5-3-1不等式-絕對不等式

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(1)選修數學(I)3-1 不等式-絕對不等式【定義】 1. 絕對不等式：當不等式對於任意 x ∈ R 都成立時，稱絕對不等式。或不等式對於任意 x, y ∈ R 都成立時，稱絕對不等式。註：利用適當的不等式，我們可以求得某些函數的最大值或最小值。 2. 算術平均數： a + a2 + L + an n 個正數 a1 , a 2 ,L, a n 的算術平均數定為 1 。 n 3. 幾何平均數：. n 個正數 a1 , a 2 ,L, a n 的幾何平均數定為 n a1 a 2 L a n 。【性質】 1. 絕對值不等式： | x | + | y |≥| x + y | ，且當 xy ≥ 0 時，等號成立。證明： (1) (| x | + | y |) 2 − (| x + y |) 2 = ( x 2 + y 2 + 2 | xy |) − ( x 2 + y 2 + 2 xy ) = 2(| xy | − xy ) ≥ 0 。 (2)當 | xy | −xy = 0 時，等號成立。 2. 算幾不等式(兩個正數)： a+b 設 a, b > 0 ，則 ≥ ab ，且當 a = b 時，等號成立。 2 註：任意兩正數之算數平均數必大於或等於其幾何平均數。證明： a− b 2 a+b − ab = ( ) ≥ 0。 2 2 a− b 2 (2)當 ( ) = 0 時等號成立，即當 a = b 時，等號成立。 2 設 a, b 是正數，則 (1)當 a + b 為定值時， ab 在 a = b 時，達到最大值； (2)當 ab 為定值時， a + b 在 a = b 時，達到最小值。算幾不等式的幾何意義：. (1). 3.. 4.. ab a 5.. b. 算幾不等式常運用於都正數的情形，且題目含有相加以及相乘的題目。. 1.

(2) 【公式】 1. 算幾不等式(一般情形)：任意 n 個正數 a1 , a2 ,L, an 的算數平均數大於或等於幾何平均數，. a1 + a 2 + L + a n n ≥ a1 a 2 L a n ， n 上式中兩端相等的充要條件為 a1 = a 2 = L = a n 。證明： (證法一)： a + a2 ≥ a1 a 2 ， (1)當 n = 2 時， 1 2 a + a2 = a1 a 2 的充要條件為 a1 = a 2 (前已證)。且 1 2 (2)設 n = k 時成立， a + a2 + L + ak n ≥ a1 a 2 L a k ，即 1 k 且兩端相等的充要條件為 a1 = a 2 = L = a k ，當 n = k + 1 時， a + a 2 + L + a k + a k +1 −G，令 G = k +1 a1 a 2 L a k a k +1 ， D = 1 k +1 a + a 2 + L + a k + a k +1 −G 則D = 1 k +1 1 = [a1 + a 2 + L + a k + a k +1 − (k + 1)G ] k +1 1 = {( a1 + a 2 + L + a k ) + [a k +1 + (k − 1)G ] − 2kG} k +1 1 k 1 = { (a1 + a 2 + L + a k ) + [a k +1 + (k − 1)G ] − 2G} k +1 k k 1 k ≥ ( a1 a 2 L a k + k a k +1G k −1 − 2G ) k +1 2k 1 k = [ ( a1 a 2 L a k + k a k +1G k −1 ) − G ] k +1 2 2k 2 k ≥ ( a1 a 2 L a k a k +1G k −1 − G ) k +1 2k 2 k k +1 k −1 2k = ( G G − G) = (G − G ) = 0 k +1 k +1 其中 D = 0 之充要條件為上述推導過程中兩個「 ≥ 」都是「 = 」，. 即. 即 a1 = a 2 = L = a k ， a k +1 = G ，且 k a1 a 2 L a k = k a k +1G k −1 ；亦即 a1 = a 2 = L = a k = a k +1 ，. a1 + a 2 + L + a k + a k +1 k +1 = a1 a 2 L a k a k +1 k +1 的充要條件為 a1 = a 2 = L = a k = a k +1 。故. 2.

(3) (證法二)：先證 n = 2 k 的情形： (1)當 n = 21 時，. a1 + a 2 ≥ a1 a 2 ，故原式成立， 2 且當 a1 = a 2 時，等號成立。 (2)設 n = 2 k 時，原式成立， a + a2 + L + an n 即 n = 2 k 時，設 a1 , a 2 ,L, an > 0 ，則 1 ≥ a1a 2 L a n ， n 且當 a1 = a2 = L = an 時，等號成立。設 a1 , a 2 > 0 ，則. 則當 n = 2 k +1 時， a1 + a2 + L + a n a1 + a 2 + L + a n = = n 2 k +1 ≥. ≥. 2k. a1a2 La. 2k. 2k. a. a. 2 k +1 2 k + 2. La. a1 + a2 +L+ a. 2k. 2k. +. a. 2 k +1. +a. 2k + 2 k. +L+ a. 2 k +1. 2. 2. 2 k +1. 2 2k. a1a2 L a2k. 2k. a2k +1a2k + 2 L a2k +1 = 2k +1 a1a 2 L a 2k a 2k +1a2k + 2 L a 2k +1. 且當 a1 = a2 = L = an 時，等號成立。故由數學歸納法得知 n = 2 k , k ∈ N 時，. a1 + a 2 + L + a n n ≥ a1a 2 L a n ， n. 且當 a1 = a2 = L = an 時，等號成立。再證 n = 2 k + m(0 < m < 2 k ) 的情形： (3)若 n = 2 k + m(0 < m < 2 k ) 時， a + a2 + a3 + L + an 設d = 1 n 2 k +1 − n個 64 74 8 (a1 + a 2 + a3 + L + a n ) + d + L + d ≥ 2k +1 a1 a 2 a3 L a n d12 L3 d 由 2 k +1 2 k +1 − n個 k +1 (a1 + a2 + a3 + L + an ) + (2k +1 − n)d 2 k +1 ≥ a1a2 a3 L an d 2 − n k +1 2 k +1 k +1 nd + (2 − n)d 2 k +1 ⇒ ≥ a1a2 a3 L an d 2 − n k +1 2 k +1. k +1. −n. ≥ a1a2 a3 L an d 2. k +1. −n. ⇒ d ≥ 2 a1a2 a3 L an d 2 ⇒ d2. k +1. ⇒ d n ≥ a1 a 2 a 3 L a n. ⇒ d ≥ n a1 a 2 a3 L a n. a1 + a 2 + a3 + L + a n n ≥ a1 a 2 a3 L a n n 當 a1 = a 2 = a3 = L = a n = d 時，等號成立，即當 a1 = a 2 = a3 = L = a n 時，等號成立。 ⇒. 3.

(4) 【公式】 1. 柯西不等式：設 a1 , a 2 , a 3 ,L , a n , b1 , b2 , b3 ,L , bn ∈ R 則 (a1 + a 2 + L + a n )(b1 + b2 + L + bn ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2 且當 (a1 = kb1 , a 2 = kb2 ,L , a n = kbn 時，等號成立。證明： (證法一)(向量證法) v v (1)設非零向量 a = ( a1 , a2 , a3 ,L, an ), b = (b1 , b2 , b3 ,L, bn ) ，夾角為 θ ， v v v v 則 a ⋅ b =| a || b | cosθ ， v v a ⋅b ⇔| cosθ |=| v v |≤ 1 | a || b | v v v v ⇔| a || b |≥| a ⋅ b | v v v v ⇔| a |2 | b |2 ≥| a ⋅ b |2 (2)當 | cos θ |= 1 時，等號成立 v v v v ⇔ cosθ = ±1 ⇔ θ = 0, π ⇔ a , b 同向或反向 ⇔ a = tb (證法二)(代數方法) (1)設 f ( x ) = ( a1 x − b1 ) 2 + (a 2 x − b2 ) 2 + L + ( a n x − bn ) 2 又 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ R 2. 2. 2. 2. 2. 2. 則 f ( x) = (a1 + a 2 + L + a n ) x 2 − 2(a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) x 2. 2. 2. + (b1 + b2 + L + bn ) ≥ 0, ∀x ∈ R 故判別式 2. 2. 2. (a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2 − 4(a1 + a 2 + L + a n )(b1 + b2 + L + bn ) ≤ 0 2. 2. 2. 2. 2. 2. 得 (a1 + a 2 + L + a n )(b1 + b2 + L + bn ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2 (2)當 f ( x ) = 0 時 ⇒ (a1 x − b1 ) 2 = (a 2 x − b2 ) 2 = L = (a n x − bn ) 2 = 0 ⇒ a1 x − b1 = a 2 x − b2 = L = an x − bn = 0 ⇒ a1 x − b1 = a 2 x − b2 = L = an x − bn = 0 即當 (a1 = kb1 , a 2 = kb2 ,L , a n = kbn 時，等號成立。【性質】 1. 柯西不等式常運用於有一次式且有二次式的題目。 v v v v v v 2. 由兩向量 a , b 所張平行四邊形的面積為 | a | 2 | b | 2 − | a ⋅ b | 2 。 3. 柯西不等式三角不等式是同義的， v v v v v v v v 因為 | a + b |≤| a | + | b | ⇔| a + b | 2 ≤ (| a | + | b |) 2 v v v v v v v v ⇔ (a + b ) ⋅ (a + b ) ≤| a | 2 +2 | a || b | + | b | 2 v v v v v v v v v v v v ⇔ a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b ≤| a | 2 +2 | a || b | + | b | 2 v v v v v v v v v v v v ⇔| a | 2 +2a ⋅ b + | b | 2 ≤| a | 2 +2 | a || b | + | b | 2 ⇔ a ⋅ b ≤| a || b | 4. 算幾不等式與柯西不等式是等價的關係。 2. 2. 2. 2. 2. 2. 4.

(5) 【問題】 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.. 8. 9. 10. 11. 12.. 13.. 14. 15.. n +1 n ) ≥ n! 。 2 1 1 n +1 設 n 是正整數，證明： (1 + ) n < (1 + ) 。 n n +1 設 a, b, c 是正實數，證明： ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ 3abc 。設 a, b, c, d 是正實數，證明： abc 2 + bcd 2 + cda 2 + dab 2 ≥ 4abcd 。. 設 n 是正整數，證明： (. 設 a, b, c 是正實數，證明： (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 9abc 。 a a a a 設 a1 , a2 ,L, an 為正實數，證明： 1 + 2 + L + n −1 + n ≥ n 。 a2 a3 an a1 4 9 (1)設 a, b 是正實數，證明： ( a + b)( + ) ≥ 25 。 a b 4 9 註：不存在兩個正實數 a, b 使 ( a + b)( + ) = 24 。 a b 4 9 (2)試找兩個正實數 a, b 使 ( a + b)( + ) = 25 ，這樣的 a, b 有多少組? a b 1 1 4 設 a, b 是正實數，證明： + ≥ 。 a b a+b 設 a, b, c 是正實數，證明： a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 。設 a, b, c 是正實數，證明： (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 。 9 若 0 < t ≤ 1 ，求 t + 的最小值。(解：10) t 設 a1 , a 2 , L, a n 是正實數， 1 1 2 2 2 證明： (a1 + a 2 + L + a n )( 2 + + L + 2 ) ≥ n 2 ， a1 an 且當 (a1 = a 2 = L = a n 時，等號成立。設 a, b, c, d 是正實數， 1 1 1 1 16 + + + ≥ 。證明： a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 3(a + b + c + d ) a a 1 1 設 a1 , a 2 , L, a n 是相異正整數，證明： 1 + + L + ≤ a1 + 22 + + L + n2 。 n 2 2 n 2 n n 1 ⎛1 ⎞ 2 設 x1 , x 2 , L, x n 是實數，證明： ∑ x k ≥ ⎜ ∑ x k ⎟ 。 n k =1 ⎝ n k =1 ⎠ 證明： 1 n 2 1 n 1 n 2 原式 = ∑ x k − x 2 = ∑ ( x k − x 2 ) = ∑ [( x k − x ) 2 + 2 x k x − 2 x 2 ] n k =1 n k =1 n k =1 n n 1 1 1 n = ∑ ( x k − x ) 2 + (2 x ∑ x k ) − 2 x 2 = ∑ ( x k − x ) 2 + 2 x 2 − 2 x 2 n k =1 n n k =1 k =1 n 1 = ∑ ( xk − x ) 2 ≥ 0 。 n k =1 註：統計上標準差恆非負的意義。. 5.

(6)