正 n 角星的內角和探討
楊惠后
在國中數學課程的 「三角形的基本性質」 這一單元中, 一般都會有關於正五角星 、 正六角 星的內角和求和問題給學生練習, 學生不外乎是利用三角形的內角和定理、 外角定理來求解 (見 圖一 、 圖二), 又因為求出來的正五角星內角和是 180◦、 正六角星內角和是 360◦, 所以學生不 免會好奇其他的正 n角星的內角和會有怎樣的規則性? 我試著從不同的角度來切入問題, 利用
「圓周角的度數是所對的弧度數的一半」 這個性質讓整個問題處理起來非常簡潔清楚, 而且結論 也很漂亮。
圖一 圖二
一、 正 n 角星的內角和探討
這裡所談論的正 n 角星是可內椄於一圓內, 且每一內角的大小都相同。 先以正九角星為例, 將圓周九等分後, 將等分點編號為 1∼9, 令兩頂點之間相隔弧的數目為 d, 且 1 < d < h9
2 i
, 討論: (1) 當 d = 4 時, 按 (1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見 圖三), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 1
9 等分, 所以九個內角總和是周角 (360◦) 的 1 2, 也就是 180◦。 (2) 當 d = 3 時, 按 (1, 4, 7) 、 (2, 5, 8) 、 (3, 6, 9) 的順序將點連接起來, 得 一正九角星 (見圖四), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 3
9 等分, 所以九個內角總和是周角 的 3
2, 也就是 540◦。 (3) 當 d = 2 時, 按 (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8) 的順序將點連接起來, 得
44
一正九角星 (見圖五), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 5
9 等分, 所以九個內角總和是周角 的 5
2, 也就是 900◦。
圖三 圖四 圖五
再以正十角星為例, 將圓周十等分後, 將等分點編號為 1∼10, 令兩頂點之間相隔弧的數目 為 d, 且 1 < d < h10
2
i, 討論: (1) 當 d = 4 時, 按 (1, 5, 9, 3, 7) 、 (2, 6, 10, 4, 8) 的順 序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖六), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 2
10 等分, 所 以十個內角總和恰為周角, 也就是 360◦。 (2) 當 d = 3 時, 按 (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 2, 5, 8) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖七), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 4
10 等分, 所以十個內角總和是周角的 2 倍, 也就是 720◦。 (3) 當 d = 2 時, 按 (1, 3, 5, 7, 9) 、 (2, 4, 6, 8, 10) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖八), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的
6
10 等分, 所以十個內角總和是周角的 3 倍, 也就是 1080◦。
圖六 圖七 圖八
利用這樣的想法, 我們可推知: 因為兩頂點之間相隔弧的數目為 d, 所以正 n 角星的每一個 內角度數為 360◦×n − 2d
n ×1
2, 所以可歸納整理出正 n 角星的內角和公式為 180◦×(n−2d), 其中 1 < d <hn
2
i; 可參考下面的附表 (單位: 度)。
n
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
d
2 180 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800 3 180 360 540 720 900 1080 1260 1440
4 180 360 540 720 900 1080
5 180 360 540 720
6 180 360
二、 延伸相關性的教學活動
(1) 可一筆畫的圖形: 有些資料把正 n 角星 (n 為奇數) 視為正 n 邊形中所有最長的對角線所 形成的圖形, 因此不論 n 的大小如何, 其內角總和都是 180◦; 而且此正 n 角星一定可以一 筆畫完成。 當 n 為偶數時, 就把正 n 角星改為所有次長的對角線所形成的圖形, 其內角總 和就為 360◦; 可是此正 n 角星不一定可以一筆畫完成。 又有些資料把正 n 角星視為將正 n 邊形的每一邊延長所相交成的圖形, 如此其內角總和就為 180◦× (n − 4); 這些正 n 角 星就不一定可以一筆畫完成。 我們也可以觀察發現到: 當 n 、 d 互質時, 此正 n 角星一定 可以一筆畫完成。也由於五角星可以一筆畫完成, 其線條的五個交點被古人認為是可以封閉 惡魔的 「門」, 於是古人將五角星用在天使的封印上, 用來防止惡魔的侵犯。 (見圖九)。
圖九
(2) 軸對稱性: 正 n 角星是軸對稱圖形, 有 n 條對稱軸。
(3) 旋轉不變性: 繞中心點旋轉 360◦
n , 所得的圖形與原圖形重合。
(4) 利用橡皮筋性質 (拓樸的不變性), 公式 180◦× (n − 2d), 其中 1 < d <
hn 2
i 亦可適用於 非正 n 角星的內角求和中。 我利用 GSP 繪圖做實驗性數學, 來佐證這個論點 (見圖十)。
圖十
(5) 五角星的歷史: 五角星 (pentagram) 一詞出於希臘語中的 pentagrammos, 原意大概是
「五條直線的」。 最早對五角星的使用被發現是在美索不達米亞的文獻資料中 (大約公元前 3000 年)。 在巴比倫語的文獻中, 五角星的頂點可能表示定位: 前 、 後 、 左 、 右 、 上; 這些 方向有一個占星學上的涵意, 代表五個星球: 木星 、 水星 、 火星 、 土星和金星。 最有趣的 是由地球望去, 圍著太陽的金星軌道每 8 年重複一次, 它自成的 5 個交叉點恰好畫出一個 近乎完美的五角星。 五角星也是魔術的代表符號, 用正的五角星作魔法陣是白魔法, 用倒的 五角星則是象徵黑魔法。 初期基督教會亦用五角星代表耶穌的五個傷口, 現在則多代表異教 徒和撒旦主義者。 現今世界上許多國家的國旗上有五角星, 如美國 、 越南 、 摩洛哥 · · · 等 (見圖十一)。 據說摩洛哥國旗上的五角星代表神和摩洛哥之間的聯繫。
圖十一
(6) 黃金比例 (golden ratio): 因為正五角星的線條比例藏著漂亮的黃金比例 0.618 (見圖十 二), 相傳古希臘的畢達哥拉斯學派 (school of Pythagoras) 將正五角星視為完美的圖形 並把它當作學派的標記; 又因為它看起來像五個聯繫在一起的大寫英文字母 「A」, 所以又稱
它為 「五芒星」(見圖十三)。
圖十二 圖十三
參考文獻
1. 國中數學第四冊, 康軒文教事業, P.114 、 P.122, 民 96 年。
2. 任景業, 耐人尋味的圖案—五角星, 數學教育第二十一期, 2005 年 12 月。
3. 雷網—世界各國國旗。
4. 五角星—維基百科 (Wikipedia)。
5. 關樹培、 良景信, 數星星 星星數, 香港教育學院數學系。
—本文作者任教台中市曉明女中國中部—
