學測試題一個選項的討論
胡家祥
本文要討論的是今 (110) 年學科能力測驗數學考科第13題選項 (5), 這一題的題幹為 「多 項式函數 f (x) = x3 + ax2 + bx + c, 其中 a, b, c 均為有理數。」 選項 (5) 為 「存在有理數 a, b, c 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列。」, 這個選項在考場難倒無數考生, 考後 也難倒不少高中老師。 坊間看到的解法, 有的是設定 f (1), f (2), f (3), f (4) 的值, 用插值法去 確定 f (x) 的有理係數 a, b, c 存在 (或直接求出有理數 a, b, c); 也有的是給定等比數列的公比, 去確定 f (x) 的有理係數 a, b, c 存在 (或直接求出有理數 a, b, c)。
對一個學數學的人而言, 我見到這個題目, 會想到的是 (一) 有理數 a, b, c 存在嗎? 有多 少組有理數 a, b, c? 和等比數列的公比 r 的關係為何? (二) 如果有理數 a, b, c 存在, a, b, c 的 值為何? 以下依序討論這兩個問題。
問題一: 多項式函數 f (x) = x3+ax2+bx+c, 其中 a, b, c 均為有理數。 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列的有理數 a, b, c 存在嗎? 有多少組有理數 a, b, c? 和等比數列的公比 r 的關係為何?。
解法一: f (1) = a + b + c + 1, f (2) = 4a + 2b + c + 8, f (3) = 9a + 3b + c + 27, f (4) = 16a + 4b + c + 64 要使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列, (設公比為 r),
即使得 f (2)
f (1) = f (3)
f (2) = f (4)
f (3) = r, 或
f (2) = r(f (1)) f (3) = r(f (2)) f (4) = r(f (3))
, 可化為三元一次方程組
(4 − r)a + (2 − r)b + (1 − r)c = r − 8 (9 − 4r)a + (3 − 2r)b + (1 − r)c = 8r − 27 (16 − 9r)a + (4 − 3r)b + (1 − r)c = 27r − 64
, (∗)
用方程組 (∗) 的判別式 ∆ 來討論,
∆ =
4 − r 2 − r 1 − r 9 − 4r 3 − 2r 1 − r 16 − 9r 4 − 3r 1 − r
=
4 − r 2 − r 1 − r 5 − 3r 1 − r 0 12 − 8r 2 − 2r 0
=(1 − r)
5 − 3r 1 − r 12 − 8r 2 − 2r
= (1 − r)2×
5 − 3r 1 12 − 8r 2
=(1 − r)2(−2 + 2r) = −2(1 − r)3,
故當 r 6= 1, a, b, c 的三元一次方程組都有恰有一組解, 又當 r 是有理數時, ∆, ∆a, ∆b, ∆c, 都是有理數, 故可得出存在有理數 a = ∆a
∆, b = ∆b
∆, c = ∆c
∆, 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列。
解法二: f (1) = a + b + c + 1, f (2) = 4a + 2b + c + 8, f (3) = 9a + 3b + c + 27, f (4) = 16a + 4b + c + 64 要使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列, (設公比為 r),
即使得 f (2)
f (1) = f (3)
f (2) = f (4)
f (3) = r, 或
f (2) = r(f (1)) f (3) = r(f (2)) f (4) = r(f (3))
, 可化為三元一次方程組
(4 − r)a + (2 − r)b + (1 − r)c = r − 8 (9 − 4r)a + (3 − 2r)b + (1 − r)c = 8r − 27 (16 − 9r)a + (4 − 3r)b + (1 − r)c = 27r − 64
, (∗)
4 − r 2 − r 1 − r r − 8 9 − 4r 3 − 2r 1 − r 8r − 27 16 − 9r 4 − 3r 1 − r 27r − 64
→
4 − r 2 − r 1 − r r − 8 5 − 3r 1 − r 0 7r − 19 12 − 8r 2 − 2r 0 26r − 56
→
4 − r 2 − r 1 − r r − 8 5 − 3r 1 − r 0 7r − 19 2 − 2r 0 0 12r−18
→
4 − r 2 − r 1 − r r − 8 5 − 3r 1 − r 0 7r − 19
1 − r 0 0 6r − 9
表示透過消去法, (∗) 化簡成
(4 − r)a + (2 − r)b+ (1 − r)c = r − 8 (5 − 3r)a + (1 − r)b+ = 7r − 19
(1 − r)a + = 6r − 9
, (∗∗)
當 r 6= 1 時, 方程組有解, 而當 r 6= 1, r 是有理數時, 方程組有有理數解, 即存在有理數 a, b, c 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列。
解法三: 尋找一個有理係數三次多項函數 f (x), 使得 f (1) = k, f (2) = rk, f (3) = r2k, f (4) = r3k, 其中 k 為非 0 之有理數, r 是不為 1 也不為 0 的有理數。
由拉格朗日 (Lagrange) 插值公式取
g(x) = k(x − 2)(x − 3)(x − 4)
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4) + rk(x − 1)(x − 3)(x − 4) (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4) + r2k(x − 1)(x − 2)(x − 4)
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4) + r3k(x − 1)(x − 2)(x − 3) (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)
= −k
6(x − 2)(x − 3)(x − 4) + rk
2 (x − 1)(x − 3)(x − 4)
− r2k
2 (x − 1)(x − 2)(x − 4) +r3k
6 (x − 1)(x − 2)(x − 3) g(x) 的三次項係數為 k
6(−1 + 3r − 3r2+ r3) = k(r − 1)3 6 6= 0, 故 g(x) 是一個首項係數為 k(r − 1)3
6 的三次有理係數多項式,
令 f (x) = 6
k(r − 1)3g(x), 則 f (x) 是一個首項係數為 1 的三次有理係數多項式,
即 f (x) = x3+ ax2+ bx + c, 其中 a, b, c 是有理數, 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 成一等比 數列 (公比 r 6= 1),
接下來討論問題二。
問題二: 多項式函數 f (x) = x3+ ax2+ bx + c, 其中 a, b, c 均為有理數。 求出有理數 a, b, c 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 依序形成等比數列。
解法一: 解三元一次方程組
(4 − r)a + (2 − r)b + (1 − r)c = r − 8 (9 − 4r)a + (3 − 2r)b + (1 − r)c = 8r − 27 (16 − 9r)a + (4 − 3r)b + (1 − r)c = 27r − 64
, (∗)
透過消去法, (∗) 化簡成
(4 − r)a + (2 − r)b + (1 − r)c = r − 8 (1) (5 − 3r)a + (1 − r)b + = 7r − 19 (2)
(1 − r)a + = 6r − 9 (3)
由 (3) 得 a = 6r − 9
1 − r = −6 − 3 1 − r, 由 (2) 得 b =3r−5
1−r a−19−7r 1−r =
−3− 2 1−r
−6− 3 1−r
−7− 12
1−r= 11+ 9
1−r+ 6 (1−r)2, 由 (1) 得
c = − 4−r
1−ra−2−r
1−rb + r−8 1−r
=
− 1− 3 1−r
− 6− 3 1−r
+
− 1− 1 1−r
11+ 9
1−r + 6 (1−r)2
−1− 7 1−r
= − 6 − 6
1−r − 6
(1−r)2 − 6 (1−r)3.
解法二: 設公比為 r (r 6= 1), f (x) 滿足 f (x + 1) = rf (x), 當 x = 1, 2, 3, 即 f (x + 1) − rf (x) = 0 有 3 根 x = 1, 2, 3,
f (x+1)−rf (x) =(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+c−rx3−rax2−rbx−rc
=(1−r)x3+(a+3−ra)x2+(2a+b+3−rb)x+(a+b+c+1−rc)
∴ f(x + 1) − rf(x) = (1 − r)(x − 1)(x − 2)(x − 3),
即 (1−r)x3+(a+3−ra)x2+(2a+b+3−rb)x+(a+b+c+1−rc) = (1−r)(x3−6x2+11x−6)
∴ (1 − r)a + 3
1 − r = −6 ⇒ a = −6 − 3 1 − r, (1 − r)b + 2a + 3
1 − r = 11 ⇒ b = 11 − 2a + 3 1 − r , (1 − r)c + a + b + 1
1 − r = −6 ⇒ c = −6 − a + b + 1 1 − r ,
∴ a = − 6 − 3 1 − r, b =11 − 1
1 − r h2
− 6 − 3 1 − r
+ 3i
= 11 + 9
1 − r + 6 (1 − r)2, c = − 6 − 1
1 − r
h− 6 − 3 1 − r
+
11 + 9
1 − r + 6
(1 − r)2 + 1i
= − 6 − 6
1 − r − 6
(1 − r)2 − 6 (1 − r)3,
接下來由上一段求得的有理數 a, b, c 與公比 r 的關係, 來看看兩個數字較簡單的例子。
例題一: 當 r = 2, a = −3, b = 8, c = 0 故 f (x) = x3− 3x2 + 8x, f (1) = 6, f (2) = 12, f (3) = 24, f (4) = 48,
故 f (1), f (2), f (3), f (4) 是公比為 2 等比數列
請注意這個例子 a, b, c 是整數, 公比 r = 2 也是整數, 不難推論這是唯一的整數係數三次多項 函數。
例題二: 當 r = −1, a = −15
2 , b = 17, c = −45
4 , f (x) = x3 − 15
2 x2 + 17x − 45 4 , f (1) = −3
4, f (2) = 3
4, f (3) = −3
4, f (4) = 3 4, 故 f (1), f (2), f (3), f (4) 是公比為 −1 等比數列。
結論: 根據以上的討論可做出以下結論:
一、 恰有一個首項係數為 1 的整係數三次多項式 f (x) = x3+ ax2+ bx + c, 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 成等比數列。
二、 對每一個不等於 1 的有理數 r, 存在一個首項係數為 1 的有理數三次多項式 f (x) = x3+ ax2+ bx + c, 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 成等比數列。
三、 對每一個不等於 1 的實數 r, 存在一個首項係數為 1 的實數三次多項式 f (x) = x3 + ax2 + bx + c, 使得 f (1), f (2), f (3), f (4) 成等比數列。
四、 對每一個不等於 1 的實數 (有理數) r, 存在一個首項係數為 1 的實數 (有理數) n 次多 項式
f (x) = n!
(r − 1)n
n+1
X
i=1 n+1
Q
j=1 j6=i
(x − j)
n+1
Q
j=1 j6=i
(i − j) ,
使得 f (1), f (2), . . . , f (n + 1) 成等比數列。
其中結論四可由拉格朗日 (Lagrange) 插值公式求得, 不再贅述。
參考文獻
1. 110 年大學學科能力測驗數學考科試題卷。 台北市。 大學入學考試中心, 2021。
—本文作者為中山女高退休教師—
