第2章 Maxwell方程式 (Power Point 2003, ppt檔, 2,391 KB)

(1)

1 第 2 章 Maxwell 方程式電磁波 2- 2- 11

第

_{2 章}

Maxwell 方程式

(2)

綱要

• 2-1 力線和場 (Line of Force and Field)

• 2-2 Gauss 定律， Faraday 定律和 Ampère 定律 • 2-3 Maxwell 方程式

• △ 2-4 介電質、極化和電位移 (Dielectrics 、 Pol arization 、 Electric Displacement)

• △2-5 磁化、磁場強度

• 2-6 Maxwell 方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件 (Boundary Conditions)

• 2-8 電磁功率的守恆

(3)

Maxwell 方程式

• 經管一切電磁現象的基本規則

• 描述電場和磁場間的關係

• 以力線和場的觀念為基礎

(4)

綱要

(5)

超距力觀念

• 電力、磁力曾被視為超距力

• 超距力可以穿越空間的距離，立刻產生作

用

– 在靜電學和靜磁學中可接受

• 電流如果發生變化，它對外界帶電體或磁

針的影響，必然不是立即的

– 否則訊號傳遞的速率變成無窮大 – 因此超距力觀念不適用

• 被 Faraday 的力線和場概念取代

(6)

磁力線與靜磁場概念

• 條形磁鐵四週灑鐵屑

• 磁力線

– 鐵屑形成的線 – 任一點鐵屑所受磁力一定沿線的切線方向 – 愈密的地方，對鐵屑的吸力愈強

• 靜磁場

– 磁力線分佈的空間函數 – 代表磁鐵在各處對鐵屑的吸引力條形磁鐵的磁力線分佈

(7)

電力線與靜電場概念

• 電力線

– 以單位正電荷 ( 檢驗電荷 ) ，放入帶電體附近 – 量出測試電荷在各處受力的方向，可以畫出一條一條的電力線

• 電力線的分佈

– 代表測試電荷在各處所受的靜電力 – 是空間的函數，可以稱為靜電場

(8)

電力線與電場的波動

• 假設帶電體的電荷分佈發生變化

• 電力線的分佈 ( 電場 ) 會隨之改變

• 這種改變不如超距力想法所預測那樣立刻影

響空間各點

• 反而以一種波動的形式把電荷改變發生的影

響，依次送到各處去

• 就像傳輸線把波源的變化以波動形式傳播出

去一樣

• 經 Hertz 的實驗證實

(9)

流線與電力線、磁力線

• 流線

– 追蹤流體粒子的流動狀況所得的軌跡

• 電力線、磁力線

– 非常像流體力學中的流線 – 可以想像上面也有類似流體粒子在流 ( 實際沒有 ) – 這種想像可幫助我們寫下 Maxwell 方程式

• Maxwell 方程式

– 電磁學的基本假設 – 需要相當多的向量分析知識 [ 附錄 B]

(10)

綱要

• 2-2 Gauss 定律， Faraday 定律和 Ampère 定律

• 2-3 Maxwell 方程式

(11)

電通量

_{(Electrical Flux)}

• 假想在電力線上有某種

東西在流動

• 每條線上的這種東西都

一樣多

• 設想這種假想物由正電

荷流出，流入負電荷

• 空間中做一個假想的封

閉曲面

_S

• S 流出的假想物總量稱

為流出

_{S 的電通量}

E

(12)

電荷與電通量

• 假設電力線密度和電力大小有關 • 所帶的電荷愈多，電力愈強，電力線愈密 • 假設由帶電體流出的假想物之量與帶電量成正比 • 封閉曲面 S 外的電荷所造成的電力線在 _{S 上一出一入，對電} 通量沒有貢獻 • 流出任意封閉曲面 S 的電通量 和所包住的電荷量成正比 _E













_E

Q

_v

d

(13)

電場強度與電通量密度

• 電場強度 (Electric Field Strength)

– 簡稱電場 (Electric Field)

– 單位正電荷 ( 檢驗電荷 ) 所受的電力

– 與對應位置的電力線密度有關，假設成正比

• 電通量密度 (Electric Flux Density)

– 與電力線密度成正比 – 假設為 – 通過假想曲面 S 的電通量，依通量 (Flux) 定義 ，有

E



 

E





 _s E



 _

E





nˆ

da

(14)

Gauss 定律

• 採 MKS 制單位 – 電荷：庫倫 (Coulomb) • ：電力線根數 ( 設每線上流動之假想物均為 1 單位 ) – • 真空介電常數 (Permitivity) – ≒8.854 ≒ (F/m) – 由實驗決定 – F/m 為電容 MKS 單位 (Farad 除以公尺 ) E 

Q

E







 _s E   

E



da

nˆ







_vd   _₁₀12 9 10 36 1 _ _ 

(15)

磁通量的

_{Gauss 定律}

• 仿照電通量的做法

• 假設磁通量的通量密度為

• 目前尚無人發現有磁單極存在

• 磁極必成對出現而使任意封閉面曲面 S 內

產生的磁通量相消

B 

_B



0 ˆ









_S

B

n

da

B





(16)

Faraday 定律

• 實驗顯示斷點處產

生的電壓等於通過

_S

之磁通量的減少速率

• 是單位正電荷繞

一圈時電場所做的

功

dt

d

v







B

v

_







_

E



d



_

v

da

n

B

dt

d

E



_s

ˆ



_







_









曲面 S 及其邊界 Faraday 定律



(17)

Ampère 定律

• Ampère 整理 Orsted 的實驗結果，推論電流

可以產生磁場

• 並且構思一種數學的表示法來記述他的結論

• 以今天的向量符號表示，即

• I 代表穿過 S 的電流，代表電流密度 (C

urrent Density)

da

n

J

I

l

d

B





_o



_o



_s



ˆ











J

(18)

磁通量密度的相關單位

• 磁通量密度的單位： Weber/m2 • Weber – 一“根”磁力線上流動假想物之量 • 電流 I 的單位：安培 Ampère ( 簡記為 A) • 比例常數 (H/m) – H/m 代表電感單位 Henry 除以公尺 • 常見磁通量密度大小 – 1 Gauss = Weber/m2 – 地磁：大約 Weber/m2 (0.5 Gauss ) – 馬蹄形磁鐵：約為 1Weber/m2 (10,000 Gauss)

B



7 10 4     _o 4 10 5 . 0   4 10

(19)

綱要

• 2-2 Gauss 定律， Faraday 定律和 Ampère 定律

• 2-3 Maxwell 方程式

(20)

散度定理

_{(Divergence Theorem) 與}

Stokes 定理

• 散度定理

• Stokes 定理

封閉曲面 S 與所包圍的體積 V 曲面 S 及其邊界曲線



_s

A





n

ˆ

da





_v





A



d



A dl







 







s

A nda



ˆ



(21)

Gauss 定律、 Faraday 定律、 Am

père 定律



_s _ E  danˆ 



v d









_

E







0 ˆ







_s

B



n

da







B





0

ˆ s d E d B nda dt    







   









E







_

B

_t





_ B  d_  _o



_s J  nˆda







B







_o

J



( )Ⅰ ( )Ⅱ ( )Ⅲ ( )Ⅳ ( 積分形式 ) ( 微分形式 )

(22)

電荷守恆











S

V

d

dt

d

da

n

J



ˆ





流出 S 的電流 ( 單位時間流出的電荷 ) 所含電荷的減少率 ( 單位時間減少的電荷 ) 微分形式

0 









t

J





(23)

Ampère 定律與電荷守恆的矛盾

• 向量恆等式 • Ampère 定律 • 電荷守恆

J

B





_o



















0











0 



A



0 









t

J





(24)

位移電流

_{(Displacement Curren}

t)

• Maxwell 判斷電荷守恆式比較基本

• 必須另加一項到 Ampère 定律右方

• 位移電流：

• 位移電流密度：

– 滿足及電荷守恆 – 因故令 D oI  D I D J t J_D      











_o

E



t E J_D o      

(25)

修正

_{Ampère 定律}

• 積分形式

• 微分形式



_             nda t E J d B _o _s o ˆ      







 B



_















t

E

J

o o







(26)

Maxwell 方程式



_s _ E  danˆ 



v d









_

E







0 ˆ







_s

B



n

da







B





0

ˆ s d E d B nda dt    







   









E







_

B

_t





_           nda t E J d B _o _s 0 ˆ                      t E J B _o   

_



₀ ( )Ⅰ ( )Ⅱ ( )Ⅲ ( )Ⅳ ( 積分形式 ) ( 微分形式 )

(27)

Maxwell 方程式的方程式數

• 四個方程式

– 兩個向量方程式 – 兩個純量方程式 – 一共 8 個純量的聯立微分方程式

• 兩個散度的方程式可以由兩個旋度的方程

式加上電荷守恆推得

– 實際上只要運用兩個旋度方程式 – 一共六個純量聯立微分方程式 – 正好解和的六個分量

_E



_B



(28)

位移電流說明例

• 不考慮傳輸線的效應

• 電流由電源流出將電

容器充電

• 比較由電荷守恆求出

的導線中電流與電容

器中的位移電流

電容器的充放電電路

(29)

位移電流說明例解答

CV Q  A l C   o I dt dQ  電容器上所帶的電量已知為，電荷守恆，電容器所帶電量的變化必來自導線上的電流 dV C I dt  電容器中的電場強度 _n l V _ˆ 位移電流密度 dt dV l t E _o o       _nˆ 位移電流 _I_D _ _A dt dV l o _ 

_I

D



(30)

位移電流說明例解答的物理意義

• 兩圖中為同一個積分 • P 同時為 S 和 S’ 的邊 界 • 通過 S 的電流為 I • 通過 S’ 的只有位移電 流 • 通過 S 和 S‘ 的電流必 須相同，都對應 • 因此通過電容的位移電流 ( 曲面 S 在電容外， 曲面 S’ 包入兩片電容板中的一片 ) P B d



 



I I_D  P B d



 



(31)

綱要

(32)

導體與介電質

• 導體 (Conductor)

– 在電場中，物質內電流為 (Ohm 定律 ) 形式

• 介電質 (Dielectric ，或絕緣體 Insulator)

– 全無 Ohm 電流

• 一般的物質多半介於二者之間

E _J  _E

(33)

極化

_{(Polarization)}

• 極化現象 – 物質組成之原子、分子、離子在電場中時，帶電的粒子偏離原來的位置造成偶極矩 (Dipole) • 分類 – 電子雲偏移造成的極化 – 離子偏移造成的極化 – 極性分子旋轉重排造成的極化電子雲極化離子偏移極化極性分子極化偶極矩

(34)

極化電荷

_{(Polarization Charge)}

• 單位體積內具有的偶極矩為 • 假如各處並非均勻，則某些地方會有多餘電荷產生 • 稱極化電荷或被拘束電荷 (Bounded Charg e) – 只存在於物質內 P P V p P 



_i / 均勻及不均勻極化偶極矩

(35)

極化電荷密度推導：步驟

_1~5

• 偶極矩的方向由負電荷指向正電荷 • 作一封閉曲面 S ，包住體 積 V • 若同一偶極兩端之正負電荷均在 V 內，偶極矩向量 不會穿過 S • 若同一偶極矩負電荷均在內，正電荷被屏於 S 之外 ，則造成 V 內有多餘負電 荷，偶極矩向量向外穿過 S • 若同一偶極矩正電荷在內，負電荷在外，偶極矩向量向內穿過 S V p P 



_i / 偶極矩均勻及不均勻極化

(36)

極化電荷密度推導：步驟

_6~7



   S P P nda Q  ˆ V 內多餘之電荷總量 等於向內穿過 S 的偶極矩總 和



     Pd Q_P _V 

P

p











極化電荷密度均勻及不均勻極化

(37)

介電質內的

_{Gauss 定律}

• 自由電荷 (Free Char

ge) 、

– 在真空中一樣可以存在

• 和對電力

線都有貢獻





S o

E ˆ

n

da







Q

_f



Q

_p 積分形式 p f o

E

















微分形式 f Q  _f P Q Q_f



   P nda Q_P _S  ˆ







_S



_o

E





P





n

ˆ

da



Q

_f P P    



f o

E



P









(





)

(38)

電位移

_{(Electric Displacement)}

• 電位移

– 產生的電通量

• 把可以如此移來移去的

自由電荷

_{( 以及其造成}

的電通量

_{) 叫做電位移}

• 電位移密度 ( 也簡稱電

位移

₎

f Q













_S _o

E

P

n

da

E

ˆ







將帶電金屬球放入另一中空金屬球中，不論中空的地方填塞何種物質，中空球的外側便會帶上同量的電荷，此時再將原先帶的球移去，看起來就像是裏頭的自由電荷移到外球一樣 f Q P E o   



 D

(39)

介電質內的

_{Ampère 定律}

• 極化電流

– 極化電荷也必須要守恆 – 極化電荷改變將會造成極化電流 – 也該出現在 Ampère 定律中 0      t J P P   P P    



t P J_P                              t D J t P t E J B _o o _o      





P J

(40)

引用電位移的好處

• 統一各種物質中 Gauss 定律和 Ampère 定

律的形式

• 各種物質的特性都包含在裏

D



D



(41)

介電係數

_{(Dielectric Constant)}

• 大部份物質其和同向

– 電漿 (Plasma) 中可能反向

•

– 介電常數 (Permittivity) ： – 相對介電常數 ( 介電係數 ) ：

• 典型介電係數

– 氣體： – 固體或液體：在 1 至 10 之間 ( 酒精 25 ～ 30 ，水約 80 是例外 )

P



E









E

D

_o _r



r



4 10 1    r  1  r 

(42)

鐵電性物質

_{(Ferroelectric)}

• 鐵電性物質

– 如 Rochelle Salt ， Ba rium Titanate – 外加電場移去後，極化現象仍未完全消除，有如鐵磁性物質中的磁滯現象 _(Hysteresis) – 說明見下節

(43)

壓電效應

_{(Piezoelectric Effect) 與 El}

ectrets

• 壓電效應

– 如石英 (Quartz) 等晶體，外加壓力可產生極化現象 – 也可以外加電場使之極化，該物質即會產生壓力變化，發生某特定頻率的振動 – 石英錶為其應用之一

• Electrets

– 具有永久極化特性 – 有如永久磁鐵，但產生的是電場

(44)

各向異性

_{(Anisotropic) 與}

各向同性

_(Isotropic)

• 各向異性

– 介電質本身構造的對稱性使它在某些方向比較容易極化，某些方向則否

• 各向同性

– 和同向 ( 或反向 )P E

(45)

線性與均勻各向同性介電質

• 線性 (Linear)

– 與電場大小無關，因此和成線性關係 – 反之即為非線性 (Non-linear)

• 均勻 (Homogeneous)

– 在該物質中各處均相同

• 本課程處理的介電質全是線性、均勻、各

向同性的介電質

r  _D E r 

(46)

綱要

(47)

物質存在對磁通密度的影響

• 原子、分子、離子之中的電荷運動會造成電

流，使磁場分佈受其影響

• 帶電基本粒子運動的圈圈半徑頂多是 1Å 的數

量級，可看成小迴圈電流

• 小迴圈電流 I 造成的磁場只和有

關

– a 是迴圈圍成的面積，而是它的單位法向量 ，方向由右手定則決定 – 構成磁偶極 n Ia m  ˆ nˆ

(48)

磁偶極

_{(Magnetic Dipole)}

•

造成的靜磁場

與距離立方成反比

• 與電偶極造成

立方反比靜電場很

相似

• 可以仿照處理介電

質中電偶極的步驟

來處理物質中的磁

偶極

n

Ia

m





ˆ

m

p

小迴圈電流造成的磁偶極 I m

(49)

物質內磁偶極的成因

• 電子在軌道上的運動

– 外界磁通量發生改變時，電子會改變它的速率 ( 即改變電流 ) ，以抗拒此種磁通量的改變

• 電子本身的自轉 (Spin)

– 外界的磁場只能改變它的方向 – 類似極性分子天生具有的電偶極

• 其他基本粒子的自轉

– 效應甚微，可以略去

(50)

磁化電流

_{(Magnetization Curren}

t)

• 磁化密度 (Magnetiza

tion Density)

– 物質中，每單位體積所含的磁偶極之和

• 均勻磁化時沒有“過

剩”電流產生

• 反之，則各點電流不

為零，稱為磁化電流

均勻磁化不均勻磁化產生磁化電流

(51)

磁化電流密度推導：步驟

₁

• 物質內的微小體積中

，所含之磁偶極為

物質內的微小體積 Md d d   



d M



ˆˆˆˆ₍ ₎ ₍ ₎ _ˆˆ₍ ₎ dM  _ _{ } M     M    _ ddd

(52)

• 只考慮方向的分量

時

• 可以想成是磁偶極

• 等效於一個有電流 dI

M

流動的小迴圈

磁化電流密度推導：步驟

₂

微小體積內磁偶極  方向分量及等效之小迴圈電流

ˆ

ˆˆˆ(



d M



) (

 

Md



)

 



da

dI

_M

_ˆ

dI_M  ˆ Md_  _  da _d



_d



(53)

磁化電流密度推導：步驟

₃

• 考慮一個開放的曲面

S ，邊界為封閉曲線

C ，希望算出穿過 S

的等效電流若干

曲面 S 及邊界 C

(54)

磁化電流密度推導：步驟

₄

• 考慮曲線 C 沒有穿過

的微分體積

_{( 如}

)

• 引入的等效電

流 dI

_M

，

若穿過

_{S ，}

必定一出一入，對穿

過

_{S 的電流沒有貢獻}

曲面 S 及邊界 C 1



d

d M



(55)

磁化電流密度推導：步驟

₅

• 考慮 C 穿過的微分體

積

_{( 如 )}

• 和

引入的等效

電流 dI

_M

穿過

_{S 的成}

份照樣一出一入抵消

曲面 S 及邊界 C 2  d ˆˆ( d M )      ˆˆ( d M)

(56)

磁化電流密度推導：步驟

₆

• 但對方向的分量

而言， dI

_M

穿過

_{S 的}

分量沒有抵銷對象，

因此流過

_{S 的等效電}

流全由線上的 dI

_M

決

定



(57)

磁化電流密度推導：步驟

₇

• 因此通過 S 的等效電

流為



 _cd



 _c _{  }_d



 _c I_M I_M

(58)

磁化電流密度推導：步驟

₈



 _c I_M M

J

  

M





ˆ M s J nda 



  曲面 S 及邊界 C 由旋度定義

(59)

物質內的

_{Ampère 定律}



cB d    o s M ˆ D J J nda t      _   _   



   ˆ o s D J nda t      _  _   



  μ o



c ˆ (B  _o M d) 



    o s ˆ D J nda t      _  _   



  o o

B



 

M



 

H



H d



   





_          nda t D J s ˆ  

H

J

 







 _D_t  積分形式微分形式 ( 集中與磁化性質有關的部份 )

(60)

60

第 2 章 Maxwell 方程式電磁波

2-

2- 6060

磁場強度

_{(Magnetic Field Strength) 與}

磁感應場

_{(Magnetic Induction Field)}

• 磁場強度

– 只和電流及位移電流有關 – 簡稱磁場 – 與電場對應 • 磁感應場 – 即磁通量密度 – 與物質的磁化性質有關

H



E



B

(61)

四個向量場的比較

• ：電場強度，與極化性質有關

• ：電位移，與極化性質無關，決定

於自由電荷

• ：磁場強度，與磁化性質無關，決

定於自由電流、導體電流、及位移電流

• ：磁通量密度，與磁化性質有關，

又稱磁感應場

E



D



H



B



(62)

磁化性質分類

• 線性磁化

– 導磁係數 (Permeability) – 反磁性 (Diamagnetism) – 順磁性 (Paramagnetism)

• 鐵磁性 (Ferromagnetism)

B



o r

H









_H



1 

r



1 

r



(63)

反磁性物質

• 電子組態 (Configuration) 中電子常成對出現 • 成對電子自轉方向相反 • 電子自轉效應不顯著 • 只剩電子在軌道運動的效應 • 外加磁場後，電子的軌道運動必抵抗磁通量的變化 (Faraday 定律 ) • 磁化密度 • 必為負值，大小約在左右 • 自然界大部份的物質都是反磁性 o M M    H   1   _r M   ₁₀5

(64)

順磁性物質

• 分子中的電子未完全配對

• 電子自轉的效應得以出現

• 電子自轉造成之磁極間的作用力超過電子

在軌道運動造成之作用力

• 磁化過程與極性分子介電質的極化過程相

似

• 磁場增加時，磁化程度亦加強

• 大小約在至之間

M 103 105

(65)

鐵磁性物質

• 有許多塊磁田 (Domain) • 每塊磁田中的電子自轉均在同一方向 • 通常各磁田的磁化方向不同，相互抵銷，因而產生的場不太大 • 外加磁場後，各磁田方向逐漸轉成一致 • 全部磁田方向一致時即達飽和 B

(66)

磁滯

_{(Hysteresis) 現象}

• 鐵磁性物質加過磁場

後再去掉外加磁場

( 停止供應產生外加

磁場的電流

_{) 後，磁}

田排列難以恢復

– 會有剩磁 (Remanen ce) 留下

• 鐵磁性物質的磁化和

其歷史有關，稱為磁

滯

(67)

綱要

• 2-6 Maxwell 方程式在一般物質中的形式

• 2-7 邊界條件 (Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆

(68)

一般物質中的

_{Maxwell 方程式}



_s D ˆ  nda  Q_f







D







_f



_s

B





n

ˆda



0 





B





0 

  



B  nda dt d d E _s s ˆ   

t

B

E















H d



   





            nda t D E J_s s ˆ    



_

_

_H



_ _J_s

t

D













(69)

物質的構成方程式

(Constitutive Equations)

• 和的關係以及和

的關係

– 例如線性物質 – 搭配 Maxwell 方程式可解實際問題

D



E



B



H



E

D









H

B









(70)

綱要

• 2-6 Maxwell 方程式在一般物質中的形式

• 2-7 邊界條件 (Boundary Conditions)

(71)

積分形式與微分形式

_{Maxwell 方程}

式

• 積分形式 Maxwell 方程式 – 描述某區域內電磁場效應累積的總效果 – 除非問題本身具有特別的性質，否則我們很難利用積分形式的式子去找出各處電磁場 – 可特殊化為微分形式及邊界條件，較 General • 微分形式 Maxwell 方程式 – 描述各處電磁場局部性質 – 可以藉著解聯立偏微分方程式而得到電磁場分佈 – 比較直接 – 能處理比較多的問題形式 – 需外加邊界條件

(72)

邊界條件

• 邊界

– 指兩塊性質不同物質的交界面

• 邊界條件

– 描述經過邊界，電場和磁場分佈的不連續現象 – 必須應用積分形式，以便將邊界雙方的場都加入考慮

(73)

法向量分量的介電質邊界條件推導：

步驟

₁

• 穿過邊界作一個假想的小柱體，由封閉曲面 S 包住 • 令上下蓋面積為，柱高 h • 物理上不可能趨近無窮大 • h→0 時柱體的側面對面 積分的貢獻趨近零界面上的小封閉曲面 a  D



_s

D



 da

n

ˆ

(74)

法向量分量的介電質邊界條件推導：

步驟

₂

• 假如相當小，則

上下蓋的面積分

分別約等於

及

• 因而

• 由介質

₁

指向介質

₂

界面上的小封閉曲面 a 

D



a n D  )ˆ  ( ₂ ₂ a n D  )ˆ  ( ₁ ₁



_s D  danˆ a nˆ



D2 D1



       1 2 ˆ ˆ ˆ _n _n n   

(75)

法向量分量的介電質邊界條件推導：

步驟

₃

• S 所包住的自由電荷

量，約為

• h→0 時 →

_{( 面電荷密}

度

₎

• Gauss 定律

界面上的小封閉曲面 a h f  

h

f





_f



_s D ˆ nda  Q_f



D

2

D

1



a















a



_f



D



_f

n

ˆ





₂





₁





(76)

法向量分量的介電質邊界條件特例

• 介電質 – 各處都不會有自由電荷 – =0 • 完全導體 (Perfect Condu ctor) – 內部電場恆為 0 的物質 – – 導體內的電子紛紛流到表面上形成表面的自由電荷 – f 





0 ˆ  D₂  D₁  n   0 1  D f D nˆ  ₂  

(77)

法向量分量的磁通量密度邊界條件

• 依介電質電位移法向

量分量邊界條件的相

同推導方式，且已知

無磁荷存在，可得

0 )

(

ˆ



B

₂



B

₁



n



(78)

磁場切向分量的邊界條件推導：

步驟

₁

• 穿過邊界作一個假想的小封閉曲線 C • 上下段曲線長度均為 • 切向量分為、 • 整個迴圈所決定之平面法向量為 • 當 h→0 時，兩段側邊對 的貢獻也趨近零 _{( 物理上不可能} 趨近 ₎ 界面上的小封閉曲線   2

ˆt

₁

'

ˆn



cH  d H



(79)

磁場切向分量的邊界條件推導：

步驟

₂

• 令相當小

• 上下段曲線的

線積分分別是

_{( )}

及 ( )

界面上的小封閉曲線  

H



 tˆ 2 H  ˆt₂ _ 1 H



ˆt

₁ 











_c

H



d



_

t

ˆ

( H₂ －

H



₂ ) 2

ˆ

ˆ t

t



1

(80)

磁場切向分量的邊界條件推導：

步驟

_3-1

• 迴圈 C 所圍住的電流

• 非無窮大

• h→0 時 →

_{( 面電流密度 )}

界面上的小封閉曲線



_          n da t D J _f s ˆ'                  n h t D J _f ˆ' t D             h n t D ' ˆ  →0 f

J

h



K

f



(81)

磁場切向分量的邊界條件推導：

步驟

_3-2

• Ampère 定律

界面上的小封閉曲線   tˆ_ H2  1 H  'ˆ n K _f ( － )=

n

t

ˆ



ˆ

'



ˆ

向量恆等式



A





B







C





A







B





C





ˆ ' n  nˆ H2  1 H  'ˆ_n_K _f [ ( － )] 繞著

nˆ

_{旋轉迴圈 C}

'

ˆn

K f  使朝著的方向



nˆ

H2  H1   f K 

(82)

磁場切向分量邊界條件的特例

：

非完全導體

• 非完全導體：介電質、普通導體

• 介電質表面

– 沒有自由電荷 – 沒有只在表面流動的自由電荷面電流

• 普通導體

– 導體內不致趨近∞ – 表面

• 兩非完全導體間之邊界條件

– [ － ]=0 f K



nˆ

H₂ H₁ E J_f    0 lim n hJ f  0   f K

(83)

磁場切向分量邊界條件的特例

：

完全導體

• 自由電荷都已浮到表面

• 自由電荷在表面的流動就成了面電流

• 完全導體與非完全導體間的邊界條件

f K



nˆ

H2  H1   f K 

(84)

邊界條件整理

• ( 甲 )

– [ 介電質邊界必連續 ]

• ( 乙 )

– [ 必連續 ]

• ( 丙 ) [ ]

– [ 除完全導體外，必連續 ]

• ( 丁 )

– [ 必連續 ]



D D



f nˆ  ₂  ₁   D nˆ  





0 ˆ

_

_B

₂

_

_B

₁

_

n



B

n

ˆ







nˆ

H₂  _H₁  K _f



nˆ

H





0 ˆ



_E

₂



_E

₁



n



E nˆ  

(85)

邊界條件使用時機

• 靜電場 – 只涉及電場，通常只考慮 ( 甲 ) 、 ( 丁 ) • 靜磁場 – 只需要 ( 乙 ) 、 ( 丙 ) • 電磁場 – 推導 ( 甲 ) 、 ( 乙 ) 所用的方程式可由推導 ( 丙 ) 、 ( 丁 ) 的方程式導出 – 只需要條件 ( 丙 ) 、 ( 丁 ) • 完全導體 – 使用 ( 丁 ) ( 設介質 1 是完全導體 ) 已足夠 – ( 甲 ) 、 ( 丙 ) 用來求出先前未知的和 0 ˆ  E₂  n  f K _f

(86)

解電磁問題所需的其他條件

• 除邊界條件外、依問題的本質加入某些條

件

• 例如，規定無窮遠處電磁場的行為或問題

本身的對稱性

(87)

綱要

(88)

真空中的電磁場能量密度

• 電場裏貯存的電能能量密度

– (Joule/m3)

• 磁場中的磁能能量密度

– (Joule/m3)

• 空間中存在的電磁能密度

– (Joule/m3) 2 1 E  E o  2 1 _ H H 2 2 o E E          H H

(89)

電磁功率守恆式推導：步驟

₁

• 考慮真空中的一塊

區域

_{V( 以封閉曲面}

S 為邊界 )

• V 內電磁能減少的

速率

封閉曲面 S 與所包圍的體積 V



 _v dt d     _E __E _ o _H __H 2 2    _d H t E E v   



      ₍   ₎ t H       d

(90)

電磁功率守恆式推導：步驟

₂

• 由 Maxwell 方程式得

• 代入 V 內電磁能減少速率式，並用向量恆

等式

及散度定理，得電磁能守恆式

t H o      _ __ E t E       _ __ _H _ _J  H  E  E H   (E  H )



        _    E E H H d dt d _o v     2 2  



 



   _v E Jd _s E H nˆda

(91)

電磁功率守恆式解說：電磁場對電流做的功

• ：電流，電荷的流動

• 每單位體積內電荷所受的力

– 電荷流動速率：，電荷密度： – 電流密度 – 電力：，磁力 (Lorentz 力 ) ：

• 電場和磁場對單位體積內電荷所做的功之功

率

• 電磁場對於 v 內電流中流動的電荷所做的功

J

v

 J





v

E





v

 

B



J

E

v

E

P

_e



(















)















_v

E





J



d



(92)

電磁功率守恆式解說：

_{Poynting 向量}

• 可以看成向外流出 s 的

功率

• 功率通量密度 (Power Flux Density)

– Poynting 向量 (1884) – 單位面積流出的功率

• 電磁功率的守恆定律 (Poynting 定理 )

– V 中電磁能的減少，一部份是由於對 V 內電流做 功，一部份則是由於功率向外流出



_s E  H  nˆda

H

E

S











(93)

物質存在時的電磁功率守恆

• 電流改成

– 電流源 Ohm 電流極化電流

• 改為 +

• 新電磁功率守恆式

J _J_s t P E        t H o    t H o    t M o    



      _ _ _  E E  H H d dt d _o v     2 2  















_v

E



J



_s

d





_v

E





E



d



_

         d t M H d t P E _v _o v     ˆ s E H nda 



 



+ 電磁場被物質導電電流，極化，和磁化過程吸收去的功率電流源產生的功率

(94)

物質存在時的電磁功率守恆式簡化



              d



t B H t D E v    











_v

E



J



_s

d



_v

E





E



d











_s

E



H



n

ˆ

da

物質中的電能 ( 包含極化能量 ) 和磁能 ( 包含磁化能量 ) 的減少率

(95)

電磁功率守恆式的另一種推導方法

             t B E H    ) E H J_s E D t        _    _         t B H t D E E E J E H E _s                          



) (

(96)

綱要

(97)

時諧

_{(Time-Harmonic) 電磁場}

• 對時間呈正弦變化的波源和電磁場

• 正弦狀行進波在傳輸線中的傳播問題

– 將交流電路相量觀念延伸到傳輸線上的電壓波、電流波

• 時諧電磁場問題

– 把相量觀念推廣到向量場

(98)

相量向量

_{(Vector Phasors)}



j t



x x

x

y

z

t

E

x

y

z

e

E

(

,

)



Re

(

,



)





j t



y y

x

y

z

t

E

x

y

z

e

E

(

,

)



Re

(

,



)





j t



z z

x

y

z

t

E

x

y

z

e

E

(

,

)



Re

(

,



)





)

,

(

x

y

z



E



z

y

x

E

y

z

y

x

E

x

z

y

x

E

_x

(

,



)

ˆ



_y

(

,



)

ˆ



_z

(

,



)

ˆ

複數分量

(99)

相量向量性質

) , , , ( ) , , , ( ) , , , (x y z  E x y z  jE x y z  E  _r  _i ( 拆解為實部和虛部 ) 向量分析可推廣應用，定義及定理形式相同

)

,

(

x

y

z

t

E



_

_E



₍

_x

_,

_y

_,

_z

_,

_

₎

t

z

y

x

E





(

,

)

_

)

,

(



E

x

y

z

j



( 時域 ) ( 頻域 )

(100)

Maxwell 方程式微分形式

) (t E E() ) , , , (x y z t E ) ( ) (t t D   _f    _ _ _D₍_₎ _ _ _f ₍_₎ 0 ) (    B t   _B₍₎  ₀ t t B t E       ( ) ( )   ) ( ) ( jB  E      t t D t E t J t H _s        ( ) ( ) ( ) ( )      ) ( ) ( ) ( ) (           H J_s E j D ,etc. ( 時域 ) ( 頻域 ) ) , , , (x y z  E 簡記為簡記為 ,etc.

(101)

邊界條件



( ) ( )



( ) ˆ D₂ t D₁ t t n      _f nˆ 



D₂()  D₁()



 _f ()



( ) ( )



0 ˆ  B₂ t  B₁ t  n   _{n B}_ˆ_



₂_{( )}_ _ _B₁_{( )}_



_ ₀ ) ( )) ( ) ( ( ˆ H₂ t H₁ t K t n      _f nˆ  (H₂()  H₁())  K _f () 0 )) ( ) ( ( ˆ E₂ t  E₁ t  n   nˆ (E2()  E1())  0   ( 時域 ) ( 頻域 )

(102)

交流電路的瞬時功率與無效功率

 

_VI



_VI _e j t



t i t v Re 2  2 1 Re 2 1 ) ( ) (     每週期內作用於元件的平均功率 1 Im{ *} 2 VI 每週期的平均無效功率 [ 附錄 A]

(103)

電磁場作用於電流的功率



_E _e j t



t E( )  Re ()  



E()e jt  E()e jt



/ 2 ) (t J_s



j t



s e J ()  Re  



_{( )} *_{( )}



_{/ 2} s j t j t s J  e  J  e     







_v E t  J_s t d  Re



_v E() J_s ()d 2 1 ) ( ) (   * 



_

_ _ _ __ 



 j t s v E( ) J ( )d e2 Re 2 1   每週期內作用於區域 V 內電流_J_s_(t₎上的平均功率