booka52/lt99a522 三角函數的應用

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(1)

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兩 波 動 疊 合 的 現 象 ﹐ 在 生 活 中 是 常 見 的 ﹒ 例 如 同 時 把 兩 顆 石 頭 丟 入 平 靜 的 湖 面 ﹐ 會 產 生 兩 組 同 心 圓 形 狀 的 漣 漪 ﹐ 它 們 各 自 向 岸 邊 擴 散 而 相 遇 ﹐ 如 圖 1 所 示 ﹒ 這 漣 漪 相 遇 就 是 波 動 的 疊 合 ﹒ 探 討 正 弦 函 數 與 餘 弦 函 數 兩 波 狀 圖 形 的 疊 合 是 本 節 主 要 內 容 之 一 ﹒

甲 ﹑ 正 弦 與 餘 弦 函 數 的 疊 合

我 們 知 道 正 弦 函 數 與 餘 弦 函 數 的 圖 形 都 呈 波 動 形 狀 ﹐ 且 週 期 性 的 重 複 出 現 ﹐ 如 果 這 兩 個 波 動 同 時 進 行 ﹐ 疊 合 在 一 起 後 ﹐ 會 變 成 什 麼 樣 子 呢 ﹖ 換 句 話 說 ﹐ 我 們 想 知 道 函 數 y=sinx+cosx的 圖 形 會 是 什 麼 樣 子 ﹖ 會 不 會 仍 然 是 一 個 有 規 則 的 波 動 呢 ﹖ 先 列 表 ﹐ 再 用 描 點 法 來 看 y=sinx+cosx的 圖 形 ﹕ x 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 3 2 π 7 4 π 2π sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 2 2 0 2 2 − −1 2 2 − 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 2 2 − −1 2 2 − 0 2 2 1 sin cos y= x+ x 1 3 1 2 + 2 3 1 2 + 1 0 −1 − 2 −1 0 1 y O 3 2 2 4 3 1 x y = sinx+cosx 1 3 2 2 2 2 3 y = sinx 2 2 5 2 7 2 4 y = cosx ▲ 圖 2

(2)

事 實 上 ﹐ 圖 2 是 函 數 y=sinx+cosx的 正 確 圖 形 ﹐ 它 與 y=sinx的 圖 形 都 是 以 2π 為 週 期 的 波 狀 圖 形 ﹒ 它 是 否 也 可 表 成 正 弦 函 數 的 形 式 呢 ﹖ 我 們 利 用 和 角 公 式 ﹐ 將 y=sinx+cosx寫 成 下 列 形 式 ﹕ sin cos y= x+ x 1 1 2 sin cos 2 x 2 x   = +  

2 sin cos cos sin

4 4 x π x π   = +   2 sin 4 x π   = +  ﹒

由 此 可 知 y=sinx+cosx的 圖 形 是 將 y=sinx圖 形 的 振 幅

由 1 放 大 為 2 後 ﹐ 再 向 左 平 移 4 π 單 位 而 得 ( 這 可 由 圖 2 得 到 印 證 )﹐ 它 的 最 高 點 出 現 在 , 2 4 π      ﹐ 9 , 2 4 π      ﹐ … 等 ﹐ 最 低 點 出 現 在 3 , 2 4 π      ﹐ 5 , 2 4 π      ﹐ … 等 ﹔ 亦 即 函 數 y=sinx+cosx的 最 大 值 為 2 ﹐ 最 小 值 為 − 2﹒ 一 般 而 言 ﹐ 當 a 與 b 是 不 全 為 0 的 實 數 時 ﹐ 函 數 y=asinx+bcosx都 可 以 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 方 法 如 下 ﹕ 首 先 將 函 數 y=asinx+bcosx改 寫 為 2 2 2 2 sin 2 2 cos a b y a b x x a b a b   = + + + +  ﹐ 此 時 ﹐ 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =     + +     ﹒ 接 著 ﹐ 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 設 點 P的 坐 標 為

( )

a b ﹒ , 若 射 線 OP 為 有 向 角θ的 終 邊 ﹐ 如 圖 3 所 示 ﹐ 則 由 廣 義 角 三 角 函 數 的 定 義 知 ﹕ 2 2 2 2 cos a , sin b a b a b θ = θ = + + ﹒ 於 是 ﹐ 利 用 和 角 公 式

(

)

sin α β+ =sinαcosβ+cosαsinβ ﹐ 得 y O x P(a,b) a2+b2 b a ▲圖 3

(3)

2 2 2 2 sin 2 2 cos a b y a b x x a b a b   = + + + +  

(

)

2 2

sin cos cos sin

a b x θ x θ = + +

(

)

2 2 sin a b x θ = + + ﹒ 由 上 述 的 討 論 ﹐ 我 們 有 正 弦 與 餘 弦 函 數 的 疊 合 : (1) 函 數 y=asinx+bcosx的 圖 形 是 以 2π 為 週 期 ﹐ 振 幅 為 2 2 a +b 的 波 狀 圖 形 ﹒ (2) 函 數 y=asinx+bcosx的 最 大 值 為 2 2 a +b ﹐ 最 小 值 為 2 2 a b − + ﹒ 當 我 們 遇 到 形 如 y=asinx+bcosx的 函 數 時 ﹐ 可 以 利 用 和 角 公 式 將 它 改 寫 成 正 弦 函 數 ( 或 餘 弦 函 數 ) 的 形 式 ﹐ 就 容 易 求 得 此 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹐ 舉 例 如 下 ﹒ 【 例 題 1】 求 下 列 各 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹕

(1) y= 3 sinx+cosx﹒ (2) y=sinx−2 cosx

Ans:( 1) 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 − 2;(2)最 大 值 為 5 ﹐ 最 小 值 為 − 5 【 詳 解 】 (1) 因 為 3 sin cos y= x+ x

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 sin cos 3 1 3 1 x x     = + + + +    3 1 2 sin cos 2 x 2 x   =  +    1 2 3 6

(4)

2 sin cos cos sin 6 6 x π x π   = +   2 sin 6 x π   = +  ﹐ 所 以 y的 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為−2﹒ (2) 因 為 2

( )

2 1 + −2 = 5﹐ 所 以 sin 2 cos y= xx 1 2 5 sin cos 5 x 5 x   =  ﹒ 令cos 1 , sin 2 5 5 θ = θ = ﹐ 得

(

)

5 sin cos cos sin

y= x θ− x θ

(

)

5 sin x θ = − ﹒ 故 y的 最 大 值 為 5 ﹐ 最 小 值 為 − 5﹒ 【 隨 堂 練 習 1】 求 下 列 各 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹕

(1) y=sinx− 3 cosx﹒ (2) y=3sinx+4 cosx

Ans:( 1) 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 −2;(2)最 大 值 為 5﹐ 最 小 值 為 −5 【 詳 解 】

(1) 因 為

1 3

sin 3 cos 2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )

2 2 3 3 3

y= xx= xx = x π − x π = x−π ﹒

所 以 y 的 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 −2﹒

(2) 因 為

3 4

3sin 4 cos 5( sin cos ) 5(sin cos cos sin ) 5sin( )

5 5 y= x+ x= x+ x = x θ+ x θ = x+θ ﹒ 其 中cos 3 5 θ = ﹐ sin 4 5 θ= ﹒ 所 以 y 的 最 大 值 為 5﹐ 最 小 值 為 − 5﹒ 上 例 是 x 的 範 圍 不 受 限 制 時 的 情 形 ﹐ 底 下 我 們 來 討 論 ﹕ 當 x 的 範 圍 受 到 1 2 5

(5)

限 制 時 ﹐ 要 如 何 求 得 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹖ 【 例 題 2】 求 函 數 y=sinx− 3 cosx+5在 下 列 各 範 圍 內 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹐ 並 求 其 對 應 的 x 值 ﹕ (1) 0≤ <x﹒ (2) 0≤ ≤ ﹒ x π Ans:( 1) 當 5 6 x= π 時 ﹐ 最 大 值 7﹐ 當 11 6 x= π 時 ﹐ 最 小 值 3; (2) 當 5 6 x= π 時 ﹐ 最 大 值 7﹐ 當 x = 0 時 ﹐ 最 小 值 5− 3 【 詳 解 】 將 函 數 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 得 sin 3 cos 5 y= xx+ 1 3 2 sin cos 5 2 x 2 x   =  − +  

2 sin cos cos sin 5

3 3 x π x π   = +   2 sin 5 3 x π   = +   ﹒ (1) 因 為 0≤ <x 2π﹐ 即 5 3 x 3 3 π π π − ≤ − < ﹐ 所 以 1 sin 1 3 x π   − ≤ ≤   ﹒ 當 3 2 x− =π π ﹐ 即 5 6 x= π 時 ﹐ y有 最 大 值 2 1 5 7× + = ﹒ 當 3 3 2 x− =π π ﹐ 即 11 6 x= π 時 ﹐ y有 最 小 值 2× − + = ﹒

( )

1 5 3 (2) 因 為 0 x≤ ≤ ﹐ 即π 2 3 x 3 3 π π π − ≤ − ≤ ﹐ 所 以 3 sin 1 2 x 3 π   − ≤ ≤   ﹒ 當 3 2 x− =π π ﹐ 即 5 6 x= π 時 ﹐ y有 最 大 值 2 1 5 7× + = ﹒

(6)

當 3 3 x− = −π π ﹐ 即 x= 時 ﹐ 0 y有 最 小 值 2 3 5 5 3 2   × − + = −   ﹒ 【 隨 堂 練 習 2】 求 函 數 y=sinx−cosx+1在 下 列 各 範 圍 內 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹐ 並 求 其 對 應 的 x 值 ﹕ (1)0≤ <x﹒ (2)0 2 x π ≤ ≤ Ans:( 1) 當 3 4 x= π 時 ﹐ 最 大 值 2+ ﹐ 當1 7 4 x= π 時 ﹐ 最 小 值− 2 1+ ; (2) 當 2 x= 時 ﹐ 最 大 值 2﹐ 當 x = 0 時 ﹐ 最 小 值 0π 【 詳 解 】 先 將 函 數 化 為 正 弦 函 數 ﹐ 得 1 1

sin cos 1 2( sin cos ) 1 2(sin cos cos sin ) 1

4 4 2 2 y= xx+ = xx + = x π − x π + 2 sin( ) 1 4 x π = − + ﹒ (1) 因 為 0 ≤ x < 2π﹐ 所 以 7 4 x 4 4 π π π − ≤ − < ﹒ 當 4 2 x−π π= ﹐ 即 3 4 x= π 時 ﹐ y 有 最 大 值 2 1 1⋅ + = 2 1+ ﹒ 當 3 4 2 x−π = π ﹐ 即 7 4 x= π 時 ﹐ y 有 最 小 值 2 ( 1) 1⋅ − + = − 2+1﹒ (2) 因 為0 2 x π ≤ ≤ ﹐ 所 以 4 x 4 4 π π π − ≤ − ≤ ﹒ 當 4 4 x−π π= ﹐ 即 2 x=π 時 ﹐ y 有 最 大 值 2 2 1 2 2 ⋅ + = ﹒

(7)

當 4 4 x−π = −π ﹐ 即 x = 0 時 ﹐ y 有 最 小 值 2 ( 2) 1 0 2 ⋅ − + = ﹒ 底 下 是 將 函 數 改 寫 成 y=asinx+bcosx的 形 式 ﹐ 再 求 得 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 之 實 例 ﹒ 【 例 題 3】 在 0≤ <x 2π 範 圍 內 ﹐ 求 函 數 2 sin 2 cos 6 y= π −xx   最 大 值 與 最 小 值 ﹒ Ans:最 大 值 2﹐ 最 小 值 −2 【 詳 解 】 先 利 用 和 角 公 式 把 2 sin 6 x π      展 開 ﹐ 得 2 sin cos cos sin 2 cos

6 6

y=  π x− π xx

 

1 3

2 cos sin 2 cos

2 x 2 x x   = −   3 sinx cosx = − − ﹒ 然 後 ﹐ 再 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 得 3 1 2 sin cos 2 2 y= −  x+ x  

2 sin cos cos sin

6 6 x π x π   = − +   2 sin 6 x π   = − +  ﹒ 因 為 0≤ <x 2π﹐ 即 13 6 x 6 6 π ≤ + <π π ﹐ 所 以 1 sin 1 6 x π   − ≤ + ≤   ﹒  當 6 2 x+ =π π ﹐ 即 3 x=π 時 ﹐ y有 最 小 值 −2﹒

(8)

 當 3 6 2 x+ =π π ﹐ 即 4 3 x= π 時 ﹐ y有 最 大 值 2﹒ 【 隨 堂 練 習 3】 在 0≤ <x 2π 範 圍 內 ﹐ 求 函 數 cos sin 6 y= π −xx   最 大 值 與 最 小 值 ﹒ Ans:最 大 值 1﹐ 最 小 值 −1 【 詳 解 】 先 利 用 和 角 公 式 把 cos( ) 6 x π 展 開 ﹐ 得 3 1

cos( ) sin cos cos sin sin sin cos sin sin

6 6 6 2 2 y= π − −x x= π x+ π xx= x+ xx 3 1 cos sin 2 x 2 x = − ﹒ 再 化 成 正 弦 函 數 ﹐ 得

(sin cos cos sin ) sin( )

3 3 3 y= − x π − x π = − x−π ﹒ 因 為 0 ≤ x < 2π﹐ 即 5 3 x 3 3 π π π − ≤ − < ﹐ 所 以 1 sin( ) 1 3 x π − ≤ − ≤ ﹐ 當 3 2 x−π π= ﹐ 即 5 6 x= π 時 ﹐y 有 最 小 值 − 1﹒ 當 3 3 2 x−π = π ﹐ 即 11 6 x= π 時 ﹐y 有 最 大 值 1﹒ 除 了 求 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 外 ﹐ 化 成 正 弦 函 數 形 式 的 方 法 ﹐ 也 可 以 幫 助 我 們 解 方 程 式 ﹒ 【 例 題 4】 在 0≤ <x 2π 的 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式 sinx− 3 cosx= 的 解 ﹒ 1 Ans: 2 π 或 7 6 π 【 詳 解 】 將 方 程 式 的 左 式 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 得

(9)

1 3 sin 3 cos 2 sin cos

2 2

xx=  xx

 

2 sin cos cos sin

3 3 x π x π   =   2 sin 3 x π   =  ﹒ 代 回 原 方 程 式 ﹐ 得 2 sin 1 3 x π  =     ﹐ 即 1 sin 3 2 x π  =     ﹒ 因 為 0≤ <x 2π﹐ 即 5 3 x 3 3 π π π − ≤ − < ﹐ 所 以 3 6 x− =π π 或 5 6 π ﹐ 解 得 2 x=π 或 7 6 π ﹒ 【 隨 堂 練 習 4】 在 0≤ <x 2π 的 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式 sinx−cosx= 的 解 ﹒ 1 Ans: 2 π 或π 【 詳 解 】 將 方 程 式 的 左 式 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 得 1 1

sin cos 2 ( sin cos )

2 2

2 (sin cos cos sin ) 2 sin( )

4 4 4 x x x x x π x π x π − = − = − = − ﹒ 代 回 原 方 程 式 ﹐ 得 2 sin( ) 1 4 x−π = ﹐ 即sin( ) 1 4 2 x−π = ﹒ 因 為 0 ≤ x < 2π﹐ 即 7 4 x 4 4 π π π − ≤ − < ﹐ 所 以 4 4 x−π π= 或 3 4 π ﹐ 解 得 2 x= 或π π﹒ 練 習 一 道 應 用 問 題 ﹒

(10)

【 例 題 5】 如 右 圖 ﹐ 矩 形 ABCD 的 四 個 頂 點 分 別 在 矩 形 PQRS的 四 個 邊 上 ﹒ 若 AB=3,BC=7﹐ 且 AB AQ的 夾 角 為 x ﹐ 則 當 x 為 多 少 弧 度 時 ﹐ 矩 形 PQRS的 周 長 最 大 ﹖ Ans: 20 2 【 詳 解 】 由 題 意 可 推 得∠RBC= ∠ADP= ∠BAQ=x﹐ 於 是 矩 形 PQRS的 周 長 為

(

)

2 PQ QR+

(

)

2 7 sinx 3cosx 3sinx 7 cosx

= + + +

(

)

20 sinx cosx = + 1 1 20 2 sin cos 2 x 2 x   = +  

20 2 sin cos cos sin

4 4 x π x π   = +   20 2 sin 4 x π   = +  ﹒ 故 當 4 2 x+ =π π ﹐ 即 4 x=π 時 ﹐ 矩 形 PQRS的 周 長 有 最 大 值 20 2 ﹒ 【 隨 堂 練 習 5】 如 右 圖 ﹐ 矩 形 磚 塊 斜 靠 在 牆 壁 上 ﹐ 且 2 3, 2, AB= BC= ∠OAB=x(0 2 x π < < ) ﹒ (1)將C 點 到 地 面 的 距 離 以 x 表 示 ﹒ (2)已 知C 點 到 地 面 的 距 離 為 2 3 ﹐ 求 x ﹒

Ans:( 1) 2 3 sinx+ 2cosx,( 2) 6 π 3 x 7 A P Q D S C R B 3 x 7 A P Q D S C R B 7 sinx 3cosx 7 cosx 3sinx x x 7 x A O B C D

(11)

【 詳 解 】 (1) 自 C 作 直 線 OB 的 垂 線 ﹐ 且 交 直 線 OB 於 E﹒ 因 為∠CBE= 180°- 90°- (90°- x)= x﹐ 所 以 C 點 到 地 面 的 距 離 為 OE=OB+BE= 2 3sinx+ 2cosx﹒ x A O B C D E x (2) 依 題 意 ﹐ 可 列 得2 3 sinx+2 cosx=2 3﹒ 將 方 程 式 的 左 式 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 得 3 1

2 3 sin 2 cos 4( sin cos )

2 2

4(sin cos cos sin ) 4sin( )

6 6 6 x x x x x π x π x π + = + = + = + ﹒ 代 回 原 方 程 式 ﹐ 得 4sin( ) 2 3 6 x+π = ﹐ 即sin( ) 3 6 2 x+π = ﹒ 因 為0 2 x π < < ﹐ 即 2 6 x 6 3 π π π < + < ﹐ 所 以 6 3 x+π π= ﹐ 解 得 6 x=π ﹒

(12)

乙 ﹑ 圓 的 參 數 式

P x y 為 圓

( )

, C x: 2+y2 = (r2 r> ) 上 的 一 點 ﹒ 0 若 射 線 OP 為 有 向 角θ 的 終 邊 ﹐ 如 圖 4 所 示 ﹐ 則 依 廣 義 角 三 角 函 數 的 定 義 知 ﹕ sin y, cos x r r θ = θ = ﹐ 即 cos sin x r y r θ θ =   =  ( 0 ≤ θ < 2π)﹒ y O x r P(rcos ,rsin ) y O x r P(rcos , r sin ) ▲ 圖 4 因 此 圓 上 每 一 點 的 坐 標

( )

x y 都 可 表 示 成,

(

rcos , sinθ r θ

)

﹒ 反 之 ﹐ 可 以 表 成 此 形 式 的 點 都 在 圓 2 2 2 x +y = 上 ﹒ r 我 們 稱 cos sin x r y r θ θ =   =  ( 0≤ <θ 2π ) 為 圓 的 參 數 式 ﹐ 其 中θ 為 參 數 ﹒ 同 理 可 得 下 面 的 結 論 ﹕ 圓 的 參 數 式 : 圓

(

) (

2

)

2 2 : C xh + yk =r 的 參 數 式 為 cos sin x h r y k r θ θ − =   − =  ( 0≤ <θ 2π )﹐ 即 cos sin x h r y k r θ θ = +   = +  ( 0≤ <θ 2π )﹒ 現 在 我 們 練 習 將 圓 的 標 準 式 以 參 數 式 表 示 ﹒

(13)

【 例 題 6】 將 下 列 各 圓 以 參 數 式 表 示 ﹕ (1) x2+y2 = ﹒ 4 (2)

(

x+2

) (

2+ y−1

)

2 =9 Ans: (1) 2 cos 2 sin x y θ θ =   =  ( 0≤ <θ 2π), (2) 2 3cos 1 3sin x y θ θ = − +   = +  ( 0≤ <θ 2π) 【 詳 解 】 (1) 圓 2 2 2 2 x +y = 的 參 數 式 為 2 cos 2 sin x y θ θ =   =  ( 0≤ <θ 2π)﹒ (2) 圓

(

) (

2

)

2 2 2 1 3 x+ + y− = 的 參 數 式 為 2 3cos 1 3sin x y θ θ + =   − =  ( 0≤ <θ 2π )﹐ 即 2 3cos 1 3sin x y θ θ = − +   = +  ( 0≤ <θ 2π )﹒ 【 隨 堂 練 習 6】 求 參 數 式 2 4 cos 3 4 sin x y θ θ = − +   = +  ( 0≤ <θ 2π ) 表 示 之 圖 形 所 圍 成 的 面 積 ﹒ Ans:16π 【 詳 解 】 參 數 式 2 4 cos 3 4sin x y θ θ + =   − =  (0 ≤ θ < 2π) 表 示 的 圖 形 為 圓 :(x + 2)2 + (y − 3)2 = 42 其 所 圍 成 的 面 積 為 42π = 16π﹒ 圓 的 參 數 式 可 以 幫 助 我 們 解 決 一 些 圓 上 的 問 題 ﹒ 【 例 題 7】 已 知O

( ) (

0, 0 ,A 4, 3− ﹐ 且

)

P為 圓C x: 2+y2 = 上 的 一 點 ﹐ 4 求△OAP的 最 大 面 積 ﹒ Ans: 5

(14)

【 詳 解 】 因 為 P為 圓 C 上 的 點 ﹐ 所 以 可 設

(

2 cos , 2 sin

)

P θ θ ﹐ 0≤ <θ 2π ﹒ 於 是OP

=

(

2 cos , 2 sinθ θ

)

,OA

=

(

4, 3−

)

﹒ 利 用 面 積 公 式 ﹐ 得△OAP面 積 為 2 cos 2 sin 1 1 6 cos 8sin 4 3 2 2 θ θ θ θ = − − − 4 sinθ 3cosθ = + ﹒ 由 正 弦 與 餘 弦 函 數 的 疊 合 ﹐ 得 OAP △ 面 積 的 最 大 值 為 2 2 4 +3 = ﹒ 5 【 隨 堂 練 習 7】 已 知 A

(

3, 2 ,−

) ( )

B 6, 2 ﹐ 且 P為 圓C:

(

x−1

) (

2+ y+2

)

2 =4上 的 一 點 ﹐ 求△ABP的 最 大 面 積 ﹒ Ans: 9 【 詳 解 】 因 為 P 為 圓 C 上 的 點 ﹐ 所 以 可 設 P(1+ 2cosθ, −2+ 2sinθ )﹐ 0≦θ < 2π﹒ 於 是 AP

=(2 cosθ−2, 2sin )θ ﹐ AB

=(3, 4)﹒ 利 用 面 積 公 式 ﹐ 得 △ABP 面 積 為 2 cos 2 2sin 1 | | 3 4 2 1 | 8cos 8 6sin | 2 | 3sin 4 cos 4 | θ θ θ θ θ θ − = − − = − + − ﹒ 由 正 弦 與 餘 弦 函 數 的 疊 合 ﹐ 得 △ABP 面 積 的 最 大 值 為|− −( 3)2+42 − = − − = ﹒4 | | 5 4 | 9 x y O P A(4,−3)

(15)

丙 ﹑ 橢 圓 的 參 數 式

P x y 為 橢 圓

( )

, 2 2 2 2 :x y 1 a b Γ + = 上 的 一 點 ﹒ 因 為 P點 滿 足 2 2 1 x y a b   +  =         ﹐ 所 以 點 x y, a b      落 在 單 位 圓 上 ﹒ 根 據 圓 的 參 數 式 ﹐ 我 們 可 以 找 到 一 個 角θ( 0≤ <θ 2π)﹐ 使 得 x cos , y sin a = θ b = θ ﹐ 即 x=acosθ , y=bsinθ ﹒ 因 此 ﹐ 橢 圓 Γ 上 每 一 點 的 坐 標

( )

x y 都 可 表 示 成 ,

(

acos , sinθ b θ

)

, 0≤ <θ 2π 的 形 式 ﹔ 反 之 ﹐ 可 以 表 成 此 形 式 的 點 都 在 橢 圓 Γ 上 ﹒ 我 們 稱 cos sin x a y b θ θ =   =  ( 0≤ <θ 2π ) 為 橢 圓 Γ 的 參 數 式 ﹐ 其 中 θ 為 參 數 ﹒ 同 理 可 得 下 面 的 結 論 ﹕ 橢 圓 的 參 數 式 : 橢 圓

(

) (

)

2 2 2 2 : x h y k 1 a b Γ − + − = 的 參 數 式 為 cos sin x h a y k b θ θ − =   − =  ( 0≤ <θ 2π )﹐ 即 cos sin x h a y k b θ θ = +   = +  ( 0≤ <θ 2π )﹒ 底 下 做 一 個 練 習 ﹒ 【 例 題 8】 下 列 哪 些 選 項 的 點 落 在 橢 圓 2 2 1 16 9 x y + = 上 ﹖ (1)

(

0, 3− (2)

)

12 12, 5 5       (3)

( )

4, 3 (4)

(

4 cos 5 , 3sin 5° °

)

(5)

(

4 cos110 , 3sin110° ° ﹒

)

(16)

Ans: (1)(2)(4)(5) 【 詳 解 】 將 各 點 代 入 橢 圓 方 程 式 的 左 式 ﹐ 得 (1) 0 9 1 16+ =9 ﹐ (2) 144 144 9 16 25 25 1 16 + 9 = 25+25= ﹐ (3) 16 9 2 1 16+ = ≠9 ﹐ (4) 16 cos 52 9 sin 52 2 2 cos 5 sin 5 1 16 9 °+ °= ° + ° = ﹐ (5) 16 cos 1102 9 sin 1102 2 2 cos 110 sin 110 1 16 9 °+ °= ° + ° = ﹒ 故 選(1)(2)(4)(5)﹒ 【 隨 堂 練 習 8】 下 列 哪 些 選 項 的 點 落 在 橢 圓 2 2 1 9 16 x + y = 上 ﹖ (1)

(

0, 4− (2)

)

12 12, 5 5       (3)

( )

3, 4 (4)

(

3cos 20 , 4 sin 20° °

)

(5)

(

3cos 215 , 4 sin 215° ° ﹒

)

Ans: (1)(2)(4)(5) 【 詳 解 】 將 各 點 代 入 橢 圓 方 程 式 的 左 式 ﹐ 得 (1) 0 16 1 9+16 = (2) 144 144 16 9 25 25 1 9 + 16 =25+25= (3) 9 16 2 1 9+16= ≠ (4) 9 cos 202 16sin 202 2 2 cos 20 sin 20 1 9 16 °+ °= ° + ° =

(17)

(5) 9 cos 2152 16sin 2152 2 2 cos 215 sin 215 1 9 16 °+ °= ° + ° = 故 選(1)(2)(4)(5)﹒ 橢 圓 的 參 數 式 可 以 幫 助 我 們 解 決 一 些 橢 圓 上 的 問 題 ﹒ 【 例 題 9】 已 知 周 長 為 16 之 矩 形 的 邊 平 行 坐 標 軸 ﹐ 且 內 接 於 橢 圓 2 2 1 12 4 x + y = ﹐ 求 此 矩 形 的 面 積 ﹒ Ans: 12 【 詳 解 】 如 右 圖 所 示 ﹐ 設 此 矩 形 在 第 一 象 限 的 頂 點 P之 坐 標 為

(

2 3 cos , 2 sin

)

, 0 2 π θ θ < <θ ﹒ 由 周 長 為 16 及 橢 圓 的 對 稱 性 ﹐ 可 列 得

(

)

4 2 3 cosθ +2 sinθ =16﹐ 即 3 cosθ+sinθ = ﹒ 2 利 用 正 弦 與 餘 弦 的 疊 合 ﹐ 得 3 1

2 cos sin 2 2 sin 2 sin 1

2 2 3 3 π π θ θ θ θ   + = ⇒ + = ⇒ + =           ﹒ 因 此 3 2 π π θ+ = ﹐ 解 得 6 π θ = ﹐ 即 2 3 cos , 2 sin

( )

3,1 6 6 P π π = P   ﹒ 故 此 矩 形 的 面 積 為 4 3 1

(

× =

)

12﹒ 【 隨 堂 練 習 9】 已 知 矩 形 的 邊 平 行 坐 標 軸 ﹐ 且 內 接 於 橢 圓 2 2 1 16 9 x + y = ﹐ 求 此 矩 形 的 最 大 面 積 ﹒ Ans: 24 x y O P 2 3cos ,2sin

(18)

【 詳 解 】 如 圖 所 示 ﹐ 設 此 矩 形 在 第 一 象 限 的 頂 點 P 之 坐 標 為 (4cosθ,3sinθ )﹐ 0 2 π θ < < ﹒ x y O P(4cos ,3sin ) 由 橢 圓 的 對 稱 性 ﹐ 得 矩 形 的 面 積 為

4(4cosθ ⋅ 3sinθ )= 48sinθ cosθ = 24sin2θ﹒ 當 4 π θ= 時 ﹐ 矩 形 有 最 大 面 積 24sin 24 2 π =【 例 題 10】 如 右 圖 ﹐ 已 知 A B, 為 橢 圓 2 2 1 9 4 x y + = 的 兩 頂 點 ﹐ P為 橢 圓 上 一 點 ﹐ 求 △ ABP 的 最 大 面 積 及 此 時 P點 的 坐 標 ﹒ Ans:3 3 2+ ﹐(3 2, 2) 2 【 詳 解 】 設 P點 的 坐 標 為

(

3cos , 2 sinθ θ

)

﹒ 因 為 A 點 的 坐 標 為

(

−3, 0

)

B 點 的 坐 標 為

(

0, 2− ﹐ 所 以

)

(

3, 2 ,

)

(

3cos 3, 2 sin

)

AB

= − AP

= θ + θ ﹒ 利 用 面 積 公 式 ﹐ 得△ABP面 積 為 3 2 1 1 6 sin 6 cos 6 3cos 3 2 sin 2 θ θ 2 θ θ − = + + + 3 sinθ cosθ 1 = + + x y O A B P

(19)

1 1 3 2 sin cos 1 2 θ 2 θ   = + +   3 2 sin 1 4 π θ   = + +   ﹒ 當 4 2 π π θ+ = ﹐ 即 4 π θ = 時 ﹐△ABP有 最 大 面 積 為 3 2 1 1× + = +3 3 2﹐ 此 時 P點 的 坐 標 為 3cos , 2 sin 3 2, 2 4 4 2 π π     =        【 隨 堂 練 習 10】 已 知 P為 橢 圓Γ : 3x2+16y2 =16上 一 點 ﹐ 求 點 P到 直 線 : 3 4 12 0 L x+ y− = 的 最 短 距 離 及 此 時 P點 的 坐 標 ﹒ Ans: 4 5﹐ 1 (2, ) 2 【 詳 解 】 因 為 P 為 橢 圓 Γ: 2 2 1 16 1 3 x + y = 上 的 點 ﹐ 所 以 可 設 ( 4 cos ,sin ) 3 P θ θ ﹐0 ≤ θ < 2π﹒ 利 用 點 到 直 線 的 距 離 公 式 ﹐ 得 P 到 直 線 L 的 距 離 為 2 2 4 | 3 cos 4sin 12 | | 4sin 4 3 cos 12 | 3 5 3 4 d θ θ θ θ ⋅ + − + − = = + ﹒

因 為4sin 4 3 cos 8( sin1 3cos ) 8sin( )

2 2 3 π θ+ θ= θ+ θ = θ+ ﹐ 所 以 P 到 直 線 L 的 最 短 距 離 為 d 的 最 小 值| 8 12 | 4 5 5 − = ﹐ 此 時 3 2 6 π π π θ+ = ⇒ =θ ﹐ 得 P 點 的 坐 標 為( 4 cos ,sin ) (2, )1 6 6 2 3 π π = ﹒

(20)

最 後 ﹐ 我 們 來 看 看 橢 圓 參 數 式 中 的 參 數θ 所 代 表 的 幾 何 意 義 ﹕ 在 坐 標 平 面 上 作 兩 同 心 圓 2 2 2 x +y =a 與 2 2 2 x +y =b ﹐ 其 中 a> > ﹒ 對 任 意b 0 有 向 角θ( 0≤ <θ 2π) 而 言 ﹐ 由 圓 的 參 數 式 知 ﹐ 其 終 邊 分 別 交 兩 圓 於

M a

(

cos , sinθ a θ 與

)

N b

(

cos , sinθ b θ

)

兩 點 ﹐ 如 圖 5 所 示 ﹒ 令 通 過 M點 的 鉛 直 線 與 通 過 N點 的 水 平 線 相 交 於 點 P ﹐ 因 為 點 P 與 M 有 相 同 的 x 坐 標 ﹐ 與 N有 相 同 的 y 坐 標 ﹐ 所 以 點 P 的 坐 標 為

(

acos , sinθ b θ ﹐ 這 就 是 參 數

)

θ所 對 應 的 點 ﹒ 利 用 這 個 方 法 可 逐 步 的 描 繪 出 橢 圓 2 2 2 2 1 x y a +b = 的 圖 形 ﹒ y O x M P N a b ▲圖 5

(21)

lt99a522 習 題

一 ﹑ 基 礎 題

1. 求 下 列 各 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹕

(1)y= 3 sinx−cosx (2)y=12 sinx−5 cosx

Ans:( 1) 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 −2;(2)最 大 值 為 13﹐ 最 小 值 為 −13 【 詳 解 】 (1) 因 為 3 sin cos 3 1 2( sin cos ) 2 2

2(sin cos cos sin )

6 6 2sin( ) 6 y x x x x x x x π π π = − = − = − = − ﹐ 所 以 y 的 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 −2﹒ (2) 因 為 12sin 5cos 12 5 13( sin cos ) 13 13

13(sin cos cos sin )

y x x x x x θ x θ = − = − = − = 13sin(x − θ )﹐ 其 中cos 12 13 θ= ﹐sin 5 13 θ= ﹐ 所 以 y 的 最 大 值 為 13﹐ 最 小 值 為 − 13﹒ 2. 求 函 數 y=3sinx+ 3 cosx+2在 下 列 各 範 圍 內 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹐ 並 求 其 對 應 的 x 值 ﹒ (1)0≤ <x﹒ (2)0≤ ≤x π Ans:( 1) 當 3 x= 時 ﹐ 最 大 值 2 3 2π + ﹐ 當 4 3 x= π 時 ﹐ 最 小 值 2 3 2− + ;

(22)

(2) 當 3 x= 時 ﹐ 最 大 值 2 3 2π + ﹐ 當 x = π 時 ﹐ 最 小 值 − 3+2 【 詳 解 】 先 將 函 數 化 為 正 弦 函 數 ﹐ 得 3sin 3 cos 2 3 1 2 3( sin cos ) 2 2 2

2 3(sin cos cos sin ) 2

6 6 y x x x x x π x π = + + = + + = + + 2 3 sin( ) 2 6 x π = + + ﹒ (1) 因 為 0 ≤ x < 2π﹐ 所 以 13 6 x 6 6 π ≤ +π < π ﹒ 當 6 2 x+π π= ﹐ 即 3 x= 時 ﹐ π y 有 最 大 值 2 3 1 2 2 3 2⋅ + = + ﹒ 當 3 6 2 x+π = π ﹐ 即 4 3 x= π 時 ﹐ y 有 最 小 值 2 3 ( 1) 2⋅ − + = −2 3+ ﹒ 2 (2) 因 為 0 ≤ x ≤ π﹐ 所 以 7 6 x 6 6 π ≤ +π π ﹒ 當 6 2 x+π π= ﹐ 即 3 x= 時 ﹐ π y 有 最 大 值 2 3 1 2 2 3 2⋅ + = + ﹒ 當 7 6 6 x+π = π ﹐ 即 x = π 時 ﹐ y 有 最 小 值2 3 ( 1) 2 3 2 2 ⋅ − + = − + ﹒ 3. 在0≤ <x 2π 範 圍 內 ﹐ 求 函 數 2 sin 2 cos 6 y= x+πx   最 大 值 與 最 小 值 ﹒ Ans:最 大 值 2﹐ 最 小 值 − 2 【 詳 解 】 先 利 用 和 角 公 式 把 2sin( ) 6 x+π 展 開 ﹐ 得

(23)

2sin( ) 2 cos 6

2(sin cos cos sin ) 2 cos

6 6

3 1

2( sin cos ) 2 cos

2 2 y x x x x x x x x π π π = + − = + − = + − 3 sinx cosx = − ﹒ 再 化 成 正 弦 函 數 ﹐ 得 3 1 2( sin cos ) 2 2

2(sin cos cos sin )

6 6 2sin( ) 6 y x x x x x π π π = − = − = − ﹒ 因 為 0 ≤ x < 2π﹐ 所 以 11 6 x 6 6 π π π − ≤ − < ﹒ 當 6 2 x−π π= ﹐ 即 2 3 x= π 時 ﹐y 有 最 大 值 2﹒ 當 3 6 2 x−π = π ﹐ 即 5 3 x= π 時 ﹐y 有 最 小 值 − 2﹒ 4. 在0≤ <x 2π 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式 cosx− 3 sinx= 的 解 ﹒ 1 Ans: 4 3 π 或 0 【 詳 解 】 將 方 程 式 的 左 式 化 成 正 弦 函 數 的 形 式 ﹐ 得 cos 3 sin 3 1 2( sin cos ) 2 2

2(sin cos cos sin )

6 6 2sin( ) 6 x x x x x x x π π π − = − − = − − = − − ﹒ 代 回 原 方 程 式 ﹐ 得 2sin( ) 1 6 x π − − = ﹐ 即sin( ) 1 6 2 x−π = − ﹒ 因 為 0 ≤ x < 2π﹐ 即 11 6 x 6 6 π π π − ≤ − < ﹐

(24)

所 以 7 6 6 x−π = π 或 6 π − ﹐ 解 得 4 3 x= π 或 0﹒ 5. 關 於 函 數

( )

1

(

sin cos

)

2 y= f x = x+ x 的 圖 形 ﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) 週 期 為π (2) 振 幅 為 2 (3) 與 y 軸 的 交 點 為 0,1 2       (4) 與 x 軸 有 無 限 個 交 點 (5) 對 稱 於 y 軸 ﹒ Ans(3)(4) 【 詳 解 】 因 為 1 (sin cos ) 2 2 1 1 ( sin cos ) 2 2 2 2

(sin cos cos sin )

2 4 4 y x x x x x π x π = + = + = + 2 sin( ) 2 x 4 π = + ﹐ 所 以 將 y = sinx 的 圖 形 向 左 平 移 4 π 單 位 ﹐ 再 將 振 幅 縮 小 為 2 2 ﹐ 就 得 到 2 sin( ) 2 4 y= x+π 的 圖 形 ﹒ 2 4 2 − 2 −4 3 4 −3 4 3 2 5 4 7 4 − x y O 2 2 2 2 − 1 −1 y=sinx y= 2sin x+ 2 4 (1) 週 期 為 2π﹒ (2) 振 幅 為 2 2 ﹒

(25)

(3) 當 x = 0 時 ﹐ 2sin 2 2 1 2 4 2 2 2 y= π = × = ﹒ 因 此 與 y 軸 的 交 點 為 (0, )1 2 ﹒ (4) 由 上 圖 知 與 x 軸 有 無 限 個 交 點 ﹒ (5) 因 為 以 y 軸 為 折 線 ﹐ 對 折 後 左 右 圖 形 不 重 合 ﹐ 所 以 函 數 圖 形 不 對 稱 於 y 軸 ﹒ 故 選(3)(4)﹒ 6. 已 知 P x y 為 圓

( )

, x2+y2−6x−2y+ = 上 的 點 ﹐ 9 0 求 2 2 2 x +yy的 最 大 值 ﹒ Ans: 15 【 詳 解 】 因 為 P 為 圓 (x − 3)2 + (y − 1)2 = 1 上 的 點 ﹐ 所 以 可 設 P(3 + cosθ,1 + sinθ )﹐ 0 ≤ θ < 2π﹒ 於 是 x2 + y2 − 2y

= (3 + cosθ )2 + (1 + sinθ )2 − 2(1 + sinθ )

= 9 + 6cosθ + cos2θ + 1 + 2sinθ + sin2θ − 2 − 2sinθ = 9 + 6cosθx2 + y2 − 2y 的 最 大 值 為 9 + 6 × 1 = 15﹒ 7. 已 知 正 方 形 的 邊 平 行 坐 標 軸 ﹐ 且 內 接 於 橢 圓 2 2 1 4 9 x y + = ﹐ 求 此 正 方 形 的 面 積 ﹒ Ans: 144 13 【 詳 解 】 如 圖 所 示 ﹐ 設 此 正 方 形 在 第 一 象 限 的 頂 點 P 之 坐 標 為 (2cosθ,3sinθ )﹐ 0 2 π θ < < ﹒

(26)

x y

O

P(2cos ,3sin )

因 為 是 內 接 正 方 形 ﹐ 所 以 由 橢 圓 的 對 稱 性 ﹐ 得 2cosθ = 3sinθ ⇒tan sin 2

cos 3 θ θ θ = = ﹐ 即 (2 3 ,3 2 ) ( 6 , 6 ) 13 13 13 13 P ⋅ ⋅ =P ﹒ 故 此 正 方 形 的 面 積 為 6 2 144 4( ) 13 13 = ﹒ 8. 已 知 P 為 橢 圓 2 2 : 1 9 4 x y Γ + = 上 一 點 ﹐ 求 點 P 到 直 線 : 2 10 0 L xy+ = 的 最 短 距 離 及 此 時 P 點 的 坐 標 ﹒ Ans: 5 ﹐ ( 9 8, ) 5 5 − 【 詳 解 】 因 為 P 為 橢 圓Γ: 2 2 1 9 4 x + y = 上 的 點 ﹐ 所 以 可 設 P(3cosθ,2sinθ )﹐ 0 ≤ θ < 2π﹒ 利 用 點 到 直 線 的 距 離 公 式 ﹐ 得 P 到 直 線 L 的 距 離 為 2 2

| 3cos 2 2sin 10 | | 4sin 3cos 10 | 5

1 ( 2)

d= θ− ⋅ θ+ = − θ+ θ+

+ − ﹒

因 為 4sin 3cos 5( sin4 3cos ) 5sin( )

5 5 θ θ θ θ θ φ − + = − − = − − ﹐ 其 中cos 4 5 φ= ﹐sin 3 5 φ= ﹒ 所 以 P 到 直 線 L 的 最 短 距 離 為 d 的 最 小 值 | 5 10 | 5 5 5 5 − + = = ﹐ 此 時 2 2 π π θ φ− = ⇒ =θ + ﹐ 得φ P 點 的 坐 標 為

(27)

9 8 (3cos( ), 2sin( )) ( 3sin , 2 cos ) ( , )

2 2 5 5 π +φ π +φ = − φ φ = −

二 ﹑ 進 階 題

9. 求 3 1 sin 20°−cos 20°的 值 ﹒ Ans: 4 【 詳 解 】 原 式 3 cos 20 sin 20 sin 20 cos 20 3 1 2( cos 20 sin 20 ) 2 2 sin 20 cos 20

2(sin 60 cos 20 cos 60 sin 20 ) sin 20 cos 20 ° − ° = ° ° ° − ° = ° ° ° ° − ° ° = ° ° 2sin(60 20 ) 2sin 40 4 1

sin 20 cos 20 sin 40 2 ° − ° ° = = = ° ° °10. 右 圖 是 函 數 y=asinx b+ cosx圖 形 的 一 部 分 ﹐ (1) 此 函 數 的 週 期 ﹒ (2) 實 數 a b 的 值 ﹒ , Ans:( 1) 2π , ( 2)a= 3﹐ b = −1 【 詳 解 】 (1) 由 圖 知 ﹐ 週 期 為2(5 2 ) 2 3 3 π π = π ﹒ (2) 因 為 過 點 (0, − 1)與(2 , 2) 3 π ﹐ 所 以 sin 0 cos 0 1 2 2 sin cos 2 3 3 a b a π b π + = −    + =  1 3 1 2 2 2 b a b = −   ⇒  − =  x y O 2 −2 −1 2 3 5 3

(28)

解 得a= 3﹐b = − 1﹒ 11. 欲 在 一 半 徑 為 50 公 尺 的 圓 形 池 塘 上 建 造 一 座 「 T」 字 型 的 木 橋 ( 如 圖 所 示 ﹐ DC垂 直 AB 於C 點 ﹐ 且 AC=CB) ﹒ 問 這 木 橋 的 總 長 最 長 為 多 少 公 尺 ﹖ Ans:50 5+50 【 詳 解 】 設 O 為 圓 心 ﹐ 連 接 AO ﹒

令∠COA = x﹐ 得 AC=50sinxOC=50cosx

所 以 木 橋 的 總 長 為

2 50sin 50 cos 50 50(2sin cos ) 50

AB+CD= ⋅ x+ x+ = x+ x +

2 1

50 5( sin cos ) 50 50 5(sin cos cos sin ) 50

5 x 5 x x θ x θ = + + = + + 50 5 sin(x θ) 50 = + + ﹐ 其 中cos 2 5 θ = ﹐sin 1 5 θ= ﹒ 故 木 橋 最 長 為 50 5 50+ ( 公 尺 )﹒ A C B O D x 50 12. 已 知 3, 0 4 A  為 橢 圓 2 2 1 4 1 x + y = 的 長 軸 上 一 點 ﹐ 求 橢 圓 上 距 離 A 點 最 近 之 點 的 x 坐 標 ﹒ Ans: 1 【 詳 解 】 設 P(2cosθ,sinθ )為 橢 圓 2 2 1 4 1 x + y = 上 一 點 ﹐ 則

(29)

2 2 2 2

3 9

(2 cos ) (sin 0) 4 cos 3cos 1 cos

4 16

AP= θ− + θ− = θ− θ+ + − θ

2 25 1 2 13

3cos 3cos 3(cos )

16 2 16 θ θ θ = − + = − + ﹒ 當cos 1 2 θ= 時 ﹐ AP 有 最 小 值 13 4 ﹐ 此 時 P 點 的 x 坐 標 為2 1 1 2 × = ﹒ A P x y O

數據

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參考文獻

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