單元一：平面圖形

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單元一：平面圖形 課文 A：點、線、角

這章節首先要介紹最基本的三個名詞：「點、線、角」，在介紹之前，

可以先試著在下面畫下你心中的這三樣東西。

點 線 角

點

如左圖，點是代表空間中的特定位置，而不管它 的大小。我們通常會在點的旁邊寫上大寫的英文 字母，稱為點 A、點 B、點 C。

線

筆在紙上連續移動所經過的路徑就會是一條 線，如果像左邊那樣畫出來彎彎曲曲的，就 是曲線。

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如左圖，直線是無限延長，是沒有盡頭的，

而且沒有寬度。我們通常以大寫的英文字母 來表示，稱為直線 M、直線𝐿₁、直線𝐿₂。 直線 M 通過 A、B 兩點，也可以叫做直線 AB，

記作「𝐴𝐵⃡ 」或「𝐵𝐴⃡ 」。“↔”代表的意義，

就是可以向兩邊無限延伸的直線。

如左圖，直線的一部份，就稱為「線段」，表 示為𝐴𝐵̅̅̅̅，讀作「線段 AB」。而 A、B 兩點是 線段的端點。

𝐴𝐵̅̅̅̅ 可以用來表示線段長度。例如：𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長 度為 4.5 公分，可記為 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4.5 公分。

射線AB：𝐴𝐵

如圖，以某一點為端點（A）出發，然後向 另一點（B）無限延伸，就稱為「射線」，記 作「𝐴𝐵 」，讀作「射線AB」。

如左圖，顛倒過來的話，便記作「𝐵𝐴 」，讀 作「射線BA」。也就是說，𝐴𝐵 與 𝐵𝐴 並不相 射線BA：𝐵𝐴 同。

A B

B A

B

A

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角

共同端點的兩射線就形成一個角，我們以「∠」

作為角的符號。

如左圖，記為「∠A」，也可以記為「∠BAC」

或「∠CAB」。除此之外，也可以用數字來命名，

如下圖的「∠1、∠2、∠3」。

A 點是這個角的頂點，角的大小是指角度的大小，不是邊有多長，因 為角的兩邊𝐴𝐵 、 𝐴𝐶 皆為射線，是無限延伸的。

角的分類

∠1 = 90°稱為直角 ∠2小於直角是銳角 ∠3大於直角是鈍角 角度等於 180°，

稱為「平角」

角度等於 360°，

稱為「周角」

角的關係

如左圖，若∠1 + ∠2＝90° ，稱為∠1 和∠2 互為餘 角，也稱 ∠1 和 ∠2 互餘。

如左圖，若∠1 + ∠2 = 180°，稱為∠1 和∠2 互為補 角，也稱 ∠1 和 ∠2 互補。

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兩直線 L 和 M 相交，其中不相鄰的兩個角∠1 、∠3就 稱為一組對頂角；∠2 、∠4 則是另一組對頂角。

介紹了角度的分類後就可以根據一些已知的條件來求角度了。

Ex1.已知 ∠1 = 37° ，且 ∠1 和 ∠2 互餘，∠2 和 ∠3 互補，

請分別求出∠2 和 ∠3 的度數。

◎解題思維：

因為∠1 和 ∠2 互餘，所以 ∠1 + ∠2 = 90° 。 因為已知 ∠1 = 37° ，所以 37° + ∠2 = 90°

⇒ ∠2 = 90° − 37° = 53°

因為∠2 和 ∠3 互補，所以 ∠2 + ∠3 = 180° 。 已經算得 ∠2 = 53° ，所以 53° + ∠3 = 180°

⇒ ∠3 = 180° − 53° = 127°

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Ex2.

已知 ∠1 的補角度數是它的餘角度數的 4 倍，請問 ∠1 為幾度？

◎解題思維：

題目中的條件是「∠1 的補角度數是它的餘角度數的 4 倍」，寫成 數學式就是「∠1 的補角 = ∠1 的餘角 × 4」，要求∠1 的度數。

設 ∠1 的度數為 𝑥° ，因此∠1 的補角= (180 − 𝑥)° ; 而∠1 的餘角= (90 − 𝑥)°

根據條件列式：180 − 𝑥 = (90 − 𝑥) × 4

180 − 𝑥 = 360 − 4𝑥 等號右邊−4𝑥 移項到左邊 180 − 𝑥 + 4𝑥 = 360 等號左邊180 移項到右邊

−𝑥 + 4𝑥 = 360 − 180 整理 3𝑥 = 180

𝑥 = 180 ÷ 3 = 60 所以 ∠1 = 60°

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Ex3.已知 ∠1 的餘角和 ∠1 的補角互補，請問 ∠1 的度數是多少？

◎解題思維：

題目中想要求 ∠1 的度數，可以假設 ∠1 的度數為 𝑥° ， 因此∠1 的餘角= (90 − 𝑥)° ;而∠1 的補角= (180 − 𝑥)°。

而題目條件中有提到這個∠1 的餘角和 ∠1 的補角會互補，也就 是「∠1 的餘角+ ∠1 的補角 = 180°」，所以可以列式成：

(90 − 𝑥) + (180 − 𝑥) = 180 去括號

90 − 𝑥 +

180

180

2𝑥 = 90

𝑥 = 90 ÷ 2 = 45 故 ∠1 = 45°

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Ex4.如圖，直線 L、M、N 相交於 O 點，且 ∠3 = 90° ，若 ∠1 = 32° ， 請分別寫出 ∠2、∠4、∠5 和 ∠6 的度數。

◎解題思維：

題目中有提到 ∠3 = 90° ，而 ∠6 是 ∠3 的對頂角，

所以 ∠6 = ∠3 = 90° 。

而 ∠1 與 ∠4 是對頂角的關係，∠2 與 ∠5 是對頂角的關係。

因此 ∠1 = ∠4 而且 ∠2 = ∠5 。

題目當中有提到 ∠1 = 32° ，所以 ∠4 = 32° 。

剩下 ∠2 跟 ∠5 而已，因為我們知道 ∠5 = ∠2 ，所以求出其中 一角的度數就可以。

∠3 = 90°，也就是說 ∠1 + ∠2 = 90° ，他們互為餘角。

所以 ∠2 = 90° − ∠1 = 90° − 32° = 58° ，而 ∠5 = ∠2 = 58° 。

O

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重點提問

1. 根據上面的課文，用自己的話解釋「直線、線段、射線」這三個 名詞，並舉例子說明，再比較其差異。

2. 根據上面的課文，依據角度的大小可以分為哪些類別？請依照大 小排序列出來，並舉例說明。

3. 根據上面的課文，用自己的話解釋「補角、餘角、對頂角」這三 個名詞，並舉例子說明。

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․隨堂練習：

1. 請依照下列圖形，寫出相對應的記號。

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 請依照下列記號，畫出相對應的圖形。

(1) 𝐶𝐷⃡ (2) EF̅̅̅̅

(3) AB (4) BA

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3. 已知 ∠1 = 60° ，且 ∠1 和 ∠2 互餘，∠2 和 ∠3 互補，請分別 求出∠2 和 ∠3 的度數。

4. 已知 ∠1 的補角度數是它的餘角度數的 3 倍再多 60°，請問 ∠1 為幾度？

5. 如下圖，直線 L、直線 M、BA 相交於 B 點，若 ∠1 = 37°，且 ∠3 = 90° ，請分別求出 ∠2、∠4 和∠5 的度數。

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6. 如下圖，𝐵𝐴 、CE̅̅̅̅、𝐺𝐷⃡ 相交於 B 點，且 ∠ABC = 90° ，請根據圖 中的角回答下列問題。

(1) ∠ABC 的補角是 。 (2) ∠CBD 的對頂角是 。 (3) ∠DBE 的對頂角是 。 (4) ∠EBF 的餘角是 。 (5) ∠FBG 的補角是 。 (6) ∠GBA 的餘角是 。

(7) 上述六個角∠ABC、∠CBD、∠DBE、∠EBF、∠FBG、∠GBA當 中，那些角是銳角？那些角是直角？那些角是鈍角？

還是不太懂本課概念，請看下面影片(1)

https://youtu.be/JXvi1kikDoo

想多看幾題，請看下面影片(2)

https://youtu.be/KQEataSy-dw

還是不太懂本課概念，請看下面影片(3)

https://youtu.be/U0w-3FhkiFI

還是不太懂 Ex1~4，請看下面影片(4)

https://youtu.be/oc8cV3xJcLs

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課文 B：多邊形

接下來要介紹一些三角形跟四邊形，這章節的很多名詞其實國小就學 過了，現在要再更深入的介紹它們。

首先要介紹「三角形」。

如圖，用線段連接不在同一直線上的 A、B、

C 三點，即為三角形。記作「△ABC」，讀作

「三角形ABC」。其中𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐴̅̅̅̅稱為邊，

而∠A、∠B、∠C稱為內角。

三角形分類

分類 例子 描述 想想如何命名

三個內角 都是銳角

有一個內 角是直角

有一個內 角是鈍角

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事實上，我們把上面三類三角形依序稱作：銳角三角形、直角三角形 與鈍角三角形。

如圖，兩邊等長的三角形就稱為「等腰三角 形」。𝐴𝐵̅̅̅̅＝𝐶𝐴̅̅̅̅稱為「腰」，𝐵𝐶̅̅̅̅稱為「底邊」；

∠A稱為「頂角」，∠B＝∠C稱為「底角」。

有沒有可能一個三角形既是等腰又是直角 呢？如圖，我們稱△ABC為「等腰直角三角 形」，且∠B＝∠C＝45°。

再來要介紹「四邊形」

如圖，用線段連接頂點 A、B、C、D，其中任三點 都不在同一直線上，稱為四邊形 ABCD。其中𝐴𝐵̅̅̅̅、

𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐷̅̅̅̅、𝐷𝐴̅̅̅̅是邊，∠A、∠B、∠C、∠D是內角。

邊的關係分為「對邊」與「鄰邊」，如圖：𝐶𝐷̅̅̅̅ 和 𝐴𝐵̅̅̅̅ 互為對邊；𝐷𝐴̅̅̅̅ 和 𝐵𝐶̅̅̅̅ 互為對邊。而 𝐴𝐵̅̅̅̅ 與 𝐵𝐶̅̅̅̅ 互為鄰邊； 𝐴𝐵̅̅̅̅ 與 𝐷𝐴̅̅̅̅ 互為鄰邊。

角的關係亦分為「對角」與「鄰角」，如圖：∠A 和 ∠C 互為對角； ∠B 和 ∠D 互為對角。而∠A 和 ∠B 互為鄰角； ∠A 和 ∠D 互為鄰角。

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特殊四邊形

圖形 描述 想想如何命名

四個角都是直角的四邊形。

四邊等長的四邊形。

兩雙鄰邊分別等長的四邊形。

四邊等長且四個角都是直角的 四邊形。

兩雙對邊分別平行的四邊形。

只有一雙對邊平行，但是另外 一雙對邊不平形的四邊形。

上面幾類四邊形，我們依序稱為：矩形（或長方形）、菱形、箏形（或 鳶形）、正方形、平行四邊形、梯形。

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最後，要來介紹「多邊形」。

由一些線段所圍成的封閉圖形，就稱為多邊形。通常我們會以多邊形 的邊數來命名，四條線段圍成的圖形就稱為四邊形，五條線段圍成的 圖形就稱為五邊形，六條線段圍成的圖形就稱為六邊形，以此類推。

四邊形 五邊形 六邊形

如左圖，將任意兩不相鄰的頂點連線，就稱為對角 線。例如：𝐴𝐶̅̅̅̅、𝐵𝐷̅̅̅̅等。

多邊形也分為兩種，一種是「凸多邊形」，一種是「凹多邊形」。 如果畫出多邊形的所有對角線，而所有的對角線都在多邊形的內部，

那麼這個多邊形就是「凸多邊形」。如下圖：

凸四邊形 凸五邊形 凸六邊形

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如果畫出多邊形的所有對角線，而有一條對角線在多邊形的外部，那 麼這個多邊形就是「凹多邊形」。例如下圖：凹四邊形

凹四邊形

如果一個多邊形的每一個邊皆等長且每一個內角也相等，這樣的多邊 形稱為正多邊形。例如：

正五邊形 正六邊形 正七邊形 正八邊形

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重點提問

1. 根據上面的課文，從三角形的內角可以將三角形分成哪些類？其 判斷的依據分別是什麼？

2. 根據上面的課文，請寫出下列各個特殊四邊形的定義，並畫出一 個例子。

(1)長方形 (2)菱形

(3)箏形 (4)正方形

(5)平行四邊形 (6) 梯形

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3. 根據上面的課文，用自己的話解釋「對角線」，並畫出一個五邊 形及其對角線。

4. 根據上面的課文，用自己的話解釋「凸多邊形、凹多邊形、正多 邊形」，並舉例說明。

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․隨堂練習：

1. 根據所給定的邊角數據，判斷下列各圖形中，哪一個是菱形。

(A) (B)

(C)

(D)

2. 下列何者是凸多邊形？

(A) (B)

(C) (D)

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△AEB․ ․銳角三角形

△ABC․ ․直角三角形

△ADE․ ․鈍角三角形

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/fXB6BgngN Gs

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://youtu.be/YTcIy402Z ks

還是不太懂，

請看下面影片(3)

https://youtu.be/07HnPz9-q 8o

3. 如右圖，已知 ∠AEC 和 ∠BDC 都是直角，

∠ABC 為銳角，完成下面的連連看並說明 理由。

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課文 C：圓

另外一個常見的平面圖形就是「圓」。在國小的時候就已經學過圓，

也已經會利用圓規來畫圓了。這篇課文 C 就要回憶一下一些跟圓有關 的概念，以及從不同面向來認識圓。

再更多點

如左圖，在平面上，距離一個固定點（圓心）一 段固定距離（半徑）的所有點，所形成的圖形就 是圓。

通常會利用圓心來命名，如左圖，圓心是 𝑂點，

那麼我們就稱它為圓𝑂。

如左圖，圓上任意兩點連線段，就稱為圓的「弦」， 如：𝐴𝐶̅̅̅̅、𝐵𝐷̅̅̅̅、𝐴𝐸̅̅̅̅。

其中弦𝐴𝐸̅̅̅̅通過圓心，那麼就是直徑。

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如左圖，圓的一部份，稱為「弧」。用“ ”來 表示，唸作“弧 AB”。

如左圖， 剛好是圓的一半，就是所謂的「半 圓」或「半圓弧」。

比半圓小就稱為「劣弧」。 比半圓大就稱為「優弧」。

一條弦和一個弧所圍成的區域就稱為「弓形」。

如左圖，由弦 𝐴𝐵̅̅̅̅ 和劣弧 圍成的紅色圖形是弓 形；而弦 𝐴𝐵̅̅̅̅ 和優弧 圍成的圖形也是。

兩條半徑及所夾的弧所圍成的圖形就稱為「扇形」

如左圖，半徑 𝐴𝑂̅̅̅̅、𝐵𝑂̅̅̅̅ 和 圍成的紅色圖形就 是扇形；而半徑 𝐴𝑂̅̅̅̅、𝐵𝑂̅̅̅̅和 圍成的也是。

∠𝐴𝑂𝐵稱為圓心角。

如左圖，橘色區域的確看起來像是扇子，它的兩 邊並不是半徑，所以橘色區域不是扇形。

弓形 弓形

扇形 扇形

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小學的數學課中會用圓周率的近似值3.14做計算，但實際上圓周率無 法用一個精準的數值表示，因此在數學上，習慣以希臘字母「 π 」(音 唸“

拍

若以 r 代表圓的半徑，所以直徑就是半徑的 2 倍，也就是 2r ，那麼 圓周長的公式：直徑×圓周率= 2 × r × π = 2πr。

而圓面積公式就是：半徑×半徑×圓周率= r × r × π = πr²。

如果這個扇形的圓心角是 𝑎° ，圓的完整 一圈是 360° ，所以就是佔了 ^𝑎

360 圈。

因此要算出這個弧長，就將整個圓算出 來後，再乘以它所佔的 ^𝑎

360 。而圓周長 是 2πr ，所以弧長就會是 2πr × ^𝑎

360 。

圓的完整一圈是 360°，如果這個扇形的圓心角是 𝑎° ，也就是佔了 ^𝑎

360 圈。

所以要算出這個圓面積，我們就將整個圓面積算 出來後，再乘以它所佔的 ^𝑎

360 。

因為圓面積是 πr² ，所以扇形面積就會是 πr²× ^𝑎

360 。

2πr × 𝑎 360

πr

× 𝑎

360

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下面用幾題例題來練習一下圓面積的相關應用。

Ex1.如右下圖，圓𝑂的半徑為 5 公分，圓心角∠AOB = 60° ，則 (1) 的長度為多少公分？

(2)扇形AOB 的面積為多少平方公分？

◎解題思維：

扇形的圓心角 60°，整個圓一圈是 360°，所以此扇形佔了₃₆₀⁶⁰ = ¹₆ 個圓，因此扇形面積就是圓面積的 ¹₆ ，弧長就是圓周長的 ¹₆ 。

這個弧長為：¹

6× 2 × 𝜋 × 5 = ⁵₃𝜋(公分)；

扇形AOB面積為：¹₆× 𝜋 × 5² =¹₆× 𝜋 × 25 = ²⁵₆ 𝜋 (平方公分)。

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Ex2.已知半徑為 12 公分的圓中，有一弧長為 8π 公分，則此弧所對應的圓心角為度？

◎解題思維：

我們假設圓心角為 𝑎° ，圓一圈有 360^∘，所以這個扇形佔了整個 圓的 ₃₆₀^𝑎 。所以弧長 = 圓周長 ×₃₆₀^𝑎 。

半徑為 12 公分的圓周長為 2 × 12 × π = 24π (公分)，

8 𝜋 =

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15 360

  a

𝑎 = 8 × 15 = 120 (度)

Ex3.在半徑為 8 公分的圓中，有一扇形面積 為 16π 平方公分，則扇形圓心角為幾度？

◎解題思維：

我們假設圓心角為 𝑎° ，扇形面積= 圓面積 × ^𝑎

360 。 半徑為 8 公分的圓面積為 8 × 8 × 𝜋 = 64𝜋 (公分)，

16 𝜋 = 64

₁₆

45 90

8

  a

360

⁼

8

45

𝜋 × 𝑎

𝑎 = 16 ÷ ⁸

45 = 16

₂



= 90

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Ex4.如右圖，圓𝑂的半徑為 3 公分，圓心角

∠AOB = 90^∘，求橘色弓形的面積與周長。

◎解題思維：（面積）

弓形面積是沒有辦法直接算出來的，需要用扣除的方式來求出。

仔細看一下，橘色弓形面積就是 扇形AOB 減掉 △ AOB 。

= −

扇形面積是 9π ×¹₄ =⁹₄𝜋 （平方公分）。

△ AOB 是一個直角三角形，它的面積：¹₂× 3 × 3 = ⁹₂ 。 所以弓形面積就是：

= −

= 9

4𝜋 − 9 2 沒辦法繼續算下去，這就是最後答案了！

弓形面積 = ⁹₄𝜋 −⁹₂ （平方公分）。

如果將𝜋用3.14代入計算，只會求得弓形面積的近似值。

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◎解題思維：（周長）

弓形的周長就是弧 加上弦 𝐴𝐵̅̅̅̅ 。

= +

= 6π ×¹₄= ³₂𝜋 。

△ AOB 是直角三角形，利用畢氏定理

𝐴𝐵̅̅̅̅ = √3²+ 3² = √9 + 9 = √18 = √2 × 3 × 3 = 3√2。

= +

= 3

2𝜋 + √18

= 3

2𝜋 + 3√2 這個就是最後的答案了！弓形周長 = ³

2𝜋 + 3√2 （公分）。

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重點提問

1. 根據上面的課文，請解釋一下「弦、弧、弓形、扇形」，並畫出 例子。

2. 根據上面的課文，弧長的公式為何？是如何計算出來的？

3. 根據上面的課文，扇形的面積公式為何？是如何計算出來的？

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․隨堂練習：

1. 若有一圓𝑂的半徑為 8 公分，A, B 為圓上的兩點，而且圓心角

∠AOB = 45° ，則

(1) 的長度為多少公分？

(2)扇形AOB 的面積為多少平方公分？

2. 已知半徑為 10 公分的圓中，有一弧長為 8π 公分，則此弧所對應 的圓心角為多少度？

3. 在半徑為 3 公分的圓中，有一扇形面積為 π 平方公分，則扇形圓 心角為幾度？

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4. 如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 5 公分，且 ADB 為一扇形，求橘 色的面積與周長。

Ex4 還是不太懂，

請看下面影片(4)

https://youtu.be/zOBre22kpI0

還想多看一題，

請看下面影片(5)

https://youtu.be/4WLq0udsTds

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/XOo5xUl6X6w

Ex1 還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://youtu.be/ItmtbheyPdI

Ex2、3 還是不太懂，

請看下面影片(3)

https://youtu.be/DKVmEn0blRc