第二章 文獻探討
第一節 概念的理解
教學的現場中研究者常看到學生們花了很多的時間及很大的努力作計算 數學題目，卻僅僅事倍功半，達不到自己理想的成績、甚至只要遇到沒見過數 學問題時，便不知所措了。常聽有人說：數學需要理解！那麼，什麼是數學理 解呢？以及需要什麼樣的理解呢？
Skemp 曾經就數學概念的理解提出了他的看法。他認為人們對於數學的概 念的理解可區分為機械式理解（Instrumental Understanding）及關係式理解
（Relational Understanding） （Skemp, Richard R.,1976） 。前者所指乃為慣 性學習（就是學習者不斷機械性練習）所產生的理解，後者則指智性學習中學 習者所產生的理解。當然,Skemp 是較側重關係式理解的。在小學數學教育-智 性學習一書中他說： 「所謂「機械式理解」 ，直至目前，我仍然不將它視為理解，…
不容否認，上述比喻存在偏見而且側重關聯式數學。這正好反映出我的觀 點：…」 （許國輝譯,1995） 。
可是，我們常常聽到數學老師們鼓勵學生多做題目就會熟能生巧，於是 提供了許多練習題讓學生當學習作業。那麼這些老師們完全錯了嗎？是不是數 學只要「理解」就可以了呢？
Anna Sfard（1991） 對於數學概念理解則提出了過程（process）--結 構（structure）對偶性的看法，她認為抽象的概念例如數或函數，可以被以 兩種基本但不同的方式來想出獲得：一是結構性地（structurally）成為物件
（objects） ，而另一是操作地（0perationally）成為過程（processes） 。這
兩種方式表面上看來不相容，但事實上卻互補（complementary） 。她同時認為
的數學概念的獲得都是從操作性概念開始。而且數學概念的形成過程是由計算 性操作遷移到抽象物件的，這個過程本身就很困難。它經歷了三個階段：內化
（interiorization） 、壓縮（condensation）以及物化（reification） 。 對於函數概念的學習而言，Anna Sfard 所謂內化（interiorization）階 段指的是
學習者知悉將導致新的概念的過程（像數數導致自然數，減法產生負數，或代數 處理運算轉成了函數）。這些方法是操作較低層數學物件（mathematical objects）
的操作運算（operations），漸漸地，學習者熟練於執行這些過程。如果某演算過 程方法可由心智表徵來操作實現（can be carried out through mental representations），
則可謂此演算過程方法已被內化，且為了被考慮、分析、和比較，它不須再被實 際操作。
而壓縮（condensation）所指為
擠壓（squeezing）漫長的操作運算系列使之成為較易管理的單元（more manageable units）的時期。於此階段學習者愈來愈能把某運算過程想成一整體，而不必迫切 需要考慮細節，這如同把電腦程式中某一可以循環（運用）的部份變成一個自動 的程序（autonomous procedure），此後學習者提及這演算過程以輸入和輸出稱之，
而不以單指任何一個運算操作。…。當我們考慮到函數的時候，一個人愈能把映 射視為一個整體而不用去看它特定的值，那麼他在壓縮的過程中進展的就越大。
結果學習者能夠研究函數，畫他們的圖形，合成幾個函數甚至發現一個給定函數 的反函數。
而物化（reification）所指為
壓縮階段持續到新的實體緊緊連結到特定的過程。只有當一個人變得能夠想出概 念當作一個成熟的物件，我們將說這個概念已經被物化。因此物化是被定義成本 體論上的轉移--一個突然的能力使他能夠在完整新的觀點上看見熟悉的事物。…物 化指的是及時的量子式的跳躍：一個過程物化成了物體成了一個靜態的結構。…
這個新的實體馬上從產生它的過程分開，而且開始從它所在的類別刻畫他的意
義。以某種觀點來說，這個類別是用來論定新物件存在的最終基礎。學習者能夠 研究這樣一個類別和介於其表徵之間的各種關係的一般性質。他們所發現在類別 中所有情形的難題。新誕生的物件當作輸入的過程可以被執行。…。物化的階段 也是更高階概念內化的地方。…。以函數來說，物化指的就是熟練於解以函數為 未知元的方程式(微分方程式，函數方程式以及參數方程式)。藉由討論作用在函數 上不同過程的一般性質的能力(像是合成和反函數)，以及藉由最終的確認可計算性 並不是被視為函數的有序數對所成集合的必要特徵，物化便得以被證明。
特別是物化，Anna Sfard 認為它需要非常大的努力，大部分則是需要很 長一段時間。我們必須同時注重精熟操作概念以及理解結構概念。這兩種能力 必須得同時被重視。我們一定得相當熟悉執行計算以得到關於這些計算操作的 物件的理解；我們必須獲得這些物件以得到技術的精熟，因為沒有這些物件，
過程將變得無意義而且難以執行及記憶。簡言之，操作性概念和結構性概念在 數學認知是兩者不可或缺的，而且整個數學概念的發展過程是由操作性概念遷 移到結構性概念的。
Anna Sfard 的這三階段的基模可被理解為一個層序。這當中隱含了前面 所有的步驟在沒有被完成之前，後面的階段是不可能被達成的(見【圖 2-1)】 ） 。
本研究素材因為涉及三角函數，亦為函數的一種，於是研究者曾參考國
內有關函數學習方面的研究，有數學教育研究者例如吳玫瑤(民 89)、楊清海(民
91)、丁斌悅（民 91）等就曾對於國內國中生或高中生進行過有關函數概念學
習方面的研究，他們套用了 Anna Sfard 對於概念成長的模式，將之應用於試
題工具的編製，對應「內化」 、 「壓縮」 、 「物化」三種層序的分佈，像是丁斌悅
對 Anna Sfard 的「概念形成模式」的三階段論提出了質疑，其研究結果顯示
學生在『圖形』表徵中，不論前測或是後測，三個層次的通過率都不是依次遞
減的情形，而是符合『壓縮』＞『內化』＞『物化』 ，他發現這並不完全符合
Sfard 的概念發展理論。
然而研究者觀察其對於試題安置層次的做法：對於線型函數的表列表徵 他認為「物化」是「能從線型函數表列上，正確掌握兩個變數之間的關係式；
並有能力加以完成及擴充此表列」 ；對於線型函數代數式表徵以及圖形表徵他 將「物化」以「看學生對線型函數一般性質是否了解（平移、對稱、旋轉、斜 率、截距） ，以及三個主要表徵之間的轉換能力是否成熟」 。這和 Anna Sfard 所謂「物化」 ： 「以函數來說，物化指的就是熟練於解以函數為未知元的方程式 (微分方程式，函數方程式以及參數方程式) 」是有所不同的。而且 Anna Sfard 提到特別是物化，它需要非常大的努力，至少是被期待性地，有時是靈光一閃 地，大部分則是需要很長一段時間。這在國中生或高中生來說要達到「物化」
的階段是非常困難的。所以研究者認為，嚴格來說，以現行高級中學數學科課 程綱要來檢視學生所學的數學內容，只能僅定位限於內化到壓縮的階段，研究 者對於丁斌悅研究結果「學生在『圖形』表徵中，不論前測或是後測，三個層 次的通過率都不是依次遞減的情形，而是符合『壓縮』＞『內化』＞『物化』 」 提出了質疑。
具體 物件
作用於具體物件 上的過程
內化 壓縮 物化 物件 A 概念 A
作用於 A 上的過程 內化 壓縮
物化
物件 B 概念 B
作用於 B 上的過程 內化 壓縮 物化 物件 C 概念 C
