第18章 麦克斯韦方程 · 电磁波

第 八 周

第17章 电磁感应 §17.10

第18章 麦克斯韦方程 · 电磁波

§18.1，§18.2，§18.3(一般了解)，

§18.4(一般了解) 第20章 光的干涉

§20.1，§20.2，§20.3，§20.4

作业： P339 18-2，18-3，18-4，18-5 *

* P372 20-1

普通物理教案 普通物理教案

R₁

R₂ dr r

一根很长的同轴电缆，由半径为R₁的圆柱筒与半 径为R₂的同心圆柱筒组成，电缆中央的圆柱筒上载有 稳定电流I，再经外层导体返回形成闭合回路。试计 算：（1）长为l的一段电缆内的磁场中所储藏的能 量；（2）该段电缆的自感。

解：（1）由安培环路定理可知

，在内外圆柱筒间的区域内离轴 线距离为r 处的磁感应强度为：

r B I

π μ

2

=

例题11：

在外圆柱筒外面B=0，在内圆柱筒的内部B=0。则在两 圆柱筒中间区域离轴线距离为r的磁能密度为：

2 2

2 0 0

2

8 2

1

r I B

m

π

μ ω = μ =

在半径为r与r+dr，长l的圆柱壳空间之内的磁能：

r dr l

rdrl I r

dV I dW

π π μ

π ω μ

2 4 8

2 0 2

2 2

0

=

=

=

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对上式积分可得储藏在内外筒间空间内的总磁能：

1 2 2

0 2

0 ln

4 4

2

1 R

R l

I r

dr l

dV I W

V

R m R

m π

μ π

ω = μ =

=

∫∫∫ ∫

（2）由磁能公式W_m=1/2LI² 可求出长为l的同轴电缆 的自感为：

1 2 0

2 ln

2 2

R R l

I L W^m

π

=

μ

=

所得的结果和例题8完全相同。

设电子是一个半径为R 的小球，并假定电荷均匀 分布于其表面，当电子以速度v（ v << c）运动时，在 电子周围无限大空间内建立电磁场。试计算电磁场中 的总磁能？

A B

D C

dV

r

v

x

y z

θ ϕ o

解：因为v << c，所以离电 子瞬时位置r处的磁感应强 度是：

2

0 sin

4 r

B e θ

π

μ v

=

例题12： ^{普通物理教案普通物理教案}

设电子沿Z轴运动，为简便计，改用如图所示的球面 坐标。则离电子瞬时位置r处的体积元 dV为

ϕ θ θ

AB AD

AC

dV = ⋅ ⋅ = ² sin

由图可知，式中：

dr AB

d r

AD rd

AC = θ; = sinθ ϕ; =

在该体积元中的磁能为：

ϕ θ μ ^r θ^{drd d} dW_m B sin

2

1 ₂

0

= 2

对上式求除电子本身体积外的全部空间积分，得运动 电子周围空间的总磁能为：

∫ ∫

∫

∫∫∫

∫∫∫

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

∞ π π

ϕ θ

π θ μ

ϕ θ π θ

θ μ

0

2 0 3

2 2

2 2 0

2 2 2

0

32 sin

4 sin sin 2

d r d

e dr

d drd r r

e dW W

R V

V

m m

v v

2 2 2 0

2 2 0

2 0 0

2 2

2 2 0

] 12 2

3][

][4 [ 1

32

] [ )]

2 (sin

3 cos [ 1

1] 32 [

v v

v

R e e R

e r _R

π π μ

π μ

ϕ θ

π θ

μ _{π π}

=

=

+

−

−

= ^∞

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第十五章 电磁场与电磁波

当参考系变换时，电场与磁场之间可以相

互转化，这反映电场、磁场是同一物质—电磁

场的两个方面。法拉第电磁感应定律涉及到变

化的磁场能激发电场。麦克斯韦在研究了安培

环路定理运用于随时间变化的电路电流的矛盾

之后，提出了变化的电场激发磁场的概念，从

而进一步揭示了电场和磁场的内在联系及依存

关系。麦克斯韦把特殊条件下总结出来的电磁

现象的实验规律归纳成体系完整的普遍的电磁

场理论—麦克斯韦方程组。本章将介绍此理论

以及由此预言的电磁波的基本特性。

麦克斯韦

(Maxwell, James Clerk)

1831-1879

天文学、数学和物理学 家。 主要成就：将统计

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§15-1 位移电流

在非稳恒电流时，环路定理是否成立?

讨论电流中平行板电容器的充电过程。如图S₁、 S₂组成闭合曲面，对此二曲面分别作环路积分：

一、位移电流 全电流

0

L

H d l ⋅ =

∫ ^{JJG G} v

对曲面S₂：

以上两式表明，环路定理只适用于稳恒电流，

而在不稳定条件下，环路定理不适用。引起原 因是传导电流不连续。在电容器充（放）电时

，

I 在极板上被截断，但电荷量q及面密度

随 时间变化

φ_D=SD 也随时间而改变。设电容器极板面积 为S，电荷面密度σ，则充放电时：

L

H dl ⋅ = I

∫ ^{JJG G} v

对曲面S₁：

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设极板上面电荷密度为σ，则此时D = σ

dt S dD dt

S d

I = σ =

dD/dt

。Maxwll提出：变化的电场也可以看作是一种 电流—

位移电流：

dt S d dt

I ₌ dq ₌ σ

电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量 的时间变化率。通过电场中某截面的位移电流等 于通过该截面的电位移通量对时间的变化率。

电位移通量的一般表达：φd =

∫

若曲面S不随时间变化，位移电流可表达为：

d S S

d D

I D d S d S

dt t

= ⋅ = ∂ ⋅

∫ ∫

JG JG JG JG

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二、全电流 全电流安培环路定理

在充电电路中，可引进全电流的概念：

I

I I

= ∑ +

可以证明全电流在任何情况下总是连续的。

证：将高斯定理推广到一般情况：

D d S⋅ = q

∫∫

w

d D dq

D d S d S

dt t dt

⋅ = ∂ ⋅ =

∫∫ ∫∫

JG JG JG JG

w w

将上式代入电荷守恒定律：

dq D

j d S d S

dt t

⋅ = − = − ∂ ⋅

∫∫ ∫∫

G JG JG JG

w w

流出闭合曲面的电量，等于闭合面内电量的减少，

( D) 0

j d S

t

+ ∂ ⋅ =

∫∫

G JG JG

w

此式说明全电流是连续的。

非稳恒情况下的安培环路定理称全电流环路定律：

D

S L

d D

H d l I I d S

dt t

φ ∂

⋅ = + = + ⋅

∑ ∑

∫ ∫

JJG G JG JG

v

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在充电回路中，S₂面内应用全电流定律：

D d

L

H d l I d

dt

⋅ = = φ

∫

v

而 I

dt ds dq

dt s d

d dt D

d dt

d _D

=

=

⋅

=

⋅

=

∫ ∫

φ G G

在S₁面内应用全电流定律：

L

H d l⋅ = I

∫

v

以上两式一致，解决了前述矛盾。

三、位移电流的性质

⒈ 法拉第电磁感应定律说明变化的磁场激发涡 旋电场，而位移电流说明变化的电场也能激发涡 旋磁场，两者相互联系，形成统一的电磁场。

⒉ 电位移的变化引起的位移电流可在导体、真 空、介质中存在。在导体中通常以传导电流为 主， 而在介质中以位移电流为主。

⒊ 传导电流与位移电流的异同点：①在激发磁 场方面相同；②形成机理不同。

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在电介质中

E+P，位

t t

D

t ∂

+ ∂

∂

= ∂

∂

= ∂ D E P

j ε

纯位移电流 与极化电荷 运动有关 位移电流所激发的磁场与变化电 场组成右手螺旋关系。

H_d

∂ D/ ∂ t

§15-2 电磁场 Maxwell方程组

Maxwell电磁场理论的主要内容：⑴除静止电荷 激发无旋电场外，变化的磁场将激发涡旋电场；

⑵变化的电场和传导电流一样将激发涡旋磁场。

一、Maxwell方程组

Maxwell方程组的积分形式：

⒈电场的性质

S v

D d S⋅ = ρdV

∫∫

∫∫∫

w

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在任何电场中，通过任何封闭曲面

的电位移通量等于闭合面内自由电荷的总量。

⒉磁场的性质

0

S

B d S⋅ =

∫∫

w

任何磁场中，通过封闭曲面的磁通量总是为零。

⒊变化的电场和磁场的联系

d

L s S

H dl I I j d S D d S

t

⋅ = + = ⋅ + ∂ ⋅

∫ ∫∫ ∫∫

JJG G G JG JG JG

v

任何磁场中，磁场强度沿任意闭

合曲线的线积分等于通过以此闭合曲线为边界 的任意曲面的全电流。

⒋变化磁场和电场的联系

m

L S

d B

E dl d S

dt t

φ ∂

⋅ = − = − ⋅

∫ ∫∫ ∂

JG G JG JG

v

任何电场中，电场强度沿任意闭合曲线的线积 分等于通过此曲线所包围面积的磁通量的时间 变化率的负值。

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Maxwell方程组的微分形式： *

z k y j

x i ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

散度：

div A

( ) ( _{x y z} )

x y z

A i j k A i A j A k

x y z

A A A

x y z

∂ ∂ ∂

∇ ⋅ = + + ⋅ + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

JG G G G G G G

旋度：

rot A

y z x

z y

x

A z k

A y j

A x i

k A j

A i

A z k

y j x i

A

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

+ +

∂ × + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

×

∇ ( ) ( )

D ρ

∇ ⋅ =JG

0

∇ ⋅ = JG B

Maxwell微分方程组：

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t j D

H ∂

+ ∂

=

×

∇ t

E B

∂

− ∂

=

×

∇

在应用Maxwell方程解决实际问题时，常与表 征介质特性的量ε、μ、γ发生联系，因此常 用到介质方程：

E j

H B

E

D = ε = μ = γ

注： Maxwell方程在高速领域中仍然适用，

但在微观领域中不完全适用，为此发展了量子

电动力学。

⒈电场的性质

S v

D d S⋅ = ρdV

∫∫

∫∫∫

w

⒉磁场的性质

S

B d S⋅ =

∫∫

w

⒊变化的电场和磁场的联系

d

L s S

H dl I I j d S D d S

t

⋅ = + = ⋅ + ∂ ⋅

∫ ∫∫ ∫∫

JJG G G JG JG JG

v

⒋变化磁场和电场的联系

m

L S

d B

E dl d S

dt t

φ ∂

⋅ = − = − ⋅

∫ ∫∫

JG G JG JG

v

D = ε E B = μH j = γ E

JG JG JG JJG G JG

介质方程：

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如图（a）所示，两个面积为S₀的大圆盘组成一间距为d 的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中 心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 I₀充电，试 求：（l）此电容器中的位移电流密度；

（2）如图（b）所示，电容器中P点的磁感应强度。

例题1：

A B

d

S₀ S₀ I₀ I₀

d

A B

I₀ I₀

P r

（a） （b）

解：（l）由全电流概念可知，全电流是连续的。电容 器中位移电流密度 j_D 的方向应如图(c)所示，其大小为

0 0

S j_D = I

另：通过电源给电容器充电时，使电容器 极板上电荷随时间变化，从而使极板间电 场发生变化。因此，也可以这样来求 j_D：

因为： ( )

d d d

d

0 0 0

0 S σ

t t

I = Q =

由于 σ₀=D，因此

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j_D

A B

I₀ I₀ P

r B

（c）

jD

t S S D

I_{0 0 0}

d

d =

=

所以

0 0

S j_D = I

（2）由于传导电流和位移电流呈轴对称，

故磁场B也呈轴对称，显然过P点的B线为 圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。

根据全电流安培环路定理，将

0 0

d ( _D) d

L B⋅ =l μ s j + j ⋅ S

∫

∫

v

j_D

A B

I₀ I₀ P

r B

（c）

0 0

2 0 2

0 0 0

0

d 2 ( ) d

d

L s D

D s D

B l B r j j S

j S j r I r

S π μ

μ μ π μ π

⋅ = = + ⋅

= ⋅ = =

∫ ∫

∫

JG G G G JG

G JG

v

得： ²

0 0

2 0 r

S r I

B π = μ π 所以 r

S B I

0 0 0 2 μ

=

例题2：

如图所示，电荷+q以速度v 向 O点运动（^＋q到O点的 距离以x表示）。在 O点处作一半径为a的圆，圆面与 v 垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处 的磁感应强度B。

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解：1）电荷在其周围要激发电场，同时由于

电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场 又激发磁场。设 t 时刻穿过

圆面上的电位移通量为

D d

S D S

Φ

∫

为使计算简便做一球冠，球心为q，半径为r，底面为小 圆（半径 a），球冠上各点的D的大小相等，穿过题意 圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等，即

2

2 2 2

d 2

4

2 ( cos ) (1 cos ) (1 )

4 2 2

D S

D S DS q r h

r

q q q x

r r r r

Φ π

π

π θ θ

π

= ⋅ = = ⋅

= − = − = −

+

∫

O r a

v +q θ

x h

代入位移电流的定义式，得

3 v

2 2

/ 3 2 2

2

2 d

d )

( 2 d

d

r qa t

x a

x

a q

I_D t^D =

⋅ +

=

= Φ

2）取半径为a的圆为积分回路L，由麦克斯韦方程，有

3 v

2

d 2

r I qa

l

H _D

L ⋅ = =

∫

由于+q运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环 路上各点的H大小相等，即

3 v

2

2 2

r a qa

H ⋅ π =

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π θ

π 4 ^sin

4 ³ r²

q r

H qa v

= v =

得： θ

π

μ μ sin

4 ²

0

0 r

H q

B = = v

写成矢量形式有

3 0

4 r r B = qv ×

π μ

这正是运动电荷产生的磁场公式。

O r a

v +q θ

h

§15-3 电磁波 *

变化的电场和变化的磁场传播示意图：

天线

磁场 磁场 磁场

磁场

磁场 电场 电场 电场 电场

Maxwell电磁场理论的最大成就是预言了电磁 波的存在。

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第十六章 光的干涉

§16-1 相干光 一、光源

光源分为

（1）热辐射光源：将热能转化为辐射

（2）冷光源： 与周围温度相同，不需加热

普通光源发光的机理是处于激发态的原子（或 分子）的自发辐射所致，原子在激发态停留时 间10^-11~ 10^-8

s，发光持续时间10

s，各原子之

光的单色性

可见光的波长400nm~760 nm。单一波长的光称 为单色光，这是一种理想模型。实际光波按波长 都有一定的分布（见图）：

Δλ_{为光强 I0/2处的波} 长范围，称为谱线宽 度。对于普通光源，

Δλ_约为10^-3_~10^-1_nm

，而激光约为10^-9nm。 波长

λ I₀/2

I₀ I

λ−Δλ/2 λ+Δλ/2

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二、相干光波

光的干涉现象是指光波的电矢量 E (B矢量对人 眼或感光仪器不敏感)，在空间相遇区域内，有 些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终 减弱，形成振动有强有弱的稳定分布。对于可 见光波，干涉现象则表现为叠加区域中有些点 较亮，而另一些点较暗，出现一系列有规律的 明暗条纹，称为干涉条纹。

相干条件：频率相同，振动方向相同，有固定

振幅相当。

设符合相干条件的两光矢量E₁、E₂：

) cos(

10

1

= E ω t + φ

E

) cos(

20

2

= E ω t + φ

E

光矢量合成： E = E₁ + E₂ = E₀ cos(

ω

φ

其中： E₀ = E₁₀² + E₂₀² + 2E₁₀E₂₀ cos(

φ

φ

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若两光束来自同一光源(原子)，则φ_{20 -}φ₁₀ 恒定

，光强(平均能流密度，与振幅平方成正比)：

) cos(

2

2

1

+ + φ − φ

= I I I I

I

当

Δ φ = ± 2 k π ( k = 0 , 1 , 2 , 3 ...)

1 2

2

I = + + I I I I 相长干涉

三、相干光波的获取

分波阵面法：同一波阵面的不同部分分离出

分振幅法：反射光和折射光作为两束相干光。

当

Δ φ = ± ( 2 k + 1 ) π , ( k = 0 , 1 , 2 , 3 ...)

1 2

2

I = + − I I I I ^相消干涉

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§16-2 双缝干涉

1801年英国科学家杨氏（T. Young）首先用 分波阵面的方法观察到光的干涉现象。

S

S₁

S₂

d _波的干涉

一、干涉条纹的位置

S₁、S₂是同一波阵面上的二个子波，初相位相 同，它们到达P点的相位差 Δφ 为

θ θ

d

x

δ

o S₂

D S₁

r₁

r₂

P

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) 2 (

) 2 (

)

( ₁ − ₂ − r₁ − r₂ = r₂ − r₁

=

Δ λ

π λ

ϕ π ϕ

ϕ

2 1

sin

r r d

δ = − ≈ θ

当D＞＞d 时：

λ

θ k

d sin = ±

π ϕ = ± 2 k

Δ

) 2 1 2

(

sin θ = ± k − λ

d

π ϕ = ± ( 2 − 1 )

Δ k

λ θ

π λ

ϕ π 2 sin

) 2 (

1

2

r d

r − =

=

Δ

用x表示P点到屏中心o点的距离，则有 D＞＞x 时， ^{sin tan x}

θ ≈ θ = D

sin d x

d k

θ = D^⋅ = ± λ D x k

d λ

= ±

亮纹

上 式 中 k 称 为 级 序 ， 相 应 地 称 第 k 级 亮 纹

（ k=0,1,2,…）、暗纹（k=1,2,3…）。屏中心 o点由于r₂ - r₁=0，是相长干涉，称

中央亮纹。

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(

)

2 x k D

d λ

= ± −

暗纹

(2 1) 2

d x k

D

= ± − λ

条纹间距:

( ) ^{1 D D D}

x k k

d λ d λ d λ

Δ = + − =

说明：

Δx

Δx

(2)λ愈大，则条纹间距大；复色

光源做实验时，红光在外，紫光在内。

(3)要使条纹分得开，还需要D较大。

二、干涉条纹的强度分布

2 2 2

1 2

2

c o s

E

= E + E + E E Δ ϕ

设S₁、S₂到达P点的E矢量： E₁=E₂=E，则有：

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( ^ϕ )

ϕ = + Δ

Δ +

= 2

2

cos 2

1 cos

2

E E E

E

cos 2 4

2

= E Δ ϕ

E

2 ) cos

2 cos

1

( ∵ + α =

α

π ϕ = ± 2 k

Δ

π ϕ = ± ( 2 − 1 )

Δ k

I

I₀ 4I₀

0 -π -3π

-5π π ₃π 5π Δφ 2I₀

干涉图象的清晰程度常用对比度或可见度函 数表示：

max min max min

I I

V I I

= −

+

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洛埃镜是利用分波阵面法获取相干光的又一种 方法。当光线掠入射到平面镜上，在屏幕上将 见到干涉条纹。将屏幕移至NM位置，两光束 到N点的几何路径相同，位相差为零，但在N 处出现暗点，说明反射光有半波损失。

A

B M

N S₁

S₂

洛埃镜

落埃镜实

四、菲涅耳双镜实验 *

( )

2

R D

x R

λ θ

Δ = +

条纹间距：

S

双面镜

S₁

S₂ d

θ 2θ

M

A

B D

R

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D

2 ( 1) L D x

λ

α

Δ = +

−

d

L D

P

S S₁

S₂

M

N

A B θ

α

双棱镜