遠近高低皆相同—圓錐曲線的等視角軌跡研究

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中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

排版\050415-封面

高級中等學校組數學科佳作

050415-封面

遠近高低皆相同—圓錐曲線的等視角軌跡研究

學校名稱：國立新竹女子高級中學

作者：指導老師：

高二林郁晴高二徐舒庭

張寶文

關鍵詞：圓錐曲線、視角、密切圓

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1

摘要

本研究旨在探討圓錐曲線的等視角軌跡。我們利用幾何方法和過曲線外一點的兩切線夾角之cot

θ

值恆等的條件求得：線段的等視角軌跡為兩對稱圓弧；圓的等視角軌跡為圓；拋物線的為單支雙曲線，且視角互補的軌跡恰為一雙曲線，視角90° 時軌跡為其準線。

由於不同觀測點位置對雙曲線作切線的情況不同，只有在漸近線同號區能定義等視角軌跡，故我們擴充視角的定義，並提出等切線夾角軌跡來研究雙曲線的軌跡。橢圓的等視角軌跡和雙曲線等切線夾角軌跡皆為含根式的二次曲線，視角90° 時軌跡為兩者的準圓。我們討論兩圖形的相似特徵：找出圖形凹向改變的條件，並以實驗數據說明軌跡的兩側近似於軌跡與y 軸交點的密切圓(Osculating Circle)。期待能以研究結果解決一些視覺問題。

壹、研究動機

生活中，我們在拍攝或觀看一物體時，視角會因觀測點的位置遠近不同而變化，而視角的大小決定了成像及視野範圍，尤其攝影器材的視角是固定的，若我們隨便選一個位置拍攝，

影像很可能會如同蘇軾著名的詩句：「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同」一般，視角並不固定。因此我們思考到觀測點沿著什麼軌跡移動時，視角會恆等。於是我們以圓錐曲線為研究對象，探討其等視角軌跡。

貳、研究目的

研究線段、圓、拋物線、橢圓、雙曲線的等視角軌跡及軌跡圖形特性。

參、研究設備及器材

紙、筆、電腦、數學繪圖軟體GGB

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2

肆、研究過程或方法

一、基本假設與名詞定義

(一)基本假設：光線在均勻介質中以直線傳播。

(二)名詞定義：

1. 視角

θ

：物體兩端所發出的光在觀測者眼中匯聚的夾角為θ₍₀° < <θ _{180 )}° ，如圖。

倘若觀測點能完整觀測物體，則視角會等於觀測點對物體所作的兩切線夾角之一。

兩直線的夾角有兩個：θ 及(180° −θ)，但實際上我們只要θ 一解，因此在研究過程 中我們會以兩切線的關係來判斷視角θ 。

2. 等視角軌跡：平面上，曲線外所有對該曲線視角相等的點所形成的軌跡。

二、研究方法

對於固定長度的線段和圓的等視角軌跡可用直觀的幾何方法證明；對拋物線、橢圓及雙曲線，我們以曲線的等視角軌跡上的點對其所作的兩切線夾角皆相等的想法找出軌跡方程式。

一般求兩直線夾角

θ

會利用 ¹ ²

1 2

tan 1 θ m m

m m

= ± −

+ ，其中m m 分別為兩直線斜率，但₁, ₂ cot

θ

在視角範圍內(0° < <

θ

180°)才皆有定義且為一對一函數，故我們採用 ^{1 2}

1 2

cotθ 1 m m m m

= ± +

− 來計算。

我們利用陳一理[5]書中已知切線斜率的切線方程式(p.104、p.190、p.279)假設過曲線外一點的兩條切線方程式，再參考羅美音、蘇映竹[6]討論橢圓切線夾定角的方式，先找出兩斜率滿足的關係式，再代入 ^{1 2}

1 2

cotθ 1 m m m m

= ± +

− 化簡得到等視角軌跡並畫圖討論。

陳一理[5]書中提到當兩切線垂直時，拋物線的切線交點軌跡為其準線(p.107)，橢圓、雙曲線的切線交點軌跡則為一圓(p.191、p.281)。羅美音、蘇映竹[6]提出橢圓切線交點軌跡，但沒有特別區別何者為切線夾角是銳角或鈍角時的軌跡圖形；文中亦提及當切線夾角愈接近直角或橢圓長、短軸長度愈接近時，切線交點軌跡會愈接近一圓。

(一)線段的等視角軌跡

在研究圓錐曲線的等視角軌跡前，我們先從一固定長度的線段開始研究。剛開始我們

(4)

3

是以兩方向向量的夾角為定值著手，試著以代數的方式推論出軌跡。用GGB畫出圖形後，

才發現這其實是四點共圓的一個應用。

我們定義觀測點對於線段的視角為觀測點到線段兩端點的連線之夾角。

【定理一】：平面上一線段AB，其等視角θ 的軌跡為以AB為對稱軸的兩圓弧，而圓弧所在的圓半徑為 _csc

2

AB θ 。

【證明】：

如圖，令平面上AB

的同側有兩點_P、Q ， APB AQB θ

∠ = ∠ = 且兩者同對應至AB另一側的弧_AB，其中弧_AB為_A、_B、_P、Q 四點共圓上的圓弧，即圖中的虛線。

同理，^_AB的另一側亦同。

因此，對AB的等視角θ 軌跡為一以AB

為對稱軸的兩對稱圓弧，即圖中的兩紅色實線圓弧，且根據正弦定理，該圓弧所在的圓半徑為 _csc

2

AB θ。

圖(一)：線段的等視角軌跡 (二)圓的等視角軌跡

【定理二】：平面上半徑為_r的圓，其等視角θ 的軌跡是半徑為 csc r θ2

的同心圓。

(5)

4

【證明】：

如圖，設平面上一圓圓心為O，半徑為r 。並設圓外相異兩點P、Q 對圓的視角皆 為θ ，且P、Q 對圓作切線的切點分別為A、_B和C 、D。

APB CQD

θ

∠ = ∠ =

= °60

θ

= °90

θ

=120°

θ

=150° 軌跡半徑rθ 6+ 2

2

2 ^{2 3}

3 6− 2

(6)

5

圖(二)：表(一)中不同視角下的等視角軌跡 (三)拋物線的等視角軌跡

不失一般性，我們僅考慮開口向上的拋物線Γ₁_:_x² =_{4 ,}_{ky k} >₀的等視角軌跡。

【定理三】：平面上，開口向上拋物線Γ₁_:_x² =_{4 ,}_{ky k} >₀的等視角θ 軌跡 (i)

θ

= °90 時，軌跡為拋物線Γ 的準線：₁ y= −k；

(ii)0° < < °

θ

90 時，軌跡為上下開的雙曲線的下半支，其方程式為

2 2 2

θ θ θ

+ +

− + =

+ + ，其中y> − 。 k 【證明】：

1°

令拋物線Γ 外一點₁ P x y ，其中( , )₀ ₀ ₀

1

₀² y

4

x

<

k 。如圖，過P^對Γ 作兩條切線₁ PA

及^_PB，其中A^、B 為切點，並令^_PA的斜率為m ，₁ PB

的斜率為m ，且₂

1 2

m m> 。令視角

θ

為PA



和PB



_的夾角。

2°

^已知Γ₁:x² =4ky上斜率為m 的切線公式為y mx km= − ²。又兩切線PA y m x km_: = ₁ − ₁²

及PB y m x km_: = ₂ − ₂²

交於P x y ， ( , )₀ ₀ 故m 、₁ m 為 m 的二次方程式₂ y₀ =mx₀−km²的兩根。

又_y₀ =_mx₀−_km² ⇒_km²−_{x m y}₀ + ₀ =₀，

1 2 0

2 2

0 0

2 1 0 0 1 2

1 2 0

( ) 4 1 4 ( )

m m xk m m x y x ky m m

y k k k

m m k

 + =

∴ ⇒ − = − − ⋅ = − − >

 =





0 1 2

2 1 02 0

cot 1

4 k y m m

m m x ky

θ ⁺ ⁺

∴ = =

− − − 。

3° (i)

θ

= ° 時，90 _cotθ = ⇒ +₀ _{k y}₀ = ⇒₀ _y₀ = −_k。此時的等視角軌跡為拋物線Γ 的準線：₁ y= −k。

(7)

6

(ii)

θ

≠ °90 時，

cot 2

4 k y x ky θ = ⁺

− −

cot

2

4

θ

1)) 4 cot (cotk

θ θ

1)

⇒ − + + + = +

2 2 2

2 2 2 2 2

( (2cot 1)) 1 4 (cot 1) 4 (cot (cot 1))

x y k

k k

θ

θ θ θ

+ +

⇒ − + =

+ +

當0° < < ° 時，

θ

90

cot 2 0 0

4

k y k y y k

x ky

θ = ⁺ > ⇒ + < ⇒ < −

− − ，

故此時的等視角軌跡為

2 2 2

2 2 2 2 2

( (2cot 1)) 1, 4 (cot 1) 4 (cot (cot 1))

x y k y k

k k

θ

θ θ θ

+ +

− + = < −

+ + ；即

為上下開的雙曲線的下半支。

當90° < <

θ

180°時，

cot 2 0 0

4

k y k y y k

x ky

θ = ⁺ < ⇒ + > ⇒ > −

− − ，

故此時的等視角軌跡為

2 2 2

2 2 2 2 2

( (2cot 1)) 1, 4 (cot 1) 4 (cot (cot 1))

x y k y k

k k

θ

θ θ θ

+ +

− + = > −

+ + ，即

為上下開的雙曲線的上半支。

▓

圖(三)：拋物線y x= 的等視角軌跡 ² (四)橢圓的等視角軌跡

不失一般性，我們考慮橢圓 ₂_:^x²₂ ^y²₂ ₁₍_{a b} ₀₎ a b

Γ + = > > 的等視角軌跡。

【定理四】：平面上，橢圓 ₂_:^x²₂ ^y₂² ₁₍_{a b} ₀₎ a b

Γ + = > > 的等視角θ 軌跡為

(8)

7

2 2 2 2 2cot 2 2 2 2 2 2

x +y −a b− = θ a y +b x −a b 。

在θ = °時，該軌跡為橢圓90 Γ 的準圓：2 x²+y² =a b²+ 。 ² 【證明】：

1°

^令過^{Γ 外一點}₂ P x y (即( , )₀ ₀ x⁰²₂ y⁰₂² 1

a +b > )對其作兩條切線PA

及PB

，其中A^、B^{為切點，並分別令} 斜率為m 、₁ m 且2 m m1 > 2；若其中一條切線為鉛直線，則令其為_{PB x x}_: = ₀

且該直線斜率不存在。

而視角

θ

即為PA



和PB



的夾角，且0° < <

θ

180° 。

2°

^已知 ₂:x²₂ y₂² 1

a b

Γ + = 上斜率為m 的切線公式為y mx= ± a m b² ²+ ² 。

因兩切線交於點P x y ，故( , )₀ ₀ m 、₁ m 為 m 的方程式₂ (y mx₀− ₀)² =a m b² ²+ ²的根。

又₍_{y mx}₀− ₀₎² =_{a m b}² ²+ ²⇒₍_{x a m}₀²− ²₎ ²−₂_{x y m y b}_{0 0} +₍ ₀²− ²_{) 0}=

2 2

0 0 0

1 2 2 2 1 2 2 2

0 0

2x y , y b

m m m m

x a x a

∴ + = = −

− − ，又m m₁> ₂

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

0 0 0

1 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2x y 4 y b 2 a y b x a b

m m x a x a x a

+ −

   − 

⇒ − =  −  −  −  = −

(i)當 x₀ > 時，a ^{1 2}

1 2

cotθ 1 m m m m

= +

− ，如下圖。

(9)

8

此時

2 2

02 2 2 2 2 2

0 0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 0 0 0 0

2 2

0

1 1

cot 2 2

y b

x a x a y b

θ m m

m m a y b x a b a y b x a b x a

+ −

− − + −

= + = =

− + − + −

−

故 x a> 時的等視角軌跡為x²+y a b²− ²− ² =2cotθ a y b x a b^{2 2}+ ^{2 2}− ^{2 2} 。 (ii)當 x₀ < 時，a ^{1 2}

2 1

cotθ 1 m m m m

= +

− ，如下圖左。

此時

2 2

02 2 2 2 2 2

0 0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 0 0 0 0

2 2

0

1 1

cot 2 2

( )

y b

x a x a y b

θ m m

+ −

− − + −

= + = =

− + − + −

− − −

故 x a< 時的等視角軌跡亦為_x²+_y²−_{a b}²− ² =_2cot_{θ a y}^{2 2}+_{b x}^{2 2}−_{a b}^{2 2} 。

(iii)當 x₀ = 時，如上圖右。a

此時m 不存在，但₂ m 仍會滿足₁ (y m x₀− _{1 0})² =a m b² ₁²+ ²。

又 x₀ = ，化簡上式：a _y₀²−₂_{m x y}_{1 0 0}+ _{m x}_{1 0}^{2 2} = a m² ₁² ² ₁ ⁰² ² 2 0 0

b m y b

x y

+ ⇒ = − 。

故x a y₀ = , ₀ > 時，0 ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

− −

= = = ⇒ − = ；

0 , 0 0

x = −a y > 時， ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

− −

= − = − = ⇒ − = ；

0 , 0 0

x a y= < 時， ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

− −

= − = − = − ⇒ − = − ；

0 , 0 0

x = −a y < 時， ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

− −

= = = − ⇒ − = − 。

綜合以上可得： x₀ = 時，a y b₀²− ² =2 cota θ y₀ 。

(10)

9

故 x a= 時的等視角軌跡為y b²− ² =2 cota θ y ，此亦為

2 2 2 2 2cot 2 2 2 2 2 2

x +y −a b− = θ a y +b x −a b 在 x a= 時的特例。

由(i)～(iii)的討論可知：橢圓x²₂ y₂² 1( ,a b 0,a b)

a +b = > ≠ 的等視角θ 軌跡為

2 2 2 2 2cot 2 2 2 2 2 2

x +y −a b− = θ a y b x a b+ − 。

而當θ = °時，上式可整理為90 x²+y² =a b²+ ，此為橢圓² ₂:x²₂ y₂² 1 a b

Γ + = 的準圓。

▓ 上述【定理四】中的證明當a b= 時亦成立，即_x²+_y² =_{a a}² ₍ >₀₎的等視角θ 軌跡為

2 2 2 2 2 cot 2 2 2

x +y − a = a θ x +y a− 。令t

=

x y a²

+ −

² ² ，則t 滿足t²−2 cota θ t a⋅ − ² =0。又t > ，故0 (cot csc ) ^{1 cos} cot ² ²cot² ² ² ²csc²

sin 2 2 2

t a θ θ a θ a θ t a θ x y a θ

θ

= + = + = ⇒ = ∴ + = 。

此結果與【定理三】中圓的等視角軌跡吻合。

圖(四)：左為橢圓 ² ² 1 4

x +y = ，右為橢圓 ² ² 1 2

x +y = 於θ = ° 、90° 及120°的等視角軌跡 60

我們觀察到不同橢圓的等視角軌跡有些許不同，如圖(四)左圖中θ = ° 的軌跡於60 y =0附近向內凹，而θ =120°時則無此現象，但右圖中皆無此現象。而我們也想進一步瞭解軌跡上、下兩部份的曲線有多接近圓弧，因此將於陸、討論中一併分析。

(五)雙曲線的視角

2 2 5 2 4 2 2 4

x +y − = 3 y +x −

2 2 5

x +y =

2 2 5 2 4 2 2 4

x +y − = − 3 y +x −

2 2 3 2 2 2 2 2

x + y − = 3 y +x −

2 2 3

x +y =

2 2 3 2 2 2 2 2

x +y − = − 3 y +x −

(11)

10

過雙曲線

2 2

3: x2 y2 1( ,a b 0) a b

Γ − = > 外一點_{P x y}_{( , )}₀ ₀ 對其作兩條切線有兩種情況：

圖(五)：雙曲線的兩條切線

1. 若(bx ay bx ay0 + 0)( 0− 0) 0> ，兩切線僅與雙曲線其中一支相切於兩點A B_, ，如圖(五)

左圖，我們定義視角

θ

為PA



和PB



的夾角，並藉此討論雙曲線一支的等視角軌跡。

當P 點愈接近雙曲線的對稱中心O 時，

θ

愈小，故

θ

的下界為圖中兩漸近線夾角

(π α− )，又

2 2 2 2

1 ( ) 1

cot( ) cot cot

2 2

b b a b a b

b ba a ab ab a a

π α

− = −

α

= ^{+ −} ^⋅ = ⁻ ∴ ⁻ ^ ⁻ ^< <

θ π

 

− − 。

2. 若(bx ay bx ay0 + 0)( 0− 0) 0< ，兩切線分別與雙曲線左右兩支相切於點A B_, ，如圖(五) 右圖。此時兩切線夾角

θ

並不是對雙曲線的視角，無法以此定義視角，反而可看成不受雙曲線遮擋的視域夾角，而當P 點愈接近雙曲線的對稱中心O 時，

θ

愈大，

故

θ

的上界為圖中兩漸近線夾角

α

，故

2 2

0 cot 1

2 a b θ ⁻ ^ ⁻ab ^

< <  − 。

(六)單支雙曲線的等視角軌跡

不失一般性，我們僅討論左右開雙曲線^x²₂ ^y₂² _{1( ,}_{a b} ₀₎

a −b = > 的右半支x > 的等視角0 軌跡，左半支會與其對稱y 軸。

【定理五】：平面上，單支雙曲線 ₄_:_x ^a _y² _{b a b}²_{( ,} ₀₎

Γ = b + > 的等視角θ 軌跡為

2 2 2 2

2cot

2 2 2 2 2 2

, 0

x y a b

+ − + = − θ

a y b x a b x

− + >

，

(12)

11

其中bx ay+ > ∧₀ bx ay− >₀且

2 2

cot 1

2 a b

ab

θ π

−  − 

< <

 − 

  。

【證明】：

1° 令過Γ 外一點₄ P x y (( , )₀ ₀ x⁰²₂ y⁰²₂ 1, (bx ay₀ ₀) 0, (bx ay₀ ₀) 0 a −b < + > − > ) 對其作兩條切線PA

及PB

，其中A 、 B 為切點，並分 別令斜率為m 、₁ m 且₂ m m₁> ₂；若其中一條切線為鉛直線，則令其為_{PB x x}_: = ₀

且該直線斜率不存在。

令視角

θ

即為PA



和PB



的夾角，其中

2 2

cot 1

2 a b

ab

θ π

−  −− < < 。

2°已知雙曲線上斜率為 m 的切線公式為y mx= ± a m b² ²− ² 。

因兩切線交於點P x y ，故( , )₀ ₀ m 、₁ m 為 m 的方程式₂ (y mx₀ − ₀)² =a m b² ²− ²的根。

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

(y mx− ) =a m b− ⇒(x a m− ) −2x y m y b+( + ) 0=

2 2

0 0 0

1 2 2 2 1 2 2 2

0 0

2x y , y b

m m m m

x a x a

∴ + = = +

− − ，又m m₁> ₂

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

0 0 0

1 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2x y 4 y b 2 a y b x a b

m m x a x a x a

− +

   + 

⇒ − =  −  −  −  = −

(i)當x₀ > 時，a ^{1 2}

2 1

cotθ 1 m m m m

= +

此時

2 2

02 2 2 2 2 2

0 0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 0 0 0 0

2 2

0

1 1

cot 2 2

y b

x a x a y b

θ m m

+ +

− − + +

= + = = −

− − + − +

− −

因此等視角軌跡在x a> 時為_x²+_y²−_{a b}²+ ² = −_2cot_{θ a y b x}^{2 2}− ^{2 2}+_{a b}^{2 2} 。

(13)

12

(ii)當0 x a< ₀ < 時， ^{1 2}

1 2

cotθ 1 m m m m

= +

− ，如上圖右。

此時

2 2

02 2 2 2 2 2

0 0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 0 0 0 0

2 2

0

1 1

cot 2 2

( )

y b

x a x a y b

θ m m

+ +

− − + +

= + = = −

− − + − +

− −

等視角軌跡在0 x a< < 時為

2 2 2 2 2cot 2 2 2 2 2 2

x +y −a +b = − θ a y −b x +a b 。 (iii)當x₀ =a時，如右圖。此時m 不存在， ₂

但m 仍會滿足₁ (y₀−m x_{1 0})² =a m² ₁²−b²。又_x₀ =_a，化簡上式：

2 2 2

0 2 1 0 0 1 0

y − m x y + m x = a m² ₁² ² ₁ ⁰² ² 2 0 0

y b

b m

x y

− ⇒ = + 。

故x a y₀ = , ₀ > 時0 ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

+ +

= − = − = − ⇒ + = − ；

0 , 0 0

x a y= < 時， ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

+ +

= = = ⇒ + = 。

綜合以上可得：_x₀ =_a時，y₀²+b² = −_{2 cot}a θ y₀ 。故x a= 時的等視角軌跡為y²+b² = −_{2 cot}a θ y ，此亦為

2 2 2 2

2cot

2 2 2 2 2 2

x y a b

+ − + = − θ

a y b x a b

− +

在x a= 時的特例。

由(i)~(iii)的討論可知：雙曲線 ₃:x a y² b a b²( , 0)

Γ = b + > θ 軌跡為

2 2 2 2

2cot

2 2 2 2 2 2

x y a b

+ − + = − θ

a y b x a b

− +

，其中bx ay+ > ∧0 bx ay− >0且

(14)

13

2 2

cot 1

2 a b

ab θ π

−  − < <

  。

▓ 以單支雙曲線_x= _y²+₁及_x= ₂_y²+₂為例，在視角

θ

分別滿足

( )

90° ≈cot 0⁻1 < <θ 180°及_70.53 _cot ¹ ¹ ₁₈₀

2 2 θ

−  

° ≈  < < °時軌跡存在，等視角軌跡圖形如下圖(六)。

圖(六)：左為單支雙曲線_x= _y²+₁在視角為120°、150°的等視角軌跡右為單支雙曲線_x= ₂_y²+₂在視角為90° 、120°、150°的等視角軌跡 (七)雙曲線的等切線夾角軌跡

受限左右開雙曲線^x²₂ ^y₂² _{1( ,}_{a b} ₀₎

a −b = > 僅在漸近線同號才能對單支雙曲線進行完整觀測，而其他圓錐曲線的等視角軌跡亦為該曲線的等切線夾角軌跡，因此我們進一步討論雙曲線的等切線夾角軌跡。

如右圖，根據切線交點位置，在漸近線同號區取切線夾角

θ

為線外一點對兩切點的方向向量之夾角；在漸近線異號區則為先前對單支雙曲線視角的補角；而漸近線上的點沒有切線。當切線交點位置點愈接近雙曲線的對稱中心O 時，

θ

愈

大，故

θ

的上界為圖中兩漸近線夾角

α

，又

2 2 2 2

cot 0 cot 1

2 2

a b a b

ab ab

α = −⁻ ∴ < <θ ⁻ ^ −⁻ ^。

(15)

14

【定理六】：平面上，雙曲線

2 2

3: x2 y2 1( ,a b 0) a b

Γ − = > 的等切線夾角θ 軌跡為

2 2 2 2

2cot

2 2 2 2 2 2

x y a b

+ − + = θ

a y b x a b

− +

，

其中₍bx ay bx ay+ ₎₍ − _{) 0}≠ 且

2 2

0 cot 1

2 a b

θ

⁻ ^ ⁻ab ^

< <  − 。

當

θ

= ° 且90 a b> 時，軌跡為雙曲線Γ 的準圓：₃ x²+y² =a b²− ，但² (bx ay bx ay+ )( − ) 0≠ 。

【證明】：

由於切線交點在漸近線同號區所取的夾角為視角的補角，故由【定理五】可知同號區等切線夾角

θ

的軌跡方程式為x y a b²

+

²

− + =

² ²

2cot θ

a y b x a b^{2 2}

−

^{2 2}

+

^{2 2} 。以下討論切線交點在漸近線異號區的情況：

1° 令過Γ 外一點₃ P x y (( , )₀ ₀ x⁰²₂ y⁰₂² 1, (bx ay bx ay₀ ₀)( ₀ ₀) 0

a −b < + − < )對其作兩條切線

PA 及PB

，其中A、B 為切點，並分別令斜率為m 、₁ m₂ 且m m₁> ₂；若其中一條切線為鉛直線，則令其為

: 0

PB x x=

 且該直線斜率不存在。

切線夾角

θ

即為PA



和PB



的夾角，其中

2 2

0 cot 1

2 a b

θ

⁻ ^ ⁻ab ^

< <  − 。

2°已知x²₂ y²₂ 1

a −b = 上斜率為m 的切線公式為y mx= ± a m b² ²− ² 。

因切線交於點P x y ，故( , )₀ ₀ m 、₁ m 為₂ m的方程式₍_{y mx}₀− ₀₎² =_{a m b}² ²− ²的根。

又₍_{y mx}₀− ₀₎² =_{a m b}² ²− ² ⇒₍_{x a m}₀²− ²₎ ²−₂_{x y m y b}_{0 0} +₍ ₀²+ ²_{) 0}=

2 2

0 0 0

1 2 2 2 1 2 2 2

0 0

2x y , y b

m m m m

x a x a

∴ + = = +

− − ，又m m₁> ₂

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

0 0 0

1 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2x y 4 y b 2 a y b x a b

m m x a x a x a

− +

   + 

⇒ − =  −  −  −  = − 。

(16)

15

(i)當 x₀ > 時，a ^{1 2}

1 2

cotθ 1 m m m m

= +

− ，如下頁圖。

此時

2 2

02 2 2 2 2 2

0 0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 0 0 0 0

2 2

0

1 1

cot 2 2

y b

x a x a y b

θ m m

m m a y b x a b a y b x a b x a

+ +

− − + +

= + = =

− − + − +

−

。

故等切線夾角軌跡在 x a> 時為_x²+_y²−_{a b}²+ ² =_2cot_{θ a y b x}^{2 2}− ^{2 2}+_{a b}^{2 2} 。

(ii)當 x₀ < 時，a ^{1 2}

2 1

cotθ 1 m m m m

= +

此時

2 2

02 2 2 2 2 2

0 0 0

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 0 0 0 0

2 2

0

1 1

cot 2 2

( )

y b

x a x a y b

θ m m

m m a y b x a b a y b x a b x a

+ +

− − + +

= + = =

− − + − +

− − −

。

故等切線夾角軌跡在 x a< 時為_x²+_y²−_{a b}²+ ² =_2cot_{θ a y b x}^{2 2}− ^{2 2}+_{a b}^{2 2} 。

(iii)當 x₀ = 時，如上圖右。a

此時m 不存在，但₂ m 仍會滿足₁ (y₀−m x_{1 0})² =a m² ₁²−b²。

又_x₀ =_a，化簡上式：_y₀²−₂_{m x y}_{1 0 0}+ _{m x}_{1 0}^{2 2} = a m² ₁² ² ₁ ⁰² ² 2 0 0

y b

b m

x y

− ⇒ = + 。

故x a y₀ = , ₀ > 時，0 ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

+ +

= = = ⇒ + = ；

(17)

16

0 , 0 0

x = −a y > 時， ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

+ +

= − = − = ⇒ + = ； x a y₀ = , ₀< 時，0 ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

+ +

= − = − = − ⇒ + = − ；

0 , 0 0

x = −a y < 時， ₁ ⁰² ² ⁰² ² ₀² ² ₀

0 0 0

cot 2 cot

2 2

y b y b

θ m y b a θy

x y ay

+ +

= = = − ⇒ + = − 。

綜合以上可得： x₀ = 時，a y b₀²+ ² =2 cota θ y₀ 。

故等切線夾角軌跡在 x a= 時為y b²+ ² =2 cota θ y ，此亦為

2 2 2 2

2cot

2 2 2 2 2 2

x y a b

+ − + = θ

a y b x a b

− +

在 x a= 時的特例。

2

x −y = 在

θ

= ° 及60

θ

= ° 時的等切線夾角軌跡為例，軌跡在漸近線上90

不連續，見下圖(七)。

圖(七)左圖：雙曲線 ² ² 1 2

x −y = 在

θ

= ° 的等切線夾角軌跡60

右圖：雙曲線

2 2 1

2

x −y = 在

θ

= ° 的等切線夾角軌跡90

觀察雙曲線的等切線軌跡，發現與橢圓情況類似，不同情況下軌跡向內凹的情形也

(18)

17

不同，且軌跡的上、下兩側亦近似圓弧。我們將於陸、討論中探討這兩點。

此外，等切線夾角

θ

軌跡在漸近線同號區的部分為分別對左右兩支雙曲線所做的等視角(π θ− )軌跡；在漸近線異號區，

θ

所對應的區域為不受雙曲線遮擋的部分，即視域夾角，我們稱之為雙曲線的等視域夾角

θ

軌跡。以雙曲線 ² ² ₁

2

x −y = 為例，與雙曲線兩支

相切的等視域夾角

θ

軌跡存在於0 cot ¹ 1 109.47 , ( 2 )( 2 ) 0

2 2 x y x y

θ ⁻  

< < − ≈ ° + − < ，圖形如下圖(八)。

圖(八)：雙曲線

2 2 1

2

x −y = 在(x+ 2 )(y x− 2 ) 0y < 的等視域夾角軌跡

(八)擴充視角定義下，單支雙曲線的等視角軌跡

我們原先對於視角的定義為：倘若觀測點能完整觀測物體，則視角會等於觀測點對物體所作的兩切線夾角之一；因此當觀測點在雙曲線^x²₂ ^y₂² ₁

a −b = 的漸近線異號區時，無法定義其對其中一支雙曲線的視角。但現實生活中，只要觀測點P x y 滿足( , )₀ ₀ x⁰²₂ y⁰₂² 1

a −b < ，則不論觀測點在何處，觀看雙曲線^x²₂ ^y₂² ₁

a −b = 的一支也有其相應的視角。為了更全面地討論等視角問題，我們擴充對單支雙曲線的視角定義。延續前述(六)的討論，我們考慮左右開雙曲線的右半支 ₄_:_x ^a _y² _{b a b}²_{( ,} ₀₎

Γ = b + > 。

當P 位於(bx ay bx ay0+ 0)( 0− 0) 0< 時，定義P 對Γ 的視角為4 P 對Γ 的切線與過4 P 且 平行其中一條漸近線的直線之其中一夾角，意即切線與其中一條漸近線夾角，如下圖左。

(19)

18

當P 位於(bx ay0+ 0) 0 (> ∧ bx ay0− 0) 0> 時的部份，視角維持原定義；當P 位於

0 0 0 0

(bx ay+ ) 0 (< ∧ bx ay− ) 0< 時，定義P 對Γ 的視角為過4 P 且和兩漸近線平行的兩直線

的夾角之一，如前頁上圖右。

令漸近線上有一點_Q，且其對Γ 的切線為₄ L ，則Q對Γ 的視角為₄ L 與漸近線的夾角 之一，而滿足(bx ay bx ay₀+ ₀)( ₀− ₀) 0< 且在L 上的任意點 P 對Γ 的視角亦相同，故可知4

0 0 0 0

(bx ay bx ay+ )( − ) 0≤ 的等切線夾角軌跡為射線_QP^。

而直線_QP^即為切線L ，令其斜率為 m ，則 m 可由以下推得：

若P 滿足 y > ，則視角0 0

θ

為L 與bx ay= 的夾角，分為x₀ ≠ 、a x₀ = 兩部分討論。 a

(i)x₀ ≠ 時，a cot 1 cot ( ) 1 cot cot

m ba b b a b θ

θ m b θ m a am m a θ b a

+ ⋅ +

= ⇒ ⋅ − = + ⇒ =

− − 。

L 過Q點，在擴充定義下，對Γ 視角為₄

θ

的Q點應為Γ 的等切線夾角₃ ₍π θ− ₎軌跡

上的不連續點，Q滿足bx ay= 、x y a b²

+ − + = −

² ² ²

2cot θ

a y b x a b^{2 2}

−

^{2 2}

+

^{2 2} ，由此推得_Q點坐標為

2 2 2 2

2 cot 2 cot (a a b ab ,b a b ab )

a b a b

θ θ

− − − −

+ + 。

(ii)x₀ = 時，a _tan( _{90 )} ^b _cot ^b

a a

θ − ° = ⇒ θ = − 。

當

θ

滿足_cot ^b

θ = −a時，此部分的等視角

θ

軌跡為x a bx ay bx ay= _,( + ₎₍ − _{) 0}≤ 。若_P滿足 y < ，則等視角₀ 0

θ

軌跡可由對稱性推得。綜上所述，對於單支雙曲線Γ ， ₄ 在擴充定義下的等視角

θ

軌跡為

(20)

19

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 cot cot ( 2 cot ), 0 0

cot

2cot ,( )( ) 0

2 cot cot ( 2 cot ), 0 0

cot

a b ab a b a b ab

y b x a bx ay bx ay

a b a b a b

x y a b a y b x a b bx ay bx ay

a b ab a b a b ab

y b x a bx ay bx ay

a b a b a b

θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ

− + + − +

− = − + ≥ ∧ − ≤

+ − +

+ − + = − − + + − <

− + + − +

+ = − + + ≤ ∧ − ≥

+ − +









 而在

2 2

cot 1

= °90 時，軌跡為拋物線Γ 的準線：₁ y= −k；

(ii)0° < < °

θ

90 時，軌跡為上下開的雙曲線的下半支，其方程式為

2 2 2

2 2 2 2 2

( (2cot 1)) 1, 4 (cot 1) 4 (cot (cot 1))

x y k y k

k k

θ

θ θ θ

+ +

− + = < −

+ + ；

(iii)90° < <

θ

180°時，軌跡為上下開的雙曲線的上半支，其方程式為

(21)

20

2 2 2

2 2 2 2 2

( (2cot 1)) 1, 4 (cot 1) 4 (cot (cot 1))

x y k y k

k k

θ

θ θ θ

+ +

− + = > −

+ + 。

【定理四】：平面上，橢圓 ₂_:^x²₂ ^y₂² ₁₍_{a b} ₀₎ a b

Γ + = > > 的等視角θ 軌跡為

2 2 2 2 2cot 2 2 2 2 2 2

x +y −a b− = θ a y b x a b+ − 。

在θ = °時，該等視角軌跡為橢圓90 Γ 的準圓：2 x²+y² =a b²+ 。 ²

【定理五】：平面上，單支雙曲線 ₄_:_x ^a _y² _{b a b}²_{( ,} ₀₎

Γ = b + > 的等視角θ 軌跡為

2 2 2 2

2cot

2 2 2 2 2 2

, 0

θ

⁻ ^ ⁻ab ^

< <  − 。

當

θ

= ° 且90 a b> 時，該等視角軌跡為雙曲線Γ 的準圓：₄ x²+y² =a b² − 。 ² 視角接近180° 時軌跡會貼近原曲線，此點亦可由軌跡方程式看出。

陸、討論

一、 橢圓等視角軌跡的凹處探討

前述【定理四】中橢圓Γ 的等視角₂

θ

軌跡為_x²+_y²−_a²−_b² =_2cot_θ _{a y}^{2 2}+_{b x}^{2 2}−_{a b}^{2 2} ，並由圖(四)觀察到有些橢圓在y =0(即長軸所在直線)附近的等視角軌跡凹向改變，我們想瞭解橢圓滿足何種條件下會有如此現象。因軌跡圖形對稱，我們僅需討論x > 的部分圖形，並視0 其為y 的函數藉以探討等視角軌跡在y =0時的凹向：

遠近高低皆相同—圓錐曲線的等視角軌跡研究

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

高級中等學校組 數學科 佳作

050415-封面

遠近高低皆相同—圓錐曲線的等視角軌跡研究

學校名稱：國立新竹女子高級中學

作者： 指導老師：

高二 林郁晴 高二 徐舒庭

張寶文

關鍵詞：圓錐曲線、視角、密切圓

摘要

θ

壹、 研究動機

貳、 研究目的

參、 研究設備及器材

肆、研究過程或方法

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

1

1

θ

θ

θ

θ

θ

2

θ

θ

θ

θ θ θ

θ

θ

θ θ θ

1°

1

4

<

θ





2°

θ

θ

cot

4

θ

⇒ + = − −

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ

θ θ θ

θ

θ

1°

θ





θ

2°

=

+ −

θ





θ

θ

π α

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

高級中等學校組數學科佳作

作者：指導老師：

高二林郁晴高二徐舒庭

壹、研究動機

貳、研究目的

參、研究設備及器材