考科
數學
最近三年五標參考
一
大學申請入學採計的科目今年起從五科變四科，甚至三科，……。不過，另一個統計 數字說明，還是有七成左右的考生選擇考五科，看來大部分的考生沒有變輕鬆。而採計的 科目變少會引發哪些現象，值得我們密切關注！ 最近三年數學科的級距、五標提供給老師參考： 年度 105 106 107 級距 6.48 6.29 6.65 頂標 12 11 12 前標 10 9 10 均標 7 6 6 後標 4 3 4 底標 3 2 3108 年大學學測考試重點
二
（
打★者代表 105 年學測考過的重點）
打★者代表 106 年學測考過的重點 打 者代表 107 年學測考過的重點 第 1 單元 數與式 家齊高中 黃峻棋 老師試題分析
第 2 單元 多項式函數
˙ 試題分析
第 4 單元 數列與級數
第 5 單元 排列、組合
第 7 單元 數據分析
˙ 試題分析
第 9 單元 直線與圓
第 10 單元 平面向量
第 12 單元 空間中的平面與直線
第 13 單元 矩 陣
˙ 試題分析
108 年大學學測試題分布
三
題號 題型 命題出處 測驗目標 難易度 1 單選 第三冊第二章 直線與圓 圓與直線的關係、 點到直線的距離 中偏易 2 單選 第一冊第二章 多項式函數 多項式方程式的根 易 3 單選 第一冊第三章 指數與對數函數 第二冊第二章 排列、組合 指數律、 不定方程式的正整數解 易 4 單選 第二冊第二章 排列、組合 一般組合、加法原理 中 5 單選 第一冊第三章 指數與對數函數 對數的運算法則、指數不等式 中偏易 6 單選 第二冊第四章 數據分析 相關係數的性質、 迴歸直線方程式 中 7 多選 第二冊第一章 數列與級數 等差數列的定義 中 8 多選 第一冊第一章 數與式 分點公式 中偏易 9 多選 第二冊第三章 機率 古典機率的定義 中 10 多選 第三冊第一章 三角 銳角三角函數、正弦定理 中 11 多選 第二冊第三章 機率 貝氏定理 中 12 多選 第一冊第二章 多項式函數 多項式除法原理 中 13 多選 第四冊第二章 空間中的平面與直線 空間平面方程式、 直線與平面的關係、 點到平面的距離公式 中 A 選填 第四冊第三章 矩陣 矩陣的乘法、方程組的解 中偏易 B 選填 第四冊第四章 二次曲線 橢圓方程式 中偏易 C 選填 第三冊第二章 直線與圓 素養題 中 D 選填 第二冊第二章 排列、組合 集合的運算 中 E 選填 第三冊第一章 三角 餘弦定理 中 F 選填 第四冊第一章 空間向量 第四冊第二章 空間中的平面與直線 立體圖形、兩平行平面的距離 中偏易 G 選填 第三冊第三章 平面向量 向量坐標表示法、向量內積 中試題分析
四
今年的試題算是近五年來最簡單的了，一來沒有太繁雜的數據計算，二來沒有太咬文 嚼字的文字閱讀，取而代之的是一些簡單的估算和判斷。個人認為，整份試卷蠻符合數學 素養的命題。 試題的分析如下： 1 試題分布：第一冊 20 分。 第二冊 35 分。 第三冊 20 分（加一題素養題選填 C，共 25 分）。 第四冊 20 分。 雖然第二冊排列組合的題目稍多，不過多半是簡單的題型。 2 特殊題目： 1 單選第 4 題—排列組合的題型： 雖然閱讀量不大，不過卻有陷阱，如果少判讀一句話，可能會誤解題目的意思。 2 單選第 6 題—二維數據分析： 相關係數－0.99（接近完全負相關），所有的樣本點幾乎在同一條直線上 （y＝ax＋b，a＜0），代點驗算時要小心計算，並且要估算一下數據。 3 選填 C—素養題： 這題應該是經典的素養題，生活化的情境，知道圓周長（2πr），列出數學式，再 用簡易的數學觀念判斷答案。符合數學素養的考法。 4 選填 D—集合的運算： 比較有難度的一題，如果同學直接用取捨原理列出公式，恐怕很難算出答案。關鍵 字是每個人都至少領了兩張公投票，所以就不用考慮只領一張票的情形了。 5 選填 G—向量的分解（內積）： 這個題目的解題關鍵是坐標化，坐標表示出來後，再用餘弦定理或內積，就可求出 夾角了。如果用幾何表示法，恐怕要算很久。 b： 這個題目坐標化之後，如果想用正切的和角公式直接求值，要小心有陷阱，因 為有一個角度為負角，所以要用正切的差角公式。 除了這五題之外，其他的題目應該都可以順利解出。因此，均標、前標、頂標可能都 會提高 1 ∼ 2 級分，至於要拿滿級分，可能要 94 分以上了。同學可以參考看看喔！F
考科
數學
第壹部分：選擇題（占 65 分） 一、單選題（占 30 分） 說明： 第1題至第6題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項， 請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、 未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1 點 A（1c0）在單位圓 Γ：x2＋y2＝1 上。試問：Γ 上除了 A 點以外，還有幾個點 到直線 L：y＝2x 的距離，等於 A 點到 L 的距離？ 1 1 個 2 2 個 3 3 個 4 4 個 5 0 個 答 案 3 命題出處 第三冊第二章 直線與圓 測驗目標 圓與直線的關係、點到直線的距離 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 155 頁範例 11 詳 解 圓 Γ：x2＋y2＝1，其圓心 O（0c0），半徑 r＝1 直線 L：2x－y＝0 圓心 O 到直線 L 的距離 d（OcL）＝ 0al
22＋（－1）2 ＝0（即直線 L 通過圓心） 又 A 點到直線 L 的距離 d（AcL）＝ 2al
22＋（－1）2 d（AcL）＝ 2 a5 ＜r＝1 ∴ 依照圓的對稱性，除了 A 點之外，還有 3 個點到直線 L 的距離等於 d（AcL），如上圖所示 B、C、D 三點 故選3試題解析
家齊高中 黃峻棋 老師難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 33 頁範例 17 詳 解 〈解法一〉 解方程式 x3－x2＋4x－4＝0 ! x2（x－1）＋4（x－1）＝0 !（x－1）（x2＋4）＝0 ∴x＝1 或±2i，故選1 〈解法二〉 將各選項代入方程式中驗算即可得 故選1 3 試問共有多少組正整數（kcmcn）滿足 2k4m8n＝512？ 1 1 組 2 2 組 3 3 組 4 4 組 5 0 組 答 案 3 命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數 第二冊第二章 排列、組合 測驗目標 指數律、不定方程式的正整數解 難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 1－4 冊》第 43 頁範例 1、第 85 頁範例 13 詳 解 2k4m8n＝2k×22m×23n＝29 ! k＋2m＋3n＝9，其中 k，m，n 為正整數 k 4 2 1 m 1 2 1 n 1 1 2 ∴有 3 組正整數解 故選3 4 廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚 師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每 種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？ 1 3 2 6 3 9 4 18 5 27
˙ 試題解析
詳 解 右圖三盤表示三道菜，因為每盤都要有肉類， 所以先將肉類擺盤放好 1 三種素類放同一盤：3 種 2 三種素類分成兩種同一盤，一種不同盤，另一盤不加素類，即把素 類分成（2c1c0）再放入三個擺放肉類的盤中： C3 2×C11×3×2＝18 種 3 三種素類在不同盤：3!＝6 種 ∴共有 3＋18＋6＝27 種 故選5 5 設正實數 b 滿足（log100）（logb）＋log100＋logb＝7。試選出正確的選項。 1 1NbNs10 2s10 NbN10 310NbN10s10 410s10 NbN100 5100NbN100s10 答 案 4 命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數 測驗目標 對數的運算法則、指數不等式 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 54 頁範例 10 詳 解 （log100）（logb）＋log100＋logb＝7 ! 2 logb＋2＋logb＝7 ! 3 logb＝5 ∴logb＝5 3，即 b＝10 ∵10 NbN102 ∴10s10 NbN100 故選4 6 某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在 6nC 到 24nC 時，每日平均售出 的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為－0.99，部分紀錄如下表。 平均氣溫（nC） 11 13 15 17 19 21 5 3 3 2難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 114 頁範例 9 詳 解 每日平均售出的咖啡數量與當天平均氣溫的相關係數為－0.99 （接近－1，完全負相關） ∴樣本點資料幾乎落在同一直線 y＝ax＋b 上，且 a＜0， 其中 x 代表平均氣溫，y 代表平均售出量 代入數據（15c361），（21c135）（任意找兩點） ∴ 361＝15a＋b 135＝21a＋b ! a＝－ 113 3 ，b＝926 當平均氣溫為 8nC 時，y ＝
（
－ 113 3）
×8＋926＝（
－ 904 3）
＋926 ~625（杯） 故選2 二、多選題（占 35 分） 說明： 第7題至第e題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者， 得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。 7 設各項都是實數的等差數列 a1，a2，a3，…… 之公差為正實數α。試選出正確 的選項。 1若 bn＝－an，則 b1＞b2＞b3＞…… 2若 cn＝an2，則 c1＜c2＜c3＜…… 3若 dn＝an＋an＋1，則 d1，d2，d3，…… 是公差為α的等差數列 4若 en＝an＋n，則 e1，e2，e3，…… 是公差為α＋1 的等差數列 5 若 fn 為 a1，a2，……，an 的算術平均數，則 f1，f2，f3，…… 是公差為α的等 差數列 答 案 14 命題出處 第二冊第一章 數列與級數 測驗目標 等差數列的定義 難 易 度 中˙ 試題解析
3 ×： 反例：若〈an〉：1，2，3，4，5，……（公差為 1） ∵dn＝an＋an＋1 ∴〈dn〉：3，5，7，9，……（公差為 2） 4 ○： ∵en＝an＋n
∴〈en〉：a1＋1，a2＋2，a3＋3，a4＋4，…… 公差為 en＋1－en＝an＋1－an＋（n＋1－n）＝α＋1 5 ×：令 fn ＝1 n（a1＋a2＋……＋an）＝ 1 n× n×〔2a1＋（n－1）×α〕 2 ＝a1＋α 2（n－1） ∴f1，f2，f3，……是公差為 α 2 的等差數列 故選14 8 在數線上，甲從點－8 開始做等速運動，同時乙也從點 10 開始做等速運動，乙 移動的速率是甲的 a 倍，且 a＞1。試選出正確的選項。 1若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇 2若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇 3若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點 0 4若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大 5若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點－2 相遇，則 a＝2 答 案 45 命題出處 第一冊第一章 數與式 測驗目標 分點公式 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 11 頁範例 7 詳 解 作數線圖如右 1 ×：甲、乙越離越遠 2 ×： ∵乙的速度大於甲的速度 ∴乙會追上甲 3 ×：反例：若 a＝1.1，則甲會先到達原點 0
9 從 1，2，3，4，5，6，7 這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。 1其和大於 10 的機率為 1 7 2其和小於 5 的機率為 1 7 3其和為奇數的機率為 4 7 4其差為偶數的機率為 5 7 5其積為奇數的機率為 2 7 答 案 35 命題出處 第二冊第三章 機率 測驗目標 古典機率的定義 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》課後練習簿第 11 回多選 6 詳 解 1 ×： 數字和大於10：（4c7），（5c6），（5c7），（6c7） ∴P1＝ 4 C7 2 ＝ 4 21 2 ×： 數字和小於 5：（1c2），（1c3） ∴P2＝ 2 C7 2 ＝ 2 21 3 ○： 和為奇數（選 1 個奇數 1 個偶數）：C41×C31＝12 ∴P3＝12 C7 2 ＝12 21＝ 4 7 4 ×： 差為 2：（1c3），（2c4），（3c5），（4c6），（5c7） 差為 4：（1c5），（2c6），（3c7） 差為 6：（1c7） ∴P4＝ 9 C7 2 ＝ 9 21＝ 3 7 5 ○：積為奇數（選到兩個奇數）：P5＝C 4 2 C7 2 ＝ 6 21＝ 2 7 故選35 0 在△ABC 中，已知 50nN∠A＜∠BN60n。試選出正確的選項。
˙ 試題解析
測驗目標 銳角三角函數、正弦定理 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》 第 127 頁範例 6 第 139 頁精彩試題觀摩 3 詳 解 ∵50nN∠A＜∠BN60n（即∠A，∠B 均為銳角） 1 ○：sinA＜sinB 2 ○： △ABC 中，∠C＝180n－（∠A＋∠B）＞60n ∴sinB＜sinC 3 ×：cosA＞cosB 4 ×： 承2，60n＜∠C＜80n ∵45n＜∠C＜90n ∴sinC＞cosC 5 ×： 由正弦定理 AB sinC ＝ BC sinA ∵sinC＞sinB＞sinA ∴AB＞BC 故選12 q 某地區衛生機構成功訪問了 500 人，其中年齡為 50 ∼ 59 歲及 60 歲（含）以上 者分別有 220 名及 280 名。這 500 名受訪者中，120 名曾做過大腸癌篩檢，其 中有 75 名是在一年之前做的，有 45 名是在一年之內做的。已知受訪者中，60 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 50 ∼ 59 歲者曾做過大腸癌篩檢比率 的 3.5 倍。試選出正確的選項。 1受訪者中年齡為 60 歲（含）以上者超過 60 ％ 2 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在 50 ∼ 59 歲間的機率大於 0.25 3 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而 另一人在一年之前受檢的機率為 2．（
45 120）（
75 119）
4這 500 名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75 ％ 5受訪者中 60 歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名詳 解 設 p 為 50 ∼ 59 歲曾做過大腸癌篩檢的比率 由題意知曾做過篩檢的人數有 120 人 ∴220×p＋280×3.5p＝120 ! 1200p＝120 ∴p＝ 1 10 1 ×：280 500＝0.56＝56 ％ 2 ×：所求機率為 C2 220 C2500 ＝220×219 500×499＜ 1 2× 1 2＝0.25 3 ○：所求機率為 C1 45×C 1 75 C2120 ＝ 45×75 120×119 2 ＝2×
（
45 120）
×（
75 119）
4 ×：未曾做過篩檢的比率為 380 500＝0.76＝76 ％ 5 ○： 60 歲（含）以上曾做過篩檢的人數為 3.5× 1 10×280＝98（人） 故選35 w 設 f（1 x），f（2 x）為實係數三次多項式，g（x）為實係數二次多項式。已知 f（1 x），f（2 x）除以 g（x）的餘式分別為 r（1 x），r（2 x）。試選出正確的選項。 1－f（1 x）除以 g（x）的餘式為－r（1 x） 2 f（1 x）＋f（2 x）除以 g（x）的餘式為 r（1 x）＋r（2 x） 3 f（1 x）f（2 x）除以 g（x）的餘式為 r（1 x）r（2 x） 4 f（1 x）除以－3g（x）的餘式為 －1 3 r（1 x） 5 f（1 x）r（2 x）－f（2 x）r（1 x）可被 g（x）整除 答 案 125˙ 試題解析
詳 解 由題意設 f（1 x）＝g（x）．q（1 x）＋r（1 x） f（2 x）＝g（x）．q（2 x）＋r（2 x） 1 ○：－f（1 x）＝－g（x）．q（1 x）－r（1 x） 1 ○：－f（1 x）＝g（x）．〔－q（1 x）〕－r（1 x） 餘式 2 ○：f（1 x）＋f（2 x）＝g（x）．（q（1 x）＋q（2 x））＋r（1 x）＋r（2 x） 餘式 3 ×： 設 r（1 x），r（2 x）皆為一次多項式，則 r（1 x）r（2 x）為二次多項式 所以 f（1 x）f（2 x）除以 g（x）的餘式不為 r（1 x）r（2 x） 4 ×：f（1 x）＝－3．g（x）（
－1 3）
．q（1 x） ＋r（1 x） 餘式 5 ○：f（1 x）r（2 x）－f（2 x）r（1 x） ＝g（x）．q（1 x）．r（2 x）＋r（1 x）．r（2 x）－（g（x）．q（2 x）．r（1 x） ＋r（1 x）．r2（x）） ＝g（x）．（q（1 x）r（2 x）－q（2 x）r（1 x）） 故選125 e 坐標空間中有一平面 P 過（0c0c0），（1c2c3）及（－1c2c3）三點。試 選出正確的選項。 1向量（0c3c2）與平面 P 垂直 2平面 P 與 xy 平面垂直 3點（0c4c6）在平面 P 上 4平面 P 包含 x 軸 5點（1c1c1）到平面 P 的距離是 1 答 案 34 命題出處 第四冊第二章 空間中的平面與直線 測驗目標 空間平面方程式、直線與平面的關係、點到平面的距離公式 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》 第 199 頁範例 2 類題 11 ×： 向量（0c3c2）不平行 xn ∴向量（0c3c2）不垂直平面 P 2 ×： xy 平面的法向量 xn'＝（0c0c1） ∵xn． xn'＝－2_0 ∴兩平面不垂直 3 ○： （0c4c6）代入平面 P 的方程式中得 12－12＝0（合） ∴點（0c4c6）在平面 P 上 4 ○： x 軸的參數式 x＝t y＝0 z＝0 ，tl 代入平面 P 的方程式中（合） ∴平面 P 包含 x 軸 5 ×： 令 C（1c1c1） ∴d（CcP） ＝ ∣3－2∣
al
32＋（－2）2 ＝ 1 s13 故選34 第貳部分：選填題（占 35 分） 說明：1 第 A. 至 G. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（14 – 30）。 2 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 設 x，y 為實數，且滿足 3 －1 3 2 4 －1 x y 1 ＝ 6 －6，則 x＋3y＝ rt 。 答 案 －4 命題出處 第四冊第三章 矩陣 測驗目標 矩陣的乘法、方程組的解 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 211 頁範例 3 及類題 2 詳 解 由矩陣的乘法得 3 －1 3 2 4 －1 x y 1 ＝ 6 －6 3x－y＋3＝6 ! 3x－y＝3………1˙ 試題解析
B. 如圖（此為示意圖），A，B，C，D 是橢圓 x 2 a2 ＋ y2 16＝1 的頂點。若四邊形ABCD 的面積為 58，則 a＝ 4 yu i 。（化成最簡分數） 答 案 29 4 命題出處 第四冊第四章 二次曲線 測驗目標 橢圓方程式 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 224 頁範例 6 詳 解 橢圓 Γ： x 2 a2 ＋ y2 16＝1 !長軸 AC 長 2a，又 b＝4，短軸 BD 長 2b＝8 四邊形 ABCD 面積＝2a×8×1 2＝8a＝58 ∴a＝58 8 ＝ 29 4 C. 某高中已有一個長 90 公尺、寬 60 公尺的 足球練習場。若想要在足球練習場的外圍 鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道，跑道 規格為左右兩側各是直徑相同的半圓，而 中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道 與足球練習場的長邊平行（如示意圖）。 則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能 整數值為 opa 公尺。 答 案 105 第三冊第二章 直線與圓詳 解 作圖如下 跑道內圈的總長度為 （一個圓的圓周長）＋2×AB＝400 即 2π（30＋x）＋2×（90＋2y）＝400 承上式，當 x＝0 時，AB＝90＋2y 有最大值 ∴AB＝200－30π~200－94.26＝105.74 即 AB 長度的最大可能整數值為 105 公尺 D. 某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇 領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有 765 人領票、乙案有 537 人領票、丙案有 648 人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有 224 人， 並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但 沒有領丙案公投票者共有 sdf 人。 答 案 215 命題出處 第二冊第二章 排列、組合 測驗目標 集合的運算 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 77 ∼ 78 頁範例 1 及類題 詳 解 因為每個人都至少領兩張票 所以設只領甲、乙兩張票者有 x 人 只領乙、丙兩張票者有 y 人 只領甲、丙兩張票者有 z 人 而三張票都領者有 224 人 ∴x＋z＋224＝765 ! x＋z＝541 ………1 x＋y＋224＝537 ! x＋y＝313………2 y＋z＋224＝648 ! y＋z＝424 ………3
˙ 試題解析
E. 如圖（此為示意圖），在△ABC 中，AD 交 BC 於 D 點，BE 交
AD 於 E 點，且∠ACB＝30n，∠EDB＝60n，∠AEB＝120n。若 CD＝15，ED＝7，則 AB＝ gh 。 答 案 13 命題出處 第三冊第一章 三角 測驗目標 餘弦定理 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 1－4 冊》第 128 頁範例 7 詳 解 如右圖 △BDE 為正三角形 ∴BE＝7 又△ACD 為等腰三角形 ∴AD＝CD＝15，則 AE＝8 在△ABE 中，由餘弦定理知 AB2 ＝72＋82－2×7×8×cos120n＝49＋64＋56＝169 ∴AB＝13 F. 坐標空間中，考慮有一個頂點在平面 z＝0 上、且有另一個頂點在平面 z＝6 上 的正立方體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 jak 。 （化成最簡根式） 答 案 2a3 命題出處 第四冊第一章 空間向量、第四冊第二章 空間中的平面與直線 測驗目標 立體圖形、兩平行平面的距離 難 易 度 中偏易
G. 如圖（此為示意圖），A，B，C，D 為平面上的四個點。已 知 zBC ＝zAB ＋zAD ，zAC 、zBD 兩向量等長且互相垂直，則 tan∠BAD＝ l; 。 答 案 －3 命題出處 第三冊第三章 平面向量 測驗目標 向量坐標表示法、向量內積 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義．數學 1－4 冊》第 169 頁範例 7 詳 解 將平面四點坐標化，如右圖 zAC＝（xc0），zBD＝（0cy－z） ∵∣zAC∣＝∣zBD∣ ! x＝y－z …………1 又 zBC＝zAB ＋zAD ∴（x－ac－z）＝（acz）＋（acy）＝（2acy＋z） 即 x＝3a………2 y＝－2z …………3 由1、2、3可得 x＝3a，y＝2a，z＝－a 在△ABD 中，AB＝a2 a，AD＝a5 a ∴cos∠BAD ＝cosθ＝ zAD．zAB
∣zAD∣∣zAB∣ ＝ a 2＋yz s10 a2 ＝ －a2 s10 a2 ＝－ 1 s10 ∴tanθ＝－3
˙ 試題解析
參考公式及可能用到的數值 1 首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S＝ n（2a＋（n－1）d） 2 首項為 a，公比為 r（r_1）的等比數列前 n 項之和為 S＝a（1－r n） 1－r 2 三角函數的和角公式： sin（A＋B）＝sinA cosB＋cosA sinBcos（A＋B）＝cosA cosB－sinA sinB tan（A＋B）＝ tanA＋tanB 1－tanA tanB 3 △ABC 的正弦定理： a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R（R 為△ABC 外接圓半徑） △ABC 的餘弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cosC
4 一維數據 X：x1，x2，……，xn， 算術平均數 mX＝1 n（x1＋x2＋……＋xn）＝ 1 n n
∑
i＝1xi 標準差 sX＝ 1 n n∑
i＝1 （xi－mX）2 ＝ 1 n（（ n∑
i＝1xi 2）－nm X2） 5 二維數據（XcY）：（x1cy1），（x2cy2），……，（xncyn）， 相關係數 rXcY＝ n∑
i＝1 （xi－mX）（yi－mY） nsXsY 迴歸直線（最適合直線）方程式 y－mY＝rXcY sY sX （x－mX）6 參考數值：a2 ~1.414，a3 ~1.732，a5 ~2.236，a6 ~2.449，π~3.142 7 對數值：log102~0.3010，log103~0.4771，log105~0.6990，log107~0.8451 8 角錐體積＝1
