理﹐這是矩陣在科技上非常重要且實際的應用。
※平面上的線性變換 ( 把一個二階矩陣看成一個變換規則的概念 ) 任何一個二階方陣 A＝定義了一個坐標平面上的線性變換﹐
1.將點 P（x，y）對應到點 P'（X，Y）﹐
其中＝ ＝。
2. 點 P 也可以由點 P' 求得﹐
設 A＝將變換為﹐則當 A 有乘法反方陣時﹐
＝＝－1
例題1 --- (1) 設 A＝所定義的線性變換分別把 O（0，0）﹐P（1，0）﹐
Q（0，1）﹐R（－1，2）對應到 O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點﹐試求各點坐標。
(2) 承(1)﹐若 A 把點 S 對應到 S'（4，7）﹐試求 S 點坐標。
--- 解 (1) 故 O'（0，0）﹐P'（2，1）﹐Q'（5，3）﹐R'（8，5）。
(2) 設點 S 坐標為 S（x，y）﹐
則由 ＝﹐可得
＝－1＝ ＝。
故 S（－23，10）。
隨堂練習--- (1) 承例題 1 ﹐設 A 把 C（1，1）﹐D（3，5）對應到 C'﹐D' 兩點﹐試求此兩點坐標。
(2) 承(1)﹐設 A 把點 T 對應到 T'（9，－2）﹐試求 T 點坐標。
若 A 是一個有乘法反方陣的二階方陣﹐則由 A 所定義出的線性變換﹐會把一直線 L 變換成 另一直線 L'。證明參考附錄。
例題2 --- 直線 L：x＋2y＝4 被 A＝所定義的線性變換變換到直線 L'﹐試求直線 L' 的方程式。
--- 解 在直線 L 上任取兩點 P（4，0）﹐Q（0，2）﹐設分別變換到 P'﹐Q' 兩點。
則由 ＝﹐ ＝
知 P'（4，16）﹐Q'（4，6）﹐故 L' 即為過 P'﹐Q' 兩點的直線﹐
可求得直線 L' 的方程式為 x＝4。
隨堂練習--- 承例題 2 ﹐試求直線 L：2x－3y＝5 被 A 變換後的直線方程式。
---
例題3 --- 試求將與分別變換到與的線性變換矩陣 A。
--- 解 設所求線性變換矩陣為 A＝﹐
則 ＝（此式為解法一的兩式合併而成）﹐
故＝ －1＝
＝。
試求將與分別變換到與的線性變換矩陣 A。
---
※伸縮矩陣﹐伸縮變換
形如﹐h﹐k＞0 的矩陣稱為伸縮矩陣﹐其所定義的線性變
換稱為伸縮變換。此變換的作用為分別將 x﹐y 坐標伸縮為 h﹐k 倍。
說明：當 h﹐k＞0 時﹐因為
＝﹐
表示 P（x，y）經過線性變換作用後會對應到 P'（X，Y）＝P'（hx，ky）﹐即 x 坐標伸縮為 h 倍﹐y 坐標伸縮為 k 倍。
例題4 --- 設 A＝﹐已知 O（0，0）﹐P（1，0）﹐Q（1，1）﹐R（0，1）四點﹐將此四點經由 A 線性 變換至 O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點﹐試求：
(1) O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點的坐標。
(2) 四邊形 O' P' Q' R' 的面積。
(3) 四邊形 O' P' Q' R' 與 OPQR 面積的比值。
--- 解 (1) O﹐P﹐Q﹐R 四點經過 A 線性變換至 O'（0，0）﹐P'（2，0）﹐
Q'（2，3）﹐R'（0，3）四點。
(2) 如圖 5 所示：
四邊形 O'P'Q'R' 為長方形﹐其面積為 2×3＝6。
圖 5 (3) ＝＝6。
隨堂練習--- 設 A＝﹐已知 O（0，0）﹐P（2，0）﹐Q（0，2）三點經過 A 線性變換至 O'﹐P'﹐Q' 三 點﹐試求：
(1) O'﹐P'﹐Q' 三點坐標。
(2) △O'P'Q' 的面積。
(3) △O'P'Q' 面積與△OPQ 面積的比值。
--- 鏡射
※鏡射矩陣﹐鏡射變換
(1) 線性變換的作用是對 x 軸作鏡射。
(2) 線性變換的作用是對 y 軸作鏡射。
(3) 線性變換的作用是對直線 y＝x 作鏡射。
(1) 由 ＝﹐故 P（x，y）對應到 P'（X，Y）＝P'（x，－y）
(3) 由 ＝﹐故 P（x，y）對應到 P'（X，Y）＝P'（y，x）﹐
例題5 --- 已知直線 L 的方程式為 x－2y＋1＝0﹐設直線 L 對直線 y＝x 的鏡射圖形為直線 L'﹐試求直 線 L' 的方程式。
--- 解 已知對直線 y＝x 鏡射的變換方陣為﹐
先在直線 L 上任取兩點 P（1，1）與 Q（－1，0）﹐因為 ＝﹐ ＝﹐
所以 P﹐Q 兩點對直線 y＝x 鏡射得兩點 P'（1，1）﹐Q'（0，－1）﹐直線 L' 即為直線 P'Q'﹐其方程式為
y－（－1）＝（x－0）﹐
整理得 2x－y－1＝0。
隨堂練習--- 已知直線 L 的方程式為 3x－2y＋1＝0﹐設直線 L 對直線 y＝－x 的鏡射圖形為直線 L'﹐試求 直線 L' 的方程式。
--- 例題6 --- 設直線 L 的方程式為 y＝ x﹐二階方陣 A 所對應的線性變換是對直線 L 的鏡射﹐試求二階方 陣 A。
--- 解 先在坐標平面上取相異兩點 P（1，0）
與 Q（0，1）﹐對直線 L 作鏡射得對稱點 P'
－，
與 Q'
，
﹐
如圖 9 所示。
設 A＝﹐則 ＝﹐ ＝。
故＝﹐＝。
隨堂練習--- 設直線 L 的方程式為 y＝ x﹐二階方陣 A 所對應的線性變換是對直線 L 的鏡射﹐試求二階方 陣 A。
---
旋轉
※旋轉矩陣﹐旋轉變換
形如的矩陣稱為旋轉矩陣﹐其所定義的線性變換稱為旋轉變換。
此變換的作用為“以原點為中心﹐旋轉 θ 角”。
根據廣義角三角函數的定義 可知 ＝且＝﹐
因此 ＝＝
＝ ＝ ﹐
例題
7--- 設△OAB 為正三角形﹐且 O（0，0）﹐A（4，2）﹐試求 B 點的坐標。
--- ＝ ＝﹐
與 ＝ ＝﹐
得 B 點坐標為（2－ ，2 ＋1）或（2＋ ，－2 ＋1）。
隨堂練習--- 設△OAB 為等腰三角形﹐且 ¯¯＝¯¯﹐∠AOB＝30°﹐已知 O（0，0）﹐
A（2，4）﹐試求 B 點的坐標。
---
※推移矩陣﹐推移變換 設k 為實數﹐則：
(1) 形如的矩陣稱為（x 方向的）推移矩陣。其所定義的 線性變換稱為（x 方向的）推移變換。
(2) 形如的矩陣稱為（y 方向的）推移矩陣。其所定義的 線性變換稱為（y 方向的）推移變換。
例題8--- 設 A＝是一個推移矩陣﹐已知 O（0，0）﹐P（1，0）﹐Q（1，1）﹐
R（0，1）四點﹐將此四點經由推移矩陣 A 變換得 O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點﹐試求：
(1) O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點的坐標。
(2) 試比較原四邊形 OPQR 與變換後的四邊形 O'P'Q'R' 的形狀及面積差異。
--- 解 (1) 簡單計算可得 O﹐P﹐Q﹐R 四點經過推移矩陣 A 變換至 O'（0，0）﹐
P'（1，0）﹐Q'（4，1）﹐R'（3，1）四點﹐如圖 13 所示。
圖 13
(2) 原四邊形為正方形﹐經過推移矩陣 A 變換後變成平行四邊形。
簡單計算可得 OPQR 和 O'P'Q'R' 面積皆為 1﹐即面積保持不變。
隨堂練習--- 設 A＝是一個推移矩陣﹐已知 O（0，0）﹐P（1，0）﹐Q（1，1）﹐
R（0，1）四點﹐將此四點經由推移矩陣 A 變換得 O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點﹐試求：
(1) O'﹐P'﹐Q'﹐R' 四點的坐標。
(2) 試比較原四邊形 OPQR 與變換後的四邊形 O'P'Q'R' 的形狀及面積差異。
---
│det A│。 ( 即│det A│為變換後面積放大或縮小的倍率 )
一般來說﹐矩陣 A＝定義的線性變換分別將（x1，y1）﹐（x2，y2）對應到
（ax1＋by1，cx1＋dy1）和（ax2＋by2，cx2＋dy2）﹐如圖。
設變換前後兩向量張出的平行四邊形分別為 S1﹐S2﹐ 則 ＝＝＝||＝|det A|。
例題
9---
設 O﹐P﹐Q 三點坐標為 O（0，0）﹐P（3，2）﹐Q（1，5）。若 O﹐P﹐Q 三點經過 A＝線 性變換後﹐得到新的三點 O'﹐P'﹐Q'﹐試求 與 所張出的平行四邊形面積。
--- 解 〔解法二〕
由 ＝（3，2）﹐＝（1，5）﹐
故 ﹐ 所張出的平行四邊形面積為||＝13﹐
又|det A|＝||＝2﹐故 ﹐ 所張出的平行四邊形面積為 ﹐ 所張出的平行四邊形面積的 2 倍﹐即 2‧13＝26。
隨堂練習--- 設 ＝（2，1）﹐＝（1，3）﹐矩陣 A＝。若 與 經過 A 線性變換後得到 與 ﹐試求 與 所張出 的平行四邊形面積。
習 題 3-4 1. 設 A＝﹐試求：
(1) P（－2，2）經過 A 變換後的點坐標。
(2) 哪一點經過 A 變換後為點（－1，21）。
(3) L：x－y＝2 經過 A 變換後的新方程式。
3. 試描述下列各線性變換的作用。
(1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。
4. 試求以原點為中心將點 A（2，4）旋轉 60° 後的坐標。
5. 設 A＝﹐
(1) 試求 A 的乘法反方陣 A－1。
(2) 解釋 A 所代表的線性變換的作用。
(3) 解釋 A－1 所代表的線性變換的作用。
二﹑進階題
6. 試求一矩陣 A﹐使 A 的變換將 P（1，2）變為 P'（3，4）﹐將 Q（2，1）變為 Q'（－1，3）。
7. △ABC 的三頂點為 A（1，1）﹐B（2，1）﹐C（1，3）﹐試求△ABC 經過線性變換之後 區域的面積。
(2) 承(1)﹐用線性變換的觀點解釋上式。
(3) 若 A＝﹐且 A6＝﹐試求 A。
9. 方陣把直線 2x－y＝3 變換到 3x＋7y＝15﹐試求數對（a，b）。
三﹑挑戰題
10. (1) 令 L 為過原點 O（0，0）及 A（3，2）的直線。試求代表「對 L 作鏡射」的線性變換的 二階方陣 T。
(2) 承(1)﹐若 A（a，b）﹐L 為直線 OA﹐證明代表對 L 作鏡射的二階方陣 T＝及 det T＝－1。
