中學生通訊解題第二十八期題目參考解答與評析

中學生通訊解題第二十八期題目

參考解答與評析

臺北市立建國高級中學數學科

問題編號

920901

在黑板 I'. 寫 l二連續自然數卜 2 ，

3 ' .

92阱。 任意擦去兩個數字，並算 H--'，:iQ兩個數 字的和與主後，在黑板 I:.tb 1-_ 它們的和或 (例如:擦去的兩個數字為 12 與兒'\:lJj

I'.

50 或者 26) 。重複這樣的步驟一買到在黑板 上只留 F →個數字為止。證 l間:最後這個數 字不叫能是零。 參考解答一: 因為:偶數士奇數必為奇數，奇數個數 1n~ 變 化。奇數士奇數必為偶數，奇數倒數減少兩 個們偶數±偶數必為偶數，奇數個數無變化。 所以，每次動作後，奇數的個數保持不變或 減少兩個，而 1 ~9209 間有 4605 個奇數。奇 數個數為「奇數 J '所以最後-個數必為這〕二 數，不會為 O 。

參考解答二:

(I)

1 十 2 十 3 十﹒. .

+

9209

Q/ AHV 可 h ny >< 戶、 J AV /0 4UT --Q/ AV 可 h AY ><

)

仇V AV 可申 仇V 十

(

><

l-2

一 為奇數。 (2) 因為 a 十 b 二 (a b)-t 泊，所以 a-b 的奇 偶性與 a 十 b 的奇偶性相同，因此只要考 慮補上的數為兩數的和即可 η 則最後剩 下的數數必為總和=

4605 x 9209

5:0奇 數，不會用。 。 解題重點: 能找出題[j

tj

I 最後剩卡的數的奇偶性的 變化。 言平析

:

本題徵答人數共有 54 人，其 I

t

I 全對者共 21 人，平的得分為 3.98 。其中，答題{憂良或 解 j去富參考價值者有台北市民生 l到Ij l 央軒宇 同學:興雅國中林昭平同學:敦化圈中會偉 綸;建成闕 rj11J:衡同學;東湖國中李光于同 學;台北縣江翠國中林志嘉同學、海山國呼l 俊緯同學:積穗國中蕭山之宏同學新竹 市光華岡 It! 范祐就:同學:彰化市陽明國中王 建諂同學;台 I有巾，建興國中陳眷玫同學等。 問題編號

920902

將曰:方體的/了崗女[J同骰子編}三 l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 等六個號俑，並且在相對而仁的 數之和等於 7 。今有-含有一 100xl00 個方 格的棋盤，方格的大小與 iE 方體諸面的大小 皆相同。現將正方體放在棋有!情最左 F 角的方 格中開始滾動，每-次的滾動都以i亡方體的 。條稜線為軸，將正方體翻入右面或上面的 方格(不得向)<或向主)。在正方體翻動中， 經過的每 ')j 格都印 L 與它重合的正方體的 那個問 L所編的號碼。試問所有 100xl00 個

33

方格印出的數之和最大是多少?最小是多

少?

參考解答一:

;在正方體與方格的翻動中，若有兩次出現 a' 則在其間必然也會出現一次(7 ~a)o 數 a 與

(7

~a)若不是成對出現，則至多相差-次! 既然由左 F 角至右上角共產生 199 個數，故 最大值必是 98 對 a 與(7 ~a) 再加 4 十 5 十 6 其值為 98x7 十 4 十 5 十 6 二 701 '同理最小值為 98x7 一卡

l

十 2 十 3=692

參考解答二:

因為骰于在任一個格于其相鄰的左右格于 L 的點數和都是 7 ，所以我設兩個方格的和為 7 的那兩格為 I--)H J' 而不成-對者稱之為「落 單」。 因為骰子只能向 t 或向右滾，所以在滾=三格 內不可以有重複的點數，所以最多只能于三個 落單。

1(1)

、 3 I 、 5 !A? 、:2 )、 而 100xl00 的棋盤有 100+

100-1 = 1

99 個格 子，因為有奇數格所以最多可以造 3 個落

單，與空些二主= 98 (對) ，.對的和為 7'

2

98x7 二 686

'

686+6+5+4 三 701 (最大值)

,

686+1+2+3 三 692 (最小值)。 而我們求得公式:

當 Ixn: 我們以 ~(n) 表示最大值，以 Q\(n) 表

示最小值

- 34

n 7-2 一一 ) n

Q

一-n p 川 LK A 『 一­

n

R卅(仰n片

(n-I)

+

叫州，(鼎洲(仰川n川片)

2.n=4k+1

:爪的三 j(n-2)+lldl( 的 =:(n-M

3.n三4k+2

4.n=4k+3 :

_{. p'}

_{(n)= 三 (n-I)}

₊

_6,Q

_,

_{(n) 三三 (n-l)+1} 當 2xn: I. n三4k: .Pz(n)=zn+6,Q2(n)=En+l

2.n=4k+1

.

P

,

(n)= 三 (n-l)+II， Q， (n)= 三 (n-l)+3

3.n=4k+2 :

_{.R(n)zE(n2)+l5， Qz(n)= 三 (n-2)+6}

4.n=4k+3 :

P， (n) 三三 (n-l)+ll ， Q， (n) 三三 (n-l)+3 笛，在 mxn 的棋盤中，時: (-I) 川'-I Qm(n)= "2(月 +m+ 一 2 一一)

-6

-2(一 1

)"

評析: l 本題之重點在於找出翻動的規則，即在兩 次出現 a 的中間必然會出現一次 (7-a) 。若 學位能發現此性質，自然就可解出本題。 實際卜，本題之棋盤不見得要正方形，若 是 mxn 的棋盤，則原題亦有相對應的答 案，可推導出一固定公式!關於此推廣部 分，本次答題者北市師大附中國中部 144 班翁鈺博同學及其學長 142 班黃上思同學 給了-個完整的答案。 2. 本題共有 29 位同學答題，答對者 6 人，答

案正確且給予詳細之探討者僅有師大附中 翁鈺博同學。另北市興雅國中林昭平同 學、新竹市光華國中范祐維同學及-無名 氏則給予正確之答案。 問題編號

920903

•

•

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• •

( 1

)如圖個 4x4 的方格中共有 25 個相 子點，任意兩個格子點連成-條線段 (排除水平與垂直的線段) ，請問這些 斜的線段共叫團成多少個正方形?

(

IE

方形的頂點皆在格于點 I二)

( 2

)若是一個 9妙的方格中共有 100 個格 子點，任意兩個格子點連成 條線段 (排除水平與垂直的線段) ，請問這些 斜的線段共 I"J 團成多少個 I 正方形? (正 方形的頂點皆在格子點上)

參考解答一:

符號說明: (1， 3) 表示用「商行 l 格橫列 3 格」的直角三角形的斜邊當做正方形的-邊 (如 F 圖所示) ，它與 (3 ， 1)有相同的圓形 O

-

35 一 、、 IFJ

l

/'t\ 編號 _{邊長 數量}

(1,1)

d

9

(2

,

2)

2 -.1三

(1,

2)

J5

8

(1,3)

d石

2

合計

₂₀

( 2 )

編

邊;反

數

_編

_號

邊 數 編 _{邊 數} 號 最 長 二是 號 長 量 (I司

1)

_d

64

(1,

6)

J于

18

(3,4)

5

18

(2

,

2)

2 -J三 36

(1,

7)

5

J2

8

(3,

5)

134

8

(3,3)

₃

_J2

16

(1,

8)

而三

2

(3可 6)

3 -J三 2

(4

,4)

_{4 -J三 4 (2}

‘3)

-J13

50

(4司5)

.I4l

2

(1,

2)

而

98 (2

,4)

_{2 -J三 32}

Tl

0-j

540

( ],3)

_M

72

(2

,

5)

-J29

18

(1,4)

_.JU

50 (2

,

_{6) 2M}

8

(1,

5)

J豆 32 (2

,7)

長王

2

在 nxn 的方格 Ll1 的正方形個數為: (n-I)' +2x(n~2)' +3x(n-3)' + 一一一一 +(n 一 I)X

1

2 其和為: S=(n-I)'+2x(n~2)2+3x(n-3)'+ 一一一一 +(n 一 l)x12 S=(n-I) 十 (n~2)x2'+(n-3)x3'+ 一一 +lx(n-l)2 2S 三 Ix nx(n 一 I)

+

2x

nx(n

-2)

+ - -

--+nx (n -I) 二 n[n 一 I+2n-4+3n~9+ - - - --+nx (n-I)~(n~1)2]

'e

n~ 1) =一 2 一 -n[l'+22+---+(n-l)'j

s

= n\n~ I)n2(n 一 1)(2n 一 I) 4

12

(台北縣江翠國中陳建彰同學提供) 評析: 這個題目大部分答對的同學都是半個­ 個算，只要有恆心與細心，再加上懂得分類 來算，相信可以把這個題目答得非常好也有 少數同學利用數列的求和求出每邊 n 格的正 方形所形成斜正方形的個數，誠屬難得。 本題表現優異同學名單如下:基隆市銘 傳國中:張世暉同學、台北縣江翠國中:陳 建彰同學、鄭有博同學、李伯桂同學、林謙 豆豆同學、呂且巨軒同學、柯俊吉同學、黃逸鵬 同學、李治揚同學、龍旻賢同學、黃 F 誠同 學。台北市民生國中:宋亭，摺同學、張又勻 同學、楊傑超同學、陳麒安同學、陳|台廷同 學、邱信淳同學、涂俊全同學。台北市興雅 國中:林昭平同學。台北市師大附中:翁鈺 博同學。台北縣積穗國中:蕭l!tz:宏同學。台 北市敦化國中:杜政儀同學。新竹縣光華國 中:王銘鋒同學、范祐維同學。台北縣海山 國中:江俊緯同學。台北市建成國中 :n 衡 同學。台北市東湖國中:李光宇同學。 問題編號

920904

大雄為了參加基本學力測驗，擬定出一 套數學的讀書計畫如下: (I)考前 60 天開始，每天至少做 l 題，至多做 16 題; (Ii)若某一天做超過 9 題，則接 F 來的 4 天，

每天至多做 7 題，

(Iii)若某一天做不到 7 題，則接下來的 3 天， 每天至少做 9 題。 試問依此計畫(同時滿足的(ii)(l ii)) ，大雄;在這 的天內最多可做幾題數學?最少要做幾題 數學? 參考解答一: 設 U 二 al+a2+···+ 的0 表示大雄這六十天 內最多可做的數學題目數，其中al為第 I天做 的數學題目數。若有 -"I 屬於 {I

' 2 ' 3 ' ...

,

56}

,

f吏得 ai>9 ，則依條件(

ii)

,

ai +

I 三 7 ，

ai 1

2 三 7 ，副司三 7

' aj

'4 三 7 ，於是 aj+aj+j 寸 aj

'2 + aj

I3 十 aj 斗 4 三 16 十 7 寸 7 十 7 寸 7 二 44 。 但若取 u* =bj+b

2

+··· 寸恥。，其中 bj=bj+j 二_b

_i

_{12= bi 13= bi1}

4

= 9

'而其他的的=角，則 u

<u*

，此與U 的選取矛盾!因此， aj 三 9' 所 有 i=

I ' 2 ' 3 ' ...

,

56 。

文 max

{as? + aS8 +

aS9 寸鈍。}三 9x3 寸 16=43 。 因此，所求的最大值 S 三 9x56 寸的 =547 。 另-方面，設L=cl 寸 C2+ ...寸 C60表示大雄這 六十天最少可做的數學題目數，其中 Cj為第 l 天做的數學題目數。若有一 i 屬於抖，

2 '

3 ' ...

,

57}

,

f吏得 aj<7 ，則依條件(

iii)

,

Cj

1

I 三 9

'

Cj 十 2 三 9

' Cj +

3 三 9 c 於是，

Cj+Cj+

1 十

Cj +

2 寸 Cj 卡立 1+9+9+9 三 28 。但若取 L* 士 d1

+

d

2+ ... +

d

60

'其中 d;

=

d

i '

1

=

d

i ' 2=

d

j13=7

'而其他的d

_j

三句，則

_L

_三

L\L由

_L*

取代時，其值不會變大O 故不失-般性，可 /"-.

rJ

Cj 三 7 '所有 i 三 I

' 2 ' 3 ' ...

,

57 。文min{as8

+

aS9 寸鈍。 }=7+7 寸 1= 15 。 閃此，所求的最小值 L=7x57+ 15=414 。 解題重點:

必須同時滿足的(I

i)(

iii)三個條件，很多

同學誤解題意，導致錯誤。

D

E

B

評析: 52 人作答， 15 人答對。平均得分率 2.01

A

分。答對名單: 基隆銘傳國中許書穆、黃柏凱、玉欲仁、 了王光仁、劉懿慧、連昶昶;北市民生國中吳 軒宇、曾懷德;敦化國中林政儀;北縣江翠 國中許廷瑋、黃逸鵬;北市延平國中黃善佑;

C

北縣積穗國中蕭山乞宏;新竹光華國中范祐

AB 弧 +BD 弧 =AB 弧+AD 弧 :.BC 弧三AD 弧' 維、無名氏。

:. AD

=

BC

' 同理 BE 弧三CD 弧':. BE 二 CD ':AC 弧 +CE 弧三 1800

, :.

AE 為直徑

AB

+

BE

=

AE

'DE

+

AD

=

AE

問題編號

920905

:. AB +BE =DE +AD

如圖 A ， BιD， E 皆在圓 r.

'

L三 ABC=

.: AD

=

BC ' :. AD

=

BC

4三 BCD=ζCDE=45C 。 一一一-2 - - 2 - - 2 - - 2

:. AB +CD =BC +DE

(基隆市銘傳國巾劉俐同學提供) 參考解答二: 1.連接函，高句話，AC， 函，

.

.ζABC=ζBCD=ζCDE=45'

,

E

A

BC 弧=AC 弧=CE 弧二90° ， :.ACE 弧=1800 ，

D

E

...

AE 為直徑

C

證明:

AB

+

CD

=

BC

+

DE

4三 CDE=45°

,

4三 ABC=ζBCD三

連接豆，五，函

參考解答一:

C

2.CE 弧=BD 弧 =900 ，

:. BD=CE

4三 BCD=ζCDE=45°

, :.

BC II DE '

交.

.

勻/ 、、 ν

.

.凹邊形 BDEC 為等腰梯形 ，

BE=CD

AB

+CD 三 AB

+BE

=

AE

同理可證Bc-+DEZ=AEZ

.

.λI+CDZ=BCZ+ 五EZ

(北縣江翠國中黃詩純同學提供)

參考解答三:

連接瓦畫，五五百五，因圓周角為圓心角的 半，所以同弧所對的圓周角相等 ，

L

ABC=

ζ:BAD=ζBCD=ζCDE=LCBE=ζFDC= ζDEB ，

... AF

= BF 、 FC=FD 、 BH=CH 、 DH=EH D

E

C

依照畢氏定理得到孟云 2 互FZ+EFZ=2云云，

一一一一? 一一一一弓 ? 一一一-2 一一一~2 一一-2 一一-2

CD-

=

FD-

+FC 三 2FD

' AF

+

BF

=

BD

... AB

2

+CD

2

=2BF

2

+2日 =2面)

同理 EE2+ 互lj2=2豆豆 2 +

2DH

2

=

2BD2

... AB- +CD-

= 主亡 +ADz

(台北市民生國中吳軒宇同學提供)

38

評析: 當初認為國 ifl 課程對幾何的證明學得很 少，於是出一些幾何誰明題讓國中生有機會 學習如何去證明，也能夠訓練自己的邏 輯思考與推理能力。非常驚訝的發現，這個 題目有很多人用不同的方法來完成，且證明 過程非常嚴密，這是非常難得的，可見孩子 的創造力是要去發現的。 我們從多數同學使用的證明方法，提供 F 歹IJ 二三種不|司的諮明方法 O 但彰化縣|場明國 ifJ 楊鎮 4三同學、基降市銘傳國中邱檻翔同 學、台北縣 iT 翠!國中黃子誠同學、台北縣江 翠國中柯俊吉同學、台北縣江翠國中李孟翰 同學、台北縣江翠國中林怡擱同學、台北縣 江翠國中黃逸鵬同學、幕隆市銘傳 l對中施文 瑄 [fi] 學、台北市建成國中 衡同學、台北 市延平完全中學黃善佑同學等交用了與下述 三種不同的方法，真佩服他們的創造力與天 J 。另外台北縣永和國中李韋翰同學與一位 未寫學校姓名的同學利用高中數學三角函數 中的餘弦定理來證明，佩服這兩位同學的學 識淵博，但其實我們所出的題目用國中所學 過的觀念來做即可。 最後提醒同學做證明題實際得畫圖在證 明過程的旁邊，這樣閱卷者才能完全看懂你 的想法。