[3.4, 3.6]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 周期轨道与混沌：

• 前面几小节讨论了非线性动力系统演化的多样性、分叉的基本概 念及表征、非线性系统演化的几何特征和广域边界的分形特征。

• 下面开始讨论混沌发生本身的演化过程。我们最普遍的认识是：

混沌系统是周期分叉导致，如果所有周期轨道在演化过程中都失 稳，则混沌就不可避免。

• 以帐篷映射和锯齿映射为例来说明迭代过程中的周期轨道行为。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 帐篷映射的两次迭代 T²(x) 与多次迭代 T^m(x) 轨道如下图示：

• T²(x)与y=x有四个交点，x=0和x=2/3为周期1交点；x=2/5和x=4/5 为周期2交点。x2/54/52/54/5…，T^m(x) 与 y=x 的交点及 其对应的周期数会更多，与m相关。

• 因为这些交点的斜率分别为=2和=4，因此都不稳定。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• S²(x)与y=x有四个交点，x=0和x=1为周期1交点；x=1/3和 x=2/3为 周期2交点， x1/32/31/32/3…，S^m(x) 与 y=x 的交点及其 对应的周期数会更多，与m相关。

• 同理，这些交点也是不稳定的。

• 锯齿映射的二次和多次迭代 S(x)、S^m(x) 图示如下：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 对于T^m(x)及S^m(x)之类，如何判断这些轨道交点的周期数？一种 有效方法是以二进制数来表示，非常有趣！

• 设初值是 x₀=0.a₁a₂a₃a₄…，其中a_i非0即1。

• 按照锯齿映射S，2x₀代表小数点向右移动一位，即a₁.a₂a₃a₄…，

如x₀<0.5，a₁=0，迭代一次得到x₁=a₁.a₂a₃a₄…= 0.a₂a₃a₄… ；如 x₀0.5，a₁=1，按照迭代要求得到x₁=a₁.a₂a₃a₄…-1=0.a₂a₃a₄…。锯 齿映射就是每次迭代小数点向右移动一位，整数部分取0。

• 对帐篷映射T，x₀<0.5时迭代与上相同， x₀0.5时，x₁=2-2x₀=1- (2x₀-1)=1-S(x₀)，即将0.a₂a₃a₄…中的0和1对易，01，10。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 例如：x₀=0.101101>0.5，2x₀=1.011010.01101，x₁=2- 2x₀=0.10010。

• 下面可以来分析锯齿映射的初值x₀对应的周期数了。

• 设x₀=0.1010101010…=2/3=0.10，x₁=0.0101010…=1/3=0.01；迭代 在0.10和0.01之间循环，说明是周期2轨道。

• 对于x₀=4/7=0.100，x₁=1/7=0.001，x₂=2/7=0.010，依此类推，周 期3轨道。

• 如果x₀=0.a₁a₂a₃…a_Pa₁a₂a₃…a_P…=0.a₁a₂a₃…a_P，对应周期P轨道。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 有趣的是，帐篷映射和锯齿映射具有下列关联：

• TT(x)=TS(x), TTT(x)=TTS(x)=TSS(x), T^N(x)=TS^N-1(x)。证明如下：

• T(T(x))=T(2x)=4x, T(S(x))=T(2x)=4x, 0x 1/4

• T(T(x))=T(2x)=2-4x, T(S(x))=T(2x)=2-4x, 1/4<x 1/2

• T(T(x))=T(2-2x)=-2+4x, T(S(x))=T(2-2x)=-2+4x, 1/2<x 3/4

• T(T(x))=T(2-2x)=4-4x, T(S(x))=T(2-2x)=4-4x, 3/4<x ¹

• 由此得到一个重要结论：如果 w₀=S^P(w₀)，则 x_P=x₀=T(w₀)。

• x_P=T^P(x₀)=T^P(T(w₀))=T^P+1(w₀)=TS^P(w₀)=T(w₀)=x₀。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 例如：w₀=1/7是锯齿映射的周期3轨道点，则x₀=2/7=T(1/7)就是帐 篷映射周期3轨道点。事实上，x₀=2/7x₁=4/7x₂=6/7x₃=2/7。

• 关于周期3轨道有一个著名的数论定理－Sharkovsky定理：一维 映射 x_n+1=f(x_n) 存在下列自然数列：

• L1: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,…

• L2=2*L1: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,…

• L3=3*L1: 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60,…

• Ln=2ⁿ, …, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

• 如映射有周期为某数的解，就一定有排在此数后面全部数的解。

• 注意到，周期3的解表示系统具有全部周期解，即混沌！

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 周期3意味着混沌：Li-Yorke定理！

• 一个例子是：

• x_n+1=f(x_n)=3x_n (0^x 1/3), 17/9-8x_n/3 (1/3^x 2/3), 1/9 (2/3^x ^1)。

• 因为f(1/9)=1/3, f(1/3)=1, f(1)=1/9，所以有周期3，即混沌。

• 混沌对应于统计物理中的各态历经。

• 事实上，我们前面提到的李雅普洛夫指数为正从稳定性角度描述 了这种混沌的平均行为。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 从倍周期走向混沌：

• 并非一定要有周期3才能混沌。现在说明平方映射的偶数周期走 向混沌行为。

) 1

1 n

(

n

x x

x

  

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 一些基本混沌特征：典型的倍周期分叉走向混沌。

• 倍周期分叉对应的参数值间距越来越小，Feigenbaum常数。

• 混沌初看模糊一片，细看可见模糊图象深浅程度不同，可区分出 不同区域。说明迭代终值并非混乱一片，而是存在一定层次。

• 模糊区域可见一些大大小小窗口，犹如两片乌云间有一小片蓝天

，说明这些区域仍存在规则运动，对应于李雅普洛夫指数为负。

平方映射随参数值增加展现一幅规则―随机―规则―随机…交织 起来的丰富多彩图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次 的运动形态。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.4, 3.6]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.53, 3.58]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.564, 3.572]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.564, 3.572]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.7, 3.8]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.7, 3.8]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[3.741, 3.745]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

[更加细微的结构 ]

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• Feigenbaum常数：

 





 











 n 1 n

1 n n

k

lim

• ^=4.6692

limn

n n

n 1 n

R R

R R









 ¹  

•  ^{是第一常数，} 是第二常数，反映了非线性系统沿倍周期分岔 系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。

5029 .

2

1 + n

n 



d

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 两个费根鲍姆常数虽然是在平方映射的计算中获得的，然而对于 所有在[0,1]区间内为一条单峰的光滑曲线的映射都可计算得同样 的常数，例如正弦曲线、圆与椭圆曲线等等。

• 在许多包含耗散的非线性系统中，只要发生倍周期分岔序列也会 得到同样的普适常数。

• 费根鲍姆常数所包含的意义待进一步去发掘，它并不终止于某一 位数，现在常见的第一常数位数为4.66920160910209909…，第二 常数位数为2.502907875095…。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• Dufin方程的倍周期混沌：

• 软弹簧系统杜芬方程可以写成如下形式：

t

3

cos

2

2

  x  x F 

dt dx dt

x

d      

• 设 ^=0.4,  ^=1,  =4, F=0.115，

计算弹簧振动的振幅变化：

• 对应于位置2处的参数值为0.68.

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 详细计算在此不再叙述，下面左图是上一组数据对应的倍周期分 叉图，右图给出 =0.05,  =-1,  =-4, F=0.7,  =0.7时在(x, dx/dt)相 空间的奇异吸引子。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

混沌区内的某些普适标度：

• 考虑一个稍微不同的一维 映射系统，其实动力学演 化是一样的，只是有现成 文章，不要自己算罢了。

• 取C=-0.4到2.1, x₀=-0.5，来 看看迭代游戏。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 当C=C₀=-0.25以下，在-2<x<2范围内没有吸引子，因为迭代导致 x趋于无穷。类似的事情在C=C_c=2.0以上出现。

• 在[-0.25, 2.0]之间，存在吸引子，但是结构十分复杂：

• (1) 在-0.25和0.75之间，存在单倍轨道吸引子。

• (2) 在0.75和1.25之间，出现双倍周期轨道(x_x_x_x_…)。

• (3) 在1.25之上，出现了四倍周期轨道 (x_ax_bx_cx_dx_ax_bx_c x_d…)。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• (4) 上述倍周期分叉一直进行

，周期数按照2ⁿ到2ⁿ⁺¹方式进 行，在n时达到C_~1.40。

• 在C_<C<C_c之间发生的事情是 混沌，或者说有很多C值对应 混沌轨道，而另外一些C值对 应有限周期轨道。

• 以1.72<C<1.82这个区域为例

，放大的分叉图是：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 在C=C₀⁽³⁾=1.75之下是混沌区域；在此之上，出现了三倍周期分 叉窗口，混沌吸引子消失。然后这个三倍周期轨道的每一个开始 进行倍周期分叉，然后混沌，最后在C=C_c⁽³⁾~1.79处三个混沌区 域合并成一个大混沌区域。C₀⁽³⁾<C<C_c⁽³⁾ 为三倍周期窗口。

• 结论：从正常吸引子到混沌吸引子需要经历无穷的倍周期分叉过 程。不过这不是唯一的机制，还有两个机制。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 一是间歇(或阵发)途径intermittency route：C在C₀⁽³⁾之上时是三 倍周期轨道，C₀⁽³⁾之下是混沌轨道。由三倍周期到混沌的演化动 力学特征如下：很长时间内是三倍周期轨道，然后出现短暂的喷 发，变成混沌轨道，然后又回复到三倍周期轨道，再经历很长时 间后喷发，如此反复，叠加起来就是混沌轨道了。

• 动力学标度：C由C<C₀⁽³⁾趋于C₀⁽³⁾时，三倍周期持续时间满足：

t~(C

-C)

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 同样的事情发生在当C从C₀⁽³⁾上方趋于C₀⁽³⁾时的情况，存在同样 的标度关系。这种间歇式混沌的途径在很多体系中都会观测到！

• 另一途径是所谓临界滞后Crisis途径：在C<C_c=2.0区域，观测到 混沌区域，而在C>2.0时没有混沌。当C从2.0以上减小通过C_c时

，混沌发生。事实上，在C_c之上一点点处，系统先是在-2<x<2混 沌区域保持很长时间，然后突然离开这一区域，很快达到无穷。

平均保持时间满足：

• t~(C-C

)

。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 上述间歇式途径和临界滞后在很多混沌系统中都观测到。例如 Benard-Rayleigh对流系统中上述时间发散指数不是1/2而是4.0。

• Lorenz方程为：

• 取P=10和b=8/3，改变 r 值时可以得到混沌。

• 在 r 取166.0和166.2时，系统经历从周期吸引子到混沌吸引子的

间歇式转变，如图：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

上图r=166.0 下图r=166.2 在两者之间 都存在间歇 式混沌行为

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 在 r 取24.06稍小一些时，存在两个周期吸引子，对应两个反方向

对流胞。但当r 取24.06稍大一些时，出现三个吸引子，其中一个 是混沌吸引子，另两个为周期吸引子。对应间隙式混沌r =28：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• r 取较大值，形成 混沌吸引子，然 后减小到较低值 r

=22，可以观测到 混沌通过临界滞 后途径向周期吸 引子转变。对应 混沌临界转变，

如图 r =22：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 间歇式混沌理论：

• 在混沌产生机制中，倍周期机制被研究得最多，其次是混沌区域 里面的混沌－－3倍周期演化机制，所谓间歇式混沌机制。

• 基本问题是3倍周期窗口的形成机制是什么。

• 在此再以平方映射为例，间歇式混沌形成特征如下：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 混沌与周期3间歇式转变的=_t=3.8284~3.83。迭代映射在此处发 生切分叉：产生一个稳定平衡点和一个不稳定平衡点。

• 周期2一般是由二次平方映射产生，可以类推周期3由3次方迭代 产生。由x_n+1=f(x_n)=^x_n^(1-x_n)我们构造三次迭代 ：

• 三次迭代产生一含x⁸的多项式，x_n+3和x_n之间的函数关系如下：

)))) x

1 ( x 1

)(

x 1

( x 1

(

))) x

1 ( x 1

)(

x 1

( x (

) x ( f x

n n

n n

n n

n n

n 3

3 n































非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

在=3.83附近间歇式混沌演化与 f(x)和f ³(x)函数曲线。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• f ³(x)有四个不动点，一个为f(x)本身带来的，另三个系f ³(x)与 y=x相切所致。f(x)本身带来的是不稳定点，我们不考虑。

• 从稳定性角度看，函数f(x)上一点如果f´(x)>1，此点不稳定；

f´(x)<1的点是稳定的。

• 在>3.83时，f ³(x)与y=x相交，有6个不动点，由于切分叉的缘 故，其中三个是稳定的，三个是不稳定的。

• 三个不稳定不动点随演化将消失，另外三个不动点保留下来，

成为3倍周期分叉的根源。因此，混沌区中的周期3与切分叉密 切相关。看看 <_t^{时的情况：}

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 对映射f ³(x)进行迭代如右图。

• 显然，  ^与_t^{之间的距离决定这种} 迭代所需的“时间”，在( -_t)0时 即f ³(x)与y=x相切时，时间t。

• 因此在 ^<_t^{区域已经存在混沌分} 布的不均匀性，成功解释了为什么 有下图：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 在=_t处混沌出现的间歇时间无限长，就是3倍周期轨道了。

• 前面也已经提到，数学严格证明了一维体系中只要出现3倍周期轨 道，就一定有间歇式混沌行为出现。

• 以前提到的所谓普适行为：

t~( 

-  )

导。

• 在相切点附近，f ³(x)可以近似展开表示成：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 作些简单推导：

• 这个推导是普适的，没有涉及具体函数形式。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

• 原则上对于5倍分叉和更高周期分叉，可以进行类似的分析，但 是实际进行起来要困难得多了。

• 总之，由这一分析我们至少理解了为什么说混沌区域里面也是有 结构的。这些分布的不均匀源自于各级倍周期分叉过程按照各种 机制仍然出现在混沌区域中。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 同步与锁模：

1. 前面讨论了一维单参量控制分叉与混沌。实际系统远不止如此。

2. 当有多个控制参量时，这些参量变化本身会将系统带入分叉或者 混沌，而且这些参量之间还会相互耦合，导致更美妙混沌演化。

3. 我们打算讨论所谓的同步锁模问题：其基本现象是两个频率不同 的动力学系统靠近或者耦合将导致各自行为的变化。

4. 同步或锁模，顾名思义是两个不同频率振动系统在频率之比满足 某有理数时，会出现同步振动现象。当两者有耦合时更是如此。

5. 考虑有名的水桶滴水实验。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 弹簧水桶滴水实验：

1. 前面我们讨论的问题都是一维的单参量控制分 叉与混沌。

2. 静止状态下，滴水时间为：

3. 水桶振动周期为T，f(t/T)为周期函数。复合振 动状态下滴水质量变成：

)]

/ ( 1

[

eq

m * f t T

m  

m*为临界质量，m_eq为水滴质量随时间变化

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. 由于弹簧振动导致了滴水周期的变化和水滴质量的变化。

注 意 弹 簧 振 动 周 期T比 滴水周期小很多：

T<< 

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 1. 定性分析：

)]

( 1

[

* )

/

eq

(  T m f 

m    _{ t / T}

 某整数





1

=

AB  

+ 某整数 )

( +

= ) (

+ /

=

BC  T f 

 f 



 

  f (  

)



 (  

, ) 

以上是圆映射

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. 取f(t/T)为周期正弦函数，则方程变成可以计算的了。

两个参量：K表示非线性耦合强度，为两个振动的频率之比。

这是标准的圆映射或者迭代。

2. 考虑线性行为，K=0，  为有理数2/5=0.4和无理数0.40404…：

i i

1 +

i

 ( / 2  ) sin 2 

     K 

 

 













 

 当 时

时 当

6 . 0 1

4 . 0

6 . 0 4

. 0

1

i i

i i

i  



 

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1.  ^{为有理数时有周期解；}  为无理数时只有准周期解，没有同 步现象。

2. 然而，如果K0，则会出现同步或者锁模现象了。

3. 对于K=0.95和 =0.4040….的情况，有：

4. 因此，即使 为无理数，非线性仍然可 以使系统出现同步和锁模。

5. 这也提供了一种混沌控制方法。

6. 可以定义卷绕数(winding number) W来 表征锁模行为，注意theta在[0,1]内：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. K-  平面相图：随着K的增加，所有锁模频率范围都会增加 。 2. 这样的图象为阿诺德舌头(Arnold tongue) 。

3. K＝1，舌头宽度彼此衔接，任何 值都满足共振条件；K＞1，

舌头开始重迭，迭代函数不再单调，系统进入混沌状态。

4. 给定K值，如果以W为纵坐 标， ^{为横坐标，就将得到} 与全部频率比相应的同步范 围所构成的一座特殊的楼梯

，它有无数个台阶与宽窄不 等平台。

5. 戏称魔梯(devil's staircase)。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

台阶无限可分的原因是两个无理数之间存在无穷个有理数，反之亦然

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

类似的同步或锁模行为在很多物理系统中存在。

1. 超导Josephson结

2. Ni超导体Josephson结在

295GHz微波驱动下的I-V特性

：这里电压是频率的表征。

3. 物理是结的伏安特性满足一个 与阻尼外驱动物理摆非常类似 的微分方程。

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非线性物理：混沌物理混沌物理

类似的同步或锁模行为在很多物理系统中存在。

1. 复杂化学反应。

2. Belisov-Zabotinsky复杂化学 反应中振动周期与反应速率的 关系。

3. 物理是这一反应存在两种不同 频率的振荡。

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非线性物理：混沌物理混沌物理

类似的同步或锁模行为在很多物理系统中存在。

1. 快离子导体电导。

2. 铌酸钡钠快离子导体中电压振 动频率与电流之间的关系。

3. 离子导体中电导是靠离子运动 来实现的。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 基本特征：

• 当动力学系统的两种振动之间耦合很弱时，各人自扫门前雪；

当振动耦合很强时，系统总是会锁定在一个固定频率之处，且 约化频率是有理数。

• 魔梯结构具有空间自相似性，具有标度性质，可以解释为一个 Cantor集。如果计算其分形维，这维数是普适的，所有这些动 力学系统魔梯具有一样的维度。这个魔梯维度是自然界的一个 普适常数。

• d~0.87，其计算很简单：将所有被锁定的频率计数投影在频率 轴上，然后画一个半径为r的圆去套住轴上任一个区域，则点的 数目与

r

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理 固体物理中的魔梯：

1. 很多固体结构中存在不止一种晶格周期性排列，这些周期的比 值与固体成分或者交互作用的关系也构成所谓的魔梯结构。

2. 理解这种魔梯容易，是两个周期之比而已：Ti_1+xAl_3-x，Al=72%

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. 稀土金属Er中磁畴结构的周期性与温度的关系：将波矢k与温度 T作图有如下的魔梯图。例如，k=1/4表示磁畴周期为4，有两个 spin-up然后接两个spin-down。k=5/21表示周期21，有5次自旋 翻转。

2. 对于这样的周期结构，我们可以从一个简单的Ising模型出发。

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. 在一维情况下，Ising模型的能量为：

其中S_i=1/2，J(i-j)为i和j两个位置的spin-up的长程反自旋耦合

，这种耦合是长程的，随距离按幂指数或者e指数衰减。

2. 美国科学家P. Pak曾经研究了这样一个模型的稳定自旋组态：

在体系中spin-up的数目占百分比q，则第i个spin-up自旋的坐标 应该是：

x

=integer(i/q)

－＋－＋－＋－＋…..

－＋－＋－＋－－＋－＋－＋－－＋－＋…

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. 但如果q是无理数，比如黄金分割数(5-1)/2，则晶体结构不再 是周期排列，而是准周期排列，所谓准晶了。

2. 在外磁场作用下，这样一个周期性分布仍然可以保持稳定，从 而产生很漂亮的魔梯图(J(n)=n^-2)：

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

作业：

• 对上面的一维模型，计算一下T=0时的spin排列

，然后关注外磁场作用下的魔梯图。注意一维 链长至少2000以上。

• J(n)=n

• 利用WL代数计算基态魔梯结构及其与温度的

关系？

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

1. 如果将模型推广到二维和三维，考虑轴线次近邻Ising模型：沿 轴线最近邻具有铁磁交互作用J₁，轴向次近邻存在反铁磁交换 作用J₂，则我们可以得到一个更漂亮的0和1/4之间的魔梯图。

数 字 表 示 波 矢