三角形內角和等於

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三角形內角和等於 ¹⁸⁰ ^◦ 與畢氏定理

文 : _{張海潮、王彩蓮} _整理 : _葉德財

「三角形內角和等於 180

^◦

」這個大家應該都知道。我記得初中的時候, 學校教到平面幾何的單元, 當時課本裡有一個實驗: 將一個三角形的三個角剪下來, 並把它們拼起來, 看看是不是剛好成為 180

^◦

的平角。那時, 我讀三年級, 恰好有一個鄰居, 他已經考上高中, 於是跟他要初三的課本, 這樣就不需要再花錢買課本。我在課本中發現他剪下的三個內角, 他真的剪了! 很多人知道三角形內角和等於 180

^◦

, 可是並沒有真的剪下來拼湊過。

「畢氏定理」和「三角形內角和等於 180

^◦

」有什麼關係呢? 國中數學課本上, 關於「畢氏定理」的證明是這樣的: 將四個全等的直角三角形拼起來成為一個大正方形 (如圖 1)。

... .

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... .

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. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. .. . .. . ...

A

E

B

H

F

D

G

C 圖 1

如此中間會形成一個正方形, 那麼, 四個直角三角形與中間正方形的面積和會等於大正方形的面積, 利用這個關係, 整理一下, 就可得到「畢氏定理」。在這個證明過程中「三角形內角和等於 180

^◦

」的事實已經被悄悄地引用了, 為什麼呢? 因為「中間會形成一個正方形」這件事是利用「三角形內角和等於 180

^◦

」的事實推得。從這個地方看來, 「三角形內角和等於 180

^◦

」比

「畢氏定理」還要基本。

其實, 若從「畢氏定理」出發也可以得到「三角形內角和等於 180

^◦

」。一般而言, 處理幾何的基本工具就是「畢氏定理」和它的逆定理, 即滿足一邊的平方等於另二邊的平方和的三角形

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三角形內角和等於

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與畢氏定理

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為直角三角形。現在我們給出這個推導過程, 如果有一個三角形, 而且我們知道「畢氏定理」對任何直角三角形都成立, 我們想要說明的是「三角形內角和等於 180

^◦

」。若要證明這件事, 起碼我們要能說明對於直角三角形是對的。觀察 (如圖 2) 的直角三角形 P QR。

a b

h y

x c/2 圖 2

作 P H 為斜邊上的高, M 為 QR 的中點, 且令 P Q = a、 P R = b 、 QR = c 、 P H = h 、 P M = y 和 MH = x。我們希望能夠證明 y = c/2, 因為如果 y =

^c ₂

, 則

△MP Q 與 △MP R 皆為等腰三角形, 所以

∠

Q +

∠

R =

∠

MP Q +

∠

MP R = 90

^◦

於是得到 △P QR 三內角和等於180

^◦

。

因為 △HP Q 與 △HP R 都是直角三角形, 所以有 a

²

= h

²

+ (c/2 − x)

²

b

²

= h

²

+ (c/2 + x)

²

此二式相加得

a

²

+ b

²

= 2h

²

+ 2x

²

+ c

²

/2 又因為 △P QR 是直角三角形, a

²

+ b

²

= c

²

, 所以

(c/2)

²

= h

²

+ x

²

又 △HMP 也是直角三角形, 因此

(c/2)

²

= y

²

就得到 y = c/2 的結果。

對於任何一個三角形, 可以剖成兩個直角三角形來看, 利用剛剛證明的性質, 很容易就可說明「三角形內角和等於 180

^◦

」。

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數學傳播

²⁷

卷

²

期民

⁹²

年

⁶

月

以上的證明僅連續引用幾次畢氏定理及等腰三角形兩底角相等 (可由 SAS 直接推出) 的論證完成。這說明了「畢氏定理」的基本性, 它其實可以說是談論幾何最重要的一個定理。

至於說為什麼我們會想到這個問題? 一個是描述三角形的內角和, 一個是說明直角三角形的邊長關係, 這兩者看起來似乎毫不相關。事實上平面幾何之所以為平面幾何, 是因為「三角形內角和等於 180

^◦

」, 也是因為「畢氏定理」成立, 所以這兩者非要有關連不可。不太可能在這兩者之外有一更基礎的東西, 實際上這兩者是一樣的重要。也就是說「三角形內角和等於180

^◦

」和

「畢氏定理」成立都是平面幾何的特徵, 是同一回事。

在應用上, 「畢氏定理」比「三角形內角和等於 180

^◦

」更加有用, 因為「畢氏定理」是線段量化的代數式, 較常使用。因此, 很多幾何的現象應該要常常回到「畢氏定理」來討論, 如果一個定理可以用「畢氏定理」證明, 就不要用其他定理了。也就是說, 盡量去尋找直角的關係或投影的關係, 再利用內積、兩點間的距離 · · · 等來處理幾何的問題, 這樣是比較基本的。

這是八十九年五月張海潮在師大附中對數學老師們的演講, 證明是王彩蓮提供的。她現任中山大學的助理教授, 文章是當時碩士班研究生葉德財整理的。非常感謝他們的幫忙。

—本文作者張海潮為台灣大學數學系退休教授, 王彩蓮任教中山大學—

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