4-1-2圓錐曲線-橢圓

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(1)第四冊 1-2 圓錐曲線-橢圓【定義】 1. 橢圓(截痕)： π 當 > β > α 時，在圓錐中塞進兩個球分別從上、下兩方面與割平面 E 相切 2 於 F 和 F ' 點，而與圓錐面相切於圓 C1 和 C2 。 2. 橢圓( a > b > 0 )：設平面上兩相異點 F 與 F ' ， a 為一正數，且 FF ' < 2a ，則平面上所有滿足. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.. PF + PF ' = 2a 的動點 P 所形成的圖形稱為橢圓， F , F ' 稱為焦點， FF ' 的中點稱為中心。中心：兩焦點連線段的中點。頂點：過兩焦點的直線與垂直前述直線的直線，此兩直線與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。長軸：設過兩焦點的直線交橢圓於 A, A' ，則 AA' 稱為長軸， AA' 的長度稱為長軸長。短軸：過中心且與長軸垂直的直線交橢圓於 B, B ' ，則 BB ' 稱為短軸， BB ' 的長度稱為短軸長。焦距：焦點到頂點的距離，一般以 c 表示。焦半徑：橢圓上任一點 P 與任一焦點的連線段(有兩組 PF , PF ' )。弦：橢圓上兩相異點的連線段。焦弦：通過焦點的弦。 2b 2 正焦弦：焦弦中與長軸垂直者，其長度為。 a 內部、外部：平面上除了橢圓上之外，其餘部分被分為兩部分，其一為含焦點的區域，稱為內部;另一部分為不含焦點的區域，稱為外部。註： (1) 橢圓內部的任意點 I ，恆有 IF + IF ' < 2a 。 (2) 橢圓外部的任意點 E ，恆有 EF + EF ' > 2a 。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P9.

(2) 【類型】 1. 長軸平行 x 軸的橢圓標準式：設有一橢圓，以兩定點 F (c,0), F ' ( −c,0) 為焦點，長軸長 2a ，且 a > c > 0 ，則 x2 y2 其方程式為 2 + 2 = 1 ，其中 b 2 = a 2 − c 2 。 a b 證明：設 P ( x, y ) 為橢圓上任一點，則 PF + PF ' = 2a ⇔ ( x − c) 2 + y 2 + ( x + c) 2 + y 2 = 2a ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = 2a − ( x + c ) 2 + y 2 ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 ⇔ 4a ( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx. ⇔ a ( x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx. ⇔ a 2 (( x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ⇔ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2. 2.. x2 y2 ⇔ 2 + 2 = 1。 a b 長軸平行 y 軸的橢圓標準式：設有一橢圓，以兩定點 F (0, c ), F ' (0,−c ) 為焦點，長軸長 2a ，且 a > c > 0 ，則其方程式為. x2 y2 + 2 = 1 ，其中 b 2 = a 2 − c 2 。 2 b a. 證明：設 P ( x, y ) 為橢圓上任一點，則 PF + PF ' = 2a ⇔. x 2 + ( y − c) 2 + x 2 + ( y + c) 2 = 2a. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 = 2a − x 2 + ( y + c ) 2. ⇔ x 2 + ( y − c ) 2 = 4a 2 − 4a x 2 + ( y + c ) 2 + x 2 + ( y + c ) 2 ⇔ 4a x 2 + ( y + c) 2 = 4a 2 + 4cy. ⇔ a x 2 + ( y + c) 2 = a 2 + cy. ⇔ a 2 ( x 2 + ( y + c) 2 ) = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 + a 2 y 2 + 2a 2 cy + a 2 c 2 = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 + (a 2 − c 2 ) y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ⇔ a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2b 2 ⇔. x2 y2 + = 1。 b2 a2. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P10.

(3) 【類型】 1. 中心在原點(標準式)：方程式. x2 y2 + = 1 (左右型) a2 b2. x2 y2 + = 1 (上下型) b2 a2. | x |≤ a, | y |≤ b (0,0) (± a,0) (0,±b) ( ± c ,0 ). | x |≤ b, | y |≤ a (0,0) (0,± a ) ( ± b,0) (0,± c ). a2 x=± c x = 0, y = 0. a2 y=± c x = 0, y = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c c a± x a PF c = <1 e= d ( P, L ) a ⎧ x = a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = b sin θ. 2b 2 a 2a 2b 2c c a± y a PF c = <1 e= d ( P, L ) a ⎧ x = b cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = a sin θ. a2 = b2 + c2. a2 = b2 + c2. 圖形. 範圍中心長軸頂點短軸頂點焦點準線對稱軸正焦弦長長軸長短軸長焦距焦半徑離心率參數式基本關係. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P11.

(4) 2.. 中心不在原點：方程式. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2. | x − h |≤ a, | y − k |≤ b ( h, k ) ( h ± a, k ) ( h, k ± b ) ( h ± c, k ). | x − h |≤ b, | y − k |≤ a ( h, k ) ( h, k ± a ) ( h ± b, k ) ( h, k ± c ). a2 c x − h = 0, y − k = 0. a2 c x − h = 0, y − k = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c c a ± ( x − h) a PF c e= = <1 d ( P, L ) a ⎧ x = h + a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b sin θ. 2b 2 a 2a 2b 2c c a ± ( y − k) a PF c e= = <1 d ( P, L ) a ⎧ x = h + b cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + a sin θ. 圖形. 範圍中心長軸頂點短軸頂點焦點準線對稱軸正焦弦長長軸長短軸長焦距焦半徑離心率參數式. x−h =±. y−k = ±. 基本關係 a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 【問題】 1. 試問型如 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 的方程式，何種條件下其圖形為一橢圓？ 2. 試問幾個獨立條件可以決定橢圓方程式？ 3. 試問參數式當中的角度 θ ，在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角？ 4. 給定一個橢圓的圖形，是否可用作圖方法求出此橢圓的焦點？. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P12.

(5) 【證明】 1. 焦半徑： PF = ( x − c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + b 2 (1 −. x2 ) = a2. (a 2 − b 2 ) 2 x − 2cx + (b 2 + c 2 ) a2. c c2 2 c x − 2cx + a 2 = (a − x) 2 = a − x ， 2 a a a c 同理 PF ′ = a + x 。 a 2. 正焦弦長：設過焦點 F (c,0) 與 x 軸垂直的弦交橢圓於 (c, y ) 則 c2 y2 c2 a2 − c2 2 2 2 2 + = 1 ( 1 ) ⇒ y = b − ⇒ y = b × a2 b2 a2 a2 b2 b2 ⇒ y 2 = b2 × 2 ⇒ y = ± a a 2 2 b b 2b 2 故正焦弦長為 ( ) − (− ) = 。 a a a =. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P13.

(6) 【方法】 1. 求橢圓方程式的解題步驟： (1) 先判別橢圓為上下型或左右型。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 ( a > b > 0 )形式； (a)若為上下型，則方程式為 b2 a2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 (b)若為左右型，則方程式為 + = 1 ( a > b > 0 )形式。 a2 b2 (2) 求出中心及長軸長、短軸長。 2. 兩橢圓共焦點： x2 y2 x2 y2 (1) 與 2 + 2 = 1 共焦點的橢圓方程式，可設為 2 + 2 = 1 ，其中 a b a +t b +t a 2 + t > 0, b 2 + t > 0 。 x2 y2 x2 y2 (2) 與 2 + 2 = 1 共焦點的橢圓方程式，可設為 2 + = 1 ，其中 b a b + t a2 + t b 2 + t > 0, a 2 + t > 0 。【討論】 1. 設 F , F ' 為兩定點， P 為動點， 2a 為一定數， (1) 若 PF + PF ' = 2a > FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為橢圓。 (2) 若 PF + PF ' = 2a = FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為線段。 (3) 若 PF + PF ' = 2a < FF ' = 2c ，則 P 點軌跡無圖形。若方程式為 ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 + ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 = k 形式，則其圖形可能為橢圓、線段或無圖形。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1， 3. 若方程式為 p q (1) 當 p > 0, q > 0 ，且 p ≠ q ，則圖形為橢圓。 (2) 若 p < 0, q < 0 ，則無圖形。 2.. 4.. 若 AB = l ， A 在 x 軸上移動， B 在 y 軸上移動，且 A − P − B 三點共線， AP : PB = m : n(m ≠ n) ，則 P 點之軌跡為一橢圓。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P14.

(7) 【性質】 1.. x2 y2 設橢圓 2 + 2 = 1 ，則： a b. (1) 橢圓內接矩形中之最大周長為 4 a 2 + b 2 ，最大面積為 2ab 。 4a 2 b 2 (2) 內接正方形面積為 2 。 a + b2 2. 設兩圓 C1 ,C 2 內離， (1) 若圓 C 與小圓外切時，則其圓心軌跡為橢圓。 (2) 若圓 C 與小圓內切時，則其圓心軌跡為橢圓。. 3.. 試證：橢圓的一組平行弦中點的軌跡必過橢圓的中心。證明： x2 y2 設橢圓為 2 + 2 = 1 ， a b 一組平行弦為 y = mx + k (設 m ≠ 0 )，且交橢圓於兩點 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，. 則 b 2 x 2 + a 2 (mx + k ) 2 = a 2 b 2 ⇒ (a 2 m 2 + b 2 ) x 2 + 2a 2 mkx + a 2 (k 2 − b 2 ) = 0 x1 + x2 a 2 mk =− 2 2 ， 2 a m + b2 ⎧ y1 = mx1 + k y + y2 x +x b2k 又⎨ ，得 1 = m( 1 2 ) + k = − 2 2 ， 2 2 a m + b2 ⎩ y 2 = mx2 + k x +x x +x 令中點軌跡為 ( X , Y ) = ( 1 2 , 1 2 ) ， 2 2 2 2 b Y b 則 = − 2 ，即 Y = − 2 X ， a m a m X 當 m ≠ 0 時，即橢圓的一組平行弦中點的軌跡必過橢圓的中心 (0,0) ，若 m = 0 或不存在時，明顯可知必過橢圓中心。得. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P15.

(8) 【作圖】 1. 我們應該如何畫出橢圓？ (方法一) 可用如下方法：以點 F2 為圓心， 2a 為半徑畫圓 C ，取 F1 在圓 C 內，設 Q 在圓 C 上，取 F1Q 的中點 R ，過點 R 作 F1Q 的中垂線，過 Q 作直線 F2 Q ，兩線的交點 P 滿足到兩定點 F1 , F2 之距離和 ( PF1 + PF2 = 2a > F1 F2 = 2c )為定值，所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓，其中定點 F1 , F2 稱為橢圓的焦點。 (方法二) 如圖以 O 為圓心，半徑 a ，畫圓 C1 ，則 Q 之坐標為 Q ( a cos θ , a sin θ ) ，其中 θ 為 OQ 與 x 軸正向夾角， b 將 Q 點向 x 軸伸縮倍， a 得 P ( a cos θ , b sin θ ) ，則所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓。 (方法三) 如圖以 O 為圓心，半徑 a ，畫圓 C1 ，以 O 為圓心，半徑 b ，畫圓 C2 ，則 Q 之坐標為 Q ( a cos θ , a sin θ ) ，其中 θ 為 OQ 與 x 軸正向夾角，將 Q 點向 x 軸作垂線 L ，. OQ 與圓 C2 交點為 R ，得 R (b cos θ , b sin θ ) ，由 R 向 L 坐垂線，交點為 P ，則所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P16.

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