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模型
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问: 让
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您欢
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欢
欢喜
喜
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让
让您
您
您忧
忧
忧
刘俊明 模 型 模型不过几行符， 欲取江山湛月孤。 此处文生挥墨尽， 只留笔下竖1成书。I. 引子
物理学自诩为自然科学提供源泉与支撑。她的上 游是数学，她的下游是其它自然科学分支。物理学借 助相互作用的哲学来滋润下游分支。而在上游，物理 学通过模型来提炼世界的本源。因此，物理学模型的 数学求解可能占据物理学至高境界之一。很多物理学 名家因为提出一个模型或求解一个模型而流芳于世。 到了今天，这已经不是稀奇事。而调侃物理学模型及 其背后求解之掌故经常成为物理学子茶余饭后津津乐 道的话题，其滋味应该远胜于饭后一杯大红袍、一壶 碧螺春。 物理学中著名的、具有普适性的模型很多。笔者 不才，对此所知甚少，只是拘泥于所从事的一些小领 域中的一些八卦故事。笔者熟知的 Ising 模型发端于磁 学和统计物理，不但成为凝聚态物理的若干基石之一， 还对构建自然现象和社会行为的二元论图像作出莫大 贡献。现在，对很多自然社会现象，我们的第一反应 就是对组成之个体进行二元化分类，然后由 Ising 模型 来近似描述个体之间的相互作用。当然，基于 Ising 模 型的推广也很多，如 Potts 模型、XY 模型和海森堡模 型等，但总体格局并未突变。 1竖：这里的条纹相都是竖排的II. 严格解
一个有普适性的物理模型，如果能够求得其严格 解，将是一件大事，虽然其“伟大”意义与佩尔曼证明 庞加莱猜想和张益唐证明孪生素数猜想未必是一个等 级。不过，一个模型漂亮的严格解，不但彰显求解者极 高的数学天赋和物理洞察力，更对相关物理的理解有 深刻的推动作用。模型的严格解不但搭建起物理的框 架，严格解的结论也就成为检验基于模型的物理理论 和实验之参考基石。还是以经典自旋 Ising 模型为例。 Ernst Ising 本人因为严格求解一维 Ising 模型（零场而 非零温下没有相变）而赚得命名权，Onsager 因为严格 求解二维 Ising 模型而留名青史。一维和二维 Ising 模 型严格解的结果如图1 所示。三维 Ising 模型至今依然 未有严格解，而四维及以上模型就只能作平均场处理 了。 图 1 1D 和 2D 点阵 Ising 模型的严格解图示，其中自旋相 互作用只考虑最近邻。2D 点阵中 Onsager 给出了相变点 TC 和磁矩 m。 当然，物理学中严格可解的模型并不多，大致上 十个模型中有 一个严 格可解。因此，严 格解也 就显 得弥足珍贵。就像 数学一 般，物 理模型 的严格 解代 表了一种沉淀、荣誉和运气，并无一定规范可循。如 文章编号:1000-0542(2019)03-0114-5 114 DOI:10.13725/j.cnki.pip.2019.03.004果您去google，可以看到很多书名如 Exactly solvable models in phsyics 之类的专著和科普，几个例子如图 2 所示： 图 2 物理学中严格可解模型的一些例子（网上都可以下载到 这些专著）。 这里，特别值得点出的是： 与经典 Ising 模型对 应，作为近期之一大事件，看君可能知道加州理工的 Alexi Kitaev 于 2006 年针对一类如图 3 所示的蜂巢晶 格量子自旋模型给出了严格解，而这一模型现在就以 其大名命名 (Kitaev model)。这一严格解首次证明了 量子自旋液体的存在，从而对量子计算和量子物理产 生重大冲击。物理学家对量子自旋液体的研究正在兴 头之上，既风光无限又泥沙俱下。笔者曾经有一篇初 级科普文章介绍这一问题，见“量子自旋芳草在，觅 寻液态惹尘埃”一文。 图 3 Kitaev 模型的数学形式与定义，右下图给出蜂巢点阵 结构。[1]
III. 数值解
如上所述，物理模型的绝大多数难以获得严格解 或干脆就被证明没有严格解，就像最近有计算机证明 3D Ising 模型没有严格解一般。事实上，2D Ising 模型 的严格解只是针对最简单的情形，如果在模型哈密顿 基础上稍加几项，再要求得其严格解就几无可能。因 此，过去数百年，需求驱动物理学者发展了数量庞大 的各类数值计算与模拟方法，来数值求解各类模型问 题。统计物理中的蒙特卡洛模拟与固体系统中的电子 密度泛函第一性原理计算可以称作是两大代表。除此 以外，大量的针对特定物理分支学科的计算与模拟方 法依然在不断扩张，大学中《计算物理》课程不过是 触及冰山一角而已。我们姑且将这些方法用卡通表达 如图 4 所示。闲暇端详，会让人从一下子抓狂到慢慢 沉寂下来，也许可以体会其中之一二深邃。 图 4 物理学中的数值方法卡通。此图侧重于意境，并非要推 崇或说明什么。[2,3] 有了众多的数值方法和难以估量的计算平台，物 理学模型问题看起来似乎无所不解、无往不利。笔者 对蒙特卡洛方法略知一二，曾经赖以为生活技能之一， 明白数值方法在物理学研究中的位置。不过，与严格 解不同，逻辑上，数值解的结果总是需要其他理论或 者实验结果佐证方能令人放心。其中的缺陷源于数值 计算毕竟是对热力学极限无限系统的有限尺寸模拟， 并无严格解那般夯实与严密。笔者对第一性原理计算 方法也有所涉及，其艰辛苦涩只有个中玩家方能体会 一二。从自然科学美的角度看，诸如杨振宁先生这般 推崇“秋水文章不染尘”的雅士，大概很难将数值计 算给出的结论与严格解比肩而事。 如下行文中，我们给出关联电子系统中一个具体实例，来说明数值计算的力度及存在的瑕疵缺憾。
IV. Hubbard 模型
毋庸讳言，凝聚态物理和量子材料中也有很多模 型。也无需讳言，量子力学中的薛定谔方程是量子波 动力学的基础。量子力学下自成蹊，诞生了若干著名 的模型，可见于“Exactly solvable models in quantum mechanics”等专著。量子力学延伸到凝聚态物理中， 也催生出很多更加切合实际情况的经典模型。例如， 关联电子系统（strongly correlated electrons, 即量子材 料）中最著名的模型 — Hubbard 模型，即是如此，看 君应该不会质疑这一点。 理论物理和凝聚态物理学者对 Hubbard 模型之情 有独钟是不言而喻的，其中一个重要需求就是获得其 严格解。1994 年，纽约州立大学石溪分校理论物理研 究所的 V. E. Korepin 和 F. H. L. Eβler 曾经编撰过一 本文集“Exactly solvable models of strongly correlated electrons” （World Scientific Publishers 出版），其中 2/3 篇幅归结在“The one-dimensional Hubbard mod-el”名下，令人印象深刻，如图 5 所示。还有很多类似 书籍，展示出诸多学者穷其生命而求 Hubbard 模型严 格解之一二。
图 5 Hubbard 模型在强关联电子系统中的崇高地位，引一 众英雄竞折腰。
所谓 Hubbard 模型，提出者当然是 John Hub-bard。他 1963 年提出这一简化的近似模型来描述固 体中金属–绝缘体转变，应该算是固体物理中紧束缚 (tight-binding) 模型的改进版。它针对晶格中相互作用 粒子系综，考虑粒子在晶格位置将的跳跃 (hopping) 动 能项和粒子在位 (on-site) 作用势（例如库伦势），这与 薛定谔方程的两项有一定的对应。如果粒子是费米子， 即为 Hubbard 模型；如果粒子是玻色子，即为Bose-Hubbard 模型。对于一具有周期势的低温量子体系， Hubbard 模型很好地 capture 住在位作用能及输运所 赋予的物理。如果只考虑布洛赫最低带，粒子间长程 相互作用可以忽略不计，这是经典 Hubbard 模型。否 则，要考虑粒子间的长程相互作用，即为所谓的扩展 Hubbard 模型。 这一模型最开始并不那么受青睐，因为很多固体 物理问题用紧束缚模型就可以处理得不错。当高温超 导电性被发现后，粒子之间的在位库伦势变得很重要， Hubbard 模型正中下怀，很好地描述了强关联系统中 的 Mott 物理，从而绝处逢生，在超导界唯我独尊之态 已持续多年。周期性晶格中最常见的 Hubbard 模型形 式如图 6 所示： 图 6 Hubbard模型，以二次量子化的形式写出。
V. 电子条纹相
众所周知，一维 Hubbard 模型在一些特定条件下 可能是可积的，而二维和三维 Hubbard 模型不再存在 严格解，数值计算方法来求解 Hubbard 模型难以避免。 鉴于 Hubbard 模型的崇高地位，前人已经发展了大量 “特定的”近似解析加数值方法来处理这一问题，典型 的方法包括（中文翻译不确，请谅解只写英文名称）：1. density matrix renormalization group (DMRG)
2. exact diagonalization/dynamical mean-field the-ory
3. constrained path auxiliary field Monte Carlo
4. infinite projected entangled-pair states
5. density matrix embedding theory
7. cellular dynamical mean-field theory 8. …… 有意思的是，铜氧化物高温超导体系中都存在平 移和旋转对称破缺的电子条纹相，它是理解高温超导 电性不能回避的问题。既然 Hubbard 模型宣称能够描 述高温超导的主要特征，自然也需要很好地重现电子 条纹相的基本物理。遗憾的是，上述各种方法中，方 法 (1)∼(4) 重现了电子条纹相，展示了比 d 波超导电 性更高的强度和更长的关联长度。而方法 (5)∼(7) 则未 能重现电子条纹相，只是展示了有限温度的 d 波超导。 因此，关于这些方法可靠性的疑问立即凸显出来。 大量的尝试和检验都证实这些方法给出的不同基 态能量非常接近，而基态之不同很可能源于每一种方 法中存在的细微差别和缺失。如果不能排除这些差别 和缺失，那么每一种方法的可靠性就值得怀疑，虽然 这种怀疑未必就是合理的。使用这些方法的诸君各有 说辞，让读者难以判定谁对谁错、谁是谁非，也许都 对都是，也许都错都非。 怎么办呢！来自斯坦福大学物理系、斯坦福大学 材料与能源科学研究院和斯坦福大学 Geballe 先进材 料实验室的几位学者（通讯作者 Tomas P. Devereaux） 与北达科他大学物理系同行合作，对此问题开展了广 泛的数值模拟研究。他们的思路看起来有些独特： 如 果能够发展一种有限温度计算方法，通过引入足够强 的自旋序竞争涨落，一方面就可能较易克服低温下各 电子相之间的能量势垒，使得计算进程尽快达到基态； 另一方面，体系高温下的关联长度将显著减小，借助 较小的点阵来实施计算就成为可能，可以有效排除计 算的有限尺寸效应。立足于这一思路，作者利用行列 式量子蒙特卡洛 (determinant quantum Monte Carlo, DQMC) 这一有限温度精确 (exact) 求解方法获得真正 的基态。虽然量子蒙特卡洛模拟中费米子符号问题在 低温区可能无法解决，但计算结果将有限温区区间内 竞争条纹相很好地展现出来。与此同时，作者也利用 密度矩阵重整化群 (DMRG) 方法进行印证计算，以求 结果的可靠性。 借助这一方法，作者以包含次近邻跳跃 (hopping) 的 Hubbard 模型为对象，计算了覆盖整个电子掺杂和 空穴掺杂区间的实空间自旋关联函数与电子条纹相相 图。与前人工作比较，这一工作揭示了次近邻跃迁对 电子条纹相稳定性的影响，电子掺杂时自旋非公度相 会消失，而空穴掺杂时半填充的条纹相也会消失。计 算结果与一系列实验观测大致吻合，预示出 Hubbard 模型的确可以描述电子和空穴掺杂铜氧化物中的条纹 相和电子相图，这一点应算难能可贵，值得张扬。其 中几幅自旋关联函数实空间分布示于图 7。图中条纹相 竖直排列，让您能感觉到“此处文生挥墨尽，只留笔 下竖成书”的味道。 图 7 DQMC 计算得到的自旋关联函数分布， U/t = 6， t′/t =−0.25，T/t = 0.22，p 为空穴掺杂浓度。 当然，这一组合计算方法依然受到有限点阵大小 和符号问题的限制，对计算大尺度动力学问题显得后 劲不足。诚然，方法本身的可靠性依然需要与实验比 对才能获得认可，数值方法的内禀缺憾依然故我、未 能克服。作者坦率地承认追随模型之路仍然漫长。而笔
者认为，此去长路中那种让人欢喜让人忧的感觉将成 为物理人一生的属性和命运。该工作以“Stripe order from the perspective of the Hubbard model” 为题发 表于npj Quantum Materials. 2018, 3: 22。 阅读原文， 御览详细的数据与讨论。 备注：此文撰写得到李建新老师、万贤纲老师支持，谨 致谢意！
