單元09-平面向量的運算

160

甲

向量的內積

　　前一單元我們學習了向量的加法、減法與係數積三種運算，現在再介紹一種 與兩向量的夾角及長度有關的運算─內積。

（一）向量的夾角

　　給定兩個非零向量 _{a , b ，我們可以將其中一個向量平移，使兩個向量的始} 點重合，如圖_{2 所示，此時角 i（0 ° ≤ i ≤ 180 ° ）稱為向量 a 與 b 的}夾角。 ▲圖₂ 　　在物理學中，用定力 _{f 推動一物體，若施力 f 與} 物體位移 _{d 方向相同，則力 f 對該物體所作的功為} W = | f || d |；但是當施力 f 與位移 d 方向不相同時， 該如何計算力 _{f 對該物體所作的功呢？這功可由本單} 元所要介紹的向量內積求得。

平面向量的運算

9

▲圖₁

161

9

平面向量的運算 例如：在圖_{3 中，△ABC 為正三角形。} 1 AB 與 AC 的夾角為 60 ° 。 2 AB 與 BC 的夾角為 120 ° 。 3 BC 與 AC 的夾角為 60 ° 。 　　特別地，當向量 _{a 與 b 方向相同時，夾角 i = 0 ° ；} 而當向量 _{a 與 b 方向相反時，夾角 i = 180 ° 。} 如圖，已知四邊形_{ABCD 為正方形，求向量 AB 與下列} 各向量的夾角： 1 AC。　　　　2 BD。　　　　3 CD。

隨堂練習

（二）向量的內積

　　 在 物 理 學 中， 用 定 力 推 動 一 物 體， 如 果 施 力 f 的方向與物體移動的方向成 i 角，且物體在力 f 的作用下產生的位移為 d ，那麼力 f 在位移 d 方 向上的分力為

|

f

|

cos i（當 90° < i ≤ 180° 時，此分力為負值），如圖 4 所示。 此時力f 對該物體所作的功為

W =

(

|

f

|

cos i

)

|

d

|

=

|

f

||

d

|

cos i。

在數學上，我們將

|

f

||

d

|

cos i 定義為向量 f 與向量 d 的內積。

當兩個非零向量_{a 與 b 的夾角為 i（ 0 ° ≤ i ≤ 180 ° ）時，定義a 與 b 的}

內積為

|

a

||

b

|

cos i，以a ・b 表示（讀作 a dot b），即

a ・ b =

|

a

||

b

|

cos i。

另外，規定任意向量 _{a 與} 0 的內積為 0，即 _{a ・}0 = 0 ・_{a = 0。}

內積的定義

▲圖₃

162

要注意的是： 1 因為

|

a

|

,

|

b

|

與cos i 都是「實數」，所以內積a ・b 不是「向量」，而是一 個「實數」。 2 在內積的記法中，「・」不能省略，也不可以寫成「×」。符號 a ×b 另有 特定的含義，但在本單元中不作介紹。 已知向量 _{a 與 b 的夾角為 120 ° ，且}

|

_a

|

=2 ,

|

b

|

=3，求 a ・b 的值。

例題

1

根據內積的定義，得 a ・ b =

|

a

||

b

|

cos 120 ° = 2×3×

(

- 1 2

)

= -3。 如圖，已知

|

_a

|

=4 ,

|

b

|

=5，求 a・b 的值。 　　計算內積時，兩向量的夾角常是關鍵，舉例如下。 已知△_{ABC 的三邊長為 AB = 5 , BC = 6 , CA = 7，求下列各值：} 1 AB・AC。　　　　2 AB・BC。

例題

2

根據內積的定義及餘弦定理，得 1 AB・AC = 5×7×cos A = 35× 5_{2×5×7 = 19}2+72-62 。

2 令∠ABC = i。 因為 AB 與 BC 的夾角為 180 ° - i， 所以

解

隨堂練習

163

9

平面向量的運算 AB・BC =

|

AB

||

BC

|

cos (180 ° - i) = 5×6×(-cos i) = 30×

(

- 52+62-72 2×5×6

)

= - 6。 如圖，在平行四邊形ABCD 中，AB = 2 , AD = 1 , ∠A = 60 ° ，求下列各值：

1 AB・AD。　　2 AB・BC。　　3 AB・CD。

（三）內積的坐標表示

　　 如 同 向 量 的 加 法、 減 法 與 係 數 積， 向 量 的 內 積 也 可 以 用 坐 標 表 示。 設

a = OA =

(

a₁, a₂

)

, b = OB =

(

b₁, b₂

)

為坐標平面上兩不平行的向量，且其夾角為 i，

如圖_{5 所示。}

▲圖₅

　　在△_{OAB 中，利用餘弦定理 AB}2=OA2+OB2-2OA・OB・cos i，得

AB2=OA2+OB2-2

|

a

||

b

|

cos i， 即 2

|

a

||

b

|

cos i = OA2+OB2-AB2 =

(

a₁2+a₂2

)

+

(

b₁2+b₂2

)

-

(

(

a₁-b₁

)

2+

(

a₂-b₂

)

2

)

= 2

(

a₁b₁+a₂b₂

)

。

隨堂練習

164

因為 _{a・b =}

|

_a

||

_b

|

_{cos i，所以}

2

(

a・b

)

=2

(

a₁b₁+a₂b₂

)

。 故 a・b = a₁b₁+a₂b₂。 至於當 _{a 與 b 平行或有一為零向量時，上式仍成立（請自行驗證）。因此，兩} 個向量的內積等於它們對應分量的乘積之和。 若 _{a =}

(

_a1, a₂

)

, _{b =}

(

_b1, b₂

)

是坐標平面上任意兩向量，則 a 與 b 的內 積為 a ・ b = a₁b₁+ a₂b₂。

內積的坐標表示

　　當已知向量_{a 與b 的坐標時，內積a・b 就可利用以上公式直接求得，並無}

須知道 _{a 與 b 的夾角；而且此時還可以利用內積的定義} a・b =

|

a

||

b

|

cos i，

反求兩向量的夾角，即 cos i = a・b

|

a

||

b

|

。 舉例如下。 已知 _{a =}(_{7 , 1})_{, b =}(_{3 , 4})，求 1 a・b 的值。 2 a 與 b 的夾角。

例題

3

1 利用內積的坐標表示，得 a ・b = 7×3 + 1×4 = 25。 2 設 a 與 b 的夾角為 i。因為

|

a

|

= 72+12=5 2 ,

|

b

|

= 32+42=5， 解

165

9

平面向量的運算 所以 cos i = a・b

|

a

||

b

|

= 25 5 2×5 = 1 2 。 故 i=45 ° 。 在△_{ABC 中，已知三頂點坐標為 A}(2 , 3), B(-2 , 1), C(5 , 2)，求 1 AB・AC 的值。　　　　2 ∠BAC 的度數。 　　向量的內積具有下列性質。 設 _{r 為實數， a , b , c 為向量。} 1 a ・ a =

|

a

|

2。 2 a ・b = b ・a 。 3

(

ra

)

・b = r

(

a ・b

)

。 4 a ・

(

b + c

)

= a ・b +a ・ c 。

內積的性質

　　這些性質都可由內積的定義直接證得，我們只證明性質 4 如下：設 a =

(

a₁, a₂

)

, b =

(

b₁, b₂

)

, c =

(

c₁, c₂

)

。 因為 a・

(

b + c

)

=

(

a₁, a₂

)

・

(

b₁+c₁, b₂+c₂

)

=a₁

(

b₁+c₁

)

+a₂

(

b₂+c₂

)

=a₁b₁+a₁c₁+a₂b₂+a₂c₂, a・b + a・c =

(

a₁, a₂

)

・

(

b₁, b₂

)

+

(

a₁, a₂

)

・

(

c₁, c₂

)

=a₁b₁+a₂b₂+a₁c₁+a₂c₂， 所以 a ・

(

b + c

)

= a ・b + a・c 。

隨堂練習

166

　　這些性質可以幫助我們計算內積及求向量的長度，舉例如下。 已知

|

_a

|

=2 ,

|

b

|

=3，且 a 與 b 的夾角為 60 ° ，求下列各值： 1

(

a + b

)

・

(

a - b

)

。　　　　2

|

3a - 2b

|

。

例題

4

1 由內積的性質，得

(

a + b

)

・

(

a - b

)

=a ・a - a ・b + b ・a - b ・b

=

|

a

|

2-

|

b

|

2 =22-32 = -5。 2 由內積的性質，得

|

3a - 2b

|

2=

(

3a - 2b

)

・

(

3a - 2b

)

=9a ・ a - 6a ・b - 6b ・a + 4b ・b =9

|

a

|

2-12a ・ b + 4

|

b

|

2 =9×22-12×2×3×cos 60 ° + 4×32 =36， 故

|

3a - 2b

|

=6。 已知向量 a , b 滿足

|

a

|

=4 ,

|

b

|

=5 ,

|

2 a - b

|

=7，求 1 a・b 的值。　　　　2 a 與 b 的夾角。 解 解

隨堂練習

167

9

平面向量的運算

（四）兩向量垂直的判定

　　很自然的，對於兩向量的垂直，定義如下。 當向量 _{a 與 b 的夾角為直角時，我們稱 a 與 b 垂直，記作 a ⊥b 。}

兩向量垂直的定義

　　內積可以用來判定兩向量是否垂直，說明如下：設 _{a , b 為兩個非零向量。}

若 _{a ⊥b ，則 a・b =}

|

_a

||

_b

|

_{cos 90 ° = 0；反之，若 a・b = 0，則 cos i = 0，得}

i=90 ° ，即 a ⊥ b 。 　　因此，我們有以下的結論。 設 _{a , b 為兩個非零向量。} 若 _{a ⊥b ，則 a ・b = 0；反之亦成立。}

兩向量垂直的判定

　　由上可知，兩個非零向量是否垂直，可以由其內積是否為_{0 來判定。}

168

設向量 _{a =}(_{1 , - 3})_{, b =}(_{2 , - 1})_{, c =}(_{3 , s})。 1 已知 a ⊥c ，求實數 s 的值。 2 已知

(

a + tb

)

⊥_{b ，求實數 t 的值。}

例題

5

1 因為 a ⊥ c ，所以 a ・ c = 0，即 1×3 +(-3)×s = 0， 解得 s = 1。 2 因為

(

a + tb

)

⊥b ，又 a + tb =(1 , - 3)+t(2 , - 1)=(1 + 2t , - 3 - t)， 所以 (1 + 2t , - 3 - t)・(2 , - 1)=0， 即 (1 + 2t)×2 +(-3 - t)×(-1)=0。 整理得 5t + 5 = 0，解得 t = - 1。 已知 a =(k , 2) 與 b =(-4 , 3k - 1) 垂直，求實數k 的值。 　　此外，當兩非零向量的夾角 i 為銳角時，_{cos i > 0，且內積為正數；當夾角} i 為鈍角時，cosi < 0，且內積為負數。 解

隨堂練習

169

9

平面向量的運算

在右圖的正五邊形_{ABCDE 中，選出與 AB 的內積為}

正數的向量。

1 AB　　2 AC　　3 AD　　4 AE。

隨堂練習

　　利用向量內積的性質，可以證明「半圓的圓周角為直角」。 右圖是以 _{AB 為直徑的半圓，P 為圓周上一點，} 證明：∠APB = 90°。

例題

6

令圓心為 O，半徑為 r。因為 PA・PB =

(

PO + OA

)

・

(

PO + OB

)

=

(

PO + OA

)

・

(

PO - OA

)

=

|

PO

|

2-

|

OA

|

2 =r2-r2=0， 所以PA ⊥ PB。故∠APB = 90°。 仿照例題 6 的方法，我們也可以證明熟悉的畢氏定理。 在△_{ABC 中，已知 ∠ C = 90 ° ，證明：AB}2=AC2+BC2。 _{【畢氏定理】} 證

隨堂練習

170

乙

正射影

　　設 _{a = OA , b = OB 是平面上兩個非零向量。自 A 點向直線 OB 作垂線交於} C 點，此時向量 OC 稱為向量 a 在 b 上的正射影，如圖6 所示。因此，一個向 量在另一個向量的正射影仍是向量。 i 為銳角　　 　　 i 為直角　　　　　　　i 為鈍角 ▲圖₆ 當 i 為銳角時，_{OC 的長度為}

|

_a

|

_{cos i。因為 OC 與 b 方向相同，且 OC 的長度} 是b 長度的

|

a

|

cos i

|

b

|

倍，所以 OC =

(

|

a

|

cos i

|

b

|

)

b。 將cos i = a ・ b

|

a

||

b

|

代入，得 OC =

(

|

a

|

|

b

|

・ a ・ b

|

a

||

b

|

)

b =

(

a ・b

|

b

|

2

)

b 。 仿照上述方法可推得，當 i 為鈍角時，上式仍成立。 　　至於當 i 為直角，乃至於 i=0° 或 180° 時，上式仍然成立。因此，我們有 以下的公式。 若a , b 為兩個非零向量，則a 在b 上的正射影為

(

a・b

|

b

|

2

)

b 。

正射影公式

171

9

平面向量的運算 　　練習使用正射影公式，並求正射影的長。 已知 _{a =}(_{7 , 4})_{, b =}(_{1 , 2})，求 _{a 在 b 上的正射影及正射影的長。}

例題

7

1 利用正射影公式，得 a 在 b 上的正射影為

(

a・b

|

b

|

2

)

b =

(

7 + 8 5

)

b = 3b = 3(1 , 2)=(3 , 6)。 2 由 1 知，正射影的長為 32+62=3 5。 如圖，OA =(3 , 4), OB =(7 , 1)，由A 點往 OB 作垂線， 垂足為C 點，求 OC 及

|

OC

|

。 解

隨堂練習

172

　　我們在處理物理問題時，經常需要把作用力分解為兩個互相垂直的分力。這 在數學上是指將一非零向量分解為兩個互相垂直的分量。現在就利用正射影公式 來幫助我們做這種分解，舉例如下。 將向量 _{a =}(4 , 7)分解成兩個向量的和，其中一個向量與 _{b =}(2 , 1)平行， 另一個向量與 _{b 垂直。}

例題

8

如圖所示，a = c + d，且 c 為a 在b 上的正射影；此時 c 會與b 平行， d 會與 b 垂直。利用正射影公式，得 c =

(

a・b

|

b

|

2

)

b =

(

8 + 7 5

)

b = 3b =(6 , 3)。 又因為 a = c + d ，所以 d =a - c =(4 , 7)-(6 , 3)=(-2 , 4)。 故a =(6 , 3)+(-2 , 4)，其中 (6 , 3) 與 b 平行，(-2 , 4) 與 b 垂直。 將向量 a =(8 , 0)分解成兩個向量的和，其中一個向量與 b =(1 , 1)平行， 另一個向量與 b 垂直。 解

隨堂練習

173

9

平面向量的運算 　　「三向量和為零向量」是常見的問題，舉例如下。 父母親各拉一手將小孩提起，如右圖所示。已知 呈現平衡狀態時，爸爸的拉力為 10 公斤重，媽媽 的拉力為 6 公斤重，且兩拉力的夾角為 60 ° ，求 小孩的體重。

例題

9

設小孩體重W 公斤， a , b 分別為爸爸與媽媽的拉力， c 為小孩的重量，則

|

a

|

=10 ,

|

b

|

=6 ,

|

c

|

=W。 因為呈現平衡狀態 ，所以爸爸的拉力、媽媽的拉力與小孩的重量三力的 合力為零，即 a + b + c = 0 ，得a + b = - c 。 由向量加法的定義得知，a , b 與 a + b 形成一個三角形。因此 a , b 與 c 恰圍 出一個三角形，如右圖所示。 利用餘弦定理，得 W2=

|

c

|

2=102+62-2×10×6×cos 120 ° = 196， 解得W = 14。 故小孩的體重為14 公斤。 如右圖，在平滑的木板上有_{A , B , C 三個洞，} 取三條繩子紮結於一點_{O，穿過洞各吊掛一隻} 猴子，且呈現平衡狀態。已知掛在_{A , B , C 洞} 下方的猴子分別重 3 公斤、8 公斤與 7 公斤， 求∠_{AOB 的度數。} 解

隨堂練習

174

丙

柯西不等式

柯西 （A . L . C a u c h y , 1789 ∼ 1857） 法 國 數 學 家。 在 分 析 學 與 數 學 物 理 有 卓 越 的 貢 獻， 也 是 將 微 積 分 嚴 格化的第一人。 　　設 a , b 為兩個非零向量，且其夾角為 i（0 ° ≤ i ≤ 180 ° ）。由向量內積的定義

a・b =

|

a

||

b

|

cos i，

及 _{|cosi| ≤ 1，得}

|

a・b

|

=

|

a

||

b

|

| cos i| ≤

|

a

||

b

|

， 即

|

a・b

|

≤

|

a

||

b

|

。 我 們 稱 此 不 等 式 為柯 西 不 等 式。 當 不 等 式 的 等 號 成 立 時，_{|cos i| = 1，即 i = 0 ° 或 180 ° ，此時 a // b 。} 　　 至 於 當 _{a , b 中有一為零向量時，柯西不等式仍成} 立。因此我們有以下的結論： 對於任意兩向量 _{a , b ，不等式}

|

a ・ b

|

≤

|

a

||

b

|

恆成立，且等號成立於 _{a // b 或 a , b 中有一為零向量時。}

柯西不等式（向量形式）

　　若將 a , b 以坐標表示為 a =

(

a₁, a₂

)

, b =

(

b₁, b₂

)

，則由柯西不等式

|

a・b

|

≤

|

a

||

b

|

，得 |a₁b₁+a₂b₂| ≤ a₁2+a₂2・ b₁2+b₂2 將兩邊平方，得

(

a₁b₁+a₂b₂

)

2≤

(

a₁2+a₂2

)(

b₁2+b₂2

)

。

175

9

平面向量的運算

丙

柯西不等式

柯西 （A . L . C a u c h y , 1789 ∼ 1857） 法 國 數 學 家。 在 分 析 學 與 數 學 物 理 有 卓 越 的 貢 獻， 也 是 將 微 積 分 嚴 格化的第一人。 　　設 a , b 為兩個非零向量，且其夾角為 i（0 ° ≤ i ≤ 180 ° ）。由向量內積的定義

a・b =

|

a

||

b

|

cos i，

及_{|cosi| ≤ 1，得}

|

a・b

|

=

|

a

||

b

|

| cos i| ≤

|

a

||

b

|

， 即

|

a・b

|

≤

|

a

||

b

|

。 我 們 稱 此 不 等 式 為柯 西 不 等 式。 當 不 等 式 的 等 號 成 立 時，_{|cos i| = 1，即 i = 0 ° 或 180 ° ，此時 a // b 。} 　　 至 於 當 _{a , b 中有一為零向量時，柯西不等式仍成} 立。因此我們有以下的結論： 對於任意兩向量 _{a , b ，不等式}

|

a ・ b

|

≤

|

a

||

b

|

恆成立，且等號成立於 _{a // b 或 a , b 中有一為零向量時。}

柯西不等式（向量形式）

　　若將 a , b 以坐標表示為 a =

(

a₁, a₂

)

, b =

(

b₁, b₂

)

，則由柯西不等式

|

a・b

|

≤

|

a

||

b

|

，得 |a₁b₁+a₂b₂| ≤ a₁2+a₂2・ b₁2+b₂2 將兩邊平方，得

(

a₁b₁+a₂b₂

)

2≤

(

a₁2+a₂2

)(

b₁2+b₂2

)

。 這也是柯西不等式另一種常見的形式。又因為

(

a₁2+a₂2

)(

b₁2+b₂2

)

-

(

a₁b₁+a₂b₂

)

2 =a₁2b₁2+a₁2b₂2+a₂2b₁2+a₂2b₂2-a₁2b₁2-a₂2b₂2-2a₁a₂b₁b₂ =a₁2b₂2+a₂2b₁2-2a₁a₂b₁b₂ =

(

a₁b₂-a₂b₁

)

2， 所以當不等式的等號成立時，_a1b2-a₂b₁=0，即 a₁b₂=a₂b₁。 對於任意實數 _a1, a₂, b₁, b₂，不等式

(

a₁2+ a₂2

)(

b₁2+ b₂2

)

≥

(

a₁b₁+ a₂b₂

)

2 恆成立，且等號成立於 _{a1b2= a2b1}時。 另外，當 _b1b2≠0 時，常將等號成立的條件 a_{1b2= a2b1}改寫為比例式 a₁ b₁ = a₂ b₂ 。

柯西不等式（實數形式）

　　柯西不等式是重要的不等式，也是求最大值或最小值的工具。

176

已知實數 _{x , y 滿足 3x + y = 24，求 9x}2+y2的最小值，及此時_{x , y 的值。}

例題

10

利用柯西不等式，得

((

3x

)

2+y2

)(

12+12

)

≥

(

3x + y

)

2。 將3x + y = 24 代入，得

(

9x2+y2

)

×2 ≥ 242，即9x2+y2≥ 288。 而且當 3x 1 = y1，即 3x = y 時，等號成立。解聯立方程式 3x+y = 24 3x = y　　， 得x =4 , y = 12。 故當x =4 , y = 12 時，9x2+y2有最小值 288。 已知實數_{x , y 滿足 8x - 9y = 25，求 4x}2+9y2的最小值，及此時_{x , y 的值。} 　　在例題10 中，已知一次式的值，求平方和的最小值；反之，已知平方和的值， 也可以求一次式的最大值與最小值。 解

隨堂練習

177

9

平面向量的運算 已知實數_{x , y 滿足 x}2+y2=25，求 3x + 4y 的最大值與最小值，及此時 x , y 的值。

例題

11

利用柯西不等式，得

(

x2+y2

)(

32+42

)

≥(3x + 4y)2。 將x2+y2=25 代入，得 25×25 ≥(3x + 4y)2，即 -25 ≤ 3x + 4y ≤ 25。 而且當 x3 = 4y ，即4x = 3y 時，等號成立。解聯立方程式 x 2_+y2₌₂₅ 4x = 3y　　， 得x =3 , y = 4 或 x = - 3 , y = - 4。 故當x = 3 , y = 4 時，3x + 4y 有最大值 25 ； 　當x = - 3 , y = - 4 時，3x + 4y 有最小值 - 25。 已知實數_{x , y 滿足 x}2+y2=2，求 x - y 的最大值與最小值，及此時 x , y 的 值。 解

隨堂練習

178

　　應用柯西不等式也可以處理一些生活上的問題。 右 圖 是 某 溝 渠 的 縱 截 面， 其 中 央 是 一 個 邊 長 為_x （公尺）的正方形，左右兩側是兩個腰長為 _y（公 尺）的等腰直角三角形。考量堅固性及用料等因 素，縱截面的面積須為 125（平方公尺）。 1 求 x2+y2的值。 2 求總寬度 x + 2y 的最大值，及此時 x , y 的值。

例題

12

1 因為正方形的邊長為 x，等腰直角三角形的腰長為 y，且縱截面的面 積為 125，所以 x2+ y2 2 ×2 = 125，即 x2+y2=125。 2 因為 x2+y2=125 且總寬度為 x + 2y，所以由柯西不等式，得

(

x2+y2

)(

12+22

)

≥(x + 2y)2， 將 1 的結果 x2+y2=125 代入，得 125×5 ≥(x + 2y)2，即 -25 ≤ x + 2y ≤ 25。 而且當 x₁ = y 2 ，即2x = y 時，等號成立。解聯立方程式 x 2_+y2₌₁₂₅ 2x = y　　 ， 得 x =5 , y = 10 或 x = - 5 , y = - 10。 故當 x = 5 , y = 10 時，總寬度 x + 2y 有最大值 25（公尺）。 解

179

9

平面向量的運算 某人在半圓形廣場運動。他先由_{A 點沿直線走} 到場邊的某個點_{C，再沿直線跑到 B 點，如右} 圖所示。已知_{AB = 2（公里）為廣場的直徑，} AC = x（公里），BC = y（公里）。 1 求 x2+y2的值。 2 若此人走 1 公里需 12 分鐘，跑 1 公里需 9 分鐘，則依上述的路徑， 此人的運動時間最長可為多少分鐘？並求此時_{x , y 的值。}

隨堂練習

丁

面積與二階行列式

　　利用向量的內積可以推得兩（不平行）向量所決定的平行四邊形面積，說明 如下。 　　設 a =

(

a₁, a₂

)

, b =

(

b₁, b₂

)

為兩不平行的向量，且其夾 角為 i，如圖7 所示。因為由 a 與 b 所決定的平行四邊形之 底為

|

a

|

，高為

|

b

|

sin i，所以其面積為

|

a

||

b

|

sin i =

|

a

||

b

|

1 - cos2 i =

|

a

|

2

|

b

|

2-

|

a

|

2

|

b

|

2 cos2 i =

|

a

|

2

|

b

|

2-

(

a ・b

)

2 =

(

a₁2+a₂2

)(

b₁2+b₂2

)

-

(

a₁b₁+a₂b₂

)

2 = a₁2b₂2+a₂2b₁2-2a₁a₂b₁b₂ =

(

a₁b₂-a₂b₁

)

2 =

|

a₁b₂-a₂b₁

_|

。 ▲圖₇

180

　　為了使這面積公式簡明好用，我們引進一個新的符號： 符號 a1 a2 b₁ b₂ 稱為二階行列式，它所代表的數為 a1b2-a2b1，即 a₁ a₂ b₁ b₂ = a1b2-a2b1。

二階行列式

　　有了二階行列式後，將面積公式改寫如下： 由兩不平行向量 _{a =}

(

_a1, a₂

)

與 _{b =}

(

_b1, b₂

)

所決定的平行四邊形面積為 二階行列式 a1 a2 b₁ b₂ 的絕對值，即| a₁ a₂ b₁ b₂ |。

平行四邊形的面積公式

　　在公式中，行列式的值可能為正或負，加絕對值後才是面積。另外，當向 量 a // b 時，我們有

(

a₁, a₂

)

=

(

r

b₁, rb2

)

，因此 a₁ a₂ b₁ b₂ = rb₁ rb₂ b₁ b₂ =0；此時可以將 a , b 兩個向量所決定的平行四邊形面積視為 0。 求向量 _{a =}(_{5 , 2}) 與 _{b =}(_{3 , - 2}) 所決定的平行四邊形面積。

例題

13

計算二階行列式的絕對值，得 | 5 2 3 -2| = | - 10 - 6| = | - 16| = 16， 故向量 a 與 b 所決定的平行四邊形面積為 16。 解

181

9

平面向量的運算 已知向量 _{a =}(5 , - 2) 與 _{b =}(_{k , - 4}) 所決定的平行四邊形面積為24，求 實數_{k 的值。}

隨堂練習

　　已知三角形三頂點的坐標，可以利用上述公式求得面積。 設A(1 , 0), B(3 , 2), C(0 , 4) 為坐標平面上三點。 1 求△ABC 的面積。 2 已知 AP = xAB + yAC，其中 0 ≤ x ≤ 2 , - 1 ≤ y ≤ 1，求所有 P 點所形成 區域的面積。

例題

14

1 因為 AB =(2 , 2), AC =(-1 , 4)，且△ABC 的面積等於由 AB 與 AC 所 決定之平行四邊形面積的一半，所以△ABC 的面積為 1 2×| 2 2 -1 4 | = 12×|10| =5。 2 由向量的線性組合得知 ，所有 P 點會形成平行四邊形 C R S T 所圍成的區域（含邊界），如右圖所示。其面積 等於由AB 與 AC 所決定之平行四邊形面積的 4 倍，即 4×| 2 2 -1 4 | =4×|10| = 40。 設_A(-1 , 1), B(3 , 2), C(-2 , 4) 為坐標平面上三點。 1 求△ABC 的面積。 2 已知 AP = xAB + yAC，其中 - 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2，求所有 P 點所形成 區域的面積。 解

隨堂練習

182

戊

兩直線的夾角

　　第二冊時，我們利用直線的斜角求兩直線的夾角。現在，我們要介紹另一個 求兩直線夾角的方法。此方法不但有一個簡潔美麗的公式，而且還兼具為第四冊 的課程建立先備經驗。討論之前，先定義直線的法向量。 設 _{A , B 為直線 L 上相異兩點。若非零向量 n 與 AB 垂直，則稱向量 n 為} 直線_{L 的一個}法向量。

直線法向量的定義

因為不限制法向量的長度，且一個法向量的反向量還是法向量，所以一直線的法 向量有很多個，不過它們都互相平行。 　　我們來找直線_{L：ax + by + c = 0 的一個法向量：} ▲圖₈ 首先令 L ′ ：ax + by = 0。 它是一條與_{L 平行（或重合），且通過原點 O 的直線，如圖 8 所示。其次，在 L ′} 上取一點_P(-b , a)，得向量_{OP =}(-b , a)。最後，在平面上另取一點 _Q(_{a , b})，得 向量_{OQ =}(_{a , b})。因為 OP・OQ =(-b , a)・(a , b)= -ab + ab = 0， 所以_{OP ⊥ OQ。因此，向量}(_{a , b})是直線_{L ′ 的一個法向量。又因為 L 與 L ′ 平行（或} 重合），所以向量(_{a , b}) 也是直線 _{L 的一個法向量。}

183

9

平面向量的運算 向量 _{n =}(_{a , b}) 為直線_{L：ax + by + c = 0 的一個法向量。}

直線的法向量

　　練習找給定直線的法向量。 設直線_{L：2x - 3y + 4 = 0。下列哪些向量可為 L 的法向量？} 1 n₁=(2 , - 3)　　2 n₂=(-2 , 3)　　3 n₃=(6 , - 9)　　4 n₄=(-3 , 2)。

隨堂練習

　　交於一點的兩直線_L1與_L2共有二對夾角，分別為 i₁與 i₂，如圖9(1) 所示。 因為 i₁+ i₂=180 ° ，所以只須求出其中任一個夾角，另一個夾角就可求出。 　　　　　　　　 (1)　　　　　　 　　　　　(2) ▲圖₉ 　　在圖 9(2) 中，設 n₁與 n₂分別為L₁與L₂的一個法向量，且其夾角為 i。圖 中顯示 i+ a =90 ° = a + i₁， 得 i= i₁， 即n₁與n₂的夾角等於L₁與 L₂的一個夾角。因此只要求得兩法向量的夾角，就 可求得兩直線的夾角。

184

求兩直線 _L1：3x + y - 3 = 0 與 L₂：2x - y + 1 = 0 的夾角。

例題

15

直線L₁與L₂的法向量分別為n₁=(3 , 1) 與n₂=(2 , - 1)。 因為n₁與n₂的夾角 i 滿足 cos i = n1・n2

|

n₁

||

n₂

|

= 3×2 + 1× (-1) 10× 5 = 55 2 = 1 2 ， 所以 i=45 ° 。 故L₁與L₂有一夾角為 45 ° ，而另一夾角為 180 ° - 45 ° = 135 ° 。 求兩直線 L₁： 3x - y + 1 = 0 與 L₂：x - 3y + 2 = 0 的夾角。

己

三角不等式

　　對任意兩非零向量 _{a , b 而言：} 1 當它們不平行時，如圖 10(1)，根據三角形兩邊和大於第三邊，得知

|

a

|

+

|

b

|

>

|

_{a + b}

|

。 2 當它們方向相同時，如圖 10(2)，根據向量加法的意義，得知

|

a

|

+

|

b

|

=

|

a + b

|

。 解

隨堂練習

185

9

平面向量的運算 3 當它們方向相反時，如圖 10(3)，根據向量加法的意義，得知

|

a

|

+

|

b

|

>

|

_{a + b}

|

。 (1) (2) (3) ▲圖₁₀ 綜合 1、2、3 可得

|

a

|

+

|

b

|

≥

|

a + b

|

。 至於當 _{a , b 有一為零向量時，上式仍成立。我們將此不等式稱為}三角不等式， 敘述如下。 對於任意兩向量 _{a , b ，不等式}

|

a

|

+

|

b

|

≥

|

a + b

|

恆成立，且等號成立於 _{a 與 b 同方向或 a , b 中有一為零向量時。}

三角不等式（向量形式）

　　上述不等式在實數的情形也成立。對於任意兩個不為_{0 的實數 a , b 而言：} 1 當兩數皆正時，|a| + |b| = a + b = |a + b|。 2 當兩數一正一負時，|a| + |b| > |a + b|。 3 當兩數皆負時，|a| + |b| =(-a)+(-b)= -(a + b)=|a + b|。 綜合 1、2、3 可得 |a| + |b| ≥ |a + b|。 至於當a , b 有一為 0 時，上式仍成立。這個不等式也稱為三角不等式，敘述如下。 對於任意實數 _{a , b，不等式} |a| + |b| ≥ |a + b| 恆成立，且等號成立於 _{a , b 同號或有一為 0 時。}

三角不等式（實數形式）

186

9

觀念澄清 下列敘述對的打「」 1 若 a ・ b 的值小於 0，則 a 與 b 的夾角為銳角。 2 向量 a =(2 , 3) 與 b =(-3 , 2) 垂直。 3 對任意實數 x , y，不等式

(

x2+y2

)(

32+42

)

≥

(

4x + 3y

)

2恆 成立。 4 可以找到一個向量，使其在向量 (3 , 4) 上的正射影為 (4 , 3)。 5 由向量 a =(1 , 1) 與 b =(5 , 3) 所決定的平行四邊形面 積為 1 1 5 3 。

一、基礎題

如右圖 ，已知 _{A B C D E F 是邊長為 2 的正六邊形，求下} 列各值：

1 AB・AD。　　2 AB・AE。　　3 AB・AF。

已知 A

(

-2 , 2

)

, B

(

-1 , 4

)

, C

(

7 , 5

)

為坐標平面上三點，求

187

9

平面向量的運算 已知

|

_a

|

=1 ,

|

b

|

=2，且 a 與 b 的夾角為 60 ° ，求下列各值： 1

(

a + 2 b

)

・

(

3 a - b

)

。　　　　2

|

a + 2 b

|

。 已知向量 _{a =}(_{3 , 1})_{, b =}(_{1 , 2})，且

(

_{a - t b}

)

⊥ b ，求實數 t 的值。 已知 _{a =}(_{x , 4}) 在 _{b =}(_{1 , 2}) 上的正射影為(-2 , - 4)，求實數_{x 的值。} 已知 _{a =}(_{4 , 5})_{, b =}(_{1 , 2})，且 _{a = u + v，其中 u // b , v ⊥ b ，求向量 u 與} v。 如右圖 ，一根細繩穿過兩個定滑輪 _{A , B，且兩端分別繫} 有 _{3 公斤與 4 公斤的重物。現在兩個滑輪之間的繩上掛一} 個 _{5 公斤的重物，並呈現平衡狀態，求此時 ∠ A O B 的度} 數。

188

已知 _{x , y 為實數，且 x}2+y2=9，求 3x - 4y + 5 的最大值與最小值。 設 _A(_{1 , 0})_{, B}(_{3 , 2})_{, C}(_{0 , 4}) 為坐標平面上三點。 1 求△ABC 的面積。 2 已知集合 S =

{

P

|

AP = xAB + yAC , 0 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 2

}

，求集合 _{S 所表示} 區域的面積。 設 i 為兩直線 _L1：_{x - y + 2 = 0 與 L2}：_{2x + y + 3 = 0 的一個夾角，求 c o s i 的值} （兩解）。

二、進階題

已知

|

_a

|

=1 ,

|

b

|

=2 , c = a + b ，且 c ⊥ a ，求 1 a ・ b 的值。　　　　2 a 與 b 的夾角。

189

9

平面向量的運算 在△_{ABC 中，已知 AB =}(_{k , 1})_{, AC =}(_{2 , 3}) 及∠_{C = 90 ° 。} 1 以實數 k 表示 BC。　　　　2 求實數 k 的值。 設△_{ABC 是邊長為 3 的正三角形，D 是 BC 上的點，且 BD = 1。} 1 已知 AD = xAB + yAC，求 x , y 的值。 2 求 AB・AD 的值。 已知非零向量 _{a , b 滿足}

|

_a

|

=2

|

b

|

，且 _{a + b 與 2 a - 5 b 垂直，求 a 與} b 的夾角。 設兩平行直線 _L1：_{a x + b y - 10 = 0 與 L2}：_{a x + b y + 16 = 0，且直線 L1}通過點 (3 , 4)。當 _{a , b 的值分別為多少時，直線 L1}與 _L2的距離有最大值，並求此 最大值。