全等三角形全章复习与巩固（提高）
【学习目标】 1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、全等三角形的判定与性质 要点二、全等三角形的证明思路SAS
HL
SSS
AAS
SAS
ASA
AAS
ASA
AAS
找夹角
已知两边找直角
找另一边
边为角的对边找任一角
找夹角的另一边
已知一边一角
边为角的邻边找夹边的另一角
找边的对角
找夹边
已知两角
找任一边
要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理 （HL） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等 三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几 何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地 发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根 据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使 之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】 类型一、巧引辅助线构造全等三角形 (1)．倍长中线法
1、已知，如图，△ABC 中，D 是 BC 中点，DE⊥DF,试判断 BE＋CF 与 EF 的大小 关系，并证明你的结论.
F
E
D
C
B
A
【思路点拨】因为 D 是 BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DG＝DF, 证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把 BE、CF 与 EF 线段转化到了△BEG 中， 利用两边之和大于第三边可证. 【答案与解析】BE＋CF＞EF； 证明：延长 FD 到 G，使 DG＝DF,连接 BG、EG ∵D是 BC 中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF 在△EDG 和△EDF 中ED ED
EDG
EDF
DG DF
∴△EDG≌△EDF（SAS） ∴EG＝EF 在△FDC 与△GDB 中
DG
DF
BD
CD
2
1
∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴CF＝BG ∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF 【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB＝∠ABC． 求证：CD＝2CE．
【答案】
证明： 延长 CE 至 F 使 EF＝CE，连接 BF． ∵ EC为中线，
在△AEC 与△BEF 中，
,
,
,
AE BE
AEC
BEF
CE EF
∴ △AEC≌△BEF（SAS）． ∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等） 又 ∵ ∠ ACB ＝ ∠ ABC ， ∠ DBC ＝ ∠ ACB ＋ ∠ A ， ∠ FBC ＝ ∠ABC＋∠A． ∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC． ∴ AB＝BF． 又∵ BC 为△ADC 的中线， ∴ AB＝BD．即 BF＝BD． 在△FCB 与△DCB 中，,
,
,
BF
BD
FBC
DBC
BC BC
∴ △FCB≌△DCB（SAS）． ∴ CF＝CD．即 CD＝2CE． (2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 2、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，∠1=∠2，EF∥BC 交 AC 于点 F．试说明 AE=CF． 【思路点拨】作 EH⊥AB 于 H，作 FG⊥BC 于 G，根据角平分线的 性质可得 EH=ED，再证 ED=FG，则 EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG 即可． 【答案与解析】 解：作 EH⊥AB 于 H，作 FG⊥BC 于 G， ∵∠1=∠2，AD⊥BC， ∴EH=ED（角平分线的性质） ∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC， ∴四边形 EFGD 是矩形， ∴ED=FG， ∴EH=FG， ∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠C， 又∵∠AHE=∠FGC=90°， ∴△AEH≌△CFG（AAS） ∴AE=CF． 【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的 性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点． 举一反三：
【 变 式 】 如 图 ， AD 是 ABC的 角 平 分 线 ， H ， G 分 别 在 AC，AB 上，且 HD＝BD. (1)求证：∠B 与∠AHD 互补； (2)若 ∠ B ＋ 2∠DGA ＝ 180° ， 请 探 究 线 段 AG 与 线 段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明. 【答案】 证明：（1）在 AB 上取一点 M, 使得 AM＝AH, 连接 DM. ∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD, ∴ △AHD≌△AMD. ∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD. ∵ HD＝DB, ∴ DB＝ MD. ∴ ∠DMB＝∠B. ∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180, ∴ ∠AHD＋∠B＝180. 即 ∠B 与∠AHD 互补. （2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180. ∵ ∠B＋2∠DGA ＝180, ∴ ∠AHD＝2∠DGA. ∴ ∠AMD＝2∠DGM. ∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM. ∴ ∠DGM＝∠GDM. ∴ MD＝MG. ∴ HD＝ MG. ∵ AG＝ AM＋MG, ∴ AG＝ AH＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形 3、（2015•新宾县模拟）如图，△ABC 中，AB=AC，点 P 是三角形右外一点，且 ∠APB= ABC∠ ．
（1）如图 1，若∠BAC=60°，点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA=2，求 PB 的长； （2）如图 2，若∠BAC=60°，探究 PA，PB，PC 的数量关系，并证明；
（3）如图 3，若∠BAC=120°，请直接写出 PA，PB，PC 的数量关系．
【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC 是等边三角形，∠APB= ABC∠ ，得 到∠APB=60°，又点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用 直角三角形的性质解出结果． M G H D C B A
（2）在 BP 上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD，得到△ADP 是等边三角形，再通过三角形 全等证得结论． （3）以 A 为圆心，以 AP 的长为半径画弧交 BP 于 D，连接 AD，过点 A 作 AF BP⊥ 交 BP 于 F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论． 【答案与解析】 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°， ABC ∴△ 是等边三角形，∠APB= ABC∠ ， APB=60° ∴∠ ， 又∵点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上， ABP=30° ∴∠ ， PAB=90° ∴∠ ， BP=2AP ∴ ， AP=2 ∵ ， BP=4 ∴ ； （2）结论：PA+PC=PB． 证明：如图 1，在 BP 上截取 PD，使 PD=PA，连结 AD， APB=60° ∵∠ ， ADP ∴△ 是等边三角形， DAP=60° ∴∠ ， 1= 2 ∴∠ ∠ ，PA=PD， 在△ABD 与△ACP 中， ， ABD ACP ∴△ ≌△ ， PC=BD ∴ ， PA+PC=PB ∴ ； （3）结论： PA+PC=PB． 证明：如图 2，以 A 为圆心，以 AP 的长为 半径画弧交 BP 于 D，连接 AD，过点 A 作 AF BP⊥ 交 BP 于 F， AP=AD ∴ ， BAC=120° ∵∠ ， ABC=30° ∴∠ ， APB=30° ∴∠ ， DAP=120° ∴∠ ， 1= 2 ∴∠ ∠ ， 在△ABD 与△ACP 中， ， ABD ACP ∴△ ≌△ ， BD=PC ∴ ， AF PD ∵ ⊥ ，
PF= ∴ AP， PD= ∴ AP， ∴ PA+PC=PB． 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质， 等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边 三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三 角形是解题的关键． 举一反三：
【变式】如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB＞AC,求 证：AB－AC＞BD－DC 【答案】 证明：在 AB 上截取 AE＝AC,连结 DE ∵AD是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD 在△AED 与△ACD 中
AD
AD
CAD
BAD
AC
AE
∴△AED≌△ADC（SAS） ∴DE＝DC 在△BED 中，BE＞BD－DC 即 AB－AE＞BD－DC ∴AB－AC＞BD－DC （4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 4、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，∠1=∠2，EF∥BC 交 AC 于点 F．试说明 AE=CF． 【思路点拨】作 EH⊥AB 于 H，作 FG⊥BC 于 G，根据角平分线的性质可得 EH=ED，再证 ED=FG，则 EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG 即可． 【答案与解析】 解：作 EH⊥AB 于 H，作 FG⊥BC 于 G， ∵∠1=∠2，AD⊥BC， ∴EH=ED（角平分线的性质） ∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC， ∴四边形 EFGD 是矩形， ∴ED=FG， ∴EH=FG， ∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，E
D
C
B
A
∴∠BAD=∠C， 又∵∠AHE=∠FGC=90°， ∴△AEH≌△CFG（AAS） ∴AE=CF． 【总结升华】本题考查了角平分线的性质；已知角平分线，构造全等 三角形，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形 的判定等知识点． 5、如图所示，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD的延长线于 E，
AE
1
2
BD
，求证：BD 是∠ABC 的平分线． 【答案与解析】 证明：延长 AE 和 BC，交于点 F， ∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等）， ∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD． 在 Rt△ACF 和 Rt△BCD 中． 所以 Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）． 则 AF=BD（全等三角形对应边相等）． ∵AE= BD，∴AE= AF，即 AE=EF． 在 Rt△BEA 和 Rt△BEF 中， 则 Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）． 所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等）， 即 BD 是∠ABC 的平分线． 【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角 形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法. 类型二、全等三角形动态型问题
6、在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线
l
经过顶点 C，过 A，B 两点分别作l
的垂线 AE，BF，垂足分别为 E，F.（1）如图 1 当直线
l
不与底边 AB 相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线
l
绕点 C 顺时针旋转，使l
与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线l
在如下 位置时，EF、AE、BF 之间的关系，① AD＞BD；② AD＝BD；③ AD＜BD.【答案与解析】 证明：（1）∵AE⊥
l
，BF⊥l
，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3。 ∵在△ACE 和△CBF 中，1
3
AEC
CFB
AC BC
∴△ACE≌△CBF（AAS） ∴AE＝CF，CE＝BF ∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。 （2）① EF＝AE－BF，理由如下： ∵AE⊥l
，BF⊥l
， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。 ∵在△ACE 和△CBF 中1
3
AEC
CFB
AC BC
∴△ACE≌△CBF（AAS） ∴AE＝CF，CE＝BF ∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。 ②EF＝AE―BF ③EF＝BF―AE 证明同①. 【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点： (1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键； (3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程， 其结论有时变化，有时不发生变化. 举一反三： 【变式】（2015•临沂模拟）【问题情境】
如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是线段 BG 上的动点，AE EF⊥ ，EF 交正方形外角∠DCG 的平分线 CF 于点 F． 【探究展示】 （1）如图 1，若点 E 是 BC 的中点，证明：∠BAE+ EFC= DCF∠ ∠ ． （2）如图 2，若点 E 是 BC 的上的任意一点（B、C 除外），∠BAE+ EFC= DCF∠ ∠ 是否仍 然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图 3，若点 E 是 BC 延长线（C 除外）上的任意一点，求证：AE=EF． 【答案】 （1）证明：取 AB 的中点 M，连结 EM，如图 1： M ∵ 是 AB 的中点，E 是 BC 的中点， ∴在正方形 ABCD 中，AM=EC， CF ∵ 是∠DCG 的平分线， BCF=135° ∴∠ ， AME= ECF=135° ∴∠ ∠ ， MAE= CEF=45° ∵∠ ∠ ， 在△AME 与△ECF 中， ， AME ECF ∴△ ≌△ （SAS）， BAE+ EFC= FCG= DCF ∴∠ ∠ ∠ ∠ ；
（2）证明：取 AB 上的任意一点使得 AM=EC，连结 EM，如图 2： AE EF ∵ ⊥ ，AB BC⊥ ， BAE+ BEA=90° ∴∠ ∠ ，∠BEA+ CEF=90°∠ ， MAE= CEF ∴∠ ∠ ， AM=EC ∵ ， ∴在正方形 ABCD 中，BM=BE， AME= ECF=135° ∴∠ ∠ ， 在△AME 与△ECF 中， ， AME ECF ∴△ ≌△ （SAS）， BAE+ EFC= FCG= DCF ∴∠ ∠ ∠ ∠ ； （3）证明：取 AB 延长线上的一点 M 使得 AM=CE，如图 3： AM=CE ∵ ，AB BC⊥ ， AME=45° ∴∠ ， ECF=AME=45° ∴∠ ， AD BE ∵ ∥ ， DAE= BEA ∴∠ ∠ ， MA AD ∵ ⊥ ，AE EF⊥ ， MAE= CEF ∴∠ ∠ ， 在△AME 与△ECF 中， ， AME ECF ∴△ ≌△ （SAS）， AE=EF ∴ ．
