高三複習試題 第章排列、組合班級座號姓名◎學測篇一、單選題

高三複習試題 第 5 章 排列、組合

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、單選題

（ ）1.某地區的車牌號碼共六碼﹐其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母﹐後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字﹐但 規定不能連續出現三個 4﹒例如﹔AA1234﹐AB4434 為可出現的車牌號碼﹓而 AO1234﹐AB3444 為不可 出現的車牌號碼﹒則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (1)25  9³ (2)25  9²  10 (3)25  900 (4)25  990 (5)25  999﹒ (97 學測)

解答 4

解析 A 4 ↑ ↑

25  ( 10³  1  9)  25  990﹒

4 4 4 4 4

 

（ ）2.若數列 a1﹐a2﹐…﹐ak﹐…﹐a10中每一項皆為 1 或  1，則 a1  a2 … ak … a10之值有多少種可能？

(1)10 (2)11 (3)P (4)¹⁰₂ C (5)2¹⁰₂ ¹⁰﹒ (99 學測) 解答 2

解析

1 的個數 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

 1 的個數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 值 10 8 6 4 2 0  2  4  6  8  10 共有 11 種不同之值﹒

（ ）3.學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求﹐才有資格參選模範生﹒

一﹑國文成績或英文成績 70 分（含）以上；二﹑數學成績及格﹒

已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格﹒請問下列哪一個選項的推論是正確的？ (1) 小文的英文成績未達 70 分 (2)小文的數學成績不及格 (3)小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及 格 (4)小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (5)小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及 格﹒ (102 學測)

解答 5

解析 因為小文的國文未達標準且兩項要求都要滿足﹐

所以只要英文與數學有一科未達標準就不符合資格﹒故選(5)﹒

（ ）4.將 24 顆雞蛋分裝到紅﹑黃﹑綠的三個籃子﹒每個籃子都要有雞蛋﹐且黃﹑綠兩個籃子裡都裝奇數顆﹒

請選出分裝的方法數﹒ (1)55 (2)66 (3)132 (4)198 (5)253﹒ (102 學測) 解答 2

解析 設紅﹑黃﹑綠三個籃子各裝 x﹑2y  1﹑2z  1（x﹐y﹐z ）顆雞蛋﹒

依題意﹐得 x  (2y  1)  (2z  1)  24  x  2y  2z  26

由上式得知 x 為偶數﹐令 x  2m﹐則 2m  2y  2z  26﹐

即求 m  y  z  13 之正整數解的個數﹐

即求 m  y  z  10 之非負整數解的個數﹐

所以 ₁₀^{3 10 1 12}₁₀ 11 12 1 2 66 C ^{ } C   

 ﹒

故選(2)﹒

（ ）5. 設(1 2)⁶  a b 2，其中

a b ,

b

(1) C₀⁶2C₂⁶2²C₄⁶2³C₆⁶ (2) C₁⁶2C₃⁶2²C₅⁶ (3)C₀⁶2C₁⁶2²C₂⁶2³C₃⁶2⁴C₄⁶2⁵C₅⁶2⁶C₆⁶ (4) 2C₁⁶2²C₃⁶2³C₅⁶ (5) C₀⁶2²C₂⁶2⁴C₄⁶2⁶C₆⁶ (103 學測)

解答 2 解析

二、多選題

（ ）1.三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形﹐如下圖所示﹒若在每一邊的兩個三等分點中﹐各選取一點連 成三角形﹐則下列哪些選項是正確的﹕ (1)依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2)這些可能連成 的三角形中﹐恰有 2 個是銳角三角形 (3)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是直角三角形 (4)這些 可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是鈍角三角形 (5)這些可能連成的三角形中﹐恰有 1 個是正三角形

A

B C

(101 學測) 解答 12

解析 (1)三角形有 2  2  2  8﹐即

△DIF﹑△DIG﹑△DHG﹑△DHF﹑△EIF﹑△EIG﹑△EHF﹑△EHG (2)銳角三角形﹔正三角形即是銳角三角形  △DHF﹑△EIG﹐共 2 個 (3)直角三角形﹔△DIF﹑△DIG﹑△EHF﹑△EIF﹑△EHG﹑△DHG﹐共 6 個 (4)鈍角三角形﹔共 0 個

(5)正三角形﹔△DHF﹑△EIG﹐共 2 個 故選(1)(2)

A

B C

D E

F G

H I

（ ）2.某一班共有 45 人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有 35 人有手機，而有 24 人有平板電腦。設：

A 為同時有手機與平板電腦的人數 B 為有手機，但沒有平板電腦的人數 C 為沒有手機，但有平板電腦的人數 D 為沒有手機，也沒有平板電腦的人數 請選出恆成立的不等式選項。

(1) A＞B (2) A＞C (3) B＞C (4) B＞D (5) C＞D (104 學測) 解答 234

解析

三、填充題

1.在數線上有一個運動物體從原點出發﹐在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單位﹐跳動過程可重複經過 任何一點﹒若經過 6 次跳動後運動物體落在點  4 處﹐則此運動物體共有____________種不同的跳動方法﹒

(94 學測) 解答 6

解析 此跳動必為 5 正 1 負（     ）﹐依有相同元素排列6!

5! 6﹒

2.有一個兩列三行的表格如圖﹒在六個空格中分別填入數字 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6（不得重複）﹐則 1﹐2 這兩個數字在 同一行或同一列的方法有____________種﹒(99 學測)

解答 432

解析 同行﹔C₁³2!  4!  144

同列﹔C₁²

 P

∴144  288  432﹒

3.某公司生產多種款式的「阿民」公仔﹐各種款式只是球帽﹑球衣或球鞋顏色不同﹒其中球帽共有黑﹑灰﹑紅﹑藍四 種顏色﹐球衣有白﹑綠﹑藍三種顏色﹐而球鞋有黑﹑白﹑灰三種顏色﹒公司決定紅色的帽子不搭配灰色的鞋子﹐而 白色的球衣則必須搭配藍色的帽子﹐至於其他顏色間的搭配就沒有限制﹒在這些配色的要求之下﹐最多可有 ____________種不同款式的「阿民」公仔﹒ (96 學測)

解答 25

解析 依球帽討論有下列三項

 黑灰 2 2 3 12

 

   

衣 鞋

 紅    1 2 2 4

 藍    1 3 3 9 共有 12+4+9 = 25 種﹒

4.從 1 到 100 的正整數中刪去所有的質數﹑2 的倍數及 3 的倍數之後﹐剩下最大的數為____________﹒(98 學測) 解答 95

解析 由 100 往前刪去﹔100﹐99﹐98﹐97﹐96﹐95 得最大數為 95﹒

5.新新鞋店為與同業進行促銷戰﹐推出「第二雙不用錢──買一送一」的活動﹒該鞋店共有八款鞋可供選擇﹐其價格 如下﹔

款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛

價格 670 670 700 700 700 800 800 800

規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如﹔買一個「丁」款鞋﹐可送甲﹑乙兩款鞋之一）﹒若有一位新新鞋 店的顧客買一送一﹐則該顧客所帶走的兩雙鞋﹐其搭配方法一共有____________種﹒(95 學測)

解答 21

解析 買丙﹐丁﹐戊送甲或乙有 3  2 種﹐買己﹐庚﹐辛送甲﹐乙﹐丙﹐丁﹐戊有 3  5 種﹐

∴共有 6  15  21 種﹒

6.設 A(1,1)﹑B(3,5)﹑C(5,3)﹑D(0,  7)﹑E(2,  3)及 F(8,  6)為坐標平面上的六個點﹒若直線 L 分別與三角形 ABC 及 三角形 DEF 各恰有一個交點﹐則 L 的斜率之最小可能值為____________﹒(101 學測)

解答  3

解析 ∵ 直線 L 分別與△ABC﹑△DEF 各恰有一交點

∴ 由圖形可看出直線 L 只能是二個三角形頂點的連線﹐

不可能切割三角形﹐所以斜率最小為 9

3 3 mCF   



x y

O A(1,1)

B(3,5) C(5,3)

F(8, 6) D(0, 7)

E (2, 3)

7.某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞台﹑4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型﹒若同類型電視台的頻道要 相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方式共有____________種﹒ (95 學測)

解答 576 解析

體體 新新新 綜綜綜綜 所求 1  2!  2!  3!  4!  576﹒

↑ ↑ ↑ 體 新 綜

8. 一個房間的地面是由 12 個正方形所組成，如右圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋

兩個相鄰的正方形，即 或 。則用 6 塊瓷磚舖滿房間地面的方法有_________種。(103 學測)

解答 11 解析

9..小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種 8 盆，可以不必擺滿，

並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有____________種。(104 學測) 解答 70

解析

10.籃球 3 人鬥牛賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬 9 人參加，組成三隊，且甲、乙 2 人不在同一隊的 組隊方法有__________種。(90 學測)

解答 210

解析 C₂⁷  C₂⁵  C₃³210（種）

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