內角與外角

(1)

內角與外角

^{翰林版(四)3-1}

1 內角與外角

n 內角：三角形的一個頂點與兩邊所夾的角稱為 三角形的內角。

【說明】每個三角形都有三個內角，∠A、∠B、∠C 即為三角形的內角。

n 外角：三角形一邊的延長線和另一邊所形成的 夾角，稱為∠A 的一個外角。

【說明】每個內角都有二個外角，∠1、∠2、

∠3 即為三角形的 一組外角。每一個

內角與其一個外角的和為180 度。

∠1＋∠A＝180°

∠2＋∠B＝180°

∠3＋∠C＝180°

2 外角和定理

n 外角和定理：三角形的一組外角和為 360^o。 【說明】如下圖，我們將三角形ABC 慢慢縮小，

發現所轉的角度∠1、∠2、∠3 合起來 剛好是整整一圈，也就是 ∠1＋∠2＋∠3 =360°。

(2)

【說明】△ABC 中，∠1、∠2、

∠3 分別為∠A、∠B、

∠C 的外角，如果∠1

＝120°，∠2＝130°

因為∠1＋∠2＋∠3＝360°

所以120°＋130°＋∠3＝360°

得 ∠3＝110°

n 內角和定理：三角形的內角和為 180°。 【說明】如圖，三角形ABC 的內角與其外角的和 形成一個平角，所以

∠A＋∠1＝180°

∠B＋∠2＝180°

∠C＋∠3＝180°

∠A＋∠B＋∠C

＝(180°－∠1)＋(180

°－∠2)＋(180°－∠3)

＝(180°＋180°＋180°)－(∠1＋∠2＋

∠3)

＝540°－360°＝180°

可以得到三角形的內角和是 180°

【說明】如右圖，△ABC 為等 腰三角形， AB =AC ，若∠B＝70°

則 ∠A=180-70-70

=40^o

n 外角定理：在三角形中，任一個外角與不共頂 點的兩個內對角和相等，稱為外角定理。

【說明】在△ABC 中，外角∠1 的兩個內對角為

∠B 和∠C。外角∠2 的兩個內對角為∠

A 和∠C，外角∠3 的兩個內對角為∠A 和∠B。

因為 ∠A＋∠B＋∠C＝180°

而且 ∠A＋∠1＝180°

所以 ∠A＋∠1＝∠A＋∠B＋∠C ∠1＝∠B＋∠C

同理 ∠2＝∠A＋∠C ∠3＝∠A＋∠B

(3)

即 三角形任一外角等於兩個內對角的和。

範例講解

Ex1.

(1).如圖是 A、B 兩片木 板放在地面上的情形。圖中∠1、∠2分 別為 A、B 兩木板與

地面的夾角，∠3 是兩片木板間的夾角。

若∠3＝110°，則∠2－∠1＝？

(2).在△ABC中，若∠C 之外角為 140°，且

∠A－∠B＝20°，則 2∠A＋∠B－∠C

＝?

(3).如圖，x＝？

(4).一等腰三角形頂角的度數等於其一底角 度數的三倍，則此頂角是多少度？

Hw1.

(1).如圖，試利用三角形的 內角和定理，求出 x－y

＝？

(2).在△ABC 中，∠C 之外角為 120°，且

∠A－∠B＝20°，則 2∠A＋∠B－∠C

＝？

(3).如圖，△ABC 中，D 點 在_BC上，F 點在直線 AB 上， DF 交AC於 E

點。若∠B＝40°，∠F＝42°，∠DEC

＝43°，則∠C＝？

(4).在△ABC 中，2∠B＝3∠C，又∠A 的外 角為 130°，則∠B 為幾度？

Ans: 70; 180;30; 108° Ans: 23; 130°;55;78

Ex2.

(1).△ABC 中，若∠A＝80°，∠B＋2∠C

＝160°，求∠B、∠C。

(2).如圖， BI 為∠ABC 之 角平分線，CI 為∠ACB 之角平分線，若∠A＝

70°，則∠BIC＝？

(3).如圖，△ABC 中，∠A 的角平分 線與其外角的角平分線分別交直

線 BC 於 D、E 兩點，求∠DAE。

(4).如圖，△ABC 中，

D、E、F 分別在 BC、¯¯ AB、¯AC 上，¯BD

＝¯BE，¯CD＝¯CF，若∠B＝40°，∠C＝

30°，求∠EDF。

Hw2.

(1). 如圖，△ABC 中，AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， BE ⊥ AC，若∠EBC＝25°，

則∠1－∠2＝？

(2).已知∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互餘，

求∠A－∠C。

(3).如圖，求 x=?y=?

(4).如圖，△ABC 中，

∠ABC＝30°，∠

ACB＝50°，且 D、E 兩點分別在

BC、¯¯ AB 上。若 ¯AD 為∠BAC 的平分線，

AD＝¯¯ AE，則∠AED＝？

(4)

(5).如圖，∠A＝15°，

且 ¯AB＝¯BC＝¯CD＝

DE＝¯¯ EF，則∠EFD

＝？

(6).如圖，△ABC 中，

∠1＋∠2＝？

(5).如圖， AD ＝ BD ＝CD，則x＝？

(6).如圖，求 x=?y=?

Ans: ∠B=40°,∠C=60°;125; 90°; 35°; 60;

52

Ans: 15;65;38,57;10;57,91

Ex3.如圖為五角星形

ABCDE，請利用「外角等 於兩個內對角的和」，以含有∠1、∠2 的算式完成下 面的填充。

(1).∠C+∠E=【】 (2).∠B+∠D=【】

(3).∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+(∠C+∠

E)+(∠B+∠D)=∠A+【】+【】=

【 】度。

Hw3.如圖，∠BAC＝60°，∠

B＝30°，∠C＝40°。

請利用「外角等於兩個內對角的和」的性質，將適當的文字或符號填入下面的空格中，求出∠CDB 的 度數。

(1).∠1=∠C+【】 (2).∠2=∠B+【】

(3).∠CDB=∠1+∠2=(∠C+【】)+(∠B+

【 】)=∠C+∠B+(【】+【】)=

【 】度。

Ans: ∠1;∠2;∠1,∠2,180 Ans: ∠3;∠4;∠3,∠4,∠3,∠4,130

Ex4.如圖，∠A＝55°，∠B＝

30°，∠C＝40°，∠D＝

35°，則∠2－∠1＋∠E

＝？

Hw4.如圖，∠A＋∠B＋∠C＋

∠D＋∠E＋∠F＝？

Ans: 25 Ans: 360°

3 n 邊形的內外角和

n n 邊形的內角和：n 邊形的內角和為可分割的 三角形個數的總和。

【說明】如右圖，其中四邊形 ABCD 可分為兩個 三角形，所以內角和為兩個三角形的內角和180^o×2=360^o。

【說明】如右圖，其中正七邊形可

(5)

分為五個三角形，所以內角和為五個三角形的內角和180^o×5=900^o。

n n 邊形的外角和：n 邊形的一組外角和為 360

°。

【說明】如右圖，五邊形ABC DE 中，

∠1=180^o－∠A

∠2=180^o－∠B

∠3=180^o－∠C

∠4=180^o－∠D

∠5=180^o－∠E

所以 ∠1＋ 2∠ ＋∠ ＋3 ∠ ＋4 ∠5

＝(5 個 180°)－(五邊形的內角和)

＝5‧180°－540°＝360°

範例講解

Ex5.

(1).求十四邊形的內角和。

(2).設一個正n邊形其一個外角是40°，求 n。

(3).設一個正n邊形，其一個內角是其一個外 角的4倍，求 n。

Hw5.

(1).求十三邊形的內角和。

(2).設一個正 n 邊形其一個外角是 45°，求 n。

(3).有一正 n 邊形，已知其外角的度數是其內 角度數的8

1，則 n＝？

Ans: 2160°; 9; 10 Ans: 1980°; 8; 18

Ex6.

(1).有一四邊形 PQRS，已知∠P＝x°，∠Q

＝∠R＝5x°，∠S＝4x°，則 x＝？

(2).四邊形 ABCD 中，設∠A＝x°，∠B＝y

°，∠C＝z°，∠D＝t°，若 x、y、z、

t 形成公差為 10 的等差數列，求∠A、∠

B、∠C、∠D。

(3).設一個 n 邊形的內角形成公差為 4 度的 等差數列，若最大角為 162 度，求 n。

Hw6.

(1).四邊形 ABCD 中，若∠A＋∠B＝155

°，∠B＋∠C＝165°，∠C＋∠D＝205

°，則∠A＋∠D＝?

(2).四邊形 ABCD 中，∠A＝120°，設∠B

＝x°，∠C＝y°，∠D＝z°，且 x：y：z

＝1：2：3，求∠B、∠C、∠D。

(3). 若一正 n 邊形的一內角度數與一外角度 數的比為 7：2，則 n 等於多少？

Ans: 24;∠A=75°,∠B=85°,∠C=95°,∠

D=105°; 10

Ans: 195;∠B=40°,∠C=80°,∠D=120°; 9

Ex7.如圖，已知∠1＝55°，

則∠A＋∠B＋∠C＋∠

Hw7.如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6

＋∠7＝?

(6)

D＋∠E 是多少度？

Ans: 415 Ans: 540

Ex8.

(1).如圖，ABCDE 為正五 邊形，¯AC、¯AD 為對角 線，求∠CAD。

(2).如圖，ABCDE 為五邊 形。若∠AED＝130°，

∠EDC＝120°，∠DCB

＝110°，則∠1＋∠2

＝？

(3).如圖，四邊形 ABCD 中，∠B 和∠C 的平分 線交於 P 點，若∠A＝

110°，∠D＝100

°，求∠BPC。

(4).如圖，將正五邊形和 正六邊形的一邊皆緊靠著直線 L，其中 有一角剛好靠在一起，∠1＝?∠2＝?

Hw8.

(1).有一正五邊形如圖，其內部 灰色的部分是一個正三角形，則∠1＝？

(2).如圖的四邊形 ABCD，已 知∠A＝100°，則∠1＋

∠2＋∠3＝？

(3).如圖，∠1＝∠2，∠3

＝∠4，∠B＝98°，

∠A＝86°，∠E＝

140°，則∠CFD＝？

(4).如圖，四邊形 ABCD、

APQR 為兩全等的正 方形，¯CD 與 ¯PQ 相交 於 E 點，若∠BAP＝

20°，則∠PEC＝？

Ans: 36;180;105;84,48 Ans: 12;280;72;70

Ex9.如圖，ABCDE 為正五邊 形，F 為其內部的一點，若

△AFB 為正三角形，則∠

EFC＝？

Hw9.如圖，四邊形 ABCD 是一 個正方形，而△CDE 是一 個等腰三角形，其中 ¯CD＝

¯CE，則∠BED＝？

Ans: 168 Ans: 135

Ex10.如圖，大雄要機器人阿 杜由 P 點面向 E 點的 方向，經 E、A 到 Q 點。走到 E 點時，轉向 A 的方向；走到 A 點

Hw10.小明由 A 地依箭 頭方向騎腳踏車至 C 地，如圖所示，

請問小明共轉了幾度？

(7)

時，再轉向 B 的方向，則兩次最少共轉多少 度？

Ans: 165 Ans: 130