6-2-3多項式函數的微積分-積分的意義
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(2) 2.. 圓､橢圓或其他可以圍出有界區域的曲線﹐也同樣具有一定的面積﹒以拋物 線 f ( x) = − x 2 + 5 為例﹐以 x = 0 ﹐ x = 2 及 x 軸為界所圍成的區域 R﹐如圖(a)﹐ 雖然目前所學並無直接求區域 R 面積的方法﹐但可以透過內接多邊形或外 接多邊形來估計其面積的近似值﹒. 利用等間距的四條鉛直線 x =. 2 4 6 8 ﹐ x = ﹐ x = ﹐ x = ﹐可將區域 R 分割成 5 5 5 5. 2 5. 寬度都是 的五個區域；圖(b)是由五個內接矩形所組成的多邊形﹐圖(c)是 由五個外接矩形所組成的多邊形﹐它們的面積分別是 5. 2k. 2. 5. 2k. 2 81 2 162 = ⋅ = = 6.48 ﹐ 5 5 5 25 k =1 2k − 2 2 5 2k − 2 2 2 101 2 202 f( ) ⋅ = ∑ [ −( ) + 5] ⋅ = ⋅ = = 8.08 ﹒ 5 5 k =1 5 5 5 5 25. ∑ f ( 5 ) ⋅ 5 = ∑ [ −( 5 ) k =1 5. ∑ k =1. 2. + 5] ⋅. 由於區域 R 包含了圖(b)的內接多邊形﹐又包含在圖(c)的外接多邊形內﹐我 們可以得到區域 R 的面積範圍： 6.48 < A( R) < 8.08 ﹒. 22.
(3) 3.. 積分問題的起源就是求面積的問題﹐如果仿照圖﹐將區間[0﹐2]分成 n 等分﹐ 2 n. 每一分割矩形的寬度都是 ﹐則可以得到以下一般的結果： n. 2k 2 n 2k 2 ) ⋅ = ∑ [ −( ) 2 + 5] ⋅ ﹒ n n k =1 n n k =1 n n 2k − 2 2 2k − 2 2 2 ) ⋅ = ∑ [ −( ) + 5] ⋅ ﹒ (2)n 個外接矩形的面積和 U n = ∑ f ( n n k =1 n n k =1 (3) Ln < A( R) < U n 對每一個正整數 n 都成立﹒ 利用計算器﹐我們可以得出一些 Ln （下和）與 U n （上和）的近似值﹐如下. (1)n 個內接矩形的面積和 Ln = ∑ f (. 表所示：. n 10 等分 100 等分 1000 等分 10000 等分. Ln. Un. 173 = 6.92 25 18233 = 7.2932 2500 1832333 = 7.3293L 250000 183323333 = 7.3329L 25000000. 193 = 7.72 25 18433 = 7.3732 2500 1834333 = 7.3373… 250000 183343333 = 25000000. 7.3337… 由上表可知： 7.3329 < A( R) < 7.3337 ﹐因此﹐區域 R 的面積 A( R) ≈ 7.33 ﹒. 23.
(4) 【討論】 1. 定積分的意義： 在前面的例子中﹐極限 lim Ln 及 lim U n 都是存在的﹐其極限值可以計算如下： n →∞. n →∞. n. 2k 2 8 n Ln = ∑ [−( ) 2 + 5] ⋅ = − 3 ∑ k 2 + 10 ﹐ n n n k =1 k =1 8 n(n + 1)(2n + 1) −8n3 − 12n 2 − 4n =− 3 ⋅ + 10 = + 10 ﹐ n 6 3n3 n 2k − 2 2 2 8 n U n = ∑ [ −( ) + 5] ⋅ = − 3 ∑ (k − 1) 2 + 10 n n n k =1 k =1 8 (n − 1)n(2n − 1) −8n3 + 12n 2 − 4n =− 3 ⋅ + 10 = + 10 ﹐ n 6 3n3 8 22 8 22 由此可得 lim Ln = − + 10 = ﹐ lim U n = − + 10 = ﹒ →∞ n →∞ n 3 3 3 3 又 Ln < A( R ) < U n 對每一個正整數 n 都成立﹐利用夾擠關係﹐我們可以確定區 22 22 域 R 的面積 A( R ) = ﹒以數學術語來說﹐此一共同的極限 就是函數 3 3 2 22 f ( x) = − x 2 + 5 在區間[0﹐2]的定積分﹐可以表成 ∫ f ( x)dx = ﹒ 0 3. 2.. 一般而言﹐給定實函數 f：[a﹐b]→ ﹐我們可將區間[a﹐b]分割成 n 等分的 k n 若 f 在第 k 等分區間內分別有最小值 mk 及最大值 M k ﹐並定義下和 Ln 及上和 b−a b−a U n 分別為 Ln = (m1 + m2 + L + mn ) ﹐ U n = (M1 + M 2 + L + M n ) ﹐ n n 則當 lim Ln = lim U n = s 時﹐我們稱函數 f 在區間[a﹐b]上可積分﹐而這個共同. 區間：[ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], L, [ xn −1 , xn ] ﹐其中 xk = a + (b − a)（k = 0, 1, 2, L , n）﹒. n →∞. n →∞. b. 的極限 s 就稱為函數 f 從 a 到 b 的定積分﹐以符號 ∫ a f ( x)dx 表示﹒ b. 在積分符號 ∫ f ( x)dx 中﹐f 稱為被積分函數﹐x 為積分的變數﹐而 a 與 b 分 a. 別稱為積分的下限與上限﹒積分記號 ∫ 是拉長的英文字母 S﹐代表「和」的 意思﹐符號 ∫ 和 dx 都是德國數學家萊布尼玆在公元 1675 年首先使用的﹒. 24.
(5) 3.. 當函數 f 的值都是非負時﹐如圖(a)﹐我們可以先將區間[a﹐b]分割成 n 等分﹐ k n. 分割點為 x0 ﹐ x1 ﹐ x2 ﹐…﹐ xn ﹐其中 xk = a + (b − a) （ k = 0 ﹐1﹐2﹐…﹐n）﹒ 於是﹐以曲線 y = f ( x) 與鉛直線 x = a ﹐ x = b 及 x 軸為界所圍成的區域 R 就可 以分割成互不重疊的 n 個長條區域 R1 ﹐ R2 ﹐…﹐ Rn ﹐如圖(b)所示：. 其次﹐若函數 f 在每一個小區間 [ xk −1 , xk ] 中都有最大值與最小值﹐令 M k 及 mk 分別為 f 在區間[ xk −1 ﹐ xk ]中的最大值及最小值﹐則細長條區域 Rk 就夾在內 接矩形 I k 與外接矩形 Ek 之間﹐如圖所示：. 其中內接矩形 I k 與外接矩形 Ek 的寬度都是. b−a ﹐而高分別為 mk 與 M k ﹐因 n. b−a b−a , A( Ek ) = M k ⋅ ﹒ n n 由於 A( I k ) ≤ A( Rk ) ≤ A( Ek ) ﹐ b−a b−a （k = 1, 2, 3, L , n ）﹒ ≤ A( Rk ) ≤ M k ⋅ 可推得 mk ⋅ n n n n b−a n b−a ≤ ∑ A( Rk ) ≤ ∑ M k ⋅ 因此﹐ ∑ mk ⋅ ﹐亦即 Ln ≤ A( R ) ≤ U n ﹒ n n k =1 k =1 k =1 而當 f 在區間[a﹐b]上連續時﹐極限 lim Ln 與 lim U n 都存在且相等﹒. 此﹐ A( I k ) = mk ⋅. n →∞. 25. n →∞.
(6) 【定理】 1. 可積分與連續的關係： 若 f：[a, b] → 是連續函數﹐則 f 在區間[a﹐b]上可積分﹒ 註： 本書所要探討的積分問題﹐都將侷限在實數值的連續函數上﹐特別是實係數 多項式函數﹒因此﹐當被積分函數 f 是非負實數值的連續函數時﹐從定積分 b. 的意義﹐ ∫ a f ( x)dx 就是由曲線 y = f ( x) 與鉛直線 x = a ﹐ x = b 及 x 軸所圍成區. 2.. 域的面積﹒ 曲線下的面積： 若 f : [a, b] → R 是一非負實數值的連續函數﹐則由曲線 y = f ( x) 與鉛直線 b. x = a ﹐ x = b 及 x 軸為界所圍成區域 R 的面積 A( R ) = ∫ f ( x)dx ﹒ a. 【討論】 1. 我們各別計算出 lim Ln 和 lim U n ﹐但實際操作上只需要求得其中一個極限即 n →∞. n →∞. 可﹐這是因為連續函數 f : [a, b] → R 都可積分﹐兩極限 lim Ln 與 lim U n 既存在 n →∞. n →∞. b. 且相等﹒因此﹐在計算定積分 ∫ f ( x)dx 時﹐我們只要能求出 lim Ln 或 lim U n ﹐ n →∞. a. n →∞. b. 即可知道定積分 ∫ a f ( x)dx 的值﹒. 2.. 前面介紹的幾個定積分的例子﹐都可藉由計算 lim Ln （或 lim U n ）而得﹐但在 n →∞. n →∞. 技術上必須先找出每一等分分割區間[ xk −1 ﹐ xk ]內的最小值 mk （或最大值 Mk ） ﹐通常這不是一件容易的事情﹒事實上﹐對於連續函數 f : [a, b] → R ﹐ 及區間[a﹐b]的 n 等分分割﹐分割點為 x0 ﹐ x1 ﹐ x2 ﹐…﹐ xn ﹐我們可以任取 ck ∈ [ xk −1 , xk ] ﹐則 mk ≤ f (ck ) ≤ M k（k = 1, 2, 3, L, n ）﹐由此可推得 b b−a n f (ck ) ≤ U n ﹒再利用 lim Ln = lim U n = ∫ f ( x)dx 及夾擠定理﹐可以得 ∑ a n →∞ n →∞ n k =1 n b b−a 到 ∫ a f ( x)dx = lim ∑ f (ck ) ﹒ n →∞ n k =1. Ln ≤. 3.. b. 定積分 ∫ f ( x)dx 的上限 b 通常大於下限 a﹐但 a = b 時﹐我們規定其積分值為 a. a. b. a. 0﹐即 ∫ a f ( x)dx = 0 ﹐而當 a > b 時﹐規定 ∫ a f ( x) dx = − ∫ b f ( x)dx ﹒此外﹐積分變 b. 數 x 可以是其他符號﹐例如： ∫ f ( x) dx, a. 定積分﹒. 26. ∫. b a. f ( y )dy,. ∫. b a. f (t ) dt ﹐都表示同一個.
(7) 【討論】 1. 微積分基本定理 在前面一個單元中﹐我們透過上下和的極限可計算出一些連續函數的定積 分﹐但操作上會顯得相當繁雜﹒求連續函數的定積分有很多種方法﹐微積分 基本定理可以說是最簡易的方法之一﹒以非負的連續函數 f : [a, b] → R 為 t. 例﹐當 a ≤ t ≤ b 時﹐f 在區間[a﹐t]也是連續的﹐因此﹐定積分 ∫ a f ( x)dx 可以 表示一個區域面積﹐如圖 2-23(a)所示﹒若把 t 看成一個變數﹐則定積分. ∫. t a. f ( x)dx 可視為一個函數﹐稱為面積函數﹐以 A(t)表示﹐而 f 稱為高度函數﹐ t. 即 A(t ) = ∫ a f ( x)dx ﹐其中 a ≤ t ≤ b ﹒. 當 ∆t 夠小時﹐A' (t ) 近似於. t +∆t A(t + ∆t ) − A(t ) ﹐而 A(t + ∆t ) − A(t ) = ∫ f ( x)dx 近似 t ∆t. 於 f (t )∆t（從 t 到 t + ∆t 區域內的函數 f 近似於常數函數）﹐如圖 2-23(b)所示； t. 直觀看來﹐就有 A' (t ) = f (t ) ﹒若將函數 f 以 A ' 代換﹐則 ∫ A' ( x)dx = A(t ) − A(a) ﹐ a. 這就是微積分基本定理的內涵﹒ 微積分基本定理主要是用於計算定積分的值﹐它是把定積分的問題轉化成微 分的逆問題﹐此定理最早是由牛頓在劍橋大學的數學老師巴洛（Barrow﹐1630 ～1677）所發現的﹒. 27.
(8) 【定理】 1. 微積分基本定理： 設 f : [a, b] → R 是一連續函數﹐若有一個區間[a﹐b]上的連續函數 F 在區間 (a﹐b)上可微分﹐且對任意 x ∈ (a, b), F' ( x) = f ( x) 都成立﹐則. ∫. b a. f ( x) dx = F (b) − F (a ) ﹒. 證明：將區間[a﹐b]分割成 n 等分的區間： k n. [ x0 ﹐ x1 ]﹐[ x1 ﹐ x2 ]﹐…﹐[ xn −1 ﹐ xn ]﹐其中 xk = a + (b − a) ﹒ （ k = 0 ﹐1﹐2﹐…﹐n） 對 F 利用均值定理﹐可得到 ck ∈ ( xk −1 , xk ) 使得 F ( xk ) − F ( xk −1 ) n = ( F ( xk ) − F ( xk −1 )), k = 1, 2, L , n ﹒ xk − xk −1 b−a n n b−a b−a n 於是﹐ F (b) − F (a) = ∑ ( F ( xk ) − F ( xk −1 )) = ∑ F' (ck ) = ∑ f (ck ) ﹒ n n k =1 k =1 k =1 b b−a n 又 f 是連續函數﹐故 ∫ f ( x) dx = lim ∑ f (ck ) = F (b) − F (a) ﹒ a n →∞ n k =1 F' (ck ) =. 【定義】 1. 反導函數： 如果我們以符號 F ( x) | ba 表示 F (b) − F (a) ﹐則微積分基本定理中的定積分可以 b. 改寫成 ∫ f ( x)dx = F ( x) | ba ﹒在微積分基本定理中﹐函數 f 是 F 在區間(a﹐b) a. 中的導函數﹐我們也稱 F 是 f 的一個反導函數﹒例如：高度函數 f 是面積函 數 A 的導函數﹐而面積函數 A 是高度函數 f 的一個反導函數﹒又如：x 是 1 1 2. 1 3. 的一個反導函數﹐ x 2 是 x 的一個反導函數﹐ x3 是 x 2 的一個反導函數﹒一 般而言﹐函數 F ( x) =. 1 n +1 x （n ≥ 0）是 f ( x) = x n 的一個反導函數﹒ n +1. 例如：高度函數是面積函數的導函數﹐而面積函數是高度函數的一個反導函 數；速度函數是位移函數的導函數﹐而位移函數是速度函數的反導函數﹒ 【定理】 1. 單項式函數 x n 的定積分：. ∫. b a. x n dx =. b x n +1 b b n +1 a n +1 b n +1 | a= − ；特別地﹐當 a = 0 時﹐ ∫ 0 x n dx = ﹒ n +1 n +1 n +1 n +1. 【討論】 1. 一個函數的反導函數不是唯一的﹐例如：若 F 是 f 的一個反導函數﹐則對任 意的常數 C﹐F ( x) + C 也是 f 的反導函數﹐而且也可以證明 f 的每一個反導函 數都可以寫成 F ( x) + C 的形式！. 28.
(9) 【定理】 1. 反導函數的特徵： 設 F 與 G 都是區間[a﹐b]上的連續函數﹐若對任意 x ∈ (a, b), F' ( x) = G' ( x) 都 成立﹐則存在常數 C 使得 G ( x) = F ( x) + C ﹒ 證明：定義函數 f ( x) = G ( x) − F ( x) ﹐則 f 是區間[a﹐b]上的連續函數﹐且當 x ∈ ( a, b) 時﹐ f ' ( x) = G' ( x) − F' ( x) = 0 ﹒對任意 x ∈ ( a, b] ﹐利用均值定理得知： f ( x) − f (a) ﹒又導數 f ' ( x0 ) = 0 ﹐可推得 x−a f ( x) − f (a ) = 0 ﹐即 f ( x) = f (a) 為常數函數﹐於是﹐G ( x) − F ( x) = f (a) 恆成立﹒ 令常數 C = f (a) ﹐則可得到 G ( x) = F ( x) + C ﹒. 有某一 x0 ∈ (a, x) 滿足 f ' ( x0 ) =. 【討論】 1. 雖然反導函數不是唯一的﹐但不管採用哪一個反導函數都不會影響定積分的 值﹐因為當 F 與 G 都是連續函數 f 的反導函數時﹐由反導函數特徵﹐存在 常數 C 使得 G ( x) = F ( x) + C ﹐則. ∫ 2.. b a. f ( x) dx = F (b) − F ( a ) = (G (b) − C ) − (G (a ) − C ) = G (b) − G ( a ) ﹒. 在運動學上﹐若 f ( x) 表示質點在時刻 x 時的位移函數﹐則一階導函數 f ' ( x) = v( x) 表示質點的速度函數﹐而二階導函數 f '' ( x) = v' ( x) = a( x) 表示質點 的加速度函數﹒反過來﹐如果知道質點的速度函數 v﹐是否可以得到它的位 t. 移函數呢？對 t ≥ 0 ﹐定積分 ∫ 0 v( x)dx 表示質點由時刻 0 到 t 的移動距離﹐若 t. 把 t 看成一個變數﹐則定積分 ∫ 0 v( x)dx 可視為一個函數﹐稱為距離函數（即 質點由位置 f (0) 移至 f (t ) 的距離）﹐以 S (t ) 表示﹐即 t. S (t ) = f (t )－f (0) = ∫ v( x)dx ﹐其中 t ≥ 0 ﹒ 0. 當 ∆t 夠小時﹐ S' (t ) 近似於. t +∆t S (t + ∆t ) − S (t ) ﹐而 S (t + ∆t ) − S (t ) = ∫ v( x)dx 近似 t ∆t. 於 v(t )∆t （從時刻 t 到 t + ∆t 時段內的速度函數 v 近似於常數函數）﹒由此可 以直觀的看出 S' (t ) = v(t ) ；換言之﹐速度函數 v 是距離函數 S 的導函數﹐而 距離函數 S 與位移函數 f ( x) = S ( x) + f (0) 都是速度函數 v 的反導函數﹒. 29.
(10) 【性質】 1. 定積分基本運算性質： 若 f : [a, b] → R 都是連續函數﹐ l 為常數﹐則 b. (1) ∫ a ldx = l(b − a ) ﹒ b. b. b. (2) ∫ a ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ a f ( x)dx + ∫ a g ( x)dx ﹒ b. b. a. b. (3) ∫ a lf ( x)dx = l ∫ a f ( x)dx ﹒ (4) ∫ b f ( x)dx = − ∫ a f ( x)dx ﹒ a. (5) ∫ a f ( x)dx = 0 ﹒ 證明：對區間[a﹐b]的 n 等分分割（分割點為 x0 , x1 , x2 , L, xn ）﹐任取 ck ∈ [ xk −1 , xk ] ﹐則 b−a n b−a l = lim( ⋅ ln) = l(b − a ) ﹒ ∑ n →∞ n →∞ n k =1 n b b−a n (2) ∫ a ( f ( x) + g ( x))dx = lim( ∑ ( f (ck ) + g (ck ))) n →∞ n k =1 b b b−a n b−a n f ( c )) lim( g (ck )) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ﹒ = lim( + ∑ ∑ k a a n →∞ n →∞ n k =1 n k =1 n n b b b−a b−a (lf (ck ))) = l lim( f (ck )) = l ∫ f ( x)dx ﹒ (3) ∫ a lf ( x)dx = lim( ∑ ∑ a →∞ n →∞ n n k =1 n k =1 b. (1) ∫ a ldx = lim. 2.. 定積分的線性性質： 若 f1 , f 2 ,L, f k : [a, b] → R 都是連續函數﹐ c1 , c2 , L, ck 為常數﹐則. ∫ 3.. b a. b. b. b. a. a. a. (c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x) + L + ck f k ( x))dx = c1 ∫ f1 ( x)dx + c2 ∫ f 2 ( x) dx + L + ck ∫ f k ( x)dx ﹒. 1 k +1 x （k ≥ 0）是 f ( x) = x k 的一個反導函數﹐而得到定積分 k +1 k +1 b b a k +1 k = − ﹒因此﹐利用定積分的線性性質﹐可推導出 x dx ∫a k +1 k +1. 函數 F ( x) =. ∫ =. b a. b. b. b. b. a. a. a. a. (cn x n + cn −1 x n −1 + L + c1 x + c0 )dx = cn ∫ x n dx + cn −1 ∫ x n −1dx + L + c1 ∫ xdx + c0 ∫ 1dx. cn n +1 b cn −1 n b c c c c x | a+ x | a + L + 1 x 2 | ba + c0 x | ba = ( n x n +1 + n −1 x n + L + 1 x 2 + c0 x) | ba n +1 n 2 n +1 n 2. ﹐上面的式子也可以寫成 cn c c (b n +1 − a n +1 ) + n −1 (b n − a n ) + L + 1 (b 2 − a 2 ) + c0 (b − a ) ﹒ 2 n +1 n. 4.. 多項式函數的定積分： 若 f ( x) = cn x n + cn −1 x n −1 + L + c1 x + c0 是一實係數多項式函數﹐則 f 在任一區間 b. [a, b] 中都可積分﹐且 ∫ f ( x) dx = ( a. 5.. cn n +1 cn −1 n c x + x + L + 1 x 2 + c0 x) | ba ﹒ 2 n +1 n. 分段積分性質： b. c. b. 若 f : [a, b] → R 是一連續函數﹐且 a < c < b ﹐則 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ﹒ a a c. 30.
(11) 【意義】 1. 上面的性質﹐在 f ( x) ≥ 0 的條件下﹐其幾何 c. 意義是很明確的﹐如圖﹐ ∫ a f ( x)dx 與. ∫. b c. f ( x)dx 分別表示區域 R1 與 R2 的面積﹐其. 和恰為 f 的圖形與鉛直線 x = a ﹐ x = b 及 x 軸為界所圍成區域 R 的面積﹐即. ∫. b a. f ( x) dx = A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) c. b. a. c. = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ﹒. 同樣地﹐若 a < c < d < b ﹐ b. c. d. b. 則 ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx ﹒ a a c d c. 如圖中﹐函數 f 在區間[a﹐c]及[d﹐b]中的值都是非負﹐因此﹐定積分 ∫ f ( x)dx a. b. 與 ∫ d f ( x)dx 分別為區域 R1 及 R3 的面積﹒而當 x ∈ [c, d ] 時﹐ f ( x) ≤ 0 ；此時﹐ 函數 − f 在[c﹐d]中的值都是非負﹐且圖形與 f 的圖形對稱於 x 軸﹐因此﹐區域 R2 的面積 A( R2 ) 可以化成： d. d. c. c. A( R2 ) = ∫ (− f ( x))dx = − ∫ f ( x)dx ﹒ d. 即 ∫ f ( x) dx = − A( R2 ) ﹒ c. 於是﹐可得. ∫. b a. c. d. b. a. c. d. f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx = A( R1 ) − A( R2 ) + A( R3 ). ﹒ b. 上面的討論指出了定積分與面積的真正關係：「定積分 ∫ a f ( x)dx 之值就是函 數 f 的圖形與鉛直線 x = a ﹐x = b 及 x 軸為界所圍成的區域中﹐在 x 軸上方的 區域面積和減去 x 軸下方的區域面積和」﹒ 註： b. b. f 的定積分 ∫ a f ( x)dx 與其絕對值函數的定積分 ∫ a | f ( x)dx | 不一定相等﹒ 2.. 曲線與 x 軸所圍區域的面積： 若 f : [a, b] → R 是一連續函數﹐則曲線 y = f ( x) 與鉛直線 x = a ﹐ x = b 及 x 軸 b. 為界所圍成區域的面積為 ∫ a | f ( x) | dx ﹒. 31.
(12) 【討論】 1. 一個函數的反導函數不是唯一的﹐當 F 是 f 的一個反導函數﹐則對任意的常 數 C﹐F ( x) + C 也都是 f 的反導函數；而且我們也證明了 f 的每一個反導函數 都可以寫成 F ( x) + C 的形式﹒若將 f 的所有反導函數記為 ∫ f ( x)dx ﹐則有. ∫ f ( x)dx = F ( x) + C （C 為任意常數）﹒此符號 ∫ f ( x)dx 稱為 f 的不定積分﹒例 1 2. 1 3. 如： ∫ 1dx = x + C ﹐ ∫ xdx = x 2 + C ﹐ ∫ x 2 dx = x3 + C ﹒一般而言﹐我們有 1. ∫ x dx = n + 1 x n. 2.. n +1. + C （ n ≥ 0 ﹐C 為任意常數） ﹒. 多項式函數的不定積分： 若 f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + L + a1 x + a0 是一實係數多項式函數﹐則 f 的不定積分 an n +1 an −1 n a x + x + L + 1 x 2 + a0 x + C （C 為任意常數） ﹒ n +1 n 2 當 F 是 f 的一個反導函數時﹐ f = F' 是 F 的導函數﹐而此時 f 的不定積分 d ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ﹐即 ∫ dx F ( x)dx = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C（C 為任意常數）﹐反之﹐ d d 對任意的常數 C﹐ ∫ f ( x)dx = ( F ( x) + C ) = F' ( x) = f ( x) ﹐這些關係式驗證了 dx dx. 為 ∫ f ( x)dx =. 3.. 微分與積分是兩種互逆的運算﹒. 32.
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