4-4-2二次曲線-橢圓

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(1)4-2 橢圓【目標】首先由橢圓的定義及橢圓的尺規描點作圖來認識橢圓及其幾何性質；再者，利用解析法推導出橢圓的標準式及經過平移､伸縮後的橢圓方程式，作為進一步探討橢圓的基礎。【討論】 1. 設在平面上，給定兩相異點 F , F ′ ，及一定線段長 2a ，其中 FF ′ < 2a ，則所有滿足 PF + PF ′ = 2a 的動點 P 所形成的圖形稱為橢圓，如圖所示， F 及 F ′ 稱為焦點。 2. 在一平面上，當橢圓的焦點 F , F ′ 及定長 2a 給定後，我們可以利用簡單的工具繪製橢圓。首先取一長度為 2a 的細繩，將兩端固定在大頭針上，並將兩大頭針分別釘在 F 及 F ′ 上，然後用筆尖把繩繃緊，如圖所示。再將筆尖繞兩大頭針旋轉一周，筆尖所經過的點到兩大頭針的距離和都是繩長 2a ，所以筆尖所畫出的封閉曲線就是橢圓。 3. 給定橢圓 Γ 的兩焦點 F , F ′ ，及線段長 2a ( FF ′ < 2a )時，可用尺規作圖描畫出 Γ 上的一些點，當描畫的點夠多夠密時，再以平滑曲線連接，就可以呈現 Γ 的圖形。首先，以 F ′ 為圓心， 2a 為半徑作圓，則點 F 在圓內( FF ′ < 2a )。在圓上取任意點K，連 KF ′ 及 KF ，並作 KF 的中垂線交 KF ′ 於 P ，則 PF + PF ′ = PK + PF ′ = 2a ，故點P在 Γ 上。逐次改變點K的位置，並作出對應的點 P ，即可得到 Γ 的近似圖形，如圖所示。在橢圓 Γ 中，兩焦點連接線段 FF ′ 的中點 O 稱為 Γ 的中心，直線 FF ′ 與 Γ 的交點 A, A′ 稱為頂點， AA′ 稱為長軸；過中心 O 且垂直於長軸 AA′ 的直線與 Γ 的交點 B, B′ 也稱為頂點， BB′ 稱為短軸。長軸與短軸的交點就是中心，稍後可由方程式證明橢圓對長軸､短軸都對稱，也對中心對稱，參閱圖。 4. 由於橢圓上的點到兩焦點的距離和恆為定值 2a ，故 AF + AF ′ = 2a = A′F + A′F ′ ， 2 AF + FF ′ = 2 A′F ′ + FF ′ ， 2 AF = 2 A′F ′ ， AF = A′F ′ 。於是， AO = AF + FO = A′F ′ + F ′O = A′O ，又 AA′ = AF ′ + A′F ′ = A′F + AF = 2a ， 17.

(2) 故 AO = A′O = a 。 AA′ = 2a 是長軸的長， a 稱為半長軸。另一方面，直線 BB′ 是 FF ′ 的中垂線，故 BF = BF ′ ，於是， 2 BF = BF + BF ′ = 2a ， BF = a 。 2. 2. 2. 因此 BO = BF − OF = a 2 − OF ， 2. 5.. 同理可得 B′O = a 2 − OF ，故 BO = B′O 。習慣上， BO 之長以 b 表示， BB′ = 2b 是短軸的長， b 稱為半短軸，又 FO 之長以 c 表示( FF ′ = 2c )。因為 BF = a ，且 ∆BOF 是直角三角形(圖)。故 a > b, a > c ，且 a, b, c 滿足關係式 a2 = b2 + c2 。將一個半長軸為 a ､半短軸為 b ､焦點到中心的距離為 c 的橢圓端端正正放在坐標平面上，橢圓的中心在原點､長軸在 x 軸上､短軸在 y 軸上，如圖。此時，兩焦點為 F (c, 0) 及 F ′(−c, 0) ，由橢圓定義知：當點 P( x, y ) 在橢圓上時， PF + PF ′ = 2a ⇒ ( x − c) 2 + y 2 + ( x + c) 2 + y 2 = 2a ⇒ ( x − c ) 2 + y 2 = 2a − ( x + c ) 2 + y 2 ⇒ ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 ⇒ 4a ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx ⇒ a ( x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx ⇒ a 2 [( x + c) 2 + y 2 ] = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2. ⇒ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇒ (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ⇒ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 。. 另一方面，當點 P( x, y ) 滿足 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 時， b 2 x 2 ≤ a 2 b 2 ⇒ x 2 ≤ a 2 ⇒ c 2 x 2 ≤ c 2 a 2 < a 4 ⇒ − a 2 < cx < a 2 ⇒ a 2 + cx > 0, a 2 − cx > 0 。. 於是 PF = ( x − c) 2 + y 2 =. 1 2 1 2 2 a ( x − c) 2 + a 2 y 2 = a ( x − 2cx + c 2 ) + a 2b 2 − b 2 x 2 a a. 1 2 2 a x − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 (a 2 − c 2 ) − (a 2 − c 2 ) x 2 a 1 4 1 1 c = a − 2a 2 cx + c 2 x 2 = | a 2 − cx | = (a 2 − cx) = a − x 。 a a a a c 仿此可得 PF ′ = a + x ，於是 PF + PF ′ = 2a ，故點 P ( x, y ) 在該橢圓上。 a x2 y 2 因此該橢圓的方程式為 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 。通常，我們將它表為 2 + 2 = 1 。 a b =. 18.

(3) 6.. 在以上導引方程式的過程中， x2 y 2 + = 1 上時， x 2 ≤ a 2 ，即 − a ≤ x ≤ a ， a 2 b2 c 且點 P 到焦點 F (c, 0) 的距離 PF = a − x ， a c c 因此， −c ≤ − x ≤ c ， a − c ≤ PF = a − x ≤ a + c ， a a 即 PF 的最大值為 a + c ，最小值為 a − c 。. 顯示點 P ( x, y ) 在橢圓. 由此可知地球在公轉軌道上的遠日點與近日點分別在兩個長軸頂點上。 x2 y 2 + = 1， a 2 b2 x2 y2 當點 ( x0 , y0 ) 在 Γ 上時， 02 + 02 = 1 。 a b 2 2 x (− y0 ) = 1 ，即點 ( x0 , − y0 ) 在 Γ 上，也就有 02 + a b2 由此可知， Γ 對 x 軸(長軸)對稱；同理， Γ 對 y 軸(短軸)對稱。因此， Γ 也對原點(中心)對稱。. 假設橢圓 Γ :. 如果將一個半長軸為 a ､半短軸為 b ､焦點到中心的距離為 c 的橢圓豎立在坐標平面的中央，橢圓的中心在原點､長軸在 y 軸上､短軸在 x 軸上，如圖， x2 y 2 + = 1。 b2 a 2 x2 y 2 x2 y 2 方程式 2 + 2 = 1 及 2 + 2 = 1 都稱為橢圓的標準式。 a b b a. 則可得其方程式為. 【定義】 1. 橢圓的標準式： a > b > 0 ，方程式. x2 y 2 x2 y 2 1 + = 1 的圖形都是橢圓，中心在原點，長軸､ + = 及 a 2 b2 b2 a2. 短軸都在坐標軸上，半長軸為 a ，半短軸為 b ，且焦點到中心的距離 c = a 2 − b 2 。 x2 y 2 (1) 2 + 2 = 1 ：長軸在 x 軸上，長軸頂點 (a, 0), (− a, 0) ，焦點 (c, 0), (−c, 0) ； a b 短軸在 y 軸上，短軸頂點 (0, b), (0, − b) 。 x2 y 2 + = 1 ：長軸在 y 軸上，長軸頂點 (0, a ), (0, − a ) ，焦點 (0, c), (0, − c) ； b2 a2 短軸在 x 軸上，短軸頂點 (b, 0), ( −b, 0) 。. (2). 2.. 橢圓的標準式(半長軸 a ，半短軸 b, c = a 2 − b 2 )：方程式中心長軸頂點長軸直線焦點 x y + 2 =1 2 a b (0, 0) x2 y 2 + =1 b2 a 2 2. 2. 短軸頂點. (± a, 0). y = 0 ( x 軸) (± c, 0). (0, ± b). (0, ± a ). x = 0 ( y 軸) (0, ± c). (±b, 0). 19.

(4) 【討論】 1. 設 t 是一個正實數， x2 y 2 + = 1 以原點為中心伸縮 t 倍， a 2 b2 即將 Γ 上的點 P( x0 , y0 ) 變換成點 P′(tx0 , ty0 ) ，. 若將橢圓 Γ :. 則由於點 P( x0 , y0 ) 滿足. x2 y 2 + =1， a 2 b2. x0 2 y0 2 + = 1。 a 2 b2 (tx ) 2 (ty ) 2 x 2 y 2 於是， 0 2 + 0 2 = 02 + 02 = 1 ， (ta ) (tb) a b. 得. 表示點 P′(tx0 , ty0 ) 在橢圓 Γ′ :. x2 y2 + = 1 上， (ta) 2 (tb) 2. 如圖所示。因此，半長軸為 a ､半短軸為 b 的橢圓伸縮 t 倍後仍是一個橢圓，其半長軸為 ta ､半短軸為 tb ，分別是原橢圓的 t 倍，橢圓 Γ′ 的方程式亦可表為. x2 y 2 + = t2 。 a 2 b2. x2 y 2 + = k 的圖形是橢圓， a 2 b2 x2 y 2 它可由橢圓 2 + 2 = 1 伸縮 k 倍而得。 a b 2 若將單位圓 C : x + y 2 = 1 沿水平方向伸縮 a 倍( a > 0 )､. 所以 k > 0 時，. 2.. 鉛直方向伸縮 b 倍( b > 0 )，即將圓 C 上的點 ( x0 , y0 ) 變換成 (ax0 , by0 ) ，則由於點 ( x0 , y0 ) 滿足 x 2 + y 2 = 1 ，得 x0 2 + y0 2 = 1 。 (ax0 ) 2 (by0 ) 2 x2 y 2 2 2 + = x + y = 1 ，表示點 ( ax , by ) 在橢圓 + = 1 上。 0 0 0 0 a2 b2 a 2 b2 因此，當 a > b > 0 時，半長軸為 a ､半短軸為 b 的橢圓，. 於是. 3.. 可由半徑為 1 的圓在長軸方向伸縮 a 倍､短軸方向伸縮 b 倍而得。在上節討論過將頂點在原點的拋物線，平移向量 (h, k ) 後，即得頂點在點 (h, k ) 的拋物線。仿此，設 a > b > 0, c = a 2 − b 2 ，若將中心位於原點的橢圓 x2 y 2 + = 1 平移向量 (h, k ) ， a 2 b2 則平移後仍是一個橢圓 Γ′ ，中心位於點 (h, k ) ，長軸頂點為 (h + a, k ), (h − a, k ) ；短軸頂點為 (h, k + b), (h, k − b) ；焦點為 (h + c, k ), (h − c, k ) ； Γ:. 如圖所示，其方程式為. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1。 a2 b2 20.

(5) 4.. 另一方面， x2 y 2 + = 1 平移向量 (h, k ) ， b2 a2 則得橢圓 Γ′ ，. 將橢圓 Γ :. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1。 b2 a2 其中心在點 (h, k ) ，長軸頂點為 (h, k + a ), (h, k − a) ；短軸頂點為 (h + b, k ), (h − b, k ) ；焦點為 (h, k + c), (h, k − c) ；. 方程式為. 如圖所示。. 5.. 中心在 (h, k ) 的橢圓( a > b > 0, c = a 2 − b 2 )：方程式長軸頂點短軸頂點 ( x − h) ( y − k) + = 1 ( h ± a , k ) ( h, k ± b ) 2 a b2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 ( h, k ± a ) ( h ± b , k ) b2 a2 一般而言， a > b > 0 時， ( x − h) 2 ( y − k ) 2 無論是有水平長軸的橢圓 + =1， a2 b2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 或有鉛直長軸的橢圓 + =1， b2 a2 2. 6.. 2. 焦點 ( h ± c, k ) ( h, k ± c ). 其方程式皆可化為如下的形式： Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ，其中 AC > 0 。反之，一個形如上式的方程式可以配方法判定其圖形是否為橢圓。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 及 + =1， 1 + = a2 b2 b2 a2 都可化為如 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 的形式，其中 AC > 0 ；. a > b > 0 時，橢圓. 反之形如 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 的方程式( AC > 0 )，可用配方法化為 A( x +. D 2 E 2 D2 E 2 ) + C( y + ) = + −F， 2A 2C 4 A 4C. D2 E 2 + − F ，則 4 A 4C (1) k > 0 時，圖形為橢圓。. 令k =. (2) k = 0 時，圖形為一點 (−. D E , − )。 2A 2C. (3) k < 0 時，圖形為不存在。. 21.

(6) 【定義】 1. 橢圓(截痕)：. 2.. π. > β > α 時，在圓錐中塞進兩個球分別從上、下兩方面與割平面 E 相切 2 於 F 和 F ' 點，而與圓錐面相切於圓 C1 和 C 2 。橢圓(ellipse)( a > b > 0 )：當. 設平面上兩相異點 F 與 F ' ， a 為一正數，且 FF ' < 2a ，則平面上所有滿足. 3. 4.. PF + PF ' = 2a 的動點 P 所形成的圖形稱為橢圓， F , F ' 稱為焦點， FF ' 的中點稱為中心。中心：兩焦點連線段的中點。頂點(vertex)：過兩焦點的直線與垂直前述直線的直線，此兩直線與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。. 5.. 長軸(major axis)：設過兩焦點的直線交橢圓於 A, A'，則 AA' 稱為長軸， AA' 的長度稱為長軸長。. 6.. 短軸(minor axis)：過中心且與長軸垂直的直線交橢圓於 B, B' ，則 BB' 稱為短. 7.. 軸， BB' 的長度稱為短軸長。焦距(focal length)：焦點到頂點的距離，一般以 c 表示。. 8. 焦半徑：橢圓上任一點 P 與任一焦點的連線段(有兩組 PF , PF ' )。 9. 弦：橢圓上兩相異點的連線段。 10. 焦弦：通過焦點的弦。 2b 2 。 11. 正焦弦(latus rectum)：焦弦中與長軸垂直者，其長度為 a 12. 內部、外部：平面上除了橢圓上之外，其餘部分被分為兩部分，其一為含焦點的區域，稱為內部;另一部分為不含焦點的區域，稱為外部。註： (1) 橢圓內部的任意點 I ，恆有 IF + IF ' < 2a 。 (2) 橢圓外部的任意點 E ，恆有 EF + EF ' > 2a 。. 13. 形狀：當橢圓的長軸長固定時，若橢圓的兩焦點距離越大，則橢圓的形狀就越扁。反之，橢圓的兩焦點月接近中心(即兩焦點的距離接近 0 )時，橢圓的形狀就近似圓的形狀。. 22.

(7) 【類型】 1. 長軸平行 x 軸的橢圓標準式：設有一橢圓，以兩定點 F (c,0), F ' (−c,0) 為焦點，長軸長 2a ，且 a > c > 0 ，. x2 y 2 則其方程式為 2 + 2 = 1 ，其中 b 2 = a 2 − c 2 。 a b 證明：設 P ( x, y ) 為橢圓上任一點，則 PF + PF ' = 2a ⇔ ( x − c) 2 + y 2 + ( x + c) 2 + y 2 = 2a. ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = 2a − ( x + c ) 2 + y 2 ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 ⇔ 4a ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx ⇔ a ( x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx ⇔ a 2 (( x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ⇔ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ⇔. x2 y2 + = 1。 a2 b2. 反之，若 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ，則 PF = ( x − c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 +. b2 2 (a − x 2 ) 2 a. a2 − c2 2 a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2 a 2 − cx cx 2 ( a − x ) = = =a− ， 2 2 a a a a cx 同理 PF ' = a + ， a 於是 PF + PF ' = 2a 。 (註： x 2 ≤ a 2 ⇒ c 2 x 2 ≤ c 2 a 2 < a 4 ⇒ − a 2 ≤ cx < a 2 ⇒ a 2 + cx > 0, a 2 − cx > 0 ) 長軸平行 y 軸的橢圓標準式：設有一橢圓，以兩定點 F (0, c), F ' (0,−c) 為焦點，長軸長 2a ，且 a > c > 0 ， = ( x − c) 2 +. 2.. x2 y2 則其方程式為 2 + 2 = 1 ，其中 b 2 = a 2 − c 2 。 b a 證明：設 P ( x, y ) 為橢圓上任一點，則 PF + PF ' = 2a ⇔. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 + x 2 + ( y + c) 2 = 2a. x 2 + ( y − c ) 2 = 2a − x 2 + ( y + c ) 2. ⇔ x 2 + ( y − c ) 2 = 4 a 2 − 4a x 2 + ( y + c ) 2 + x 2 + ( y + c ) 2 ⇔ 4a x 2 + ( y + c) 2 = 4a 2 + 4cy ⇔ a x 2 + ( y + c) 2 = a 2 + cy ⇔ a 2 ( x 2 + ( y + c) 2 ) = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 + a 2 y 2 + 2a 2 cy + a 2 c 2 = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 + (a 2 − c 2 ) y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ⇔ a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 ⇔. 23. x2 y2 + = 1。 b2 a2.

(8) 【類型】 1. 中心在原點(標準式)：方程式. x2 y2 + = 1 (左右型) a2 b2. x2 y2 + = 1 (上下型) b2 a2. | x |≤ a, | y |≤ b (0,0) (± a,0) (0,±b) (± c,0). | x |≤ b, | y |≤ a (0,0) (0,± a ) (±b,0) (0,±c). a2 c x = 0, y = 0. a2 c x = 0, y = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c c a± x a PF c = <1 e= d ( P, L ) a ⎧ x = a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = b sin θ. 2b 2 a 2a 2b 2c c a± y a PF c = <1 e= d ( P, L ) a ⎧ x = b cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = a sin θ. 圖形 Γ. 範圍中心 O 長軸頂點 A, A' 短軸頂點 B, B' 焦點 F 準線對稱軸正焦弦長長軸長短軸長焦距焦半徑離心率 e 參數式. x=±. y=±. 基本關係 a2 = b2 + c2 註： 1. a, b, c 均大於 0 ，且 a 最大。. a2 = b2 + c2. 24.

(9) 中心不在原點：方程式. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2. | x − h |≤ a, | y − k |≤ b (h, k ) ( h ± a, k ) (h, k ± b) ( h ± c, k ). | x − h |≤ b, | y − k |≤ a (h, k ) (h, k ± a) (h ± b, k ) (h, k ± c). a2 x−h =± c x − h = 0, y − k = 0. a2 y−k =± c x − h = 0, y − k = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c c a ± ( x − h) a PF c = <1 e= d ( P, L ) a ⎧ x = h + a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b sin θ. 2b 2 a 2a 2b 2c c a ± (y − k) a PF c = <1 e= d ( P, L ) a ⎧ x = h + b cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + a sin θ. 圖形 Γ. 範圍中心 O 長軸頂點 A, A' 短軸頂點 B, B' 焦點 F 準線對稱軸正焦弦長長軸長短軸長焦距焦半徑離心率 e 參數式. 基本關係 a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 【問題】 1. 試問型如 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 的方程式，何種條件下其圖形為一橢圓？ 2. 試問幾個獨立條件可以決定橢圓方程式？ 3. 試問參數式當中的角度 θ ，在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角？ 4. 給定一個橢圓的圖形，是否可用作圖方法求出此橢圓的焦點？. 25.

(10) 【證明】 1. 焦半徑：. PF = ( x − c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + b 2 (1 −. (a 2 − b 2 ) 2 x − 2cx + (b 2 + c 2 ) a2. c c2 2 c x − 2cx + a 2 = (a − x) 2 = a − x ， 2 a a a c 同理 PF ′ = a + x 。 a 註： a − c ≤ PF ≤ a + c, a − c ≤ PF ' ≤ a + c 。正焦弦長：設過焦點 F (c,0) 與 x 軸垂直的弦交橢圓於 (c, y ) ，則 c2 y2 c2 a2 − c2 2 2 2 2 + = 1 ( 1 ) ⇒ y = b − ⇒ y = b × a2 b2 a2 a2 b2 b2 ⇒ y 2 = b2 × 2 ⇒ y = ± a a 2 2 2b 2 b b 故正焦弦長為 ( ) − (− ) = 。 a a a =. 2.. x2 ) = a2. 26.

(11) 【方法】 1. 求橢圓方程式的解題步驟： (1) 先判別橢圓為上下型或左右型。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 (a)若為上下型，則方程式為 + = 1 ( a > b > 0 )形式； b2 a2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 (b)若為左右型，則方程式為 + = 1 ( a > b > 0 )形式。 a2 b2 (2) 求出中心及長軸長、短軸長。 2. 兩橢圓共焦點： x2 y2 x2 y2 (1) 與 2 + 2 = 1 共焦點的橢圓方程式，可設為 2 + 2 = 1 ，其中 a b a +t b +t a 2 + t > 0, b 2 + t > 0 。. x2 y2 x2 y2 (2) 與 2 + 2 = 1 共焦點的橢圓方程式，可設為 2 + = 1 ，其中 b a b + t a2 + t b 2 + t > 0, a 2 + t > 0 。【討論】 1. 設 F , F ' 為兩定點， P 為動點， 2a 為一定數，. (1) 若 PF + PF ' = 2a > FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為橢圓。 (2) 若 PF + PF ' = 2a = FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為線段。 (3) 若 PF + PF ' = 2a < FF ' = 2c ，則 P 點軌跡無圖形。. 3.. 若方程式為 ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 + ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 = k 形式，則其圖形可能為橢圓、線段或無圖形。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 若方程式為 + = 1， p q (1) 當 p > 0, q > 0 ，且 p ≠ q ，則圖形為橢圓。 (2) 若 p < 0, q < 0 ，則無圖形。. 4.. 若 AB = l ， A 在 x 軸上移動， B 在 y 軸上移動，且 A − P − B 三點共線，. 2.. AP : PB = m : n(m ≠ n) ，則 P 點之軌跡為一橢圓。. 27.

(12) 【性質】. 1.. 2.. x2 y2 設橢圓 2 + 2 = 1 ，則： a b. (1) 橢圓內接矩形中之最大周長為 4 a 2 + b 2 ，最大面積為 2ab 。 4a 2 b 2 。 (2) 內接正方形面積為 2 a + b2 設兩圓 C1 ,C 2 內離， C1 ,C 2 之圓心分別為 A, B ，且 rC1 < rC2 (1) 若圓 C 與小圓外切時，則其圓心軌跡為橢圓。因此時 PA + PB = (r + rC1 ) + (rC2 − r ) = rC1 + rC2 ，即為以 A, B 為兩焦點，且長軸長 rC1 + rC2 之橢圓。. (2) 若圓 C 與小圓內切時，則其圓心軌跡為橢圓。因此時 PA + PB = (r − rC1 ) + (rC2 − r ) = rC2 − rC1 ，即為以 A, B 為兩焦點，且長軸長 rC2 − rC1 之橢圓。. 3.. 坐標平面上，設 A 是 x 軸上的動點， B 是 y 軸上的動點， AB 為定值，又點 P 是 AB 上異於 A, B 的某一點，則所有動點 P 所形成的圖形為圓(當 P 為中點時) 或橢圓(當 P 不為中點時)。. 28.

(13) 4.. 試證：橢圓的一組平行弦中點的軌跡必過橢圓的中心。證明： x2 y2 設橢圓為 2 + 2 = 1 ， a b 一組平行弦為 y = mx + k (設 m ≠ 0 )，且交橢圓於兩點 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ，. 則 b 2 x 2 + a 2 (mx + k ) 2 = a 2 b 2 ⇒ (a 2 m 2 + b 2 ) x 2 + 2a 2 mkx + a 2 (k 2 − b 2 ) = 0. x1 + x2 a 2 mk ， =− 2 2 2 a m + b2 ⎧ y = mx1 + k y + y2 x +x b2k 又⎨ 1 ，得 1 ， = m( 1 2 ) + k = − 2 2 2 2 a m + b2 ⎩ y 2 = mx2 + k 得. x1 + x2 x1 + x2 b2 Y b2 , ) ，則 = − 2 ，即 Y = − 2 X ， 2 2 a m a m X 當 m ≠ 0 時，即橢圓的一組平行弦中點的軌跡必過橢圓的中心 (0,0) ，若 m = 0 或不存在時，明顯可知必過橢圓中心。過橢圓上一點 P 的切線上除了切點 P 以外的點都落在橢圓的外部。對稱性：可用變數變換或幾何方法說明橢圓對長軸對稱，也對短軸對稱。令中點軌跡為 ( X , Y ) = (. 5. 6.. 29.

(14) 【作圖】 1. 我們應該如何畫出橢圓？ (1) 方法一：以點 F ' 為圓心， 2a 為半徑畫圓 C ，取 F 在圓 C 內，設 Q 在圓 C 上，取 FQ 的中點 R ，過點 R 作 FQ 的中垂線，過 Q 作直線 F ' Q ，兩線的交點 P 滿足到兩定點 F , F ' 之距離和. ( PF + PF ' = 2a > FF ' = 2c )為定值，所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓，其中定點 F , F ' 稱為橢圓的焦點。 (2) 方法二：如圖以 O 為圓心，半徑 a ，畫圓 C1 ，則 Q 之坐標為 Q(a cos θ , a sin θ ) ，其中 θ 為 OQ 與 x 軸正向夾角， b 將 Q 點向 x 軸伸縮倍， a 得 P(a cos θ , b sin θ ) ，則所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓。 (3) 方法三：如圖以 O 為圓心，半徑 a ，畫圓 C1 ，以 O 為圓心，半徑 b ，畫圓 C 2 ，則 Q 之坐標為 Q(a cos θ , a sin θ ) ，其中 θ 為 OQ 與 x 軸正向夾角，將 Q 點向 x 軸作垂線 L ， OQ 與圓 C 2 交點為 R ，得 R(b cos θ , b sin θ ) ，由 R 向 L 坐垂線，交點為 P ，則所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓。. 30.

(15)