booka52/lt99a522 三角函數的應用

(1)

2

2 -

-

2

2 三

三

角

函

數

的

應

用

兩波動疊合的現象 ﹐ 在生活中是常見的 ﹒ 例如同時把兩顆石頭丟入平靜的湖面 ﹐ 會產生兩組同心圓形狀的漣漪 ﹐ 它們各自向岸邊擴散而相遇 ﹐ 如圖 1 所示 ﹒ 這漣漪相遇就是波動的疊合 ﹒ 探討正弦函數與餘弦函數兩波狀圖形的疊合是本節主要內容之一 ﹒

甲 ﹑ 正弦與餘弦函數的疊合

我們知道正弦函數與餘弦函數的圖形都呈波動形狀 ﹐ 且週期性的重複出現 ﹐ 如果這兩個波動同時進行 ﹐ 疊合在一起後 ﹐ 會變成什麼樣子呢 ﹖ 換句話說 ﹐ 我們想知道函數 y=sinx+cosx的圖形會是什麼樣子 ﹖ 會不會仍然是一個有規則的波動呢 ﹖ 先列表 ﹐ 再用描點法來看 y=sinx+cosx的圖形 ﹕ x 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 3 2 π 7 4 π 2π sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 2 2 0 2 2 − −1 2 2 − 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 2 2 − −1 2 2 − 0 2 2 1 sin cos y= x+ x 1 3 1 2 + 2 3 1 2 + 1 0 −1 − 2 −1 0 1 y O 3 2 2 4 3 1 x y = sinx+cosx 1 3 2 2 2 2 3 y = sinx 2 2 5 2 7 2 4 y = cosx ▲ 圖 2

(2)

事實上 ﹐ 圖 2 是函數 y=sinx+cosx的正確圖形 ﹐ 它與 y=sinx的圖形都是以 2π 為週期的波狀圖形 ﹒ 它是否也可表成正弦函數的形式呢 ﹖ 我們利用和角公式 ﹐ 將 y=sinx+cosx寫成下列形式 ﹕ sin cos y= x+ x 1 1 2 sin cos 2 x 2 x   = _ + _  

2 sin cos cos sin

4 4 x π x π   = _ + _   2 sin 4 x π   = _ + _  ﹒

由此可知 y=sinx+cosx的圖形是將 y=sinx圖形的振幅

由 1 放大為 2 後 ﹐ 再向左平移 4 π 單位而得（這可由圖 2 得到印證）﹐ 它的最高點出現在 , 2 4 π      ﹐ 9 , 2 4 π      ﹐ … 等 ﹐ 最低點出現在 3 , 2 4 π ₋ ₋     ﹐ 5 , 2 4 π  ₋     ﹐ … 等 ﹔ 亦即函數 y=sinx+cosx的最大值為 2 ﹐ 最小值為 − 2﹒ 一般而言 ﹐ 當 a 與 b 是不全為 0 的實數時 ﹐ 函數 y=asinx+bcosx都可以化成正弦函數的形式 ﹐ 方法如下 ﹕ 首先將函數 y=asinx+bcosx改寫為 2 2 2 2 sin 2 2 cos a b y a b x x a b a b   = + _ + _ + +  ﹐ 此時 ﹐ 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =     + +     ﹒ 接著 ﹐ 在坐標平面上 ﹐ 設點 P的坐標為

( )

a b ﹒ , 若射線 OP 為有向角θ的終邊 ﹐ 如圖 3 所示 ﹐ 則由廣義角三角函數的定義知 ﹕ 2 2 2 2 cos a , sin b a b a b θ = θ = + + ﹒ 於是 ﹐ 利用和角公式

(

)

sin α β+ =sinαcosβ+cosαsinβ ﹐ 得 y O x P(a,b) a2_+b2 b a ▲圖 3

(3)

2 2 2 2 sin 2 2 cos a b y a b x x a b a b   = + _ + _ + +  

(

)

2 2

sin cos cos sin

a b x θ x θ = + +

(

)

2 2 sin a b x θ = + + ﹒ 由上述的討論 ﹐ 我們有正弦與餘弦函數的疊合： (1) 函數 y=asinx+bcosx的圖形是以 2π 為週期 ﹐ 振幅為 2 2 a +b 的波狀圖形 ﹒ (2) 函數 y=asinx+bcosx的最大值為 2 2 a +b ﹐ 最小值為 2 2 a b − + ﹒ 當我們遇到形如 y=asinx+bcosx的函數時 ﹐ 可以利用和角公式將它改寫成正弦函數（或餘弦函數）的形式 ﹐ 就容易求得此函數的最大值與最小值 ﹐ 舉例如下 ﹒ 【例題 1】 求下列各函數的最大值與最小值 ﹕

(1) y= 3 sinx+cosx﹒ (2) y=sinx−2 cosx﹒

Ans：( 1) 最大值為 2﹐ 最小值為 − 2;(2)最大值為 5 ﹐ 最小值為 − 5 【詳解】 (1) 因為 3 sin cos y= x+ x

( )

2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 sin cos 3 1 3 1 x x     = + _ + _  ₊ ₊    3 1 2 sin cos 2 x 2 x   = _ + _   1 2 3 6

(4)

2 sin cos cos sin 6 6 x π x π   = _ + _   2 sin 6 x π   = _ + _  ﹐ 所以 y的最大值為 2﹐ 最小值為−2﹒ (2) 因為 ₂

( )

2 1 + −2 = 5﹐ 所以 sin 2 cos y= x− x 1 2 5 sin cos 5 x 5 x   = _ − _  ﹒ 令cos 1 , sin 2 5 5 θ = θ = ﹐ 得

(

)

5 sin cos cos sin

y= x θ− x θ

(

)

5 sin x θ = − ﹒ 故 y的最大值為 5 ﹐ 最小值為 − 5﹒ 【隨堂練習 1】 求下列各函數的最大值與最小值 ﹕

(1) y=sinx− 3 cosx﹒ (2) y=3sinx+4 cosx﹒

Ans：( 1) 最大值為 2﹐ 最小值為 −2;(2)最大值為 5﹐ 最小值為 −5 【詳解】

(1) 因為

1 3

sin 3 cos 2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )

2 2 3 3 3

y= x− x= x− x = x π − x π = x−π ﹒

所以 y 的最大值為 2﹐ 最小值為 −2﹒

(2) 因為

3 4

3sin 4 cos 5( sin cos ) 5(sin cos cos sin ) 5sin( )

5 5 y= x+ x= x+ x = x θ+ x θ = x+θ ﹒ 其中cos 3 5 θ = ﹐ sin 4 5 θ= ﹒ 所以 y 的最大值為 5﹐ 最小值為 − 5﹒ 上例是 x 的範圍不受限制時的情形 ﹐ 底下我們來討論 ﹕ 當 x 的範圍受到 1 2 5

(5)

限制時 ﹐ 要如何求得函數的最大值與最小值 ﹖ 【例題 2】 求函數 y=sinx− 3 cosx+5在下列各範圍內的 最大值與最小值 ﹐ 並求其對應的 x 值 ﹕ (1) 0≤ <x 2π﹒ (2) 0≤ ≤ ﹒ x π Ans：( 1) 當 5 6 x= π 時 ﹐ 最大值 7﹐ 當 11 6 x= π 時 ﹐ 最小值 3; (2) 當 5 6 x= π 時 ﹐ 最大值 7﹐ 當 x = 0 時 ﹐ 最小值 5− 3 【詳解】將函數化成正弦函數的形式 ﹐ 得 sin 3 cos 5 y= x− x+ 1 3 2 sin cos 5 2 x 2 x   = _ − _+  

2 sin cos cos sin 5

3 3 x π x π   = _ − _+   2 sin 5 3 x π   = _ − _+   ﹒ (1) 因為 0≤ <x 2π﹐ 即 5 3 x 3 3 π π π − ≤ − < ﹐ 所以 1 sin 1 3 x π   − ≤ _ − _≤   ﹒ 當 3 2 x− =π π ﹐ 即 5 6 x= π 時 ﹐ y有最大值 2 1 5 7× + = ﹒ 當 3 3 2 x− =π π ﹐ 即 11 6 x= π 時 ﹐ y有最小值 2× − + = ﹒

( )

1 5 3 (2) 因為 0 x≤ ≤ ﹐ 即π 2 3 x 3 3 π π π − ≤ − ≤ ﹐ 所以 3 sin 1 2 x 3 π   − ≤ _ − _≤   ﹒ 當 3 2 x− =π π ﹐ 即 5 6 x= π 時 ﹐ y有最大值 2 1 5 7× + = ﹒

(6)

當 3 3 x− = −π π ﹐ 即 x= 時 ﹐ 0 y有最小值 2 3 5 5 3 2   × −__ __+ = −   ﹒ 【隨堂練習 2】 求函數 y=sinx−cosx+1在下列各範圍內的 最大值與最小值 ﹐ 並求其對應的 x 值 ﹕ (1)0≤ <x 2π﹒ (2)0 2 x π ≤ ≤ ﹒ Ans：( 1) 當 3 4 x= π 時 ﹐ 最大值 2+ ﹐ 當1 7 4 x= π 時 ﹐ 最小值− 2 1+ ; (2) 當 2 x= 時 ﹐ 最大值 2﹐ 當 x = 0 時 ﹐ 最小值 0π 【詳解】先將函數化為正弦函數 ﹐ 得 1 1

sin cos 1 2( sin cos ) 1 2(sin cos cos sin ) 1

4 4 2 2 y= x− x+ = x− x + = x π − x π + 2 sin( ) 1 4 x π = − + ﹒ (1) 因為 0 ≤ x < 2π﹐ 所以 7 4 x 4 4 π π π − ≤ − < ﹒ 當 4 2 x−π π= ﹐ 即 3 4 x= π 時 ﹐ y 有最大值 2 1 1⋅ + = 2 1+ ﹒ 當 3 4 2 x−π = π ﹐ 即 7 4 x= π 時 ﹐ y 有最小值 2 ( 1) 1⋅ − + = − 2+1﹒ (2) 因為0 2 x π ≤ ≤ ﹐ 所以 4 x 4 4 π π π − ≤ − ≤ ﹒ 當 4 4 x−π π= ﹐ 即 2 x=π 時 ﹐ y 有最大值 2 2 1 2 2 ⋅ + = ﹒

(7)

當 4 4 x−π = −π ﹐ 即 x = 0 時 ﹐ y 有最小值 2 ( 2) 1 0 2 ⋅ − + = ﹒ 底下是將函數改寫成 y=asinx+bcosx的形式 ﹐ 再求得函數的最大值與最小值之實例 ﹒ 【例題 3】 在 0≤ <x 2π 範圍內 ﹐ 求函數 2 sin 2 cos 6 y= _π −x_− x   的 最大值與最小值 ﹒ Ans：最大值 2﹐ 最小值 −2 【詳解】先利用和角公式把 2 sin 6 x π  ₋     展開 ﹐ 得 2 sin cos cos sin 2 cos

6 6

y= _ π x− π x_− x

 

1 3

2 cos sin 2 cos

2 x 2 x x   = __ − __−   3 sinx cosx = − − ﹒ 然後 ﹐ 再化成正弦函數的形式 ﹐ 得 3 1 2 sin cos 2 2 y= − _ x+ x_  

2 sin cos cos sin

6 6 x π x π   = − _ + _   2 sin 6 x π   = − _ + _  ﹒ 因為 0≤ <x 2π﹐ 即 13 6 x 6 6 π _{≤ + <}π π ﹐ 所以 1 sin 1 6 x π   − ≤ _ + _≤   ﹒  當 6 2 x+ =π π ﹐ 即 3 x=π 時 ﹐ y有最小值 −2﹒

(8)

 當 3 6 2 x+ =π π ﹐ 即 4 3 x= π 時 ﹐ y有最大值 2﹒ 【隨堂練習 3】 在 0≤ <x 2π 範圍內 ﹐ 求函數 cos sin 6 y= _π −x_− x   的 最大值與最小值 ﹒ Ans：最大值 1﹐ 最小值 −1 【詳解】先利用和角公式把 cos( ) 6 x π ₋ 展開 ﹐ 得 3 1

cos( ) sin cos cos sin sin sin cos sin sin

6 6 6 2 2 y= π − −x x= π x+ π x− x= x+ x− x 3 1 cos sin 2 x 2 x = − ﹒ 再化成正弦函數 ﹐ 得

(sin cos cos sin ) sin( )

3 3 3 y= − x π − x π = − x−π ﹒ 因為 0 ≤ x < 2π﹐ 即 5 3 x 3 3 π π π − ≤ − < ﹐ 所以 1 sin( ) 1 3 x π − ≤ − ≤ ﹐ 當 3 2 x−π π= ﹐ 即 5 6 x= π 時 ﹐y 有最小值 − 1﹒ 當 3 3 2 x−π = π ﹐ 即 11 6 x= π 時 ﹐y 有最大值 1﹒ 除了求函數的最大值與最小值外 ﹐ 化成正弦函數形式的方法 ﹐ 也可以幫助我們解方程式 ﹒ 【例題 4】 在 0≤ <x 2π 的範圍內 ﹐ 求方程式 sinx− 3 cosx= 的解 ﹒ 1 Ans： 2 π 或 7 6 π 【詳解】將方程式的左式化成正弦函數的形式 ﹐ 得

(9)

1 3 sin 3 cos 2 sin cos

2 2

x− x= _ x− x_

 

2 sin cos cos sin

3 3 x π x π   = _ − _   2 sin 3 x π   = _ − _  ﹒ 代回原方程式 ﹐ 得 2 sin 1 3 x π  ₋ ₌     ﹐ 即 1 sin 3 2 x π  ₋ ₌     ﹒ 因為 0≤ <x 2π﹐ 即 5 3 x 3 3 π π π − ≤ − < ﹐ 所以 3 6 x− =π π 或 5 6 π ﹐ 解得 2 x=π 或 7 6 π ﹒ 【隨堂練習 4】 在 0≤ <x 2π 的範圍內 ﹐ 求方程式 sinx−cosx= 的解 ﹒ 1 Ans： 2 π 或π 【詳解】將方程式的左式化成正弦函數的形式 ﹐ 得 1 1

sin cos 2 ( sin cos )

2 2

2 (sin cos cos sin ) 2 sin( )

4 4 4 x x x x x π x π x π − = − = − = − ﹒ 代回原方程式 ﹐ 得 2 sin( ) 1 4 x−π = ﹐ 即sin( ) 1 4 2 x−π = ﹒ 因為 0 ≤ x < 2π﹐ 即 7 4 x 4 4 π π π − ≤ − < ﹐ 所以 4 4 x−π π= 或 3 4 π ﹐ 解得 2 x= 或π π﹒ 練習一道應用問題 ﹒

(10)

【例題 5】 如右圖 ﹐ 矩形 ABCD 的四個頂點分別在矩形 PQRS的四個邊上 ﹒ 若 AB=3,BC=7﹐ 且 AB與 AQ的夾角為 x ﹐ 則當 x 為多少弧度時 ﹐ 矩形 PQRS的周長最大 ﹖ Ans： 20 2 【詳解】由題意可推得∠RBC= ∠ADP= ∠BAQ=x﹐ 於是矩形 PQRS的周長為

(

)

2 PQ QR+

(

)

2 7 sinx 3cosx 3sinx 7 cosx

= + + +

(

)

20 sinx cosx = + 1 1 20 2 sin cos 2 x 2 x   = _ + _  

20 2 sin cos cos sin

4 4 x π x π   = _ + _   20 2 sin 4 x π   = _ + _  ﹒ 故當 4 2 x+ =π π ﹐ 即 4 x=π 時 ﹐ 矩形 PQRS的周長有最大值 20 2 ﹒ 【隨堂練習 5】 如右圖 ﹐ 矩形磚塊斜靠在牆壁上 ﹐ 且 2 3, 2, AB= BC= ∠OAB=x（0 2 x π < < ） ﹒ (1)將C 點到地面的距離以 x 表示 ﹒ (2)已知C 點到地面的距離為 2 3 ﹐ 求 x ﹒

Ans：( 1) 2 3 sinx＋ 2cosx，( 2) 6 π 3 x 7 A P Q D _S C R B 3 x 7 A P Q D S C R B 7 sinx 3cosx 7 cosx 3sinx x x 7 x A O B C D

(11)

【詳解】 (1) 自 C 作直線 OB 的垂線 ﹐ 且交直線 OB 於 E﹒ 因為∠CBE＝ 180°－ 90°－ (90°－ x)＝ x﹐ 所以 C 點到地面的距離為 OE=OB+BE= 2 3sinx＋ 2cosx﹒ x A O B C D E x (2) 依題意 ﹐ 可列得2 3 sinx+2 cosx=2 3﹒ 將方程式的左式化成正弦函數的形式 ﹐ 得 3 1

2 3 sin 2 cos 4( sin cos )

2 2

4(sin cos cos sin ) 4sin( )

6 6 6 x x x x x π x π x π + = + = + = + ﹒ 代回原方程式 ﹐ 得 4sin( ) 2 3 6 x+π = ﹐ 即sin( ) 3 6 2 x+π = ﹒ 因為0 2 x π < < ﹐ 即 2 6 x 6 3 π π π < + < ﹐ 所以 6 3 x+π π= ﹐ 解得 6 x=π ﹒

(12)

乙 ﹑ 圓的參數式

設 P x y 為圓

( )

, C x: 2+y2 = （r2 r> ）上的一點 ﹒ 0 若射線 OP 為有向角θ 的終邊 ﹐ 如圖 4 所示 ﹐ 則依廣義角三角函數的定義知 ﹕ sin y, cos x r r θ = θ = ﹐ 即 cos sin x r y r θ θ =   =  （ 0 ≤ θ < 2π）﹒ y O x r P(rcos ,rsin ) y O x r P(rcos , r sin ) ▲ 圖 4 因此圓上每一點的坐標

( )

x y 都可表示成,

(

rcos , sinθ r θ

)

﹒ 反之 ﹐ 可以表成此形式的點都在圓 2 2 2 x +y = 上 ﹒ r 我們稱 cos sin x r y r θ θ =   =  （ 0≤ <θ 2π ）為圓的參數式 ﹐ 其中θ 為參數 ﹒ 同理可得下面的結論 ﹕ 圓的參數式：圓

(

) (

2

)

2 2 : C x−h + y−k =r 的參數式為 cos sin x h r y k r θ θ − =   − =  （ 0≤ <θ 2π ）﹐ 即 cos sin x h r y k r θ θ = +   = +  （ 0≤ <θ 2π ）﹒ 現在我們練習將圓的標準式以參數式表示 ﹒

(13)

【例題 6】 將下列各圓以參數式表示 ﹕ (1) x2+y2 = ﹒ 4 (2)

(

x+2

) (

2+ y−1

)

2 =9﹒ Ans： (1) 2 cos 2 sin x y θ θ =   =  （ 0≤ <θ 2π）， (2) 2 3cos 1 3sin x y θ θ = − +   = +  （ 0≤ <θ 2π）【詳解】 (1) 圓 2 2 2 2 x +y = 的參數式為 2 cos 2 sin x y θ θ =   =  （ 0≤ <θ 2π）﹒ (2) 圓

(

) (

2

)

2 ₂ 2 1 3 x+ + y− = 的參數式為 2 3cos 1 3sin x y θ θ + =   − =  （ 0≤ <θ 2π ）﹐ 即 2 3cos 1 3sin x y θ θ = − +   = +  （ 0≤ <θ 2π ）﹒ 【隨堂練習 6】 求參數式 2 4 cos 3 4 sin x y θ θ = − +   = +  （ 0≤ <θ 2π ）表示之圖形所圍成的面積 ﹒ Ans：16π 【詳解】參數式 2 4 cos 3 4sin x y θ θ + =   − =  （0 ≤ θ < 2π）表示的圖形為圓：(x + 2)2_{+ (y − 3)}2_{= 4}2_﹐ 其所圍成的面積為 42π = 16π﹒ 圓的參數式可以幫助我們解決一些圓上的問題 ﹒ 【例題 7】 已知O

( ) (

0, 0 ,A 4, 3− ﹐ 且

)

P為圓C x: 2+y2 = 上的一點 ﹐ 4 求△OAP的最大面積 ﹒ Ans： 5

(14)

【詳解】因為 P為圓 C 上的點 ﹐ 所以可設

(

2 cos , 2 sin

)

P θ θ ﹐ 0≤ <θ 2π ﹒ 於是OP



=

(

2 cos , 2 sinθ θ

)

,OA



=

(

4, 3−

)

﹒ 利用面積公式 ﹐ 得△OAP面積為 2 cos 2 sin 1 1 6 cos 8sin 4 3 2 2 θ θ θ θ = − − − 4 sinθ 3cosθ = + ﹒ 由正弦與餘弦函數的疊合 ﹐ 得 OAP △ 面積的最大值為 2 2 4 +3 = ﹒ 5 【隨堂練習 7】 已知 A

(

3, 2 ,−

) ( )

B 6, 2 ﹐ 且 P為圓C:

(

x−1

) (

2+ y+2

)

2 =4上的一點 ﹐ 求△ABP的最大面積 ﹒ Ans： 9 【詳解】因為 P 為圓 C 上的點 ﹐ 所以可設 P(1＋ 2cosθ, −2＋ 2sinθ )﹐ 0≦θ ＜ 2π﹒ 於是 AP



=(2 cosθ−2, 2sin )θ ﹐ AB



=(3, 4)﹒ 利用面積公式 ﹐ 得 △ABP 面積為 2 cos 2 2sin 1 | | 3 4 2 1 | 8cos 8 6sin | 2 | 3sin 4 cos 4 | θ θ θ θ θ θ − = − − = − + − ﹒ 由正弦與餘弦函數的疊合 ﹐ 得 △ABP 面積的最大值為_|− −_{( 3)}2+₄2 − = − − = ﹒_{4 | | 5 4 |} ₉ x y O P A(4,−3)

(15)

丙 ﹑ 橢圓的參數式

設 P x y 為橢圓

( )

, 2 2 2 2 :x y 1 a b Γ + = 上的一點 ﹒ 因為 P點滿足 2 2 1 x y a b   ₊  ₌         ﹐ 所以點 x y, a b      落在單位圓上 ﹒ 根據圓的參數式 ﹐ 我們可以找到一個角θ（ 0≤ <θ 2π）﹐ 使得 x cos , y sin a = θ b = θ ﹐ 即 x=acosθ , y=bsinθ ﹒ 因此 ﹐ 橢圓 Γ 上每一點的坐標

( )

x y 都可表示成 ,

(

acos , sinθ b θ

)

, 0≤ <θ 2π 的形式 ﹔ 反之 ﹐ 可以表成此形式的點都在橢圓 Γ 上 ﹒ 我們稱 cos sin x a y b θ θ =   =  （ 0≤ <θ 2π ）為橢圓 Γ 的參數式 ﹐ 其中 θ 為參數 ﹒ 同理可得下面的結論 ﹕ 橢圓的參數式：橢圓

(

) (

)

2 2 2 2 : x h y k 1 a b Γ − + − = 的參數式為 cos sin x h a y k b θ θ − =   − =  （ 0≤ <θ 2π ）﹐ 即 cos sin x h a y k b θ θ = +   = +  （ 0≤ <θ 2π ）﹒ 底下做一個練習 ﹒ 【例題 8】 下列哪些選項的點落在橢圓 2 2 1 16 9 x y + = 上 ﹖ (1)

(

0, 3− (2)

)

12 12, 5 5       (3)

( )

4, 3 (4)

(

4 cos 5 , 3sin 5° °

)

(5)

(

4 cos110 , 3sin110° ° ﹒

)

(16)

Ans： (1)(2)(4)(5) 【詳解】將各點代入橢圓方程式的左式 ﹐ 得 (1) 0 9 1 16+ =9 ﹐ (2) 144 144 9 16 25 25 ₁ 16 + 9 = 25+25= ﹐ (3) 16 9 2 1 16+ = ≠9 ﹐ (4) 16 cos 52 9 sin 52 2 2 cos 5 sin 5 1 16 9 °₊ °₌ _{° +} ° = ﹐ (5) 16 cos 1102 9 sin 1102 2 2 cos 110 sin 110 1 16 9 °₊ °₌ _{° +} ° = ﹒ 故選(1)(2)(4)(5)﹒ 【隨堂練習 8】 下列哪些選項的點落在橢圓 2 2 1 9 16 x ₊ y _{= 上 ﹖} (1)

(

0, 4− (2)

)

12 12, 5 5       (3)

( )

3, 4 (4)

(

3cos 20 , 4 sin 20° °

)

(5)

(

3cos 215 , 4 sin 215° ° ﹒

)

Ans： (1)(2)(4)(5) 【詳解】將各點代入橢圓方程式的左式 ﹐ 得 (1) 0 16 1 9+16 = (2) 144 144 16 9 25 25 ₁ 9 + 16 =25+25= (3) 9 16 2 1 9+16= ≠ (4) 9 cos 202 16sin 202 2 2 cos 20 sin 20 1 9 16 °₊ °₌ _{° +} ° =

(17)

(5) 9 cos 2152 16sin 2152 2 2 cos 215 sin 215 1 9 16 °₊ °₌ _{° +} ° = 故選(1)(2)(4)(5)﹒ 橢圓的參數式可以幫助我們解決一些橢圓上的問題 ﹒ 【例題 9】 已知周長為 16 之矩形的邊平行坐標軸 ﹐ 且內接於橢圓 2 2 1 12 4 x ₊ y _{= ﹐} 求此矩形的面積 ﹒ Ans： 12 【詳解】如右圖所示 ﹐ 設此矩形在第一象限的頂點 P之坐標為

(

2 3 cos , 2 sin

)

, 0 2 π θ θ < <θ ﹒ 由周長為 16 及橢圓的對稱性 ﹐ 可列得

(

)

4 2 3 cosθ +2 sinθ =16﹐ 即 3 cosθ+sinθ = ﹒ 2 利用正弦與餘弦的疊合 ﹐ 得 3 1

2 cos sin 2 2 sin 2 sin 1

2 2 3 3 π π θ θ θ θ   _ _ _ _ + = ⇒ + = ⇒ + =         _ _ _ _   ﹒ 因此 3 2 π π θ+ = ﹐ 解得 6 π θ = ﹐ 即 2 3 cos , 2 sin

( )

3,1 6 6 P_ π π =_ P   ﹒ 故此矩形的面積為 4 3 1

(

× =

)

12﹒ 【隨堂練習 9】 已知矩形的邊平行坐標軸 ﹐ 且內接於橢圓 2 2 1 16 9 x ₊ y _{= ﹐} 求此矩形的最大面積 ﹒ Ans： 24 x y O P 2 3cos ,2sin

(18)

【詳解】如圖所示 ﹐ 設此矩形在第一象限的頂點 P 之坐標為 (4cosθ,3sinθ )﹐ 0 2 π θ < < ﹒ x y O P(4cos ,3sin ) 由橢圓的對稱性 ﹐ 得矩形的面積為

4(4cosθ ⋅ 3sinθ )＝ 48sinθ cosθ ＝ 24sin2θ﹒ 當 4 π θ= 時 ﹐ 矩形有最大面積 24sin 24 2 π ₌ ﹒ 【例題 10】 如右圖 ﹐ 已知 A B, 為橢圓 2 2 1 9 4 x y + = 的兩頂 點 ﹐ P為橢圓上一點 ﹐ 求 △ ABP 的最大面 積及此時 P點的坐標 ﹒ Ans：3 3 2+ ﹐(3 2, 2) 2 【詳解】設 P點的坐標為

(

3cos , 2 sinθ θ

)

﹒ 因為 A 點的坐標為

(

−3, 0

)

﹐ B 點的坐標為

(

0, 2− ﹐ 所以

)

(

3, 2 ,

)

(

3cos 3, 2 sin

)

AB



= − AP



= θ + θ ﹒ 利用面積公式 ﹐ 得△ABP面積為 3 2 1 1 6 sin 6 cos 6 3cos 3 2 sin 2 θ θ 2 θ θ − = + + + 3 sinθ cosθ 1 = + + x y O A B P

(19)

1 1 3 2 sin cos 1 2 θ 2 θ   = _ + _+   3 2 sin 1 4 π θ   = _ + _+   ﹒ 當 4 2 π π θ+ = ﹐ 即 4 π θ = 時 ﹐△ABP有最大面積為 3 2 1 1× + = +3 3 2﹐ 此時 P點的坐標為 3cos , 2 sin 3 2, 2 4 4 2 π π    _{ = }   _{ } _  _{ } _﹒ 【隨堂練習 10】 已知 P為橢圓Γ : 3x2+16y2 =16上一點 ﹐ 求點 P到直線 : 3 4 12 0 L x+ y− = 的最短距離及此時 P點的坐標 ﹒ Ans： 4 5﹐ 1 (2, ) 2 【詳解】因為 P 為橢圓 Γ： 2 2 1 16 ₁ 3 x ₊ y ₌ 上的點 ﹐ 所以可設 ( 4 cos ,sin ) 3 P θ θ ﹐0 ≤ θ < 2π﹒ 利用點到直線的距離公式 ﹐ 得 P 到直線 L 的距離為 2 2 4 | 3 cos 4sin 12 | | 4sin 4 3 cos 12 | 3 5 3 4 d θ θ _θ _θ ⋅ + − + − = = + ﹒

因為4sin 4 3 cos 8( sin1 3cos ) 8sin( )

2 2 3 π θ+ θ= θ+ θ = θ+ ﹐ 所以 P 到直線 L 的最短距離為 d 的最小值| 8 12 | 4 5 5 − ₌ ﹐ 此時 3 2 6 π π π θ+ = ⇒ =θ ﹐ 得 P 點的坐標為( 4 cos ,sin ) (2, )1 6 6 2 3 π π = ﹒

(20)

最後 ﹐ 我們來看看橢圓參數式中的參數θ 所代表的幾何意義 ﹕ 在坐標平面上作兩同心圓 2 2 2 x +y =a 與 2 2 2 x +y =b ﹐ 其中 a> > ﹒ 對任意b 0 有向角θ（ 0≤ <θ 2π）而言 ﹐ 由圓的參數式知 ﹐ 其終邊分別交兩圓於

M a

(

cos , sinθ a θ 與

)

N b

(

cos , sinθ b θ

)

兩點 ﹐ 如圖 5 所示 ﹒ 令通過 M點的鉛直線與通過 N點的水平線相交於點 P ﹐ 因為點 P 與 M 有 相同的 x 坐標 ﹐ 與 N有相同的 y 坐標 ﹐ 所以點 P 的坐標為

(

acos , sinθ b θ ﹐ 這就是參數

)

θ所對應的點 ﹒ 利用這個方法可逐步的描繪出橢圓 2 2 2 2 1 x y a +b = 的圖形 ﹒ y O x M P N a b ▲圖 5

(21)

lt99a522 習題

一 ﹑ 基礎題

1. 求下列各函數的最大值與最小值 ﹕

(1)y= 3 sinx−cosx_﹒ (2)y=12 sinx−5 cosx_﹒

Ans：( 1) 最大值為 2﹐ 最小值為 −2;(2)最大值為 13﹐ 最小值為 −13 【詳解】 (1) 因為 3 sin cos 3 1 2( sin cos ) 2 2

2(sin cos cos sin )

6 6 2sin( ) 6 y x x x x x x x π π π = − = − = − = − ﹐ 所以 y 的最大值為 2﹐ 最小值為 −2﹒ (2) 因為 12sin 5cos 12 5 13( sin cos ) 13 13

13(sin cos cos sin )

y x x x x x θ x θ = − = − = − = 13sin(x − θ )﹐ 其中cos 12 13 θ= ﹐sin 5 13 θ= ﹐ 所以 y 的最大值為 13﹐ 最小值為 − 13﹒ 2. 求函數 y=3sinx+ 3 cosx+2在下列各範圍內的 最大值與最小值 ﹐ 並求其對應的 x 值 ﹒ (1)0≤ <x 2π_{﹒ (2)0}≤ ≤x π_﹒ Ans：( 1) 當 3 x= 時 ﹐ 最大值 2 3 2π + ﹐ 當 4 3 x= π 時 ﹐ 最小值 2 3 2− + ;

(22)

(2) 當 3 x= 時 ﹐ 最大值 2 3 2π + ﹐ 當 x = π 時 ﹐ 最小值 − 3+2 【詳解】先將函數化為正弦函數 ﹐ 得 3sin 3 cos 2 3 1 2 3( sin cos ) 2 2 2

2 3(sin cos cos sin ) 2

6 6 y x x x x x π x π = + + = + + = + + 2 3 sin( ) 2 6 x π = + + ﹒ (1) 因為 0 ≤ x < 2π﹐ 所以 13 6 x 6 6 π _{≤ +}π _< π ﹒ 當 6 2 x+π π= ﹐ 即 3 x= 時 ﹐ π y 有最大值 2 3 1 2 2 3 2⋅ + = + ﹒ 當 3 6 2 x+π = π ﹐ 即 4 3 x= π 時 ﹐ y 有最小值 2 3 ( 1) 2⋅ − + = −2 3+ ﹒ 2 (2) 因為 0 ≤ x ≤ π﹐ 所以 7 6 x 6 6 π _{≤ +}π _≤ π ﹒ 當 6 2 x+π π= ﹐ 即 3 x= 時 ﹐ π y 有最大值 2 3 1 2 2 3 2⋅ + = + ﹒ 當 7 6 6 x+π = π ﹐ 即 x = π 時 ﹐ y 有最小值2 3 ( 1) 2 3 2 2 ⋅ − + = − + ﹒ 3. 在0≤ <x 2π 範圍內 ﹐ 求函數 2 sin 2 cos 6 y= _x+π_− x   的最大值與最小值 ﹒ Ans：最大值 2﹐ 最小值 − 2 【詳解】先利用和角公式把 2sin( ) 6 x+π 展開 ﹐ 得

(23)

2sin( ) 2 cos 6

2(sin cos cos sin ) 2 cos

6 6

3 1

2( sin cos ) 2 cos

2 2 y x x x x x x x x π π π = + − = + − = + − 3 sinx cosx = − ﹒ 再化成正弦函數 ﹐ 得 3 1 2( sin cos ) 2 2

2(sin cos cos sin )

6 6 2sin( ) 6 y x x x x x π π π = − = − = − ﹒ 因為 0 ≤ x < 2π﹐ 所以 11 6 x 6 6 π π π − ≤ − < ﹒ 當 6 2 x−π π= ﹐ 即 2 3 x= π 時 ﹐y 有最大值 2﹒ 當 3 6 2 x−π = π ﹐ 即 5 3 x= π 時 ﹐y 有最小值 − 2﹒ 4. 在0≤ <x 2π 範圍內 ﹐ 求方程式 cosx− 3 sinx= 的解 ﹒ 1 Ans： 4 3 π 或 0 【詳解】將方程式的左式化成正弦函數的形式 ﹐ 得 cos 3 sin 3 1 2( sin cos ) 2 2

2(sin cos cos sin )

6 6 2sin( ) 6 x x x x x x x π π π − = − − = − − = − − ﹒ 代回原方程式 ﹐ 得 2sin( ) 1 6 x π − − = ﹐ 即sin( ) 1 6 2 x−π = − ﹒ 因為 0 ≤ x < 2π﹐ 即 11 6 x 6 6 π π π − ≤ − < ﹐

(24)

所以 7 6 6 x−π = π 或 6 π − ﹐ 解得 4 3 x= π 或 0﹒ 5. 關於函數

( )

1

(

sin cos

)

2 y= f x = x+ x 的圖形 ﹐ 選出正確的選項 ﹕ (1) 週期為π (2) 振幅為 2 (3) 與 y 軸的交點為 0,1 2       (4) 與 x 軸有無限個交點 (5) 對稱於 y 軸 ﹒ Ans(3)(4) 【詳解】因為 1 (sin cos ) 2 2 1 1 ( sin cos ) 2 2 2 2

(sin cos cos sin )

2 4 4 y x x x x x π x π = + = + = + 2 sin( ) 2 x 4 π = + ﹐ 所以將 y = sinx 的圖形向左平移 4 π 單位 ﹐ 再將振幅縮小為 2 2 ﹐ 就得到 2 sin( ) 2 4 y= x+π 的圖形 ﹒ 2 4 2 − 2 −4 3 4 −3 4 3 2 5 4 7 4 − x y O 2 2 2 2 − 1 −1 y=sinx y= 2sin x+ 2 4 (1) 週期為 2π﹒ (2) 振幅為 2 2 ﹒

(25)

(3) 當 x = 0 時 ﹐ 2sin 2 2 1 2 4 2 2 2 y= π = × = ﹒ 因此與 y 軸的交點為 (0, )1 2 ﹒ (4) 由上圖知與 x 軸有無限個交點 ﹒ (5) 因為以 y 軸為折線 ﹐ 對折後左右圖形不重合 ﹐ 所以函數圖形不對稱於 y 軸 ﹒ 故選(3)(4)﹒ 6. 已知 P x y 為圓

( )

, x2+y2−6x−2y+ = 上的點 ﹐ 9 0 求 2 2 2 x +y − y的最大值 ﹒ Ans： 15 【詳解】因為 P 為圓 (x − 3)2_{+ (y − 1)}2_{= 1 上的點 ﹐} 所以可設 P(3 + cosθ,1 + sinθ )﹐ 0 ≤ θ < 2π﹒ 於是 x2_{+ y}2_{− 2y}

= (3 + cosθ )2_{+ (1 + sin}_θ₎2_{− 2(1 + sin}_θ₎

= 9 + 6cosθ + cos2_θ_{+ 1 + 2sin}_θ_{+ sin}2_θ_{− 2 − 2sin}_θ_{= 9 + 6cos}_θ_﹐ 故 x2_{+ y}2_{− 2y 的最大值為 9 + 6 × 1 = 15﹒} 7. 已知正方形的邊平行坐標軸 ﹐ 且內接於橢圓 2 2 1 4 9 x y + = ﹐ 求此正方形的面積 ﹒ Ans： 144 13 【詳解】如圖所示 ﹐ 設此正方形在第一象限的頂點 P 之坐標為 (2cosθ,3sinθ )﹐ 0 2 π θ < < ﹒

(26)

x y

O

P(2cos ,3sin )

因為是內接正方形 ﹐ 所以由橢圓的對稱性 ﹐ 得 2cosθ = 3sinθ ⇒tan sin 2

cos 3 θ θ θ = = ﹐ 即 (2 3 ,3 2 ) ( 6 , 6 ) 13 13 13 13 P ⋅ ⋅ =P ﹒ 故此正方形的面積為 6 2 144 4( ) 13 13 = ﹒ 8. 已知 P 為橢圓 2 2 : 1 9 4 x y Γ + = 上一點 ﹐ 求點 P 到直線 : 2 10 0 L x− y+ = 的最短距離及此時 P 點的坐標 ﹒ Ans： 5 ﹐ ( 9 8, ) 5 5 − 【詳解】因為 P 為橢圓Γ： 2 2 1 9 4 x ₊ y = 上的點 ﹐ 所以可設 P(3cosθ,2sinθ )﹐ 0 ≤ θ < 2π﹒ 利用點到直線的距離公式 ﹐ 得 P 到直線 L 的距離為 2 2

| 3cos 2 2sin 10 | | 4sin 3cos 10 | 5

1 ( 2)

d= θ− ⋅ θ+ = − θ+ θ+

+ − ﹒

因為 4sin 3cos 5( sin4 3cos ) 5sin( )

5 5 θ θ θ θ θ φ − + = − − = − − ﹐ 其中cos 4 5 φ= ﹐sin 3 5 φ= ﹒ 所以 P 到直線 L 的最短距離為 d 的 最小值 | 5 10 | 5 5 5 5 − + ₌ ₌ ﹐ 此時 2 2 π π θ φ− = ⇒ =θ + ﹐ 得φ P 點的坐標為

(27)

9 8 (3cos( ), 2sin( )) ( 3sin , 2 cos ) ( , )

2 2 5 5 π ₊_φ π ₊_φ _{= −} _φ _φ _{= −} ﹒

二 ﹑ 進階題

9. 求 3 1 sin 20°−cos 20°的值 ﹒ Ans： 4 【詳解】原式 3 cos 20 sin 20 sin 20 cos 20 3 1 2( cos 20 sin 20 ) 2 2 sin 20 cos 20

2(sin 60 cos 20 cos 60 sin 20 ) sin 20 cos 20 ° − ° = ° ° ° − ° = ° ° ° ° − ° ° = ° ° 2sin(60 20 ) 2sin 40 4 1

sin 20 cos 20 _{sin 40} 2 ° − ° ° = = = ° ° _° ﹒ 10. 右圖是函數 y=asinx b+ cosx圖形的一部分 ﹐ 求 (1) 此函數的週期 ﹒ (2) 實數 a b 的值 ﹒ , Ans：( 1) 2π ， ( 2)a= 3﹐ b = −1 【詳解】 (1) 由圖知 ﹐ 週期為2(5 2 ) 2 3 3 π ₋ π ₌ _π ﹒ (2) 因為過點 (0, − 1)與(2 , 2) 3 π ﹐ 所以 sin 0 cos 0 1 2 2 sin cos 2 3 3 a b a π b π + = −    ₊ ₌  1 3 1 2 2 2 b a b = −   ⇒  − =  x y O 2 −2 −1 2₃ 5 3

(28)

解得a= 3﹐b = − 1﹒ 11. 欲在一半徑為 50 公尺的圓形池塘上建造一座 「 T」字型的木橋（如圖所示 ﹐ DC垂直 AB 於C 點 ﹐ 且 AC=CB） ﹒ 問這木橋的總長最長為多少 公尺 ﹖ Ans：50 5+50 【詳解】設 O 為圓心 ﹐ 連接 AO ﹒

令∠COA = x﹐ 得 AC=50sinx﹐OC=50cosx﹐

所以木橋的總長為

2 50sin 50 cos 50 50(2sin cos ) 50

AB+CD= ⋅ x+ x+ = x+ x +

2 1

50 5( sin cos ) 50 50 5(sin cos cos sin ) 50

5 x 5 x x θ x θ = + + = + + 50 5 sin(x θ) 50 = + + ﹐ 其中cos 2 5 θ = ﹐sin 1 5 θ= ﹒ 故木橋最長為 50 5 50+ （公尺）﹒ A C B O D x 50 12. 已知 3, 0 4 A_ _  為橢圓 2 2 1 4 1 x ₊ y _{= 的長軸上一點 ﹐} 求橢圓上距離 A 點最近之點的 x 坐標 ﹒ Ans： 1 【詳解】設 P(2cosθ,sinθ )為橢圓 2 2 1 4 1 x ₊ y = 上一點 ﹐ 則

(29)

2 2 2 2

3 9

(2 cos ) (sin 0) 4 cos 3cos 1 cos

4 16

AP= θ− + θ− = θ− θ+ + − θ

2 25 1 2 13

3cos 3cos 3(cos )

16 2 16 θ θ θ = − + = − + ﹒ 當cos 1 2 θ= 時 ﹐ AP 有最小值 13 4 ﹐ 此時 P 點的 x 坐標為2 1 1 2 × = ﹒ A P x y O

booka52/lt99a522 三角函數的應用

2

2

2

-

-

-

2

2

2

三

三

三

角

角

角

函

函

函

數

數

數

的

的

的

應

應

應

用

用

用

甲 ﹑ 正 弦 與 餘 弦 函 數 的 疊 合

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

乙 ﹑ 圓 的 參 數 式

( )

( )

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

( ) (

)

(

)



(

)



(

)

(

) ( )

甲 ﹑ 正弦與餘弦函數的疊合

乙 ﹑ 圓的參數式

丙 ﹑ 橢圓的參數式

lt99a522 習題

一 ﹑ 基礎題

二 ﹑ 進階題