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相似图形--巩固练习

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Academic year: 2021

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(1)

相似图形--巩固练习

【巩固练习】 一. 选择题 1. 下面图形中,相似的一组是( ). A. B. C. D. 2. 手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心 不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案 中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( ). A. B. C. D. 3.(2014•闸北区一模)对一个图形进行放缩时,下列说法中正确的是( ) A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变 C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 4. 若把△ABC 的各边扩大到原来的 3 倍后,得△A′B′C′,则下列结论错误的是( ). A. △ABC∽△A′B′C′ B.△ABC 与△A′B′C′的相似比为

1

4

C.△ABC 与△A′B′C′的对应角相等 D.△ABC 与△A′B′C′的相似比为

1

3

5.如图,下列图中与它相似的是( ).

A. B. C. D.

6.已知矩形 ABCD 中,AB=1,在 BC 上取一点 E,沿 AE 将△ABE 向上折叠,使 B 点落在 AD 上的 F 点,若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似,则 AD=( ).

A.

5 1

2

B.

5 1

2

C.

3

D.2

(2)

二. 填空题 7.下列图形中是_________与_______相似的. (1) (2) (3) (4) 8. 用“正确”与“错误”填空: (1)所有的三角形都相似_________; (2)所有的梯形都相似__________; (3)所有的等腰三角形都相似_______; (4)所有的直角三角形都相似_________; (5)所有的矩形都相似_________; (6)所有的平行四边形都相似_______; (7)大小的中国地图相似_________; (8)所有的正多边形都相似_________. 9.(2015•和平区模拟)有一块三角形的草地,它的一条边长为 25m.在图纸上,这条边的长为 5cm,其他 两条边的长都为 4cm,则其他两边的实际长度都是 m.

10. △ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,DE∥BC,△ADE 是△ABC 缩小后的图形.若 DE 把△ABC 的面积分成 相等的两部分,则 AD:AB=________.

11. 把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为____________. 12.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形 AFBDCE,它的面积为 1,取△ABC 和△DEF 各边中点,连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分,取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点,连接成 正六角星形 A2F2B2D2C2E2,如图(3)中阴影部分,如此下去…,则正六角星形 A4F4B4D4C4E4的面积为 __________________. 三.综合题 13.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改. 题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为 2:1,在温室内,沿前侧内墙保留 3m 的空地,其他三侧内墙各保留 1m 的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2 ? 解:设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm,则长为 2xm,

(3)

解这个方程,得 x1=-12(不合题意,舍去),x2=12 所以温室的长为 2×12+3+1=28(m),宽为 12+1+1=14(m) 答:当温室的长为 28m,宽为 14m 时,矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2 . 我的结果也正确! 小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?. 结果为何正确呢? (1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程: 变化一下会怎样…

(2)如图,矩形 A′B′C′D′在矩形 ABCD 的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且 AD:AB=2:1,设 AB 与 A′B′、BC 与 B′C′、CD 与 C′D′、DA 与 D′A′之间的距离分别为 a、b、c、d,要使矩形 A′ B′C′D′∽矩形 ABCD,a、b、c、d 应满足什么条件?请说明理由.

14.(2014 秋•慈溪市期末)一个矩形 ABCD 的较短边长为 2.

(1)如图①,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;

(2)如图②,已知矩形 ABCD 的另一边长为 4,剪去一个矩形 ABEF 后,余下的矩形 EFDC 与原矩形相似,求 余下矩形 EFDC 的面积.

(4)

15.如 图 所 示 ,在 矩 形 ABCD 中 , AB=10cm, AD=20cm, 两 只 小 虫 P 和 Q 同 时 分 别 从 A, B 出 发 沿 AB,BC 向 终 点 B,C 方 向 前 进 ,小 虫 P 每 秒 走 1cm,小 虫 Q 每 秒 走 2cm,请 问 它 们 同 时 出 发 多 少 秒 时 , 以 P、 B、 Q 为 顶 点 的 三 角 形 与 以 A、 C、 D 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 ?

(5)

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D. 【解析】A、对应边的比值不相等,对应角不对应相等,不符合相似形的定义,故错误; B、形状不同,不符合相似形的定义,故错误; C、对应边的比值不相等,不符合相似形的定义,故错误; D、形状相同,但大小不同,符合相似形的定义,故正确. 故选 D. 2.【答案】D. 【解析】A:形状相同,符合相似形的定义,对应角相等,所以三角形相似,故选项不符合要求; B:形状相同,符合相似形的定义,故选项不符合要求; C:形状相同,符合相似形的定义,故选项不符合要求; D:两个矩形,虽然四个角对应相等,但对应边不成比例,故选项符合要求;故选 D. 3.【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质:相似多边形的对应边成比例,对应角相等, ∴对一个图形进行收缩时,图形中线段的长度改变,角的大小不变, 故选 D. 4.【答案】B. 【解析】A、因为两个三角形的三条对应边的比相等,都为 3,所以△ABC∽△A′B′C′,正确; B、可知△ABC 与△A′B′C′的相似比为

1

3

,错误; C、所以△ABC 与△A′B′C′的对应角相等,正确; D、因为相似比即是对应边的比,所以△ABC 与△A′B′C′的相似比为

1

3

,正确. 故选 B. 5.【答案】A. 【解析】A、与原图形状相同,大小不同,符合相似性的定义,故正确; B、与原图形状不同,大小不同,不符合相似性的定义,故错误; C、与原图形状不同,大小不同,不符合相似性的定义,故错误; D、与原图形状不同,大小不同,不符合相似性的定义,故错误; 故选 A 6.【答案】B. 【解析】∵AB=1, 设 AD=x,则 FD=x-1,FE=1, ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似, ∴

EF

AD

FD AB

1

1 1

x

x

, 解得 1

=

1+ 5

2

x

, 2

=

1- 5

2

x

,(负值舍去),

(6)

经检验 1

=

1+ 5

2

x

是原方程的解.故选 B. 二、填空题 7.【答案】图形中是(1)与(4)相似的. 8.【答案】(1)错误,(2)错误,(3)错误,(4)错误,(5)错误,(6)错误,(7)正确,(8)错误. 9.【答案】20. 【解析】设其他两边的实际长度分别为 xm、ym, 由题意得, = = , 解得 x=y=20. 即其他两边的实际长度都是 20m. 10.【答案】 ; 【解析】由 BC∥DE 可得△ADE∽△ABC,所以 ,故 . 11.【答案】

2:1

【解析】矩形 ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似,则矩形 ABCD∽矩形 BFEA,设矩形的长为 a,宽为 b.则

AB=CD=b,AD=BC=a,BF=AE=

2

a

,根据矩形相似,对应边的比相等得到:

BF EF

,

AB BC

即:

2 =

a

b

b a

, 则 b2 = 2

2

a

∴ 2 2

=2,

a

b

2

=

1

a

b

12. 【答案】

1

256

.

【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC 和△DEF 各边中点,

∴正六角星形 AFBDCE∽正六角星形 A1F1B1D1C1E1,且相似比为 2:1, ∵正六角星形 AFBDCE 的面积为 1, ∴正六角星形 A1F1B1D1C1E1的面积为

1

4

, 同理可得,第三个六角形的面积为:

1

3

4

=

1

64

(7)

第四个六角形的面积为:

1 1 1

=

1

16 4 4 256

 

, 故答案为:

1

256

. 三.解答题 13.【答案与解析】 (1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2:1 的理由. 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm,则长为 2xm.”前补充以下过程: 设温室的宽为 ym,则长为 2ym. 则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-1)m. ∵

2

3 1 2

4 2

1 1

2

y

y

y

y

 

 

, ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2:1; (2)要使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD, 就要 ' ' ' '

A D

AD

A B

AB

,即

(

) 2

(

) 1

AD a c

AB b d

 

 

, 即

2

(

) 2

(

)

1

AB a c

AB b d

 

 

, 即 2AB-2(b+d)=2AB-(a+c), ∴a+c=2(b+d), 即

a c

2

b d

. 14.【答案与解析】解:(1)由已知得 MN=AB=2,MD= AD= BC, ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似, ∴矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似, = , ∴DM•BC=AB•MN,即 BC2=4, ∴BC=2 ,即它的另一边长为 2 ; (2)∵矩形 EFDC 与原矩形 ABCD 相似, ∴ = , ∵AB=CD=2,BC=4, ∴DF= =1, ∴矩形 EFDC 的面积=CD•DF=2×1=2. 15.【答案与解析】 解 : ① 设 经 x 秒 后 , △ PBQ∽ △ CDA, 由 于 ∠ PBQ=∠ ADC=90° ,

(8)

PB BQ

CD DA

时 , 即

10

2

10

20

x

x

, 解 得 x=5; ② 设 经 x 秒 后 , △ QBP∽ △ CDA, 由 于 ∠ PBQ=∠ ADC=90° , 当

PB

BQ

AD DC

, 即

10

2

20

10

x

x

, 解 得 x=2. 故 经 过 5 秒 或 2 秒 时 , 以 P、 B、 Q 为 顶 点 的 三 角 形 与 以 A、 C、 D 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 .

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