (2) ^{1 1}

3 3

MG MC PM ﹐ cos 1

3 MG

  PM  ﹒

1. 一正立方體中有四頂點P﹐A﹐B﹐C ﹐各頂點間的距離 為 2﹐試求此正立方體的體積﹒

解： 設稜長為 x ﹐則 AP²x²x²﹐得2x² 4﹐x 2﹐ 所求體積為x³ 2 2﹒

2. 右圖的正立方體中﹐在 12 個稜邊中和 AB成歪斜的共有 多少個？

解： 與稜AB成歪斜的稜為

CG ﹐DH﹐EH ﹐ FG ﹐共有 4 個﹒

3. 右圖為一正四面體﹐稜長為 6﹐試問兩歪斜線 AB



與CD



的 距離 MN ﹒

解： 取AB中點M﹐ CD 中點 N ﹐ 連DM ﹐ MC ﹐ MN ﹐

3 3

DM MC ﹐DN  ﹐ 3

知所求距離MN  (3 3)²3² 3 2﹒

4. 右圖是邊長為 6 的正四面體 PABC﹐試問此正四面體的 高﹒

解： PM MC3 3﹐H是△ ABC 的重心﹐

1 3

MH 3MC ﹐PH²  PM²MH²  242 6﹒

5. 右圖是邊長為 2 的正四角錐﹐AM MD﹐Q是BD的中點﹐

若底面 ABCD 與側面PAD兩面角的銳角為﹐試求：

(1)PM ﹐MQ的值﹒

(2) cos的值﹒

解： (1)PM  3﹐MQ1﹒

(2) 1 3

cos 3 3

MQ

  PM   ﹒

6. 右圖是邊長為 2 的正四角錐﹐BD的中點Q﹐ (1)判別直線PQ是否垂直平面 ABCD ﹒

(2)試求正四角錐的高PQ﹒

解： (1) 是；△PBD中﹐PQBD﹐ △ PAC 中﹐PQ AC﹐ 知PQ垂直平面 ABCD ﹒ (2) PB2﹐BQ 2﹐得PQ 2﹒

1. 學校有一棟正四面體的溫室﹐且邊長為 6 公尺﹐有一鋼柱的兩 端分別為其中兩面的重心 G ﹐ G ﹐試求此鋼柱的長﹒（8 分）

解： 作 PG 連線﹐

PG 連線交AB﹐ BC 於D﹐E﹐

2 2 1 1

( ) 2

3 3 2 3

GG  DE AC  AC  ﹐ 知鋼柱長為 2 公尺﹒

2. 小明設計一個特殊用途的三腳架﹐已知三隻腳的長分別為 60 公分﹐30 公分﹐

30 公分且兩兩互相垂直﹐若將此腳架放在水平的地面上時﹐已知△ ABC 與

△ OBC 所夾銳角為﹐試問 tan的值﹒（10 分）

解： 如右圖﹐OA60﹐OBOC30﹐

在△ OBC 中﹐若M是 BC 的中點﹐得OM 15 2﹐ 在△ AOM 中﹐因 OAOB﹐ OAOC﹐

知 OAOM ﹐得 tan OA 2 2

 OM  ﹒

3. 有一件藝術品的外觀為四面體 ABCD ﹐計算得△ ABC 的面積 為 15﹐△ABD的面積為 12﹐AB ﹐且△ ABC 與△3 ABD的 二面角為 30 ﹐若D在△ ABC 的投影點為 O ﹐試問 DO 的長﹒

（10 分）

解： 作 OP 垂直AB於P﹐

由三垂線定理知DP AB﹐

且 OPD 是二面角﹐即OPD  ﹐ 30

△ ¹

ABD 2AB DP ﹐12 ¹ 3

2 DP

   ﹐得DP ﹐知8 DODPsin 30  ﹒ 4