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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
加熱圓柱尾流的數值模擬研究
Numer ical Study on the Wake flow of a heated cylinder
計畫編號：NSC 89-2212-E-002-137
執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日
主持人：顏瑞和 國立台灣大學機械工程研究所
計畫參與人員：林偉毅 國立台灣大學機械工程研究所
一、中文摘要 本文透過溫變流體性質模式的假設，探討二 維平行渦旋剝離條件下的加熱圓柱流場，圓柱壁面 溫度最高加熱至外界環境溫度的三倍，並應用寬頻 元素法成功模擬出加熱圓柱尾流流場的現象。根據 有效溫度的概念，本研究以數值模擬的方法，將計 算不同圓柱壁溫所得到的流場特性曲線，包括 St-Re、Nu-Re 的關係疊合成單一曲線，以單一關係 式來表示。 關鍵詞：有效雷諾數、加熱圓柱、寬頻元素 法、溫變流體性質、渦旋剝離 AbstractThe laminar vortex shedding of airflow behind a circular cylinder with different heating temperatures is numerically investigated. The temperature ratio between the cylinder wall temperature and the free air stream temperature is three at highest in this research. The flow equations with variable fluid properties in some extent were solved by the spectral element method. By using the effective temperature concept, the relationship of St-Re or Nu-Re can be described by only the parameter of effective Reynolds number, based on the effective temperature, instead of by two parameters of Reynolds number and temperature ratio. The effective temperature is key parameter in the flow field.
Keywords: Research Project, Report Style, National Science Council 二、緣由與目的 實驗研究發現，強制對流下的加熱圓柱流場 現象可以使用有效溫度的概念加以分析。有效溫度 是取流場內的某一個溫度當作其值，理論上，加熱 圓柱流場的 St 與 Nu(Nusselt number)對 Re 的關 係 ， 原 本 不 同 溫 度 比 時 (temperature ratio， T*=Tw/T∞)都有各自的特性曲線，利用有效溫度的 概念處理後，可以將這些曲線疊合成一條關係線， 也就是說可以僅用一個方程式來表示這些加熱流 場 St-Re 或 Nu-Re 關係的結果。習慣上 St、Nu 等 參數是以雷諾數來表示成關係式，故從有效溫度計 算出有效雷諾數(Reeff)後，再以有效雷諾數來表 示單一關係式 St-Reeff、Nu-Reeff。有效雷諾數定 義為： Reeff =U∞d νeff，其中有效運動黏滯係數νeff
是指有效溫度下量得的運動黏滯係數，νeff =ν
( )
Teff 。 欲尋找有效溫度首先由臨界雷諾數(Rec)著手，臨 界雷諾數是指當圓柱尾流開始由兩對稱迴流胞轉 變為渦旋剝離時的雷諾數值。根據 Dumouchel 等 [1]，不同圓柱壁溫下的流場，當以有效雷諾數表 示時，其臨界雷諾數都應該是相同的，，這是經由 Screenivasan[2] 等對流場內溫度波動情況研究 後，所做出的合理假設，相關假設亦見於 Lecordier 等[3]諸文。經此一假設後，Dumouchel 等將有效 溫度定義為： 02 . 0 24 . 0 ± = − − ∞ ∞ T T T T w eff (1) 並以有效雷諾數為題，探討溫度比小於 1.5 時，有效雷諾數在加熱圓柱流場中的角色，其實驗 結果顯示：由於熱能導入流場內將增加局部的流場 黏滯性，所以圓柱加熱有抑制渦漩剝離的結果，同 時發現加熱圓柱後的流場分佈的確是可以用有效 雷諾數來加以描述。除了 Dumouchel 等外。其他如 Lecordier 等、LeMasson[4]、Wang 等[5]亦曾對有 效溫度提出數值，其中 Wang 實驗溫度比 T*=1 1.8 的流場，並合併 Yahagi[6]的結果互相討論，發現 當 溫 度 比 高 達 3 時 ， 有 效 溫 度 值 則 略 高 於 Dumouchel 等所提出的值，定義有效溫度值為： ∞ ∞ ∞ − + = T T T c T Teff w 1c=0.28(2)
(1-2)
由上述可知，近年來已有研究發現利用有效 溫度的概念可以對加熱圓柱流場作有效的分析，也 證實了有效雷諾數 Reeff 正是這一個參考標的，尤 其是 Wang 等與 Wang&Trávníèek[7]的研究結果中， 成功推算出 St、Nu 與 Reeff 的單一關係式。 本研究假設流體性質為溫度函數，使用寬頻 元素法(Spectral Element Method)[8]來模擬加熱 圓柱流場，並套用有效雷諾數的觀念，對穿越流中 加熱圓柱後的流場作進一步分析。一方面釐清 Lange 等模擬結果與實驗間的的差異性，瞭解圓柱 加熱與渦漩剝離之關係，發掘實驗難以測知之現 象，以及數值計算模擬加熱圓柱流場的可能性。一 方面就數值模擬的觀點，驗證 Wang 等諸文中以有 效溫度概念對流場所推之特性關係式，和有效溫度 的重要性。 三、研究方法 空氣流經一加熱圓柱的流場與溫度場的主導 方程式為質量、動量與能量方程式。由於圓柱壁面 的高熱，因此考慮黏滯性數為溫變性質，至於密度 與熱傳導係數則視為不隨溫度改變，從本文的分析 可知如此的假設是相當合理的。2 數值方法是利用寬頻元素法，基本上分為時 間離散與空間離散兩個部分，時間離散對時間座標 之離散化，我們以二階 Mixed explicit/implicit Stiffly Stable Scheme 來處理動量方程式。由於 計算的時間間隔為一個週期的千分之一，隨溫度變 化的黏性係數，則以上個時間值近似。溫度方程式 也採用同樣的分離法處理。 四、結果與討論 l 渦漩剝離頻率與有效雷諾數的關係 如圖 1 所示，在不同的溫度比值下都可以得 到一條類似的 St-Re 關係線，圖中顯示當雷諾數增 加時，計算與實驗關係式間的 St 值相差越小。 Re S t 40 80 120 160 200240 280 320 360400 440 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 T*=1 T*=1.1 T*=1.5 T*=1.8 T*=2.5 T*=3 Eq.(1-8) Num. 圖 1 St-Re 關係圖,計算與實驗比較 圖 2 是 St-Reeff 的關係圖，可以發現不同 Reeff S t 40 80 120 160 200 240 280 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 T*=1 T*=1.1 T*=1.5 T*=1.8 T*=2.5 T*=3 Eq. (1-8) 圖 2 St-Reeff關係圖, 計算與實驗比較 溫度比的 St 值，同樣可以收斂為一條關係線，當 雷諾數超過平行渦漩剝離流場情況時，開始出現三 維效應，所以計算結果逐漸偏離實驗關係式的值。 一般而言，以 Reeff>180 即不再符合二維流場的假 設，而臨界雷諾數附近，計算與實驗關係式的誤差 極大，這與 Wang 等的實驗結果一樣，此部分實驗 量測值與關係式間的差異也比較大，所以 Reeff≦ 55 並不適用已知的 St-Reeff 關係式。因為不同溫 度比下的臨界雷諾數 Rec,eff 被強迫要收斂到同一 個值，但 St 會隨著溫度比增加而減少(圖 4-2)，故 造成此現象，其真正的成因可能與加熱圓柱的有效 長度尺度(effective length scale)有關，有待進 一步去探討。 圖 3 是將數值結果、實驗量測值與實驗關 Reeff S tnu m . /S tcore l. (o r S tnu m . /S texp . ) 40 80 120 160 200 0.9 0.95 1 1.05 1.1 T*=1 T*=1.1 T*=1.5 T*=1.8 T*=2.5 T*=3 Exp. Eq.(1-8) ( ) ( )
圖 3 Stnum./Stexp.-Reeff關係圖
係式互相比較，明顯可以看出雷諾數增加時計算與 實驗值的誤差越來越小，其中虛線是 T*=1 1.8 的 St 計算與實驗量測值之比值，都有某一程度隨著雷 諾數增加而向 1 靠攏的趨勢。但就固定溫度比情況 時，其實際誤差值間的變化並不大，反而是計算與 實驗關係式比值明顯出現誤差大小的差異情形，且 每一個溫度比的結果，計算與實驗量測值間誤差大 都呈現固定於某一數值的範圍內，T*≧1.5 的誤差 則比較大。 將計算與實驗關係式所得比較，當雷諾數增 加時，T*=1.5 3 的結果誤差逐漸減少，St 之數值 結果與實驗關係式的比值越來越趨近於 1，但 T*≦ 1.1 則是誤差隨著雷諾數增加而加大，不過誤差多 半保持在 2%以內。低雷諾數區尤其越接近臨界雷諾 數計算與實驗關係式間的誤差越大，即使 Reeff≧ 55 時仍有最大誤差約 5%，因為 Wang 等的實驗修正 式與真正的實驗值之間也有多達 2%的誤差存在，若 扣除實驗關係式近似之誤差，則剩下部分誤差則是 數值結果的誤差，數值誤差可以從與實驗值之比較 瞭解其大小，可以發現低雷諾數區的近似誤差會增 加計算結果的誤差，高雷諾區的近似誤差增有改善 數值的誤差結果。圖 4 是固定雷諾數與固定有效雷 諾 數 下 ， St 之 數 值 T* S t n u m . /S t c o re l. 1 1.5 2 2.5 3 0.9 0.95 1 1.05 1.1 Reeff= 50 Reeff= 80 Reeff= 120 Reeff= 160 Reeff= 180 Reeff= 200 Re = 86.53 Re = 141.28 Re = 165.29 圖 4 Stnum./Stcorel.-T*相對於實驗關係的比較 結果與實驗關係式隨溫度比變化的比值關係圖，可 以發現大部分情況下，固定有效雷諾數及 T*=1.8 左右時，數值誤差的確會比較大，T*＞1.8 或＜1.8 的誤差則比較小，在圖也顯現這種趨勢。這證明了 上一章對程式驗證中的推論，除了溫度比等於 1.8 左右外，大部分數值結果在本文所討論的範圍內都 是極為合理的。總體而言，本模擬所得的 St 值的 確會隨著雷諾數增加而越接近實驗所得，從數值結 果與實驗關係式的比較，可以更清楚看到其趨勢。
3 而固定溫度比下改變有效雷諾數的結果大致上都 有 一 定 的 誤 差 值 存 在 T* S t* 1 1.5 2 2.5 3 0.9 0.95 1 1.05 1.1 Reeff= 50 Reeff= 80 Reeff= 120 Reeff= 160 Reeff= 180 Reeff= 200 圖 5 固定有效雷諾數時，不同溫度比之 St ，大約以 Reeff=120 為界，超過此數後不同溫度比 所得到 St 值，不論是實驗與模擬所得的相比，或 是將計算得到的加熱流場與冷流場間的 St 比值都 在很小的誤差範圍內，至於低雷諾數時的誤差主要 原因是溫度場作用太大，使得模擬中溫變流體性質 假設不良而造成的 l 有效溫度與 Nusselt number 這裡的 Nusselt number 是指圓柱上熱傳在整 個流場週期運動中的整體變化，也就是對圓柱上每 一點的 Nu 值並經過一整個渦漩剝離週期變化後所 取的整體平均值。為使不同條件的圓柱流場有相同 的熱傳形式，Nusselt1 假設一流體性質為流場的整 體 平 均 值 ， 用 以 規 避 不 同 溫 度 比 而 有 不 同 的 Nusselt number，並依此得到一參考熱傳量來無因 次化圓柱上的熱傳量，定義為 Nu： ( ) ( ) D T T k r T T k q q Nu w w w w ref w ∞ − ′ ∂ − ∂ − = = & & (3) 其中
q&
ref 是一個參考的熱通量，k
′
是參考溫 度下的熱傳導係數，D 是圓柱直徑，r 是徑向方向， w 是指圓柱壁面(wall)。 如圖 6，將計算所得平均 Nu 值與 Wang & Trávníèek11 實驗量測值 Nueff 比較，發現兩者十 Re N u e ff , N u n u m . 40 60 80 100 120 140 160 180 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T*=1.1 T*=1.5 T*=1.8 Exp. Num. 圖 6 計算的 Nu 與實驗值 Nueff之比較 分吻合，誤差不超過 1%。將此處所計算的 Nu 值套 用式(3)，則所選擇的參考熱傳導係數為k′=kw，故 計算得到的 Nu 值為 Nuw，參考溫度為圓柱壁溫。就 計算而言，因為本模擬中所用的熱傳係數是一整體 平均值，所以不同參考熱傳導係數計算得的 Nu 是 一樣的，即keff =kw、Nueff =Nuw。 由上述比較分析發現，依據本模擬所使用的 數值方法，在經過整體平均忽略局部效應後，得到 的平均 Nu 是以有效溫度為參考溫度的值，亦即圓 柱周圍加熱區的流場特性溫度是為有效溫度，而非 一般所認為的圓柱壁溫。對於為何圓柱加熱區的特 性溫度會落在有效溫度，實際原因尚未明瞭，主要 可能是因為模擬中已經對熱傳性質做過平均值的 假設而造成的。依據此結論就能發現本模擬數值結 果的 Nu 值還是能與實驗值有一定程度的配合，顯 示計算得到的流場仍有相當的準確度。 五、結論 圓柱加熱後，圓柱流場尾流確實出現渦漩剝 離抑制情形，且導入有效溫度概念後，可以將圓柱 尾流渦漩剝離情形形成相似性，而與圓柱加熱溫度 無直接關係。對於高雷諾數區，本文模擬的方法能 夠比較準確預測渦漩剝離情形，這是因為熱的影響 程度減小，越符合所模擬之流場。 六、參考文獻1. Dumouchel, F., Lecordier, J. C. and Paranthoën, P. (1998), “The effective Reynolds number of a heated cylinder,” Int. J. Heat Mass Transfer, Vol:41(12), pp. 1787-1794
2. Screenivasan, K., Tavoularis, S., Henry, R., and Corrsin, S. (1980), “Temperature fluctuations and scales in grid-generated turbulence,” J. Fluid Mech., Vol:100, pp. 597-621
3. Lecordier, J. C., Browne, L. W. B., Le Masson, S., Dumouchel, F. and Paranthoën, P. (2000), “Control of vortex shedding by thermal eff ect at low Reynolds numbers,” Experimental Thermal and Fluid Science, Vol:21, pp. 227-237
4. Le Masson, L. (1991), Contrôle de l’instabil éde énard-von Karman enaval d’un obstacle chauffe à faible nombre de Reynolds, T èse de doctorat de l’Univers é de Rouen
5. Wang, A.-B., Trávníèek, Z., and Chia, K.-C. (2000), “On the relationship of effective Reynolds number and Strouhal number for the laminar vortex shedding of a heated circular cylinder,” Phys Fluids, Vol:12(6)
6. Yahagi, Y.(1998), “Structure of two-dimensional vortex behind a highly heated cylinder,” Transaction of the Japan Society of Mechanical Engineers. B64, pp. 209
7. Wang, A.-B. and Trávníèek, Z. (2000), “On the heat transfer correlation of a heated circular cylinder in laminar flow by using effective temperature concept,” submitted to Int. J. Heat Mass Transfer
8. Karniadakis, G. M. (1988), “Numerical simulation of forced convection heat transfer from a cylinder in cross flow,” Int. J. Heat Mass Transfer, Vol:31(1), pp. 107-118
