第九章机械振动第九章机械振动

第九章 机械振动

§9.1简谐振动

振动：任何一个物理量在某一数值附近的反复变化。振动具有 重复性和周期性。

机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。

L C

A B





K

振动是普遍存在的一种运动形式

①物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等)

②电流、电压的周期性变化。

1.简谐振动的特征及其表达式

x

v

-A

A

x=0 F=0

O x

m



F v

F 弹簧振子的运动

弹簧振子——轻弹簧与物体m 组成的系统。

其中k弹性系数 物体只受弹力作用

弹力的两个特点

① 弹力的指向总是与位移x的方向 反向，总是指向平衡位置。

kx F_x  

② 弹力的大小正比于位移x的大小。

dt kx x

m d ²₂

 

由牛顿定律：

2

2

2 0 0

d x x

dt  

令 0² ，则有 k

  m

方程的解为：

0 0

cos( )

x  A  t  

——简谐振动的运动方程 速度表达式：

加速度表达式：

0

sin(

)

v dx A t

dt   

   

2

2

0 0 0

2

cos( )

a d x A t

dt   

   

A与₀ ^{由初始条件定}

0

cos(

)

A t  2

  

  

2

0

A cos(

t

)

   

  

①周期、频率和角频率

周期(T)——系统作一次完整振动所需时间。

T 的最小值 ： 2. 描述简谐振动的特征参量

,

( ) ( ) ( ) ( ) x t  x t T v t  v t T

0 0

0 0 0 0

0 0

0 s 0

( ) [ ( ) ]

( ) [ (

in sin ) ]

Acos t Acos t T

A t A t T

 

 

 

   

   

      

0T 2n , n 1, 2,3,...

 

  

0

T 2

 

2π 1





0

2π 2π

    T 频率



角频率



T、  ^和₀^由振动 系统本身的性质决 定,振幅A无关，这 是简谐振动的重要 特征。

②相位和初相位

相位：决定简谐运动状态的物理量

初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量

相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态。

0t 0

 

0

③振幅

振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值。

初始条件决定振幅和初相位

0 0

cos( )





 

0 cos 0,

x  A 

则 v₀  A₀ sin₀

2

2 0 0

0 2 0

0 0 0

, tan

v v

A x

 x

 

    

设 t = 0, x = x₀ ,v = v₀

0 sin( 0 0)

v dx A t

dt   

   

对给定振动系统，

周期由系统本身性 质决定，振幅和初 相由初始条件（两 个）决定。

解：

代入简谐振动表达式，则有

2

4

2.0 10 cos(4 ) ) x  

 t  3  （ m

例题1： 一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。

当 t= 0时，

求: 运动方程？

2 1

0

1.0 10 ,

0.218

x   

m v  m s 

2

1 2 0 2

0 0 2

0

2 4 ( ), v 2.0 10 ( )

s A x m

T

  



 

     

0 0 0

3 4

3 tg v

 x  

     

3、常见的简谐振动

故物体仍做简谐振动，角频率为

x

l

O

①竖直悬挂的弹簧振子

选平衡位置为坐标原点，

平衡时，弹簧伸长量为：

物体位移为x时，物体所受合力

由牛顿第二定律有

2 2

m d x kx

dt   d x²₂ k 0

dt  m x 

0

k

  m

( )

F



   



单摆在拉力和重力作用下做圆周运动，

利用切向的牛顿方程可得 ml   mgsin

g 0

  l  

②单摆

在角度很小时有

sin   ^

于是单摆的运动方程为

表明：单摆的运动也是简谐振动，故

0 g ,

  l 2 l

T   g

③复摆是绕一固定的水平轴，在重力作用下，作微小摆动的刚体。

O

 ^l

mg

2

2 sin

I d mgl

dt

 

  

转动正向

（C点为质心）

O表示复摆的转轴，C表示复摆的质心。OC 与铅直方向的夹角为θ，它是描述刚体位置 的变量。当OC在铅直线上时,θ=0，为平衡 位置。刚体绕O轴转动的力矩是由重力mg 提供的

sin M   mgl 

由转动定律

2 2

M I I d dt

 

 

小角度时 sin





2 2

d mgl

dt I

 

  

0

mgl

  I

角频率：

2

2

2 0 0

d

dt   

2 2 2 2

0 0

1 1

sin ( )

2 2

Ek  mv  mA  t 

以水平的弹簧振子为例

2 2

0 0

1 sin ( )

2 kA





  ₀  k / m

动能:

O x

m x

0 0

( ) cos( ) x t  A





0

sin(

) v   A   t  

势能: _p 1 ² 1 ^{2 2} _{0 0}

cos ( )

2 2

E  kx  kA





4.简谐振动的能量转换

2

k p

1 E  E  E  2 kA

总能:

谐振动的总能量与振幅的平方成正比 总机械能守恒，即总能量不随时间变化.

2 2 2 2

0 0

1 1

sin ( )

2 2

Ek  mv  mA  t 

以水平的弹簧振子为例

2 2

0 0

1 sin ( )

2 kA





  ₀  k / m

动能:

O x

m x

0 0

( ) cos( ) x t  A





0

sin(

) v   A   t  

势能: _p 1 ² 1 ^{2 2} _{0 0}

cos ( )

2 2

E  kx  kA





4.简谐振动的能量转换

2

k p

1 E  E  E  2 kA

总能:

谐振动的总能量与振幅的平方成正比 总机械能守恒，即总能量不随时间变化.

例题2：半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这 种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。



解：设小球的质心速度v_C ，绕质心转动的角速度为ω。小球在滚 动过程中系统的机械能守恒：

0 2

2

2 1 2

) 1 cos 1

)(

(R r mv I E

mg  





2

5 2 mr

I_C 

 r  v

 (



)  ^

其中

两边对t 求导

0 ) sin

( 7

5 

 





 g



0

2 7( )

2 5

T R r

g

 



  

2 2

0

( )(1 cos ) 7 ( )

mg R r 





所以可得

小角度滚动时  1,sin  ，运动方程化简为

5 0

7( ) g R r







因此小球在碗底部的小角度滚动是简谐振动，其周期为

0

5

7( ) g

  R r



能量平均值

：

 

2 2 2 2

0 0 0

0

1 1 1 1

2 sin 4 2

T

Ek m A t dt kA E

T   





 

2 2 2

0 0

0

1 1 1 1

2 cos 4 2

T

Ep kA t dt kA E

T  





① 旋转矢量图示法

x

₀

₀t+₀

O p

t=0



A

A M

5.简谐振动的表示法

模 振幅A

作坐标轴ox ,自原点作一矢量A OM( )

与x 轴的夹角 相位



t  

角速度 角频率



初始与x 轴的夹角 初相



旋转矢量 简谐振动

矢端M在x 轴上的投影P点的运动规律：

0 0

cos( ) x  A  t 

0 sin( 0 0)

v   A  t 

2

0 cos( 0 0)

a   A  t 

做圆周运动的质点的位矢在x轴 或y轴上的投影作简谐运动，不能 把M的运动误认为简谐振动。

② x-t曲线图示法

简谐振动也可用x-t 的振动曲线表示，如下图所示，图上已将振幅、

周期、和初相标出。

0t 0

  

x x

T A t

0

0

 T

 2

 0 O

P0

P0

P₁

P₁ P₂ P'₀

O

P₂

x

振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线的“密集和疏散”.

x(v)

O t

x(a)

O t

0 0

cos( )





 

0 cos( 0 0 )

2

v dx A t

dt

   

   

2

2

0 0 0

2 cos( )

a d x A t

dt

   

   

2







 

 

③复数表示

复数表示的优越之处：求导、积分很方便。

复数的实部对应真实的振动量

0 0

( )

0 0 0 0

cos( ) sin( )

i t

x ^ Ae

^ A  t ^  ^ iA  t ^ 

0 0

( )

0 0

i t

v dx i Ae i x

dt

 

 ^ 

  

利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数描述：

2

2 2

0 0 0

2 ( )

d x dv

a i v i x x

dt dt   

     

例题2：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中 数据写出振动表达

O 2

-2 2

x(m)

1 t(s)

解：设运动表达式

由图可见，A=2m，当t = 0时有：

0

4

   

由此得

2

0

2 cos

2

x   

0

2

sin

0

v     

0 0

cos( )

x  A  t  

当t = 1时有

1 0, 3

4 2 cos 3

4 4

T n

x t

 

 

  

 

    

 

因为周期 秒，所以取 即

0

3 2 ( 0,1, 2...) 4  n n

    

1

2 cos(

) 0 x     4 

1

2

sin(

) 0

v       4 

解得：

A1

A2

x A

2 sin( 0 2) A  t 

1 sin( 0 1) A  t 

1 cos( 0 1)

A  t  cos( 0 ) A  t 

2 cos( 0 2) A  t 

₀t+₁

₀t +₀t +₂

1.同方向同频率简谐振动的合成

1 1 0 1

2 2 0 2

cos( )

cos( )

x A t

x A t

 

 

 

  



两简谐振动：

合振动的运动方程：

1 2

x  x x

§9.2简谐振动的合成

任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。

 

2 2

1 2 2 1 2 cos 2 1

A  A  A  A A  

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sin arctan

cos cos

A A

A A

 

 

 

 



 

cos

A  t

 

0

0 ⁰

 合成结果仍为简谐运动；

 合振动与分振动在同一方 向, 且有相同频率。

反映了两谐振的步调关系.

相位差 Δ

  

2 1

(1)Δ

  

2 1

max A A

A  

两振动步调一致，同达最大，同达平衡 。

x1

x2

2

1 x

x x  

t

x

讨论：

(3) 一般情况下(相位差任意）

2 1

1

2 A A A A

A    

x1

x

1 x x

x

 

t

x

2 1

(2)Δ

  



1 2

min A A

A  

两振动步调反向,

1 2, 0

A  A  A

若 ^t

x

x1 x

x2

两个振动相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用。

) cos(

2 _{1 2 2 1}

2 2 2

1    

 A A A A A

设一质点同时参与了角频率分别为₁，₂的两个同方向的简谐 振动

1 1 cos( 1 1), 2 2 cos( 2 2)

x  A









t x

O

T₂= 6s

t x

O

T = 6s

t x

O

T₁= 2s

t x

O

T₂= 3s

t x

O

T = 6s t

x O

T₁= 2s

两个同方向不同 频率的简谐振动，

合成后仍然是周期 运动，但不再是简 谐振动。

2.同方向不同频率简谐振动的合成

合振动周期是分 振动周期的最小公 倍数。

特例：两同方向，振动振幅，且两频率之差远小于这两振动各自 的频率。

其中

合振动的位移为：

1 2

x  x x

1 cos( 1 1), 2 cos( 2 2)

x  A









2 1

2

1 | ,

|





 

2 1 2 1

2 cos

2 2

A t A   t    

 

调（ ）=

1 1 2 2

cos( ) cos( )

A









   

2 1 2 1 2 1 2 1

2 cos cos

2 2 2 2

A 

 

 

 

 

      

   

2 1 2 1

cos 2 2

A t    t   

   

 

调（ ） 振幅随时间缓慢变化的简谐振动。

1 2

2

  

合振动的角频率：

t ν₂=18 x₂

t

x

0.25s 0.50s 0.75s

Δ

=

t

x₁

ν₁=16 调制振幅： _{2 cos} ^{2 1 2 1}

2 2

A    t    

|

|

2

2 2 2

1

2 2 1

1  









  振幅调制周期： 

振幅调制频率： ^{1 2}

1 2

| |

2 v v

 



  

拍——频率较大但相差不大的两个同方向简谐振动合成时产生合 振动振幅周期性变化的现象。

1 2

1 1



 

v 

振幅变化的周期为： 拍频：

1

2



 



v

 用标准音叉振动校准乐器

 测定超声波

 测定无线电频率

 调制高频振荡的振幅和频率等

拍频——单位时间内振动加强或减弱的次数。

拍现象的应用：

合振动坐标的 参量方程

3.互相垂直相同频率简谐振动的合成

如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向

 











) cos(

) cos(

y y

x x

t A

y

t A

x









消去参数t，得显式的轨迹方程

合成的运动轨迹一般为一椭圆（包括圆，直线段），形状决

定于分振动的振幅和相位差，两振幅相等时为圆。

2 2

2

2 2

2 cos(

) sin (

)

x y x x

x y xy

A  A  A A       

y

x

y A x

  A

2 2 2

2 2

2 0

x y x y x y

x y xy x y

A A A A A A

 

       

 

x y

A

A

所以合振动也是频率相同的简谐振动，振幅为 轨迹为过原点的直线

时刻t 质点离开平衡位置的位移（合振动）

2 2 2 2

cos( )

x y x

r  x  y  A  A  t 

2 2

x y

A  A  A

① 分振动相位相同：

) (

sin )

2 cos( ₂

2 2 2

2

y x

y x

x x y

x A A

xy A

y A

x       

讨论：

2 π 0,1, 2,3,...

y x

n n

    

x y 2 πn

  

②分振动相位相反：

 



 (2 n  1)π n  0,1, 2,3,...

cos( )

cos( ) cos( 2 ) cos( )

x x

y y y x

y x

x A t

y A t A t n

A t

 

     

 

 

     

  

y

x A

y A

x

 

时刻t质点离开平衡位置的位移(合振动)也是频率相同的简谐振动。

x y

A

A

(2 1)

x y n

    

( 1/ 2) , 0,1, 2,3...

y x

n n

      

2

1

2 2

2

 

y

x

A

y A

x

振动的空间轨迹一般为一正椭圆。当A_x=A_y时，轨迹为一个圆。

③

轨迹方程：

y

x

A

A

④=_y-_x^{为其它值：}

 0

   4  2 3 4

 ⁵ ⁴ 3 2 7 4

0   



 π

π   



 2π

合振动的轨迹表现为方位与形状各不相同的 椭圆，质点运动方向亦各异。

合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系 时，是稳定的封闭曲线，称为利萨如图形。曲线形状与频率比 和初位相差相关。

4. 互相垂直不同频率简谐振动的合成以及李萨如图形

例题3：有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程 分别为 x

 4 cos( 2  t   ) cm ， x

 3 cos( 2  t   / 2 ) cm

1) 求它们的合振动方程；

cm )

2 cos(

2

3

  t  

x

问: 当 

为何值时, x

的振动为最大值？当 

^为何

值时, x

的振动为最小值？

解：

) 2

cos(





 A t

x

) cm (

5 )

cos(

2 _{1 2 2 1}

2 2 2

1    

 A A A A

 

A

4 3 cos

cos

sin tan sin

2 2

1 1

2 2

1 1

0  



 







 

A A

A A

2) 另有一同方向的简谐振动

所求的振动方程为



 5 4

0



) cm (

) 5 / 4 2

cos(

5   

 t

x

2)

^

^{ }

^{  2}

^ 

^{ 0 , 1 , 2 } 



 

^ 

1 2

3

   

 

 ， ，

当



根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故

 

3 2k k 0,1, 2 ,

     

即 振幅最大

  



即







§9.3阻尼振动

阻尼振动——振幅(或能量)随时间不断减少的振动。

1.阻尼振动的运动微分方程 对水平弹簧振子

x

F f

kx F   阻尼力 ：

弹簧力：

d

x d f v x

  t

   

 为阻尼系数，与物体的形状以及周围性质有关

2 2

d d

d d

x x

m kx

t    t 由牛顿第二定律可得：

——阻尼因子 于是可得运动微分方程

2

2 2 0

d d

2 0

d d

x x

t   t  x 

令



 

将形如 的解代入微分方程，得特征方程

其特征根是

这里系数A₁和A₂由振动的初始条件确定。按阻尼度β/ω₀大小的 不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运 动方式。

0 2 ₀²

2 







2 2

1,2 0



 



e^t

于是方程的解得一般形式为

1 2

1 2

( )

x t  A e

 A e

①过阻尼：



 



1 2

( )

x t  A e

 A e





特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为

这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到 平衡位置, 不再做往复运动。





②欠阻尼振动：

2 2

1 i _f

,

,

                

特征方程有两个互为共轭的复根

1 ^{t i ft}

,

x  e

e

x  e

e

两个线性无关解

根据线性齐次微分方程的性质知，方程的解为

1 1 2 2 1 2

( ) ^t( ^{i ft i ft}) x t  A x  A x  e^ A e^  A e^{ }

振动的解是一个实数解，应取该解的实部。

0e ^t cos( _{f f} ) x  A ^





A₀和_f 决定于初始条件的积分常数。

0e ^t cos( _{f f} ) x  A ^





振幅随时间衰减 周期振动

严格讲振子的运动 不是周期运动，但 仍然可看做振幅衰 减的周期运动。

2 2

0

2π 2π

f

T ^  ^    准周期为：

x

O t

0 ^t cos( _{f f} )

A e^  t 

0

A e^t

阻尼振动曲线：

阻尼振动周期比系统的固有周期长

振子机械能的耗散

2 2

1 1

( )

2 ^x 2 ^x

dE d

mv kx mxx kxx mx kx x fv dt dt

 

        

 

机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率

k p

E  E  E 1 ₀² ₀^{2 2} _{机械能不再守恒} 2

m



 ^{2 2}

0

1 2

kA e^{ }t



品质因数：用来描述阻尼项的大小

t 时刻阻尼振子的能量与经一周期后损失的能量之比的２ 倍，用Q 表示，即

2 E

Q   E



 

2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

1 2 2

1 1

2

t

t T

m A e

m A e e



 

 





 



 ²

2

1 e ^T



 



0

2



 

在阻尼很小的情况下描述阻尼能耗的品质因数与固有频率成正比，

与阻尼系数成反比

A₁、_A2亦由初始条件定。物体不作往复运动的极限。系统从周 期运动变为非周期振动,称为临界阻尼。

③临界阻尼状态:

1 2

( ) ( )e

x t  A  A t

0

 

特征方程只有一个重根，微分方程的解为：

过阻尼 临界阻尼

欠阻尼

t x

O

一般情况下，从偏离平衡位置开始回复到平衡位置所需的时间，

临界阻尼将比过阻尼快。

问题：怎样使灵敏 电流计的指针尽快 稳定以得到读数？

强迫力:

阻尼力:

恢复力:







x

m

f=-γv -kx

2

2 0 cos

m d x kx v F t

dt     

§9.4 受迫振动和共振

受迫振动

1. 受迫振动的运动微分方程

( ) 0 cos F t  F t

0 cos F t 根据牛顿第二定律

2 0

0 k , 2 , 0 F

m m f m

      令

2

0 0

2 cos

x    x  x  f  t

得



















特解 通解

) cos(

2

0 2

0 2

2 0 2

2

1 2 0 1

1

t f

x x

x

x x

x























方程的通解= 齐次方程的通解+方程的特解

2

1

x

x x  

下面我们将考虑欠阻尼情况，则有

2 2

1 0 ^t

cos(

)

x  A e

   t  

可以利用旋转矢量法求解受迫振动方程的特解

2

cos( ) x  B  t  

试探解：

2 2

sin( ) cos( )

2

cos( ) cos( )

x B t B t

x B t B t

      

      

      

     

t f

x x

x 2  ₀²  ₀ cos



把受迫振动的运动方程的各项用旋转矢量法表示

2B





^

^

0

tan 2

  



 

0

2 2 2 2 2

0 4

B f

   

 

 

稳态解的特点：频率与强迫力频率相同，振幅及初相位完全由 强迫力和系统的固有参量决定，与系统初始条件无关。

所以在小阻尼情况，受迫振动方程的解为

0e ^t cos( _{f f} ) cos( )

x  A ^





 

经一段时间，振子达稳定振动状态，受迫振动变为简谐振动 阻尼振动，随时间消失，

暂态解

简谐振动, 稳态解

t x

cos( ) x  B

 

2.共振

共振：驱动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到极 大值的现象.

0

2 2

2 2 2 2 2

0 0

, tan 2

( ) 4

B f  

     

 

  

0

2 2 2 2 2

( 0 ) 4 f

dB d

d d    

 

 

    

由此可得

共振振幅:

2 2

0 2 0, 0

r for

         共振频率:

2 2 2 2 2 3/2 2 2 2

0 0 0

2 f ^(  ) 4  ^   ^ 2 ^ 0

         

0

2 2

2 0 r

B f

  

 

共振位相： ₀^{2 2 2}

arctan

r 2

 

 

 

cos( ) sin( ) x B t  2  B t

1 0

tan 2

 



