《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）

【巩固练习】 一、选择题 1．将二次函数

y x



2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A．

y



( 1)

x



2



2

B．

y



(

x



1)

2



2

C．

y



( 1) 2

x



2



D．

y



(

x



1) 2

2



2．二次函数

y ax bx c



2





的图象如图所示，则一次函数

y bx b





2



4

ac

与反比例函数

y

a b c

x

 



在同一坐标系内的图象大致为（ ）． 3．（_{2016•永州）抛物线 y=x}2+_{2x+m﹣1 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是（} ） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A．

y x



2

 

x

2

B．

1

2

1

1

2

2

y

 

x



x



C．

1

2

1

1

2

2

y

 

x



x



D．

y

   

x

2

x

2

5．（_{2014•巴中）已知二次函数 y=ax}2_{+bx+c 的图象如图，则下列叙述正确的是（} ）

A． abc＜0 B． ﹣3a+c＜0

C． b2_﹣4ac≥0 D． 将该函数图象向左平移 2 个单位后所得到抛物线的解析式为 y=ax2_+c 6．已知点(

x

₁，

y

₁)，(

x

₂，

y

₂)(两点不重合)均在抛物线

y x



2



1

上，则下列说法正确的是( )． A．若

y

₁



y

₂，则

x

₁



x

₂ B．若

x

₁

 

x

₂，则

y

₁

 

y

₂ C．若

0 x

 

₁

x

₂，则

y

₁



y

₂ D．若

x x

₁



₂



0

，则

y

₁



y

₂ 7．在反比例函数

y

a

x



中，当

x 

0

时，y 随 x 的增大而减小，则二次函数

y ax ax



2



的图象大致是图 中的( )．

①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与 x 轴的交点至少有一个在 y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二、填空题 9．（2014•长春一模）如图，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，且与 x 轴的一个交点为（3，0）， 那么它对应的函数解析式是 ． 10．抛物线

y

  

x bx c

2



的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线

y



2(

x



2) 6

2



的顶点为 C，已知 y＝-kx+3 的图象经过点 C，则这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形面积为________． 12．已知二次函数

y

  

x

2

2

x m



的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程

 

x

2

2

x m

 

0

的 解为___ _____． 第 10 题 第 12 题 第 13 题 13．如图所示的抛物线是二次函数

y ax



2



3

x a



2



1

的图象，那么 a 的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 h(m) 与飞行时间 t(s)的关系式是

5

2

20 1

2

h

 

t



t



，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火 升空到引爆需要的时间为________． 15．已知抛物线

y ax bx c



2





经过点 A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6 的另一 个点的坐标是________．

16．若二次函数

y x



2



6

x c



的图象过 A(-1，y1)、B(2，y2)、C(

3



2

，y3)三点，则 y1、y2、y3大小

关系是 .

17．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补 充完整． （_{1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下：} x … ﹣₃ ﹣ ﹣₂ ﹣_{1 0 1 2 3 …} y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 其中，_m= ． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数 图象的另一部分． （_{3）观察函数图象，写出两条函数的性质．} （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0 有 个实数根； ②方程 x2_{﹣2|x|=2 有 个实数根；} ③关于 x 的方程 x2﹣_{2|x|=a 有 4 个实数根时，a 的取值范围是} ． 18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120 米，下底长 180 米，上、下底相距 80 米， 在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬 道的宽为 x 米． (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积； (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； (3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用 (万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7，花坛其余部 分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最 少费用是多少万元?

19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为 5000 元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过 100 个，按原价付款；若 一次购买 100 个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少 10 元，但太阳能路灯的售价不得低于 3500 元/个．乙店一律按原价的 80%销售．现购买太阳能路灯 x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为 y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为 y2元． (1)分别求出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； (2)若市政府投资 140 万元，最多能购买多少个太阳能路灯? 20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了 30 分 钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间 x(单位：分钟)与学习收益量)y 的关系如图 1 所示，用 于回顾反思的时间 x(单位：分钟)与学习收益量 y 的关系如图 2 所示(其中 OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间． (1)求王亮解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求王亮回顾反思的学习收益量 y 与用于回顾反思的时间 x 之间的函数关系式； (3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 30 分钟的学习收益总量最大? (注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A； 【解析】

y x



2向右平移 1 个单位后，顶点为（1，0），再向上平移 2 个单位后，顶点为（1，2）， 开口方向及大小不变，所以

a 

1

，即

y



( 1)

x



2



2

． 2.【答案】D； 【解析】由上图可知

a 

0

，

c 

0

，

0

2

b

a





，∴

b 

0

．

a b c

  

0

．

b

2



4

ac



0

， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选 D． 3.【答案】A. 【解析】∵抛物线y=x2+2x+m﹣1 与 x 轴有两个交点， ∴△_=b2﹣_4ac＞0， 即_{4﹣4m+4＞0，} 解得_m＜2， 故选A． 4.【答案】D； 【解析】由图象知，抛物线与 x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以

a 

0

， 抛物线与 y 轴交点纵坐标大于 1．显然 A、B、C 不合题意，故选 D． 5.【答案】B； 【解析】_{A．由开口向下，可得 a＜0；又由抛物线与 y 轴交于负半轴，可得 c＜0，然后由对称轴在 y 轴} 右侧，得到b 与 a 异号，则可得 b＞0，故得 abc＞0，故本选项错误； B．根据图知对称轴为直线 x=2，即 =2，得 b=﹣4a，再根据图象知当 x=1 时， y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确； C．由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b2﹣_{4ac＞0，故本选项错误；} D．y=ax2_{+bx+c= ，} ∵ _=2， ∴原式₌ ， ∴向左平移_{2 个单位后所得到抛物线的解析式为} ，故本选项错误； 故选：_B． 6.【答案】D； 【解析】画出

y x



2



1

的图象，对称轴为

x 

0

，若

y

₁



y

₂，则

x

₁

 

x

₂；若

x

₁

 

x

₂，则

y

₁



y

₂； 若

0 x

 

₁

x

₂，则

y

₂



y

₁；若

x x

₁



₂



0

，则

y

₁



y

₂．

【解析】因为

y

a

x



，当

x 

0

时，y 随 x 增大而减小，所以 a＞0，因此抛物线

y ax ax a x



2





( 1)



x

开口向上，且与 x 轴相交于（0，0）和（1，0）． 8．【答案】C； 【解析】∵

a 

0

，

b 

0

，∴ 抛物线开口向上，

0

2

b

x

a

 



，因此抛物线顶点在 y 轴的左侧， 不可能在第四象限；又

c 

0

，

x x

_{1 2}

c

0

a

 

·

，抛物线与 x 轴交于原点的两侧， 因此①③是正确的． 二、填空题 9．【答案】y=﹣x2+2x+3； 【解析】∵抛物线_y=﹣x2_{+bx+c 的对称轴为直线 x=1，} ∴ _{=1，解得 b=2，} ∵与_{x 轴的一个交点为（3，0），} ∴_{0=﹣9+6+c，} 解得c=3， 故函数解析式为y=﹣x2+2x+3． 10．【答案】

y

  

x

2

2

x



3

； 【解析】由题意和图象知抛物线与 x 轴两交点为（3，0）、（-1，0）， ∴ 抛物线解析式为

y

  

(

x

3)(

x



1)

，即

y

  

x

2

2

x



3

． 11．【答案】1； 【解析】

9

2

k 

，

9

3

2

y

 

x



，与坐标轴交点为(0，3)，

2 ,0

3













． 12．【答案】 x1＝3 或 x2＝-1 ； 【解析】由二次函数

y

  

x

2

2

x m



部分图象知，与 x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得 m＝3， 解方程得 x1＝3 或 x2＝-1． 13．【答案】-1； 【解析】因为抛物线过原点，所以

a  

2

1 0

，即

a  

1

，又抛物线开口向下，所以 a＝-1． 14．【答案】4s ； 【解析】

20

4(s)

5

2

2

t  







 

_

_





． 15．【答案】(1，-6)； 【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注 意到：A、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由 A(-1，4)，B(5，4)得，对称 轴

1 5 2

2

x



 



，而抛物线上纵坐标为-6 的一点是(3，-6)，所以它关于 x＝2 的对称点是(1， -6)．故抛物线上纵坐标为-6 的另一点的坐标是(1，-6)．

16．【答案】y1＞y3＞y2． 【解析】因为抛物线的对称轴为

6

3

2 3

x









．而 A、B 在对称轴左侧，且 y 随 x 的增大而减小， ∵ -1＜2，∴ y1＞y2，又 C 在对称轴右侧，且 A、B、C 三点到对称轴的距离分别

为 2，1，

2

，由对称性可知：y1＞y3＞y2．

三、解答题 17.【答案与解析】 解：（_{1）把 x=﹣2 代入 y=x}2﹣_{2|x|得 y=0，} 即_m=0， 故答案为：0； （_{2）如图所示；} （_{3）由函数图象知：①函数 y=x}2﹣_{2|x|的图象关于 y 轴对称；②当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大；} （_{4）①由函数图象知：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应的方程 x}2﹣_{2|x|=0 有 3 个实数根；} ②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线 y=2 有两个交点， ∴_x2﹣_{2|x|=2 有 2 个实数根；} ③由函数图象知：∵关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根， ∴_{a 的取值范围是﹣1＜a＜0，} 故答案为：_{3，3，2，﹣1＜a＜0．} 18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为

120 180 150

2

x



_

(m2 )． (2)依题意：

2 80

150

2

2

1 120 180

80

8

2

x

x

x









 



， 整理得

x

2



155

x



750 0



，解得 x1＝5，x2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为 5 米． (3)设建花坛的总费用为 y 万元，则

0.02

120 180

80 (160

150

2 )

2

5.7

2

y







_







x



x



x



_



x





． ∴ y＝0.04x2 -0.5x+240． 当

0.5

6.25

2

2 0.04

b

x

a

 







时，y 的值最小．

∴ 当 x＝6m 时，总费用最少，为 0.04×62 -0.5×6+240＝238.44(万元)． 19.【答案与解析】 (1)由题意可知，当 x≥100 时，因为购买个数每增加一个，其价格减少 10 元，但售价不得低于 3500 元/个，所以

5000 3500 100 250

10

x









，即 100≤x≤250 时，购买一个需 5000-10(x-100)元． 故 y1＝6000x-10x 2 ； 当 x＞250 时，购买一个需 3500 元． 故 y1＝3500x． 所以 ₁ 2

5000

(0

100),

6000 10

(100

250),

3500

(

250),

x

x

y

x

x

x

x

x

 







_



 



_



y2＝5000×80%x＝4000x． (2)当 0＜x≤100 时，y1＝5000x≤500000＜1400000； 当 100＜x≤250 时，y1＝6000x-10x 2 ＝-10(x-300)2 +900000＜1400000； 所以，由 3500x＝1400000，得 x＝400． 由 4000x＝1400000，得 x＝350． 故选择甲商家，最多能购买 400 个路灯． 20.【答案与解析】 (1)设 y＝kx，把(2，4)代入，得 k＝2，所以 y＝2x，自变量 x 的取值范围是：0≤x≤30． (2)当 0≤x＜5 时，设 y＝a(x-5)2 +25， 把(0，0)代入，得 25a+25＝0，a＝-1， 所以

y

  

(

x

5)

2



25

  

x

2

10

x

． 当 5≤x≤15 时，y＝25． 即 2

_{10 (0}

_5),

25(5

15).

x

x

x

y

x

 

 

 

 



(3)设王亮用于回顾反思的时间为 x(0≤x＜5)分钟，学习收益总量为 Z，则他用于解题的时间为(30-x) 分钟． 当 0≤x＜5 时，

Z

  

x

2

10

x



2(30



x

)

  

x

2

8

x



60

  

(

x

4) 76

2



． 所以当 x＝4 时，

Z

_最大



76

． 当 5≤x≤15 时，Z＝25+2(30-x)＝-2x+85． 因为 Z 随 x 的增大而减小， 所以当 x＝5 时，

Z

_最大



75

． 综合所述，当 x＝4 时，

Z

_最大



76

，此时 30-x＝26． 即王亮用于解题的时间为 26 分钟，用于回顾反思的时间为 4 分钟时．学习收益总量最大．