1-1 直角三角形的邊角關係

1-1 直角三角形的邊角關係

1. 設A 為一個銳角﹐ 2

cosA3﹐求sin A和tan A的值﹒

作一直角△ABC﹐使 A 的鄰邊 AC2﹐斜邊AB3﹐如 圖所示﹒

2 2 2 32 22 5

BC  AB AC    ﹐ 故BC 5﹒

得 5

sinA 3 ﹐ 5 tanA 2 ﹒ 2. 求下列各式的值：

(1) sin 45²  tan 30 sin 60  . (2) sin 60 tan 45 tan 60 2 tan 45

  

  ﹒ (1) sin 45²  tan 30 sin 60 

2 2 3 3

2 3 2

 

   

1 1

  12 2  ﹒

(2) sin 60 tan 45 tan 60 2 tan 45

  

  

3 1 2

3 2

 



3 2 2 3 2



 

1

 ﹒ 2

3. 有一直角三角形﹐斜邊長為 1﹐一內角20﹐下列何者等於斜邊上的高長？

(1)sin 20 cos 20  (2)sin 20 (3)² cos 20 (4)² sin 20 tan 20  (5)cos 20 tan 20 ﹒

如圖﹐作三角形ABC﹐使△ABC中﹐  A 90 ﹐BC1﹐ B 20

 ABcos 20﹐

△ ABD 中﹐AD ABsin 20 cos 20 sin 20 ﹐ 故選(1).

4. 設 為銳角且滿足方程式2 cos²3 cos 2﹐求tan ﹒ 2 cos2



3 cos



  2 0



^{2 cos 1 cos}



^{ 2}



⁰

   

cos 1



2

  或 2 （ 2 不合）



60

  ﹒故 tan



 3﹒

5. 如圖﹐△ABC中﹐ADBC﹐已知AB20﹐ sin 3

B ﹐5 12

sinC13﹐求BC﹒

△ ABD 中﹐ 3

sin 20 12 AD AB B  5 ﹐

cos 20 4 16 BD AB B  5 ﹐

△ACD中﹐ACsinC AD

 12 13 12

AC   AC13﹐ cos 5

DCAC C ﹐

所求BDDC16 5 21  ﹒

6. 如 圖 ﹐ BC AC ﹐ ADBD ﹐ 若^sin

 

¹

BDC 3

  ﹐求

tan A.

由^sin

 

¹

BDC 3

  ﹐令BC 1﹐BD3﹐則CD2 2﹒

又ADBD3﹐故tan ¹ 3 2 2 3 2 2

A BC

 AC   

 ﹒

7. 化簡



⁴



^{2 2}2

1 tan cos sin

cos

  

    ﹒



⁴



^{2 2}2

1 tan cos sin

cos

  

  





^{1 tan2}

^ 

^{1 tan2}

^ 

^cos2

^

^tan2

^

   



²



²2 ^{2 2}

1 tan 1 sin cos tan cos

   



 

     

 



^{1 tan2}

^ 

^cos2

^

^sin2

^ 

^tan2

^

   



^{1 tan2}

^ 

^tan2

^

  

 ﹒ 1

8. 求sin 25²  sin 35²  sin 55²  sin 65²  的值﹒

2 2 2 2

sin 25 sin 35 sin 55 sin 65

2 2 2 2

sin 25 sin 35 cos 35 cos 25

       



^{sin 252 cos 252}

 

^{sin 352 cos 352}



       

 1 1 ﹒ 2

9.  為銳角﹐若 5

sin cos

   2 ﹐求sin cos  ﹒ sin cos 5







 2 ^{2 2} 5

sin 2sin cos cos

   

4

   

1 2sin cos 5

 

4

  

sin cos 1

 

8

  ﹒

10. 試證：1 cos 1 cos 4 1 cos 1 cos tan sin

 

   

   

  ﹒

   

  

2 2

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

 

 

   

  

   

   

4cos₂ 1 cos







 ²

4cos sin







cos 1

4 sin sin



 

  

   

  

4 tan sin

 

 ﹒

11.  為銳角﹐sinsin² 1﹐求 1 1 1 sin 1 sin

    ^﹒ 由sin



sin²



   1 0 1 5

sin



 ^{ }2 （負不合）

2

1 1 2

1 sin



^1 sin



^1 sin



2 sin



 （因為sin



sin²



 ） 1 4

1 5

    5 1 ﹒

12. 如圖﹐△ABC中﹐AB AC﹐BC10﹐ 4 sinB ﹒ 5 P 為BC上一點﹐ PD AB﹐PE AC﹒求

PDPE﹒

設BPx﹐則CP10x﹒

△BPD中﹐PDBPsinBxsinB；

△CPE中﹐^{PECPsinC}



^10x



^sinC﹐

因為AB AC﹐所以 4

sin sin

B C ﹒ 5 故 ^{4 4}



¹⁰



^{4 10 8}

5 5 5

PDPE x x    ﹒

1-2 廣義角與極坐標

1. 下列哪些是 93 的同界角？

(1)93 (2)267 (3)357 (4)453 (5)467.

 93 的同界角均可表為



^{  93}



^{360n﹐n為整數﹒}

 

267    93 360﹐

   

453 93 360 1

        ﹐ 故選(2)(4)﹒

2. (1)已知 角的終邊經過點( 2, 2 3 )﹐求 sin , cos , tan   ﹒ (2)已知 角的終邊經過點( , 4x  )﹐且 4

tan 3﹐求sin , cos ﹒

(1)如圖﹐^P



^{2, 2 3}



^{ rOP 22 }



^{2 3}



^{2  ﹐ 4}

2 3 3

sin 4 2

y



 r ^   ﹐ 2 1

cos 4 2

x



   ﹐ r

tan 2 3 3

2 y



 x ^   ﹒

(2) 4 4

tan 3

3 x



^x     ﹐^rOP

   

^{3 2 4 2 5.}

4 4

sin 5 5

y



 r ^   ﹐ 3 3

cos 5 5

x



 r ^   ﹒

3. 設 為第四象限角﹐且 1

sin   ﹐求下列各值： 3

(1)cos . (2) tan  .

 為第四象限角﹐

sin 1



   3 cos 1 sin^{2 8 2 2}

9 3



 



  ﹐

1

sin 3 1 2

tan cos 2 2 2 2 4

3

 



       ﹒

4. 求下列各值：

(1)^{3tan 390 tan 225 2 tan120 2sin 300}



^{ }



^﹒

(2) cos300 1 1 sin120 tan 210

 

  ﹒

(1)^{3tan 390 tan 225 2 tan120 2sin 300}



^{ }



       

3tan 360 30 tan 180 45 2 tan 180 60 2sin 360 60

                

3tan 30 tan 45 2 tan 60 2sin 60

       

3 3

3 1 2 3 2

3 2

       3 1 2 3 3

   

 ﹒ 1

(2) cos300 1 1 sin120 tan 210

 

  

 

   

cos 360 60 1

1 sin 180 60 tan 180 30

  

 

      

cos60 1 1 sin 60 tan 30

  

  

1 2 1

3 1

1 2 3

 



1 3

2 3

 

 ^



^{2 3}



^{ 3  ﹒ 2}

5. 已知    90  0 ﹐ 1

cos  ﹐求3 cos 1 sin 1 sin cos

 

 

 

 的值.

90  0

    ﹐ 1

cos



  3 ² 2 2 sin 1 cos



  



  3 ﹒ 1

cos 3 1 3 2 2

1 sin 2 2 3 2 2

1 3





^{   }

   

  

 

﹐1 sin 1

3 2 2 cos 3 2 2





   

 ﹐

得_{1 sin}^cos

^ _

^{1 sin}_cos

_ ^

^{ }



^{3 2 2}

 

^{ 3 2 2}



^6﹒

6. 根據下列條件﹐判斷為第幾象限角？

(1)sin 0, tan 0﹒ (2)sin cos  0﹒

(1)由sin



0﹐知



屬於第一象限或第二象限﹐或



角的終邊落在 y 軸正 向上﹐又由tan



0﹐知



為第二象限角﹒

(2)sin cos  0表示sin 與cos 同正負符號﹐

即sin



0且cos



0或sin



0且cos



0﹒ 若sin



0且cos



0﹐



角屬於第一象限﹐

若sin



0且cos



0﹐



角屬於第三象限﹐

所以 為第一象限角或第三象限角﹒

7. 設 A﹐B﹐C 為△ABC 的三個內角﹐下列敘述何者正確？

(1)^sin



^AB



^{sinC (2)cos}



^AB



^{ cosC (3)tan}



^AB



^tanC

(4) sin sin

2 2

AB C

  

 

  (5) cos sin

2 2

AB C

  

 

  ﹒

由     A B C 180﹐

(1)^sin



^AB



^{sin 180}



^{ C}



^sinC﹒

(2)^cos



^AB



^{cos 180}



^{ C}



^{ cosC﹒}

(3)^tan



^AB



^{tan 180}



^{ C}



^{ tanC﹒}

(4) 180

sin sin sin 90 cos

2 2 2 2

AB  C C C

       

     

      ﹒

(5) 180

cos cos cos 90 sin

2 2 2 2

AB  C C C

       

     

      ﹒ 故選(1)(2)(5)﹒

8. 化簡^{sin 202}



^{ }



^{sin 702}



^{ }



^{cos 402}



^{ }



^{cos 502}



^{ }



^﹒

原式^{sin 202}



^{ }

^ 

^{cos 902}



^{ }



^{70 }

^  

^{sin 902}



^{ }



^{40 }

^  

^{cos 502}



^{ }

^ 

^{sin 202}



^{ }

^ 

^{cos 202}



^{ }

^ 

^{sin 502}



^{ }

^ 

^{cos 502}



^{ }

^ 

^{ 1 1 ﹒ 2}

9. 已知 12 sin 13﹐且

  2   ﹐求下列各值﹕

(1)tan ﹒ (2)^cos



^{ }



^{﹒ (3)tan}



^{ }



^{﹒ (4)sin 3}

2 

  

 

 ﹒ (1) 由sin²



cos²



 可得1 cos



  1 sin²



﹐

因為

  

2   ﹐即



為第二象限角﹐cos



0﹐ 所以

2

2 12 5

cos 1 sin 1

13 13



  



  ^ ^   ﹐

由商數關係 sin

tan cos

 





﹐得

12 13 12

tan 5 5

13



  

 ﹒

(2) ^cos

 

^{cos 5 5}

13 13

 

  



  ^ ^ ﹒

(3) ^tan

 

^{tan 12 12}

5 5

 

  



  ^ ^ ﹒

(4) 3 5 5

sin cos

2

  

13 13

       

   

    ﹒

10. (1)將直角坐標^P



^{ 1, 3}



^{轉換成極坐標﹒}

(2)將極坐標^Q



^2,150



^{轉換成直角坐標﹒}

(1)直角坐標^P



^{ 1, 3}



^{在第三象限﹐}

因為^r

 

^{1 2 }

 

^{3 2  ﹐且2 cos}

^

^{  ﹐所以1}₂ ^{ 240﹐}

極坐標為^P



^2,240



^﹒

(2) 極坐標^Q



^2,150



^{﹐其直角坐標為}Q



2cos150 ,2sin150  



Q



 3,1



﹒

1-3 正弦定理與餘弦定理

1. 在△ABC中﹐已知a10, 6b ﹐且  C 30 ﹐求△ABC 的面積﹒

利用面積公式 1

2absinC

  ﹐

得△ABC面積 1

10 6 sin 30 15

   2   ﹒

2. 在△ABC中﹐已知



^{b c}

 

^{: ca}

 

^{: a b}



^{11:13:12﹐求}sin : sin : sinA B C﹒ 因為



^{b c}

 

^{: ca}

 

^{: a b}



^{11:13:12﹐}

可設b c 11K……

c a 13K……

a b 12K……

由++得²



^{a b c }



^36K

 a  b c 18K……

將－得a7K﹐

－得b5K﹐

－得c6K﹐ 利用正弦定理

sin sin sin

a b c

A B  C ﹐

得sin : sin : sinA B Ca b c: : 7 : 5 : 6K K K 7 : 5 : 6﹒

3. 在△ABC中﹐已知 A 45﹐  B 15 ﹐BC2 2﹐ 求 AB ﹑AC及△ABC外接圓半徑﹒

（已知 6 2

sin15

4

   ）

180 120

C A B

        ﹒

利用正弦定理 2

sin sin sin

a b c

A B  C  R﹐ 得 2 2

sin 45 sin15 sin120 2

AC AB

   R

   ﹐

即 2 2 2 2 6 2

sin15 6 2

sin 45 2 4

2

AC       

 ﹐

2 2 2 2 3

sin120 2 3

sin 45 2 2

2

AB     

 ﹐

又由 2 2 2 2

2 4

sin 45 2 2

R  

 ﹐得△ABC外接圓半徑R ﹒ 2

4. 在△ABC中﹐已知 AB ﹐7 AC15 ﹐ A 60﹐求出BC的 長度﹒

利用餘弦定理BC² AB²AC²2AB AC cosA﹐ 得BC² 7²15²   2 7 15 cos60

49 225 105 169

    ﹐

即BC13﹒

5. 在△ABC中﹐已知a 19﹐b3﹐c5﹐求A 的角度﹒

利用餘弦定理﹐

得 ^{2 2 2 32 52}

 

^{19 2} 1

cos 2 2 3 5 2

b c a

A bc

   

  

  ﹐

故 A 60﹒

6. 若在△ABC中﹐AM 為BC邊上的中線﹐且已知 AB5﹐

7

AC ﹐BC 8﹐求中線 AM 的長度﹒

依題意﹐如圖所示：

在△ABM 中﹐由餘弦定理

2 2 2

5 4 cos 2 5 4

B  AM

  ……

在△ABC中﹐由餘弦定理

2 2 2

5 8 7 1 cosB 2 5 8  2

  ……

由上述及可得

41 2 1 40 2

AM  ﹐即 AM²21﹐故AM  21﹒

7. △ABC中﹐已知a5﹐b6﹐c7﹐求△ABC的面積﹒

因為 5 6 7 2 9

s    ﹐所以由海龍公式﹐

得  s s



a



s b



s c



 9 9 5 9 6 9 7















 9 4 3 2 6 6    ﹒

8. 四邊形 ABCD內接於一圓﹐若ABC60﹐AB10﹐BC 6﹐CD4﹐ 求 AD ﹒

連接AC﹐且設ADx﹒ 因為ABCD為圓內接四邊形﹐

180 120

ADC ABC

      ﹒

在△ABC中﹐AC² 10²    6² 2 10 6 cos60 76﹐ 在△ACD中﹐AC² 4²x²   2 4 x cos120 76﹐

得x²4x60 0  x6或10（負不合） ﹐故AD6﹒

9. 設△ABC為一直角三角形﹐□BCDE是以BC為一邊向 外作出的正方形﹒若BC 5﹐CA4﹐AB3﹐試求 (1)^cos



^ACD



^{﹒ (2)△ACD的面積﹒}

(1)設 ACB  ﹐



   

³

cos cos 90 sin

ACD

 

5

        ﹒ (2)^sin

 

⁴

ACD 5

  ﹐

1 4

5 4 8

2 5

ACD     （平方單位）﹒

10. 假設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹒兩條筆直的公路交於 丁鎮﹐其中之一通過甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在一比例精準的地 圖上量得兩公路的夾角為45°﹐則丙﹑丁兩鎮間的距離約為

(1) 24.5 (2) 25 (3) 25.5 (4) 26 (5) 26.5 公里﹒

（已知 6 2.4495 ） 【98 學測】

如圖﹐設丙﹑丁間的距離為x公里﹐

於△乙丙丁中﹐

由正弦定理﹕ 20

sin120 sin 45 x 

 

 20 ³

x  2  2=10 624.5﹐

故選(1)﹒

1-4 差角公式

1. 求值﹕

(1)cos 20 cos 25 sin 20  sin 25﹒ (2) cos 200 sin100  cos 280 sin160 ﹒

(1)利用和角公式﹐

得原式 ^{cos 20}



²⁵



^{cos 45 2}

       2 ﹒ (2)原式 cos 20 sin80  cos80 sin 20 



sin80 cos 20 cos80 sin 20



      

 

sin 80 20

     sin 60 3

     2 ﹒

2. 設90   180﹐180   270 ﹐且

5 cos 3﹐

13 cos 12﹐求 (1)^sin



^{ }



^{﹒ (2)cos}



^{ }



^﹒

由平方關係式﹐

得 ^{2 2} 9 16

sin 1 cos 1

25 25



 



   ﹐ ^{2 2} 144 25

sin 1 cos 1

169 169



 



   ﹒

因為

  

2   ﹐ 3 2

 

 



﹐所以 4

sin



 ﹐5 5 sin



 13﹒ 利用和角公式﹐

得sin(

 

 ) sin cos

 

cos sin

 

4 12 3 5

5 13 5 13

     

           

33

 65﹒

 

cos

 

 cos cos

 

sin sin

 

3 12 4 5

5 13 5 13

     

          56

65﹒

3. 設180   270﹐且 3

cos   ﹐求5 ^cos



^{  60}



^的值﹒

利用和角公式﹐

得^cos

 ^

^{  60}



^{cos cos 60}

^

^{ sin sin 60}

^

^

3 1 4 3

5 2 5 2

 

     

              

3 4 3 10

  ﹒

4. 在△ABC中﹐ 3

cosA ﹐5 5

cosB13﹐求cos C的值﹒

因為A  B C 180﹐

所以^{cosCcos 180}



^{ }



^AB

 

 

cos A B

   ^{ }



^{cos cosA Bsin sinA B}



3 5 4 12 5 13 5 13

 

      33

 65﹒

5. 已知tan 2﹐^tan



^{ }



^{3﹐求tan 的值﹒ }

利用正切的和角公式﹐得

 

^{tan tan}

tan 3

1 tan tan

 

   

   

 ﹒

將tan



2代入﹐得 2 tan

1 2 tan 3





 

  2 tan



 3 6 tan



1 tan



7

   ﹒

6. 設  225﹐求



1 tan 



1 tan 



的值﹒

因為

 

 225﹐所以^tan

 ^{ }

^



^{tan 225﹒}

利用正切的和角公式﹐得 tan tan 1 tan tan 1

 

 

 

  tan



tan



 1 tan tan

 

﹒ 故



^{1 tan}

^ 

^{1 tan}

^ 

^{ 1 tan}

^

^tan

^

^{tan tan}

^{ }

 

1 1 tan tan

 

tan tan

 

     ﹒ 2

7. 已知270   360且 3

cos  ﹐求5 sin2﹐tan2 及 cos2

的值﹒

因為270   360﹐ 3

cos



 ﹐ 所以5 4

sin



  ﹐5 4 tan



  ﹒ 3

(1) 4 3 24

sin 2 2sin cos 2

5 5 25





 

  ^ ^   ﹒

(2) _{2 2}

2 4

2 tan 3 24

tan 2

1 tan 4 7

1 3

 



 

  

  

   

﹒

(3)因為135 180 2

  



 ﹐所以 cos 0 2



_{ ﹒}

利用半角公式﹐得cos ^{1 cos}

2 2

  

 

1 3 5 2

   2

  5 2 5

  5 ﹒

8. 已知 1

sin cos

    ﹐求下列各式的值： 3 (1)sin 2 ﹒ (2)cos 4 ﹒

(1)因為^{sin cos 1}



^{sin cos}



^{2 1}

3 9







 









1

1 2sin cos

 

9

   1

1 sin 2



9

   ﹐ 所以 8

sin 2



 ﹒ 9 (2)利用二倍角公式﹐得cos 4



 1 2sin 2²



8 2

1 2 9

     

47

 81﹒ 9. 設等腰三角形的底角為 ﹐頂角為﹐且 5

sin 13﹐求cos 的值﹒

 

cos cos 180 2 cos 2

 



^{1 2sin2}

^ 

   5 2

1 2 13

 

     

119

 169﹒

10. 設sin 為方程式4x²  x4 30的一根﹐求cos2 的值﹒

解方程式4x²4x 3 0 ^



^{2x1 2}



^x3



^{0 1}

x 2

  或 3

 ﹒ 2 因為 1 sin 1﹐所以 1

sin



 ﹒ 2

利用二倍角公式﹐得cos 2



 1 2sin²



1 2

1 2 2

      1

 ﹒ 2 11. 求sin 33 cos33

sin11 cos11

 

  的值﹒

利用三倍角公式﹐

得原式

3 3

3sin11 4sin 11 4cos 11 3cos11

sin11 cos11

     

 

 



^{3 4sin 112}

 

^{4cos 112 3}



     



^{2 2}



6 4 sin 11 cos 11

    

 6 4 ﹒ 2

12. 如圖﹐在△ABC中﹐B90且CAB之平分線交 BC於 D ﹐ BD

CD3 ﹐求

(1)^cos



^CAB



的值﹒ (2)^cos



^DAB



^的值﹒

(1)因為 AD 平分CAB﹐AB AC: BD CD: 1: 3﹐

 

¹

cos 3

CAB AB

  AC  ﹒