2
數字是現代數學的根基。從物品個 數、比例到天文，處處都有數的蹤跡。本 單元將透過分類來了解各種數之間的差 異。右圖黃金矩形的長寬比是許多數學家 或藝術家公認最美的比例，而支撐其美感 的神祕數字也是本單元所要討論的內容之 一。實數
1
▲ 圖1甲
有理數
生活中常有均分的概念，例如：一塊蛋糕平分給6個人，每人分得的份量我 們以 6 1 塊來表示。數學上，凡是可以寫成分數的形式的數都稱為有理數。 可以表示成 p q 的數，稱為有理數（其中p,q為整數，且 p!0）。 有理數的定義 關於有理數，補充說明如下： 1 所有的整數都是有理數，例如整數2可以寫成 1 2 。 2 有理數的表示方法並不是唯一的，例如 3 1 6 2 9 3 g = = = 等。1
實數3
3 任意兩個有理數作加、減、乘、除（除數不可以是0）運算後仍然是有理數， 我們稱此為有理數的封閉性。 任意兩個有理數加、減、乘、除（0不能當除數）後的結果，仍為有理 數。 有理數的封閉性 例如： 2 1 5 3 10 5 6 10 11 + = + = , 2 1 5 3 2 1 3 5 6 5 ' = # = ,…等。 利用除法，可將有理數化成整數或小數。例如： 3 6 ，因為6可以被3整除， 所以 3 6 2 = 。某些分數的分子若無法被分母整除，例如： 40 11 , 11 2 …等，仍可透 過除法來化為小數，我們以下面例題來說明。 將下列各有理數化成小數： 1 40 11 。 2 11 2 。 解 1 可利用直式除法，將11除以40，得 0.2 7 5 40 1 1 .0 0 0 0 1 1 0 8 0 3 0 0 2 8 0 2 0 0 2 0 0 0 故 . 40 11 0 275 = 。或利用擴分，將分母化成10的次方，得 . 40 11 2 5 11 2 5 11 5 10 275 0 275 3 3 3 2 3 # # # = = = = 。例題
1
g
4
2 利用直式除法，將2除以11，得 0. 1 8 1 8 … 11 2.0 0 0 0 … 0 餘數 2 → 2 0 1 1 餘數 9 → 9 0 8 8 餘數 2 → 2 0 1 1 餘數 9 → 9 0 8 8 … 故 . 11 2 0 1818g = 。g
由例題1可發現，將 11 2 化成小數時，小數點以後的數字1與8依序不斷的循 環出現，這種小數稱為循環小數，記為 . . 11 2 0 181818g 0 18 = = ， 讀作「零點一八，一八循環」。在循環小數中，小數點之後重複出現的那一段數 字稱為循環節，如上述例子的循環節為18。將 11 2 化成小數的過程中，因為除數 為11，所以餘數只可能是0,1,2,…, 10之中的一數。這表示最多經過11次運 算，餘數就會重複地出現。像這樣利用除法將有理數化成小數，如果不能除盡成 為有限小數，就一定可以化成循環小數。 將有理數 8 5 與 7 1 化成小數。隨堂練習
1
實數5
那麼，是不是每個有限小數與循環小數也都可以化成有理數的形式呢？我們 來看下面的例題。 將下列各小數化成最簡分數： 1 0 28 。 2. 0 32 。 3. 1 45 。. 解 1 .0 28 100 28 25 7 = = 。 2 設x=0 32. ，則100x=32 32. 。 將兩式相減，100x- =x 32 32. -0 32. ， 得99x=32，因此 x 99 32 = 。 3 設x=1 45. ，則10x=14 5. ,100x=145 5. ， 將兩式相減，100x-10x=145 5. -14 5. ， 得90x=145-14，因此 x 90 145 14 90 131 = - = 。例題
2
將下列各小數化成最簡分數： 1 0 732 。 2. 5 12 。 3. 0 158 。.隨堂練習
仿照例題2及其隨堂練習的方式，每個有限小數與循環小數都可以化成有理 數的形式。綜合上面討論有以下性質。 有理數恰包含整數、有限小數和循環小數。 有理數的成員6
每個整數都可以在數線上找到對應的點，而一些特殊的有理數亦可透過取中 點的方式而得到，例如： 2 1 所對應的點為0與1的中點。但是否所有的有理數都 可在數線上找到對應的點呢？我們以 3 4 為例： 3 4 就是把4平分成3等分。首先， 取O為數線原點，在數線上取P點坐標為4，過O點另 作一線L，並在L上取 OA= AB=BC ，連接 CP 並做 AQ 平行 CP ，如圖2。藉由相似三角形邊長成比例性 質，得 OC OA OQ 3 1 4 = = ，即 OQ 3 4 = 。因此可以在數線 上找到坐標為 3 4 的點。 仿照上述的作圖法，任意有理數都可以在數線上找到對應的點，稱為有理點。 仿照上述的作圖法，在數線上分別標出 5 3 及 5 3 - 所代表的點。隨堂練習
任意兩個整數之間不一定存在其他整數，例如兩連續整數1與2之間就不存 在其他整數。但任兩個有理數之間，一定還可以找到其他有理數。例如：當我們 從數線上坐標為1與2兩點取其中點時，可得其中點所對應的數值 2 3 是一個介於 1與 2兩數之間的有理數。利用同樣的方法可得， 4 5 是一個介於1與 2 3 的有理 數， 8 11 是一個介於 4 5 與 2 3 的有理數。 ▲ 圖3 ▲ 圖21
實數7
也就是說，在任意兩相異的有理數a和b之間，都至少存在一個有理數（例 如 a b 2 + 就是），這就是有理數的稠密性。 任兩個相異有理數之間，至少存在一個有理數。 有理數的稠密性 事實上，根據有理數的稠密性，不難看出任意兩個相異有理數之間都存在無 限多個有理數。 以下來做個練習。 試找出一個介於 2 3 和 3 5 之間的有理數。隨堂練習
乙
無理數
(一)無理數的定義 有理點在數線上的分佈雖然是密密麻麻的，但仍存 在許多點對應到的數無法用有理數形式表現，這些數我 們稱之為無理數；之前提過，有理數恰包含「整數」、 「有限小數」和「循環小數」，也就是說，不能化成以 上三種形式的數就是無理數。事實上，所有的無理數都 是不循環的無限小數。 不循環的無限小數稱為無理數。 無理數的定義 畢達哥拉斯 （Pythagoras，約西元 前 5 7 2 ∼ 4 9 2 ） ， 古 希 臘數學家，並創立畢氏 學派。其名言「萬物皆 數」指的是宇宙萬物皆 由數字所主宰。8
例如：邊長是1的正方形其對角線的長 2 是無理數，如 圖4所示。接著，我們搭配幾何圖形證明 2 是無理數。 2 是無理數 如果 2是有理數，那麼 2 就可寫成分數的形式，令其最簡分數表示法為 a b 2 = （其中a,b為正整數且 a b 不可再約分）。 因為 a b 11 2 = 12，所以可得 a1 1b 2a，即0 1b-a1a。 1 首先，畫一個長邊（長）為b，短邊（寬）為a的大矩形，如圖5(a)所示。 2 接著，因為 a1 ，所以可將圖b 5(a)的大矩形割出一塊邊長為a的正方形，如 圖5(b)所示。 3 最後，因為0 1b-a1a，所以可將圖5(b)的白色矩形割出一塊邊長為b-a 的正方形，如圖5(c)所示。 ▲ 圖5 (a) (b) (c) 此時，大矩形就被分成兩個正方形與一個斜線小矩形，而斜線小矩形的長寬比為 b a a b a b a b 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 -= -= -= -= ` j 。 ▲ 圖4 ★1
實數9
這等式告訴我們：斜線小矩形的長寬比 b a a b 2 -也是 2 的一種分數形式；但是， 因為0 1b-a1a，所以 b a a b 2 -必定是由 a b 約分而來，這顯然跟「 a b 不可再約 分」的假設不符，也就是說，一開始的假設 「如果 2是有理數」 是不正確的，亦即 2 必定為無理數。 像上述的證明方法稱為反證法，其原理為：從「假設結論不成立」出發， 通過一系列的推理，導出矛盾的結果；因此，「假設結論不成立」是錯誤的，也 就是說，「結論成立」才是正確的。 有了無理數 2 ，就可以衍生出更多個無理數，如 3 2 也是無理數。原因 是：若 3 2 是有理數a，則 2 a 3 = 也是有理數，這與「 2 是無理數」的事實不 符，故 3 2 是無理數。同理可知道 5 2 , 3+ 2也都是無理數。 一般而言， 2 具有以下的性質。而且將此性質中的 2 換成任意無理數， 這個性質還是成立。 若a,b為有理數，且 a b 2+ = ，則 a0 = b= 。0 無理數2
的性質 這是因為若 b!0，則 b a 2 =- 為一有理數，這與「 2 是無理數」的事實 不符。因此 b=0，從而 a=0。 上述的性質中，應特別注意a, b均為有理數的條件。因為當沒有此一條件 時 ， 若 a b 2+ =0， 則 結 論 「 a=b=0」 未 必 成 立 。 例 如 取 a= 2 , b=-1 時， a b 2+ = 2- 2= 亦可成立。010
已知a,b是有理數，且`3+5 2ja+`2- 2jb=- +1 7 2，求a,b的值。 解 由題意可知 a3 +5 2a+2b- 2b+ -1 7 2 = ，整理得0 a b a b 3 +2 +1 + 5 - -7 2 =0 ^ h ^ h ， 因為a,b都是有理數，所以 a3 +2b+1和 a b5 - -7也都是有理數，由性質得 ， ， a b a b 3 2 1 0 5 7 0 + + = - - = * 解得 a = ,1 b=-2。例題
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已知a,b是有理數，且`3+2 2ja+`2- 2jb=7 2，求a,b的值。隨堂練習
事實上，對任意正整數n，當n不是完全平方數時，可以證明形如 n 的數皆 為無理數。此外，圓周率r =3 14159g. 也是一個無理數。 除了以上幾個常見的無理數之外，在建築、藝術與科學上也經常出現另一個 重要的無理數─黃金比例。 將長a，寬b（ a 2 ）的矩形截掉邊長為b b的正 方形後，如右圖所示，此時剩下長b，寬 a-b 的小矩形。當大矩形與小矩形相似，即比例式 b a a b b = -成立時，稱這長與寬的比值 b a 為黃金比例，以符號z （讀作phi）表示。 求黃金比例 z 的值。例題
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1
實數11
解 因為 b a z = 且 a> ，所以b z$1及比例式 b a a b b = -可改寫為 b a b b 1 1 1 z z = -= - ，整理得z z -_ 1i=1，即 1 0 2 z -z- = ， 解得 2 1 5 z = + 或 2 1- 5 （此為負數，不合）。 故黃金比例 z 的值為 2 1 5 z = + 。 在本單元的引言中，有一條螺線畫在矩形內，事實上，它是畫在長寬比都是 黃金比例的矩形內，這類矩形稱為黃金矩形。 除了黃金矩形內的螺線很漂亮外，一些藝術品或工藝品在設計時，也會符合 黃金比例。 右圖中兩正方形ABCD與DEFG的邊長分別為 1與t，連接A、F兩點，交 CD 於H點。 1 利用平行線截比例線段將 DH 以t表示。 2 已知 AD DH+ = DE ，求t的值。隨堂練習
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(二)平方根的作圖 除了 2 之外， 3 , 4 , 5 ,…等線段的長度及在數線上的位置，也可以利 用畢氏定理逐一作出，如圖6。 ▲ 圖6 我們還可以利用相似三角形的比例性質求長 度為 n 的線段：設C是 AB 上一點，以 AB 為直 徑作一半圓， CD 垂直 AB 且交半圓於D，如圖 7 所 示 。 因 為3ACD∼3DCB， 所 以 CD AC BC CD = ， 即 CD2= AC BC: 。 當 AC= ,a BC= 時， CDb 2=ab，即 CD= ab。 以 6 為例，因為 6 = 1#6 = 2#3，所以 取 a= ,1 b= 6或 a=2, b=3，都可以得到長度為 6 的線段，如圖8所示。 利用右圖，畫出長度為 5 的線段。隨堂練習
▲ 圖7 ▲ 圖81
實數13
(三)無理數的小數估算 由數線上可看出 2 介於1和2之間，但 2 到底是多少呢？我們可以用國中 時介紹過的十分逼近法來求 2 的近似值。 以十分逼近法求 2 的近似值。（以無條件捨去法求至小數第二位） 解 利用計算機列表如下： 判斷2所在的範圍 2 的範圍 1 由12= ,1 22= 可得4 121 12 22。 11 2 12 2 由 .1 12= 1 21. ,1 2. 2=1 44. ,1 3. 2=1 69. , . . 1 42= 1 96,1 5. 2=2 25. 可得 . . 1 421 12 1 52。 . . 1 41 2 11 5 3 由 .1 412=1 9881. ,1 42. 2=2 0164. 可得 . . 1 4121 12 1 422。 . . 1 411 2 11 42 4 由 .1 4112=1 990921. ,1 412. 2=1 993744. , . . 1 4132=1 996569,1 414. 2=1 999396. , . . 1 4152=2 002225可得 . . . . 1 999396=1 41421 12 1 4152=2 002225。 . . 1 4141 2 11 415 h h 因為 .1 4141 2 11 415. ，所以 2 =1 414. g .1 41. 。例題
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以十分逼近法求 3 的近似值。（以無條件捨去法求至小數第二位）隨堂練習
在大部分的工程用計算機、手機附的計算功能或電腦Windows內建的小算 盤，也可以快速地得到 2 的近似值。我們以計算機為例：只要依序按下 如圖9，就可得到 . 2 .1 414213562， 上式中的符號「 . 」表示近似的意思。 ▲ 圖9 不同的計算機機型按鍵的順序可能有些許差別，例如有些計算機在求 2 時，是先按 的鍵再按2。而計算機的型號太多，無法一一列舉，同學可自行參 照各計算機的使用說明書。 因為 2 不是有理數，所以它既不是有限小數也不是循環小數。因此，它是 一個不循環的無限小數。須特別留意的是，因為計算機的「有限性」，僅能呈現 有限位數，所以上圖計算機產生的結果與 2 必定有誤差。1
實數15
我們將有理數和無理數統稱為實數。 實數的組成 正整數 零 負整數 整 數 有限小數 循環小數 有理數 無理數（不循環的無限小數） 實數丙
實數的性質
實數是由有理數和無理數共同組成的，在運算上具有下列的性質： (一)實數的運算性質 設a,b,c是任意實數。 1 交換律： a b+ = + ,b a ab=ba。 2 結合律： a b^ + h+ = +c a ^b+ch ,^ab ch = a bc^ h。 3 分配律： a b c^ + h=ab+ac。 4 消去律：若 a c+ = +b c，則 a =b。 若 ac=bc且 c!0，則 a =b。 (二)實數的次序關係 在數線上，愈往右邊的點所對應的實數愈大，實數的大小關係有如下的性質： 設a,b,c是任意實數。 1 三一律：「 a1 ,b a= ,b a2 」三式中恰有一個成立。b 2 遞移律：若 a1 且 bb 1 ，則 ac 1 。c 3 不等量加法：若 a1 ，則 a cb + 1b+c。 4 不等量乘法：若 a1 且 cb 2 ，則 ac0 1bc； 若 a1 且 cb 1 ，則 ac0 2bc。 5 對任一實數a,a2$ 恆成立。（ a0 2=0僅在 a = 時成立）016
(三)算幾不等式 設a,b為兩非負的實數，稱 a b 2 + 為a與b的算術平均數，且稱 ab 為a與b 的幾何平均數。底下我們探討這兩者間的關係： 因為a,b是非負實數，所以 a =_ i ,a 2 b b 2 =` j ，且 ab = a b。我們有 a b ab a b a b a b 2 2 2 2 0 2 2 2 $ + - = _ i +` j - = ` - j ， 即 a b ab 2 $ + 。 上述的等號在 a=b時成立；反之，當等號成立時， a= b。 上述的不等式告訴我們：任意兩非負實數的算術平均數恆大於或等於它們的 幾何平均數，這個性質稱為算幾不等式。 若a,b為非負實數，則 a b ab 2 $ + ， 其中當 a=b時，等號成立；反之，當等號成立時， a= b。 算幾不等式 除了上述的推導，亦可由幾何圖形的面積關係觀察出這個不等式： ▲ 圖101
實數17
左圖塗色區域是由兩個等腰直角三角形所組成，其面積為 a b 2 +2 ，而右圖塗 色區域為平行四邊形，其面積為 b# a ，其兩者之面積大小關係就是算幾不等 式。 當算幾不等式等號成立時，兩個等腰直角三角形的面積和會等於平行四邊 形，也就是說，兩個正方形會一樣大，如圖11所示。 ▲ 圖11 已知a,b為非負實數且滿足 a b+ =10，求ab的最大值。 解 利用算幾不等式 a b ab 2 $ + ，得 ab 2 10 $ ， 平方得 ab #25。又因為等號成立的條件為 a=b，且已知 a b+ =10， 所以當 a =b=5時，ab有最大值25。例題
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已知 a 2 ,0 b2 且 ab0 =14，求 a b+ 的最小值。隨堂練習
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以下我們舉一個算幾不等式的應用問題。 解 設矩形的長、寬分別為a,b（a,b是非負實數），如下圖所示， 即 a+2b= 40。利用算幾不等式得 a b a b 2 2 2 # $ + ^ h， 將 a+2b= 40代入，得 ab 2 40 2 $ ， 即20$ 2ab，平方得 ab#200，且當 a=2b（即 a=20, b=10）時， ab有最大值為200。故當長為20公尺，寬為10公尺時，所圍的菜圃有最 大面積200平方公尺。 農夫想用籬笆沿著牆邊圍出兩塊相鄰且大小 相同的長方形田地，其中靠牆的一邊不圍， 如右圖所示。已知圍籬的總長為36公尺，求 其中一塊長方形田地面積的最大值，又此時 的長、寬分別為多少公尺？隨堂練習
用圍籬沿著筆直的河岸圍一個矩形菜圃， 其中靠河岸一邊不圍，只圍三邊，如右圖 所示。已知圍籬的總長為40公尺，求此菜 圃的最大面積為多少平方公尺？又此時的 長、寬分別為多少公尺？例題
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一、觀念題
以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 1.414是一個無理數。 2 .0 4+0 6. = 。1 3 13 21 與 21 35 之間沒有有理數。 4 5 , -2 5,3 5 均為無理數。二、基礎題
下列何者為有理數？ 1 9 4 - 20 33.14159 4 3+ 2 5 11 12 12 11 + 。 將下列各分數化成小數： 1 37 1 。 2 22 9 。 將下列各循環小數化成最簡分數： 1 0 27 。 . 25 438 。. 已知有理數a,b滿足 a` +2 3j2= +b 4 3，求a,b的值。20
所示。已知圍籬的長度為 16 公尺，求 此 養 雞 場 的 最 大 面 積 為 何 ？ 又 此 時 的 長、寬分別為多少公尺？三、進階題
將正方形切割如下圖(a)。已知此正方形經過重組後，可以無縫拼成圖(b) 的矩形，求x的值。 (a) (b) 已知a,b是正實數且 ab= 12，求： 1 3 + 的最小值。又此時的a b a,b分別為何？ 2 a b 2 3 + 的最小值。又此時的a,b分別為何？21
王師傅想為公司設計一個長方體紙盒，如下圖所示。已知長方體的高為2
公分，體積為32立方公分，若想用紙最少，則長方體的底面之長與寬應設
