空間坐標(1) 座號

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：97.10.29 班級

範圍

2-1、2 空間基本概念(2)

空間坐標(1) 座號

姓名一、選擇題 ( 每題 10 分 )

( ) 1. 下列各敘述何者恆真﹖

(1)平行於同一平面的二相異直線必平行 (2)垂直於同一直線的二線互相平行

(3)若一平面與二平行平面相交﹐其交線互相平行 (4)任意兩相異直線必有一公垂線

(5)兩相異直線若不相交﹐必平行﹒

【答案】

3

【詳解】

(1) 可能相交﹒

(2)二度空間為真﹐但三度空間不為真﹒

(3)

(4)二度空間不真﹐但三度空間為真﹒

(5)二度空間為真﹐但三度空間可為歪斜線﹒

( ) 2. 下列有關空間的敘述﹐哪些是正確的﹖

(1)不相交的兩直線與必然平行 (2)若直線落在平面

L1 L₂

L1 E上﹐且直線L₂與E平行﹐則與平行 (3)若兩相異直線與均與平面

L1 L₂ L1 L₂ E垂直﹐則與必然平行 (4)若兩相異直線與均與直線

L1 L₂

L1 L₂ L垂直﹐則L₁與L₂必然平行﹒

【答案】

3

【詳解】

(1)﹐(2)與(4)均可能歪斜﹒

( ) 3. 設P點在第一卦限﹐而且與x 軸﹐y軸﹐ 軸的距離分別為z 52 ﹐ 45 ﹐5﹐則點的坐標為(1) (2) (3)

P

(

3, 4,5

) (

3, 4, 6

) (

− − − (4)3, 4, 6

) (

52, 45, 25 (5)

) (

52, 45,5 ﹒

)

【答案】

2

【詳解】

設^{P x y z}

(

^{, ,}

)

且^x^>^0, ^y^>^0, ^z^>⁰﹐

2 2

52 45 25 y z z x x y

⎧ + =

⎪ + =

⎨⎪ + =

⎩

"

1 2 3

(2)

2 2 2

: 6

2 x y z

+ + + + = "

1 2 3

4 1

f c ﹐

f d ﹐

f e ﹐

點在第一卦限﹐∴取

− x²= ⇒ = ±9 x 3

− y²=16⇒ = ±y 4

− z² =36⇒ = ±z 6

P

(

^{3, 4, 6 ﹒}

)

( )4. 正四面體OBCD中﹐二稜OB ﹐CD 之中點分別為M ﹐ N ﹐求 OB

MN = ﹖ (1)1 (2) 3 (3) 2 (4)1

2 (5)1 3﹒

【答案】

3

【詳解】

△ OB 中﹐N ON =BN﹐ M 為 OB 中點﹐∴ NM ⊥OB﹐ 設稜長為 ﹐則a 3

ON = 2 a﹐

2 OM = ﹐∴a

2 2

3

2 2

MN= ⎛⎜⎜⎝ a⎞⎟⎟⎠ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠a 1 2a

= ﹐∴ 2

1 2 OB a

MN a

= = ﹐

( ) 5. (複選)已知^P

(

⁻^{2,3, 5}− 是空間上的定點﹐下列敘述何者為真﹖

)

(1)P相關於原點的對稱點是

(

^{2, 3,5}⁻

)

(2)P相關於yz平面的對稱點是

(

^{2,3, 5}⁻

)

(3)P相關於x 軸的對稱點是 (4) 到

(

^{− −}^{2, 3,5}

)

P xz 平面的距離為 3 (5)P到軸的距離為y 29 ﹒

【答案】

12345

【詳解】

(1)○﹒(2)○﹒(3)○﹒(4)○﹒(5)○﹒

( ) 6. (複選)下列各敘述何者恆真﹖

(1)若一直線垂直於一平面﹐則包含此直線的每一平面均與此平面垂直 (2)過直線外一點﹐恰有一直線垂直於此直線

(3)過直線外一點﹐恰有一直線平行於此直線 (4)過平面外一點﹐恰有一直線垂直於此平面 (5)過平面外一點﹐恰有一直線平行於此平面﹒

【答案】

1234

【詳解】

(1)○﹒ (2)○﹒ (3)○﹒ (4)○﹒ (5)╳﹕可有無限多條﹒

( ) 7. (複選)設^A

(

^{3, 1, 2}⁻

)

﹐^B

(

^2,1,1

)

﹐若點^P在^{xz 平面上使△} ^{為正三角形﹐則} ^{點坐標可為} (1) (2)

ABP P

(

^{0, 0,0}

) (

1,0,3 (3)

) (

^{4, 0,0}

)

⁽⁴⁾

(

5,0, 4 (5)

) (

^{0, 0,3 ﹒}

)

【答案】

23

【詳解】

設P x

(

, 0,z

)

﹐由PA=PB=AB得

c d﹕

( ) ( )

2 2

3 1 2 6

6

⇒

2 1 1

x z

⎧ − + + − =

⎪⎨

− + + − =

⎪⎩

2 2

6 4 8 4 2 0 x z x z x z x z

+ − − = − + − − =

"

1 2

− x+ = ⇒ = − x 代入d z 4 z 4

得x²−5x+ = ⇒ =4 0 x 1, 4⇒ =z 3, 0﹐ ∴^P

(

^{1, 0,3}

)

^或^P

(

^{4,0, 0}

)

^﹐

(3)

( ) 8. (複選)下列敘述何者正確﹖

(1)在平面上﹐若兩相異直線不相交﹐則它們必平行 (2)在空間中﹐若兩相異直線不相交﹐則它們必平行

(3)在平面上﹐任意兩相異直線一定有公垂線（仍在該平面上）

(4)在空間中﹐任意兩相異直線一定有公垂線

(5)在空間中﹐相交的兩相異平面一定有公垂面（公垂面是指與該兩平面都垂直的平面）﹒

【答案】

145

【詳解】

(1)○﹒ (2)╳﹕可能歪斜﹒ (3)╳﹕如 ﹒ (4)○﹒ (5)○﹒

( )9. (複選)下列各敘述何者恆真﹖

(1)空間中任意相異三點決定一平面 (2)空間中兩平行線決定一平面

(3)空間中兩兩相交﹐但不交於同一點的三直線決定一平面 (4)空間中相交之兩相異直線決定一平面

(5)空間中兩相異直線﹐若不相交﹐則必平行﹒

【答案】

234

【詳解】

(1)╳﹕不共線之相異三點﹒ (2)○﹒ (3)○﹒ (4)○﹒(5)╳﹕可能歪斜﹒

( )10 (複選)下列有關空間的敘述﹐哪些是正確的﹖

(1)過已知直線外一點﹐恰有一平面與此直線平行 (2)過已知直線外一點﹐恰有一平面與此直線垂直 (3)過已知平面外一點﹐恰有一直線與此平面平行 (4)過已知平面外一點﹐恰有一平面與此平面垂直 (5)過已知平面外一點﹐恰有一平面與此平面平行﹒

【答案】

25

【詳解】

(1)╳﹕無限多﹒(2)○﹒(3)╳﹕無限多﹒(4)╳﹕無限多﹒(5)○﹒

二、填充題 (每題 10 分)

1. 設空間三點^P

(

^{14, 6,8 ,}

)

^Q

(

^{2,0,12 ,}

) (

^R ^{8,10, 4}^{− ﹐則△}

)

PQR的形狀為____________﹒

【答案】

等腰直角三角形

【詳解】

^PQ⁼

(

^{14 2}⁻

)

²⁺⁶²^{+ −}

(

^{8 12}

)

² ⁼¹⁴^﹐

(

^{14 8}

) (

² ^{6 10}

) (

² ⁸ ⁴

)

² ¹⁴

PR= − + − + + = ﹐

(

^{2 8}

) (

² ¹⁰

) (

² ¹² ⁴

)

² ^{14 2}

QR= − + − + + = ﹐

2 2

PQ +PR =QR²﹐且 PQ=PR ∴△PQR為等腰直角三角形﹒

2. 空間中一點 (1)點在

(

^{3,1, 4}

)

A − −

A x 軸﹐ 軸與軸的正射影的坐標為____________﹔

(2)點到

y z

A x 軸﹐ 軸與軸的距離為____________﹔

(3)點在

y z

A xy 平面﹐ 平面與平面的正射影的坐標為____________﹔

(4)點到

yz zx

A xy 平面﹐yz平面與zx平面的距離為____________﹔

(4)

(5)點A關於x 軸﹐ 軸﹐ 軸之對稱點為____________﹔

(6)點關於

y z

A xy 平面﹐yz平面﹐zx平面之對稱點為____________﹒

【答案】

(1)

(

−3,0,0 , 0,1,0 , 0,0, 4

) ( ) (

− ﹒

)

(2) 17 ﹐5﹐ 10 ﹒

(3) ﹒

(4)4﹐3﹐1﹒

(5) ﹒

(6)

(

−3,1,0 , 0,1, 4 ,

) (

−

) (

−3,0, 4⁻

) ) (

− −3, 1, 4 , 3,1, 4 , 3, 1, 4

) ( ) (

− −

(

−3,1, 4 , 3,1, 4 ,

) (

−

) (

− − − ﹒ 3, 1, 4

)

3. 空間中^A

(

^{2, 1,3}⁻

)

﹐^B

(

^{1,1, 0}

)

^{﹐則 ,}A B 二點之距離為____________﹒

【答案】

14

【詳解】

^AB⁼

(

^{2 1}⁻

) (

²^{+ − −}^{1 1}

) (

²^{+ −}^{3 0}

)

² ⁼ ¹⁴^﹒

4. 設P

(

4, 2,3

)

﹐Q

(

5, 1, 7−

)

﹐求線段PQ 在yz平面上的正射影長為____________﹒

【答案】

5

【詳解】

^P^{' 0, 2,3 ,}

( )

^Q^{' 0, 1,7}

(

⁻

)

^{﹐∴ ' '}^{P Q} ⁼ ^{9 16}⁺ ^{= ﹒}⁵

5. 空間中二點A

(

1, 2,1 ,

) (

B 2, 1,3−

)

﹐在 x 軸上一點P使PA=PB﹐則P的坐標為____________﹒

【答案】

(

4, 0,0

)

【詳解】

設 P x ﹐

(

, 0, 0

)

(

¹

) ( ) ( )

² ² ² ¹²

(

²

)

² ¹²

( )

³

PA=PB⇒ x− + − + − = x− + + − ² 4

⇒x²−2x+ + =1 5 x²−4x+ +4 10 ⇒2x= ⇒ =8 x ﹐∴P

(

4,0, 0

)

﹒

6. 如圖﹐設A﹐B ﹐C 在平面 E 上﹐且 AB⊥BC﹐另設 PA⊥ 平面 E 於 ﹐已知A PA= ﹐8 AB=6﹐BC=24﹐ 求 PC= ____________﹒

【答案】

26

【詳解】

△ PA 中﹐B PB= 8²+6² =10﹐

∵ PA⊥ ﹐ AB BCE ⊥ ﹐由三垂線定理知 PB⊥BC﹐

△PBC中﹐PC= PB²+BC² = 10²+24² =26﹒

7. 如圖﹐ ABCD 為四面體﹐已知 AD 垂直於平面 BCD ﹐ BC⊥BD﹐BC= ﹐7 24

AB= ﹐AD=15﹐則 (1) AC 之長為____________﹔

(2)若平面ABD與平面ACD 之夾角為θ ﹐則 sinθ 之值為____________﹒

【答案】

(1)25;(2) 7 20

【詳解】

(1) AD⊥ 平面 BCD ﹐ BC BD⊥ ﹐由三垂線定理知 AB⊥BC﹐ 故AC= AB²+BC² = 24²+7² =25﹒

(2)∵ AD⊥ 平面 BCD ﹐∴ BD AD⊥ 且 CD⊥AD﹐ 故 BDC∠ 為平面ABD與平面ACD 之夾角﹐

△ BCD 中﹐

2 2

7 7

sin 25 15 20

BC

θ=CD= =

− ﹒

(5)

8. 設 ABCD 為正四面體（各面均為正△）﹐其稜長 ﹐設a M 為 CD 中點﹐ AMB∠ = ﹐θ 則(1)其高 AG= ____________﹔(2)體積為____________﹔

(3)全表面積為____________﹔(4) cosθ = ____________﹒

【答案】

(1) 6

3 a ;(2) 2 ³

12 a ;(3) 3a ;(4)² 1 3

【詳解】

(1)∵稜長為 ﹐底面△a BCD 的中線 BM 長為 3

2 a ﹐ 為重心﹐

∴

G

2 3 3

3 2 3

BG ⎛ a⎞

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠= a ﹐ △ ABG 中﹐ ² ² ² ² 1 ² 2 ² 6

3 3 3

AG =AB −BG =a − a = a ⇒AG= a ﹒

(2)體積 1

= （底面積）3 ⋅高 1 3 ² 6 2 ³ 3 4 a 3 a 12

= ⋅ ⋅ = a ﹒

(3)全表面積=4（△BCD ） 3 ²

4 3

4 a

= ⋅ = a ﹒(4)△ AGM 中﹐²

1 3 3 2 1

cos 3 3

2 GM a

AM a

θ= = ^⋅ = ﹒

9. 設^A

(

^{1, 0, 0}

)

﹐^B

(

^{0,1, 0}

)

﹐^C

(

^0,0,1

)

及D 為一正四面體之四個頂點﹐求 D 點坐標為____________﹒

【答案】 (

^1,1,1

)

或 ¹^, ¹^, ¹ 3 3 3

⎛− − − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

【詳解】

設^{D x y z ﹐}

(

^{, ,}

)

則DA=DB=DC=AB= 2

(

^x ¹

)

² ^y² ^z² ²

⇒ − + + = """1

^x²⁺

(

^y⁻¹

)

²⁺^z²= ""2 ²

^x²⁺^y²⁺

(

^z⁻¹

)

²= """3 ²

c-d﹕ 2− +x 2y= ⇒ = 代入d﹐e 0 x y ^y²⁺

(

^y⁻¹

)

²⁺^z²^{= "4}²

²^y²⁺

(

^z⁻¹

)

²= ""5 ²

f− g﹕ 2− y+2z= ⇒ = ﹐∴ x y z0 y z = = ﹐ 代入c

(

^x⁻¹

)

²⁺^x²⁺^x²⁼²

^⇒³^x²⁻²^x^{− = ⇒}^{1 0}

(

^x⁻^{1 3}

)(

^x^{+ =}¹

)

⁰

1 1 3

⇒ =x 或− ﹐

∴

(

^1,1,1

)

¹^, ¹^, ¹

3 3 3 D 或⎛⎜⎝− − − ⎞⎟⎠﹒

(6)

10. 如右圖﹐長方體 ABCD−EFGH中﹐AE= ﹐1 AB= ﹐2 AD= 3 (1)有一蜜蜂從 點飛到 G 點﹐其飛行的最短距離為____________﹔

(2)有一螞蟻從 點爬到 G 點﹐其爬行的最短距離為____________﹒

A A

【答案】

(1) 14 ;(2) 18

【詳解】

(1)ÂG⁼ ÂE²⁺ÊG² ⁼ ÂE²⁺

(

^EF²⁺^FG²

)

⁼ ¹²⁺²²⁺³² ⁼ ¹⁴^﹒

(2)(i)將矩形 DCGH 沿 DH 攤開﹐此時^AG⁼

(

^{3 2}⁺

)

²^{+ =}¹² ²⁶^﹒

(ii)將矩形 DCGH 沿 DC 攤開﹐此時^AG⁼

(

^{3 1}⁺

)

²⁺²² ⁼ ²⁰^﹒

(iii)將矩形 BCGF 沿 BC 攤開﹐此時^AG⁼ ³²⁺

(

^{2 1}⁺

)

² ⁼ ¹^{8 ﹒}

由(i)﹐(ii)﹐(iii)知爬行的最短距離為 18 ﹒

11. 如圖﹐有一各稜等長的金字塔形﹐設其四個正三角形的斜面中相鄰二面的夾角為α ﹐ 側面與底面之夾角為β ﹐則(1) cosα= ____________﹔(2) sinβ = ___________﹒

【答案】

(1) 1

− ;(2)3 6 3

【詳解】

(1)設 PB 之中點為 M ﹐△PAB﹐△PBC都是正三角形⇒AP=AB﹐ CP CB= ﹐ ∴ AM ⊥PB﹐ CM ⊥PB﹐故 AMC∠ = （二面角的定義）﹐ α

令 AP= ﹐則a 3

AM =CM = 2 a﹐又AC= AB²+BC² = a²+a² = 2a ﹐

△ ACM 中﹐由餘弦定理得

2 2 2

2

3 3

2 1

4 4

cos 2 2 3 3

4

a a a

AM CM AC

AM CM a

α

⎛ + − ⎞

⎜ ⎟

+ − ⎝ ⎠

= = = −

⎛ ⎞

⋅ ⎜⎝ ⎟⎠

﹒

(2)設 E ﹐F 分別為 BC ﹐AD 之中點 △PEF中﹐ 3

PE= 2 a=PF﹐EF = ﹐ a

2 2

3 2 3

2 2 1

cos ﹐ ∴

3 3

2 2

a a a

a a β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

⋅ ⋅

2 6

sin 1 cos ﹒ β = − β = 3

12. 過矩形 ABCD 的頂點A﹐作垂直於這個矩形所在平面的垂直線段PA ﹐若PB= ﹐5 3 3

PC= ﹐PD=3 2﹐求 PA= ____________﹒

【答案】

4

【詳解】

設AP=z AB, =x AD, = y

△ 中﹕

PAB 5²=z²+ "1x²

PAC

( )

^{3 3} ²⁼^z²⁺^x²⁺^y²^"2

△PAD中﹕

( )

^{3 2} ²⁼^z²⁺^y²^"3

(7)

d e﹕−

( ) ( )

^{3 3} ²⁻ ^{3 2} ² ⁼^x²^﹐∴^x² ^{= 代入c得﹕}⁹ ^PA^{= = ﹒}^z ⁴

13. 不共面三射線 OX

G

OY OZ 互成 角﹐

﹐

G G

﹐

30° P∈OX

G

﹐OP= ﹐ 至平面YO 之投影為 ﹐ Q 至 OY2 P Z Q

G

之垂足為 R ﹐又 QR 交 OZ

I I

於 S ﹐求PS²+OR²= ____________﹒

【答案】

11 4 3−

【詳解】

∵ PQ⊥ 平面 OY ﹐Z QR⊥OY ﹐∴ PR⊥OY﹐(三垂線定理)

△ OP 中﹐R 3

2 3 1 2 3

OP OR PR

OR OP

= = ⇒ = = ﹐

△ OP 中﹐由餘弦定理S PS²=OP²+OS²−2OP OS⋅ ⋅cos 30° ² ² 3

2 2 2 2 2 8 4 3

= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 = − ﹐

∴^PS²⁺^OR²^{= −}⁸ ^{4 3}⁺

( )

³ ² ⁼^{11 4 3}⁻ ^﹒

空間坐標(1) 座號

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.10.29 班級

範 圍

2-1、2 空間基本概念(2)