國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系
在 職 進 修 教 學 碩 士 學 位 班 碩 士 學 位 論 文
指 導 教 授 ： 許 天 維 博 士
國小六年級學童時間概念結構分析之研究
研 究 生 ： 張 怡 婷 撰
中 華 民 國 九 十 六 年 六 月
II
國小六年級學童時間概念結構分析之研究
論 文 摘 要
本研究之目的在於探討六年級學童的時間概念，並藉由試題關聯結構分析法（IRS） 對施測結果加以進行分析形成結構圖，並與專家知識結構圖作為比對。 本研究以彰化縣某國小一班六年級學童為研究對象，採用試題關聯結構理論之 IRS 電 腦程式進行筆測資料的分析。根據施測所呈現的結果，本研究獲得以下結論： 一、學童的時間概念學習狀況 1.低分組學童對於時刻與時間概念分辨不清。2.「時分」與「日時」的進位制易於混 淆。3.錯誤解題原因：不清題意錯用解題策略、二步驟當做一步驟計算、分數與小數的運 算技巧不足或者直式列式受十進位影響所致，三階單位的化聚較二階單位的化聚更不易於 掌握。 二、學童的時間概念結構圖之分析 1. 複名數與單名數的化聚方面，學童時間單位的換算，分秒的化聚優於日時的化聚。 2.學童應知道時間單位量的進位制，只是牽涉到有進退搭配加減乘除法時，仍受到「十進 位系統」的干擾。3.「單名數的化」為「單名數的聚」之下位概念；學童先會有「分秒的 化聚」概念才有「時分的化聚」概念。 三、學生 VS 專家知識結構圖的比較 不同處為：1.「時刻與時間的分別」為「用整數運算複名數與單名數的化聚」之上位 概念。2.學童先學會「分秒的化聚，60 進位」，然後才較能理解「日時的化聚，24 進位」。 3.「無進退位的複名數乘法」與「無進退位的複名數除法」無上下位關係，且「無進退位 的複名數除法」、「有進退位的複名數乘法」、「有進退位的複名數減法」，大致形成等價關 係。4.學童先會「分秒的化聚」，才會「時分的化聚」，且顯示「化」為「聚」的下位概念。 綜合以上結果，並根據此結果提出若干建議，以作為教學者及未來研究之參考。 關鍵詞：時間概念 時間單位量 試題關聯結構分析法A Research of Time Concept Construction Analysis on 6
thGrade Primary School
Students
Abstract
The research aims to investigate time concept of 6th grade school childnre. Furthermore,to analyze the test results by utilizing Item Relational Structure Analysis（IRS）. Finally, the construction chart which is produced from test results will be compared with expert’s knowledge construction chart.
Participants in this study is a 6th grade primary school class in Chuang Wha County. The computer program of Item Relational theory was used in order to analyze the exam results from the students. According to test results, the findings were as follow:
A. Time Concept Learning of 6th Graders
1. Low achievers are confused with epoch and time concept. 2. Binary system of hour minute and day hour is indistinguishable. 3. Misunderstanding questions contribute to misused strategies. The calculation of two steps is taken as that of one step. The operation skills of fraction and decimal are not good enough, or straight-out is affected by decimal. The conversion of the third stage unit is more difficult to handle than the second stage unit.
B. The Analysis of Time Concept Construction Chart
1. In the aspects of conversion of compound number and single number, for 6th graders’ convert of time unit, the conversion of minute second is superior to day hour conversion. 2. 6th graders shall knowcarry of time unit. However, their concept of carry and decomposition with plus, minus, multiplication, and division calculation are interfered with decimal system. 3. Reduction of single number is under cluster of single number. The concept of minute second conversion comes before the day hour conversion.
C. The Comparison of Knowledge Construction Chart between the Teacher Researcher and Experts
1. The difference between hour and time is the Upper Ontologyconcept of conversion of integer operation compound number and single number. 2. Students have to learn minute second conversion first, sexagenarian, and then they can comprehend day hour conversion, vicenary. 3. There’s no up-down relationship between non-carry-and –decomposition multiplication of compound numbers and non-carry-and –decomposition division of compound numbers. In other words, there are a equal relationship between them. 4. Students have to learn minute second conversion first, and then they learned day minute conversion which implies reduction is under cluster.
As a final word, some suggestions are presented to be the further investigation for instructors and future researchers.
IV
目 次
第一章 緒論………1
第一節 研究動機與重要性………1 第二節 研究目的與研究問題………3 第三節 名詞釋義………3 第四節 研究範圍與限制………4第二章 文獻探討………5
第一節 時間概念………5 第二節 兒童時間概念的發展與其相關研究………..10 第三節 國小時間概念的課程綱要與教材分析………..16 第四節 試題關聯結構分析法………..19 第五節 2001 年版 Bloom 認知領域教育目標分類理論之相關研究……..26第三章 研究設計與實施………..34
第一節 研究架構………..34 第二節 研究對象………..35 第三節 研究工具………..35 第四節 研究流程………..42 第五節 資料處理………..44第四章 研究結果與分析………..54
第一節 受測學童時間概念的學習情形……….54 第二節 學童試題關聯結構圖之分析與討論……….70 第三節 專家 VS 學童知識結構圖的分析….. 89第五章 結論與建議………..93
第一節 結論………..93 第二節 建議………..…96參考文獻………..…..98
附錄 ………...102
附錄一 試題檢核表………..…….…102
VI
表 目 次
表 2-1 八十二年版課程標準與九年一貫課程綱要有關時間概念分年能力指標對照表……...16 表 2-2 南ㄧ版時間概念教材分析………18 表 2-3 分段能力指標分析一覽表……….. ………33 表 3-1 以九年一貫課程綱要為基準參照的「時間概念試題」之雙向細目表…...37 表 3-2 時間相關概念命題雙向細目表……… ………..38 表 3-3 時間概念試題第 19 題之新舊試題………...41 表 3-4 測驗之 Cronbach＇s α 信度分析……… ………45 表 3-5 試題之難易度及鑑別度………...47 表 3-6 試題關聯順序性係數一覽表……….. ………...49 表 3-7 順序性係數之 0-1 矩陣表……….. ………51 表 4-1 第 4 題的解題情況……….. ………54 表 4-2 第 21 題的解題情況……….. ………..55 表 4-3 第 5 題的解題情況……….. ………56 表 4-4 第 7 題的解題情況……….. ………56 表 4-5 第 8 題的解題情況……….. ………57 表 4-6 第 9 題的解題情況……….. ………57 表 4-7 第 23 題的解題情況………..………...58 表 4-8 第 2 題的解題情況……… ..………59 表 4-9 第 13 題的解題情況………..……….. 59 表 4-10 第 24 題的解題情況……… …..………... 60 表 4-11 第 25 題的解題情況………....………...61 表 4-12 第 26 題的解題情況………..……….61 表 4-13 第 22 題的解題情況………...62 表 4-14 第 6 題的解題情況………..………...62 表 4-15 第 20 題的解題情況………...63 表 4-16 第 11 題的解題情況………...63 表 4-17 第 27 題的解題情況………...64 表 4-18 第 14 題的解題情況………...64 表 4-19 第 16 題的解題情況………...65表 4-20 第 3 題的解題情況………..………66 表 4-21 第 12 題的解題情況………66 表 4-22 第 1 題的解題情況………..………67 表 4-23 第 18 題的解題情況………..………..67 表 4-24 第 10 題的解題情況………..………..68 表 4-25 第 17 題的解題情況………..………..68 表 4-26 第 15 題的解題情況………..………..69 表 4-27 第 19 題的解題情況………..………..69 表 4-28 試題關聯結構圖之橫斷層面分析…………..………72 表 4-29 「複名數與單名數的化聚」試題號與答對率關係………..73 表 4-30 「複名數的加減乘除」試題號與答對率關係………..75 表 4-31 「單名數與單名數的化聚」試題號與答對率關係.……….77 表 4-32 試題 8、9、2、25、22、12、3、18、19 之概念分析……….78 表 4-33 試題 8、25、21、4、20、6 之概念分析………...80
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圖 目 次
圖 2-1 Bloom 教育目標分類系統新舊版本對照圖.…….……..………26 圖 3-1 研究架構圖………..…..……….…...34 圖 3-2 時間的概念圖…………..……….….……….………...36 圖 3-3 研究流程圖………..……….….………43 圖 3-4 試題關聯結構圖………..……….….………52 圖 4-1 群體受試者之試題關聯結構圖……….……….……..71 圖 4-2 「複名數與單名數的化聚」知識關連結構圖……….……..…...75 圖 4-3 「複名數的加減乘除」知識關聯結構圖………..76 圖 4-4 「單名數與單名數的化聚」知識關聯結構圖………...77 圖 4-5 試題 8、9、2、25、22、12、3、18、19 之關聯結構圖…………...79 圖 4-6 試題 8、25、21、4、20、6 之關聯結構圖……….81 圖 4-7 編號 33 號學童的「複名數與單名數的化聚」結構圖………82 圖 4-8 編號 33 號學童的「複名數的加減乘除」結構圖………...………….83 圖 4-9 編號 33 號學童的「單名數與單名數的化聚」結構圖………84 圖 4-10 編號 20 號學童的「複名數與單名數的化聚」結構圖…………...85 圖 4-11 編號 20 號學童的「複名數的加減乘除」結構圖………….. ………..85 圖 4-12 編號 20 號學童的「單名數與單名數的化聚」結構圖……….86 圖 4-13 編號 5 號學童的「複名數與單名數的化聚」結構圖………….. …....87 圖 4-14 編號 5 號學童的「複名數的加減乘除」結構圖………….. …………87 圖 4-15 編號 5 號學童的「單名數與單名數的化聚」結構圖………….. ……88 圖 4-16 專家知識結構劃分區域圖………...89 圖 4-17 專家 vs 學生知識結構比較圖 I………...90 圖 4-18 專家 vs 學生知識結構比較圖 II………..91 圖 4-19 專家 vs 學生知識結構比較圖 III……….92第一章 緒論
第一節 研究動機與重要性
時間概念是來自於生活的經驗，和個人的活動有關，而時間是客觀且獨立 的存在於我們的知覺之外的一個工具量，無法從量感來切入到教學，僅能就鐘 面、月曆現象和時刻紀錄變化上的觀察來帶進教學，所以在學習上更為困難。 在82年版課程標準中，指出對於時間的量感建基在「實物變化的先後次序 感覺存有性質」的量，教材上的架構理念是由時間的刻度工具的使用與對物理 先後次序變化感覺現象的掌握齊頭入門。時間教材上的發展則依據了時間的測 量活動對物理現象的掌握之有效程度加以序列。分述如下： ㄧ、時間的初步概念： 1.「時間的認識」：此階段是指透過具體的活動，使兒童能知道時間，例如像 「時刻」，到底現在為「幾點鐘」？ 2.「使用以時鐘為刻度單位的工具」：此階段是指兒童經由直接比時鐘上的刻 度後，能讀出時鐘上的刻度。 二、時間的間接比較： 此一階段是指兒童能運用「時間的保留概念」，透過媒介物或對實物的同 類量予以變形後，再加以直接比較並描述比較的結果。 三、時間的普遍單位比較： 1.「認識時間單位量的意義」：此一階段是指兒童能把一個被普遍使用的單位 量，做為個別單位比較與實測的基準。 2.「以時間單位量為單位，進行實測與估測的活動」：此一階段是指兒童學習 與使用一被普遍使用的單位量，例如：時間中的幾秒，作單位比較的實測與估 測活動。 四、時間的測量單位制度概念： 1.「認識甲時間單位量及乙時間單位量的關係」：此一階段是指兒童能把甲時 間單位量，例如時間中的幾分，和乙時間單位量，例如時間中的幾時，兩者之 間的關係，由實測活動中萃取出來。2 2. 「甲時間單位量及乙時間單位量的化聚」：此一階段是指兒童能把甲時間單 位量，例如時間中的幾分，和乙時間單位量，例如時間中的幾時，兩者之間的 關係使用於實測活動中，以解決量的分解與合成問題。例如：「分和秒的化聚」。 在「九年一貫課程綱要」數學領域課程能力指標中則列出： N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-3-06 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關 的計算問題。 文中也談及，量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、 重量、容量、面積、體積、角度、時間等生活中常用的七種量。其中長度、容 量、面積、體積、角度屬於幾何（視覺）量，處理上可以依賴學生的感覺經驗， 比較容易。但時間在學習上卻完全仰賴計時的約定，與一般的感覺極為不同， 故通常另外處理。 82年課程標準和九年一貫綱要已陳列出時間的獨特性，在過往的研究中， 也發現學童對時間概念的感受，嚴重受到心理時間的影響，中、低年級的學童 對於時間概念仍依賴主觀意識，然而，某些高年級的學童其實已經具備了正確 的時間概念，可是在生活中或是言談裡，仍會受到心理時間的影響，而有誇大 其詞的現象。（鍾靜、鄧玉芬、鄭淑珍，2003）在時間的計算方面，學童會用 所看到數字的大小來做判斷時間的長短，而沒有考慮到單位間的關連；學童在 解時間單位轉換的題目時，高年級學童容易被六十進位系統所制約，例如：認 為1日是60時。（陳珮玉，2002）高年級學童在時間的化聚上，有高低階單位的 混淆，以及進位制的混淆；且對時間單位量認識不清，無法分辨時刻和時間。 （黃惠瑜，2004）學童在組織知識架構時，是哪個環節出現了問題，而導致有 上述迷思概念的發生？ Piaget(1969)認為時間是個體在發展過程中，隨著認知結構的重組而逐漸 建構形成，並非是一種原本存在的概念。然而，在兒童建構過程中，對於日常 生活中的時間概念，常常有自己的一套建構方式。在這之中，學生的時間概念 架構是否和專家的時間概念結構一致？ 本研究先編擬時間概念試題作為工具來進行資料的收集，再應用試題關聯
結構分析法（IRS），形成學童在時間概念的學習結構圖並進行分析，藉以瞭解 學童時間概念其知識結構的發展，以提供教學者參考。
第二節 研究目的與研究問題
根據上述的研究動機，本研究的主要研究目的與研究問題如下：ㄧ、研究目的：
基於以上的動機，本研究的主要目的有下列幾項： 1.了解受測學童時間概念的內涵。2.利用試題關聯結構法（Item relational structure analysis，簡稱IRS） 來分析受測學童的班群試題關聯結構圖。
二、研究問題：
根據上述的研究目的，將本研究具體的待答問題詳列如下： 1.在時間概念方面，學童的學習情形為何？ 2.在時間概念方面，學童知識結構圖為何？ 3.在時間概念方面，專家與學童知識結構圖的比較為何?第三節 名詞釋義
一、時刻
時刻為流動時間上暫停的點， 通常使用慣用時間（conventional time） （Friedman,1982）的方式與人溝通。例如：「幾點幾分」、「何年何月」、「今 天」、「昨天」。「時刻」在數學用語上是指某一事件發生的時候（鍾靜，1998）， 例如：早上6點起床、7點30分上學。二、時間
時間在數學用語上是指某一事件經過了多久，例如：下課時間10分（分鐘）。三、時間的單位量
數學上表示時間的單位量有年、日、月、時、分、秒，其低階單位到高階 單位的進位系統有六十進位、二十四進位、三十進位、十二進位，是一個複雜4 某單位量有多少？是一個量，但是碰到時間教材，要配合情境去瞭解是指示時 刻還是表示時間量。
第四節 研究的範圍與限制
一、研究範圍與限制
本研究以國民小學六年級學童為研究對象，藉由試題關聯結構分析法 （IRS），探究學童在時間上的知識結構。茲將研究範圍與限制之說明就研究內 容、研究對象及設計，分述如下： （一）就研究內容而言 本研究之測驗其主要內容為國民小學數學科高年級的「時間概念」教材。 （二）就研究對象及設計而言 本研究旨在透過試題關聯結構法（IRS）之分析，探究受測學童在時間概念 上的知識結構，且本研究受限於研究時間、人力與經費等客觀因素，係以彰化 市某國民小學六年級一個班級的學生為研究對象，樣本維持原來班級建制進行 研究；亦即，本研究方法只能視為一種「驗證測試」，推論的結果只能運用於 相同的情境，不能過度解釋（over generalized），產生於其他不同的情境， 驗證的價值性受分析對象材料真實性的限制。第二章 文獻探討
本研究在探討國小六年級學童的時間之概念結構，為了釐清概念，研究進 行過程中不斷地探討相關文獻，將相關文獻分成四節來說明，第一節為時間概 念；第二節為兒童時間概念的發展及其相關研究；第三節為國小時間概念的課 程綱要與教材分析；第四節探討試題關聯結構分析法；第五節為Bloom認知領域 教育目標分類理論之探討。第一節 時間概念
本節主要探討時間概念，第一部份為時間的涵義；第二部分為時間的數學 問題。 一、時間的涵義 根據國內外學者對於「時間」所做的詮釋，將之整理分為四個方向： （一）時間的定義： Levin ＆ Zakay(1989)引述Drever對時間所下的定義：時間是一種原始經 驗的方向性觀點，此觀點建立於感知持續的直接經驗，以及自感知到事件觀念 或一連串想法中轉變的經驗，可將此經驗區分為開始、中途和結束，或是過去、 現在和未來；也就是說，時間可以經由生活經驗而感覺到存在，透過一連串事 件的發生可以直接經驗到時間的過去、現在和未來。 時間是一種存在的知覺經驗，是永恆存在的。人類認識時間是藉著外在的 變動與改變的事物，換言之，人感覺出改變的行為或變動的事物時，則感覺出 時間的存有與時間的過去（張振東，1989）。 （二）用順序來涵蓋： 時間存在於變動中，變動中的事物有「先」、「後」的變動連續狀態，其 變動中的時間也必有「先」與「後」的連續情形，而「先」與「後」的連接點 是「現在」（張振東，1989）。 若以數線來說明「時間」，數線上的原點表示為「現在」的時間，正向為 「未來」的時間，負向為「過去」的時間（Fischbein,1987）。 （三）時間的兩種觀念：6 Samuel＆Robert（引自陳溢年、陳秀女，1975）認為「時間」意味著兩種 雖然相關但卻不同的觀念。第一是「時距」，也就是時間的持續；第二是「時 刻」亦即時間的位置。時距與時刻以同樣單位（日、時、分等）表示，但並非 同一種東西。兩者之間的分別常常很重要，卻並不明顯。 黃武鎮(1975)提出「時刻」是表示時間序列中瞬間的位置，而「時間」就 是表示時刻與時刻間經過的量。 鍾靜(1998)指出「時間」包含「時距」和「時刻」。但有時「時間」所指 的卻又是時間量。就是因為這樣的關係，使得兒童對於「時間」和「時刻」常 感覺困難。 劉秋木(1996)指出「時間」其實含有兩個概念：時刻與時間，時刻是時間 之流上的點，標記著時間之流的順序(succession)，而時間是兩個點之間的間 隔，標記著時間之流的綿延(duration)。 由Samuel＆Robert、鍾靜、黃武鎮及劉秋木等學者的觀點可知，時間概念 包含了時刻與時間量兩種相關但是卻不同的觀念。 （四）時間的特性： 從時間所具有的特性中來陳述時間性質的，共有三位學者。 1.Leushina(1991)認為：時間是客觀而獨立的存在於知覺之外，而時間的 察覺和時間的概念只是真實的反應存在於我們的生活之中。所以，時間具有三 個特性：第一、流動性：時間是不斷的在運行；第二、不可逆性：時間是無法 再重回到過去；第三、缺乏觀測的方式：時間是無法看到和聽到的。 2.Levin（1992）則說明時間有多種性質：在連續的規律中，時間的流逝是 不變的；具循環與單向的性質；經由周圍的改變而知覺。 3.丁祖蔭（1996）指出時間是流動的，連續的均勻速度在進行而且是不可 逆的，對時間的感知亦無專門的分析器，在實際生活中，是以事物的均勻速度 變化，如鐘錶上時針的移動作為信號，再由別的知覺識別這種信號而感知時間。 （五）連續與期間（duration）的關係： Piaget(1969)從心理層面來探討，把時間概念分為物理時間與心理時間， 物理時間是指透過外在物體的運動而認識的時間概念，易受視覺空間影響。如： 連續（succession）--知覺到兩事件以上的不同和有順序組織、期間（duration）
--兩個連續事件的間隔；心理時間是與生活事件息息相關，著重在心理的感覺。 劉錫麒（1982）指出：依照Piaget的理論，再從時間的定義加以引伸，兒 童須將時間連續關係中某些瞬間的連續(succession)次序與這些瞬間的綿延期 間(duration)此兩者相互協調，始能獲得時間概念。 Zakay（1989）指出Piaget和Frasse認為時間的兩個基礎概念就是要區別： 連續（知覺到兩事件以上的不同和有順序組織）與期間（兩個連續事件的時間 間隔）。由此可知，所謂時間概念包含了連續、期間，以及連續與期間兩者間 的交互關係。 （六）用事件來詮釋： 利用事件來說明時間，是最貼近生活經驗的表達，共有三位學者曾論述過。 其一是心理學家Boring認為時間概念主要由五個基礎概念組成的（引自張州 甫，1998）： 1.建立時間先後順序的概念，了解不同事件之間發生的先後順序。 2.建立時間連續的概念，因為一個事件從開始到結束整個過程是連續的。 3.從說話、玩耍、音樂欣賞等日常生活中，建立起時間長短的概念。 4.學習感應目前環境的訊號。 5.學習了解先後多個事件接連發生的模式或規律。 其二是Fraisse認為時間所包含的概念有兩個（引自張州甫，1998）： 1.比較多個事件發生的先後順序。 2.時間間隔的概念，它代表兩個先後發生的事件之間所經歷的時間。 其三是卜拉絲姬（引自王文科，1991）認為：所謂時間是構成吾人存在的連續 性中，事件所占有位置的知識。 因為時間的抽象性，對於時間的定義與特性描述，也是較難以具體化，若 由連續和期間來說明的話，則是將時間所具有的功用，利用物體來呈現，有助 時間的測量，若由事件來表達的話，則是從真實生活中，以抽取時間的使用性， 實際來看時間的作用。綜合來看所謂「時間」就是：在連續流動中，經由事件 的位置知覺時間的變動，而且是單向無法再迴溯的，由人為制定的時間單位是 具有週期性質的。
8 二、時間的數學問題 （一）時間單位量概念 Nelson（1982）認為時間概念是兒童對於時間單位和期間的瞭解，以及兩 者與事件之間的關係。 Thorntom＆Unkelicp(1988)以及Muir(1990)，則是用時間單位量表達時間 概念可分為三方面：
1.時鐘時間(o＇clock time)：使用數字表示法來計算或判斷鐘錶的時間單
位。 2.月曆時間(calendar time)： 使用數字表示法來計算或判斷月曆的時間 單位。 3.歷史時間(historical time)或稱為年代表：用某些時間用語去描述過去 的人地事物。 羅傑．培根(引自丘宏義，1999)把時間分成三大類： 1.自然界的時間的定義是可以量度的年、季節、月和日。 2.威權的時間是民用、宗教曆法上用的。 3.習俗的時間就是人們任意訂定的時間，如月份名、每月的天數，如二十 八、二十九、三十或三十一等等。 Friedman（1982）所稱的慣用時間的系統就是現在社會使用的時間單位， 是社會制定的一種工具，讓我們在自然環境或是社群中可以適當的使用。而慣 用時間結構系統中有四個顯著的特徵： 1、時間雖可分為不同的時段，如天、星期、月份、年代等，但彼此是有相 互關係的。 2、時間是具有次序和反覆（recurrence）的特性。 3、時間的系統概念特徵是連結數的概念。例如數字成為時鐘和日期的元素， 也就是說數字能表示小時、日期和月份等等。 4、時間提供一個指標，用來說明兩件事情發生前後、發生長短和安排未來。 Samuel＆Robert（引自陳溢年、陳秀女，1975）認為時間單位有許多：有 些是自然的（例如：年、月、日），有些是人為的（例如：週、時、分、秒）， 把時間的劃分成可處理的單位。
綜合以上所述得知，時間的單位量是年、月、日、時、分、秒，其高階單 位到低階單位的進位系統有六十進位（時、分、秒）、二十四進位（日、時）、 三十進位（月、時）、十二進位（上、下午）、七進位（週、日），是一個複 雜的高低階關係也是多單位的系統。本研究係針對六十進位、二十四進位、十 二進位時制加以探討。 （二）時間化聚概念 朱振生（2002）提到多數的單位量皆以十進位為其進數結構，但是時間單 位是特殊、複雜的進數結構，包含了「非十」的時間進位制及簡易的十進位數 字。 時間學習常涉及時刻和時刻、時刻和時間、時間和時間交互作用導致時間 量的變化，因此有複雜不同時間進位制的時間化聚過程（張宗育，2003）。 時間化聚就是時間單位量間的轉換，在我國國民小學數學教育目標中，明 訂學生在學習小學階段的數學課程後應具有時間化聚的能力。時間化聚過程牽 涉到複雜不同的時間進位制， 因此常造成學生學習上的混淆，為了釐清觀念， 就從下列幾方面來探討： (1)兩階單名數與單名數化聚:如1時＝60分;1分＝60秒等 (2)兩階單名數與複名數化聚;如100秒＝1分40秒;50時＝2日6時 (3)單名數與複名數時間單位化聚;如1時30秒＝1.5時＝1 2 1 時 從以上可得知時間概念包含三個重點：其一為時間期間的概念，乃是一般 所指的時間間隔，也就是兩個先後發生的事件之間所經歷的時間；其二為時間 具有先後順序，其抽象概念是藉由事件發生的次序來形成；其三為時間單位， 時間單位有許多種，學童對於時間單位、單位間關係的認識以及單位量感的培 養，將有助於學童本身行為控制的能力。
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第二節 兒童時間概念的發展及其相關研究
國內外有學者長期從事時間特性與兒童時間概念發展方面的研究，而有不 同的看法。分述如下： 壹、各家學者對於兒童時間概念的發展的理論 一、Piaget Piaget於1954 指出時間概念是逐步建立的（引自陳朝陽，1992），嬰兒最 早的時間經驗可能是一種模糊的持續感。Piaget根據探討孩子時間概念發展的 滴水實驗結果，認為物理性時間的概念發展需經過三個階段：第一階段是五至 六歲時期，此時期孩子依照時間順序排列是困難的；第二階段為七、八歲前後， 對時間和空間的分化未臻完善，對孩子而言，時間的經過或持續的時間是直觀 的，是以空間的事實表現的，亦即對時間長短的判斷是依所看到的印象來決定； 第三階段約在九歲，此時期的時間和空間的概念已分化，不會將時間和空間混 淆。 至於時間的概念發展，Piaget 認為就如同基本科學與數學概念，是隨著兒 童的認知發展而逐漸獲得。其發展階段可劃分為三個時期（引自俞筱鈞，1988）： （一）序列期（ordinal stage） 此 分 期 屬 於 Piaget 認 知 發 展 學 說 中 的 第 二 發 展 期 ---- 具 體 操 作 前 期 （pre-operation stage），又稱為直覺時期。根據Piaget的觀察，大約是七足 歲和八足歲的兒童屬之，此時兒童的思維深受知覺之束縛而分不清時間與空間 的不同，時間的連續和期間與空間的前後和距離會相互混淆。如兒童常根據物 體之空間終點的遠近，判斷物體移動時間的長短。此時期的兒童有以下之特點： 1.思維深受知覺之束縛，分不清時間與空間的不同。 2.會對次序產生感覺。 3.強調結果，如「同時到達」。 4.對排列事情之先後，只限於同一件事情。 （二）超序列期（hyperordinal stage） 此分期是過渡期，Piaget假定兒童約在九至十足歲間多屬於此分期；此時 兒童的思維逐漸離中化（decentration），不再執著於物體停止的終點，而可 逐漸考慮起點等因素，在這個時期時間與空間雖已有部分的分化，但對於期間與連續的概念則仍不能協調成一個整體。因此，兒童可以正確判斷連續，但未 必瞭解期間，或者能正確判斷期間，卻不瞭解連續，這兩種現象約各佔本時期 兒童的半數。此期的兒童特點如下： 1.能思索起點與終點的因素，能序列事物情況的先後，也可考慮所牽涉的 空間及經過的時間。 2.能比較時距的長短。 3.走得遠一點就認為速度快，多做一點事就認為時間長一點。 （三）精確度量衡期（stage of metric time ）
兒童約在十一、十二足歲時，可以進入具體操作期。此期的兒童其時間與 空間才有所分化，而期間與連續也才統整為一種協調的結構。 在時間單位的概念方面，Piaget（1969）認為學童要把一段期間轉化成時 間的單位並進而對這個單位進行運算，需要經過以下的三個階層發展階段。 階層I：這個階層的小朋友，還不了解運動守恆的概念，亦即是在不改變物 體運動狀態之下，重複使用物體，則物體運動狀態是不會改變的。所以此時學 童並不認為時鐘的長、短針移動的速率是一樣的，故他們的回答是非常隨便的。 階層II：這個階層的小朋友，雖然已經具有運動守恆的概念能力，但是他 們仍然缺少同時間的等時性能力。這時期的學童雖然能知道時鐘的長、短針移 動的速率是一樣的，但並不能判斷同步運動的物體亦即同時開始、同時結束的 時間間隔是一樣的，會受到空間的影響。 階層III：在這階層的學童，已經具有運動守恆和同時間的等時性的概念能 力，他們能夠將空間的單位轉化成時間的單位。 Piaget認為具有時間單位概念的學童，是已經瞭解碼錶指針的運動速率固 定不變和指針走過的相同間隔代表相同的時距（即已經具備了不同時的等時性 概念），而不同時間的等時性就是指兩物體變化過程所經歷的兩段時間間隔， 並沒有同時開始、同時結束時，會利用物體本身週期性的變化（如單擺擺動） 而知道此兩段時間間隔有一樣長；也能判斷同步運動的物體，所花的時間一樣 （即瞭解同時間的等時性概念），而將不同時間的等時性與同時間的等時性結 合起來，建立均勻、一致的時間純量，進而將等角速度運動的碼錶指針所走出 的距離單位化為時間單位。
12 二、Friedman Friedman（1982）則依兒童解決時間問題的外在表徵模式，將兒童年齡階 段性的發展劃分成三個階段： 1.六至八足歲的學童對時間的知覺可延伸至一年之長，可區別許多規律； 可了解時間週期性的結構，如時、星期、季節和月份，並能將自身的經 驗、自然界的特徵或重大的事件與慣用時間結合，亦可了解事件的順序 性。 2.八、九足歲的學童逐漸學習秒、分與時等時間測量單位，並能以慣用時 間來測量時間的間距。 3.約至十一足歲才可以理解任意期間的單位；但不能解釋原因。 而Friedman（1982）在描述兒童不同年齡應用時間系統模式的過程發現： 四歲的兒童可由排列較少數量卡片的方式，呈現出明顯空間上的變化。八歲的 兒童可以學習週期性結構的特徵，十一足歲的兒童可以區辨時間系統中自然的 性質和任意的時間期間，而十一到十三足歲的兒童對於公制時間（非慣用時間） 與慣用時間系統採取交換使用。 三、Thorntom ＆ Unkelich Thorntom ＆ Unkelich（1988）的研究結果發現：發現兒童在六歲時可以 報讀整點的時刻，在八歲能命名月、週、日，在十一足歲能熟練時鐘和月曆的 時間。而兒童時鐘概念的發展是從大單位到小單位，即從時、分到秒。日曆的 時間單位發展則從小單位到大單位，即從日、週到月。 四、Jahoda Jahoda（1963）指出兒童六歲能正確報讀時鐘時間，七歲可背誦星期幾、 月份及季節的順序，十歲能標出時期。 五、周煥臣 周煥臣（1981）指出小孩五到七歲可辨認事件順序、時間變化和人與事件 間的關係，十一歲是歷史時間概念的重要發展時期，能了解歷史日期的真正涵 意，已非常熟悉時鐘時間和日曆時間。 由上述可知：教師能認識兒童對時間的認知發展，知道時間是工具量，瞭 解時間的數學結構，能從日常教學中培養學童瞭解時間所必須建構的概念，包
括事件順序的概念、時間的等時性、同步性、客觀性以及單位等，培養兒童有 關時間的相對量感，學童才能掌握好自己的生活時間。 貳、時間概念相關的研究 國內有關時間概念的研究相當多，對本研究了解學童時間概念極具參考價 值，分別介紹如下： ㄧ、譚寧君、呂玉琴對於時間概念之研究 （一）譚寧君（1999）調查國小學生時間概念發展情形，再設計出教師問卷， 了解教師對學生時間概念知識的了解，結果發現「1.學生需要較高的發展層次 才能掌握區間概念做正確的報讀；2.兩時刻的區間概念應用減法策略求得較 難，採取往上數策略較易解題；3.問題情境的引導有時可協助學生依循相關脈 絡進行解題」 （二）譚寧君（1998） 與國小五、六年級的學生晤談得知學生在解時間單位換 算有下列的錯誤解法： 1 .僵化的使用十進位系統，忽略了時、分進位的關係，如：認為7.5分等 於7時5分。 2 .了解時、分的進位關係，但分數概念不足，如：1/4小時認為是0.4小時。 3 .在解非十進系統的退位問題上有困難，學童會被十進系統所制約。 （三）呂玉琴、譚寧君（1996）指出時間的化聚概念，一般學生顯然較為不足， 從單名數化成複名數表現較好，反之從複名數聚成單名數則表現較差。 二、耿來祿對於時間概念之研究 耿來祿（2002）以質性研究進行半結構式的訪談，研究結果發現：國小兒 童在時間概念的學習上確實存在著直觀概念，在時刻方面，兒童會受到計時工 具的影響而認為沒有計時工具的幫助則不知道時間，以低年級居多；在持續性 方面，兒童會認為一旦計時工具停止轉動，時間也會停止，這種直觀概念散佈 在低、中年級；在時間量方面，兒童會受到計時工具外顯特徵的影響，而產生 錯誤的直觀概念，同時，也會受到心理時間的影響，而出現錯誤的回答，在這 方面，低年級比較會受到計時工具外顯特徵的影響，而產生錯誤的直觀概念， 而中、高年級則會受到心理時間的影響，而出現錯誤的回答。
14 三、陳佩玉、鍾靜對於學童時間單位量之研究 （一）陳佩玉、鍾靜（2003）提到在不同時間單位量的表現情形，一年級學童 知道如何看時刻，但是沒辦法使用時間單位量來描述時間量，二年級學童是以 記憶的方式慢慢會使用時間單位量來描述，三年級學童開始能以事件發生的時 刻或推測方式來說明，五、六年級學童是以事件發生的時刻來描述長時間事件 的時間量（月、星期、日），以事件發生的時刻或用已知事件推測來描述短時 間事件的時間量（時、分、秒）。在時間單位轉換的表現情形，三年級會用累 加的方法來運作兩個不同的單位，四年級是使用乘法的方式，五、六年級是使 用乘法或除法的方式。而在時間單位量與時間單位換算，一到三年級時間單位 會受心理時間的影響，三年級在時間單位換算會受數字大小及十進位的影響， 高年級易受六十進位的影響。 （二）鐘靜(1998)指出學童對於時間化聚概念不足: 時間的複名數與單名數的 互換，兒童容易混淆，尤其複名數換成單名數時。 四、蕭毓秀、鍾靜對於學童時間解題之研究 蕭毓秀、鍾靜（2002）提到不同時間概念的解題表現，學生傾向用大的時 間量去減小的時間量，因為學生認為加法會使答案變大，而減法會使答案變小， 因此學生沒有時間概念，缺乏解題所需的先備知識。而在不同時間概念的文字 表現上學生會從題目的運算符號來決定問題的情境，會傾向於「時刻＋時間 量」、「時刻－時刻」或「時刻－時間量」來安排數學問題的文理脈絡。 五、朱振生對於時間化聚之研究 朱振生（2002）認為學生時間化聚的錯誤類型有：不清楚時間單位的高低 階關係、不了解時間複名數的意義、不了解時間化聚的意義、易受鐘面結構的 影響：低年級學生易對鐘面結構存有迷思概念，導致有錯誤的時間進位制產生， 例如1時＝12分，1分＝5秒。時間單位進位制易與十進位制混淆：解題時，以十 進位制為時間進位制，例如：5時＝50分。無法由題目的條件去判斷時間進位制： 學生的生活經驗知道1日＝24時，1時＝60分，1分＝60秒，卻無法藉由題目選擇 正確的時間進位制。不同的時間單位易造成解題困擾，學生不了解同一種量若 只有單位改變，其運算是不變的。
六、陳孟吟、劉好對於學童時間概念的學習表現之研究 陳孟吟、劉好（2006）提出許多學童對於時間等量關係與時間化聚認知仍 不清楚，未能熟練日和時間為24進位，時和分、分和秒間為60進位，且容易不 清楚進、退位的處理，導致在進行時間二階單位等量關係的換算或時間複名數 的化聚加、減、乘、除時發生計算錯誤。 七、胡豐榮對於時間化聚之研究 胡豐榮（1995）指出國小五年級學生在進數結構概念的學習成就普遍不佳， 認為非十進數的進數結構概念，超乎現階段學生的思考範圍，學生在解時間單 位換算的學習困難有： 1 .不知道時、分、秒單位間的換算關係，如：不知道1時等於60分。 2 .知道時、分、秒單位間的換算關係，但不確定計算的程序是否正確，而導致 最後瞎猜答案，如：在計算3721 秒等於幾時幾分幾秒，不知道自己計算對不 對，導致最後瞎猜答案。 3 .知道時、分秒單位間的換算關係，但認為將數字從左到右做合理分割的程序， 就是換算的過程，如：認為3721 秒等於3 時7 分21 秒。 八、陳永峰、陳迅對於計算方面的研究 在小數方面，陳永峰（1997）曾針對小數知識訪談國小教師認為在小數單 位中學生最感困難是單位換算，尤其是非十進位的方式換算。陳迅（1995）指 出準小學老師因為習慣了十進位的小數，因此有一種錯誤觀念：把非十進位的 小數看成是十進位小數，而且在解文字題時，碰到非十進位的小數或需換算單 位時會感覺困難。 由上述的探討，學生的時間化聚主要錯誤是：「僵化的使用十進位系統」 及「忽略時間單位的進位關係」造成的，此類發現對於設計測驗試題具有極大 的參考價值。
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第三節 國小時間概念的課程綱要與教材分析
本節主要是針對時間概念課程綱要分析，對於八十二年版數學課程標準與 九年一貫課程綱要數學領域，有關時間概念教材內容進行比較，說明如下： 下列將我國國民小學八十二年版課程標準與九年一貫課程綱要數學領域 中，有關時間概念的部份整理成表2-1。 表 2-1 時間概念分年能力指標對照表 年 級 八十二年版課程標準 九年一貫課程綱要 ㄧ ＊認識幾點鐘、幾點半 ＊以幾點鐘、幾點半來報 讀時刻 ＊認識幾月幾日星期幾 ＊以幾月幾日星期幾來報 讀日期 1-n-08 能認識常用時間用語， 並報讀日期與鐘面上整點、半點 的時刻。 二 ＊認識幾點幾分 ＊以幾點幾分來報讀時刻 2-n-11 能認識鍾面上的時刻是 幾點幾分。 2-n-12 能認識年、月、星期、 日，並知道「某月有幾日」、「ㄧ 星期有七天」。 三 ＊認識時、日、月、年間 的關係 ＊時、日、月、年間的化 聚 N-1-13 能報讀時 刻，認識常 用的時間單 位，並做時 或分同單位 的加減計 算。 3-n-11 能認識時間單位「日」、 「時」、「分」、「秒」及其間的關 係，並作時或分同單位時間量的 加減計算。 四 ＊認識時、分、秒間的關 係 ＊時、分、秒的化聚 ＊時間的實測及求法 4-n-12 能解決複名數的時間量 計算，以及時刻與時間量的加減 問題。 五 ＊時間的化聚與計算 ＊運用小數、分數記錄時 間及簡化化聚和計算過 程 N-2-15 能認識測量 的普遍單 位，並處理 相關的計算 問題。 5-n-13 能解決時間的乘除計算 問題。 六 N-3-06 能理解速度 的概念與應 用，認識速 度的普遍單 位及換算， 並處理相關 的計算問 題。 6-n-08 能理解速度的概念與應 用，認識速度的普遍單位及換 算，並處理相關的計算問題。兩者之間的差異： 1.八十二年版課程標準較早引入月曆的教導（ㄧ年級），九年一貫課程綱要 則延至二年級才開始；不過，八十二年版課程標準至三年級才引入「年」的 時間單位量，九年一貫課程綱要則在二年級月曆教學時一併提及。 2.在時間的化聚方面，八十二年版課程標準在三年級即提到「時、日、月、年 間的化聚」，而九年一貫課程綱要在三年級只進行「時或分同單位時間量之 加減計算」。 3.在八十二年版課程標準在運用分數、小數記錄及化聚時間在五年級時引入， 而九年一貫課程綱要在五年級時雖引入時間的乘、除問題，卻只限定在整數 的範圍，要用分數、小數來做時間的單位換算則挪至六年級。 兩種版本課程標準對時間概念學習都是依照兒童時間概念認知發展的程序 編訂，其差別在於九年一貫課程綱要是以能力指標取代課程綱要，強調學生學 習國小時間教材單元後，具有時間的估測能力，理解時間是工具量不是感官具 體量。以加強學生個體內在連結、轉化的能力，提升生活問題解題的能力，培 養學生藉由數學對外溝通和評析情境的能力。 此外，由上表可知，低年級的時間教材以報讀時刻為主，進入中年級以後， 則以時間單位量的認識及計算為主，高年級的學習則繼續時間化聚的學習，並 延伸以分數、小數紀錄時間。目前，時間教材的教學透過鐘面、日曆、月曆的 認識開始，學生逐漸體會生活事件與時間的關聯，進而解決生活上的有關「時 間」問題；配合研究的學校所使用的版本，蒐集了「南一」出版社所編輯的數 學教材，針對「時間概念」部分歸納分述如表2-2：
18 表 2-2 南ㄧ版時間概念教材分析 冊別 時間概念 第一冊 ＊ 能判斷事件發生的先後順序。 ＊ 認識鐘面，能報讀、記錄幾點鐘、幾點半。 ＊ 用上午、中午、下午、晚上的詞語報讀生活事件發生的時刻。 第二冊 ＊ 認識日曆、月曆、年曆。 ＊ 認識昨天、今天、明天的用語及其相互關係。 ＊ 能查月曆報讀幾月幾日星期幾。 ＊ 查年曆知道某月的第一天和最後一天是幾月幾日星期幾。 ＊ 能完成月曆。 第三冊 ＊ 認識年、月、星期、日的關係。 ＊ 做年、月、星期、日的化聚。 第四冊 ＊認識鐘面的結構並報讀幾點幾分。 第五冊 ＊ 認識年、月、日。 ＊ 認識 24 時制。 ＊ 進行時、分同單位時間的加減。 第六冊 無 第七冊 ＊ 能理解 24 時制並應用在生活上。 ＊ 時和日、時和分、分和秒的關係與化聚。 ＊ 能理解生活中，各種量的測量工具上刻度間的結構，進而對 以同單位表達的量作形式計算。 第八冊 ＊ 時間的實測和求法。 ＊ 解決複名數時間量的計算。 第九冊 ＊ 時間的加減乘除法。 ＊ 利用日時分秒的化聚，解決時間的乘除問題。 第十冊 無 第十一冊 ＊能用小（分）數進行秒、分、時、日的化聚。 第十二冊 無
第四節 試題關聯結構分析法
在實施教學活動後，教師對於班上學童之概念能力在結構上的變化，是極 欲得知的訊息，但考驗的方法，長久以來一直付之闕如。在1980年代，日本學 者竹谷誠提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具 有指向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為試題關聯結構分析
法（Item relational structure analysis），簡稱IRS分析法；有了此種方法，
學習情況與教學成果的分析才獲得解決（引自許天維，1995）。
一、試題關聯結構法的構想由來
美 國 學 者 Airasian P.W. 與 Bart W.M. 於 1973 年 首 先 揭 開 「 次 序 理 論 」 （Ordering theory）在教育工學的功用，（Airasian & Bart, 1973）。1977年 日本學者竹谷誠參加美國威斯康辛大學的研討會，因Baker,F.B.的介紹，在返 回日本後，便致力於改良「次序理論」的缺點，於1979年發明「試題關聯結構 分析法」，又於1980年完成試題關聯結構分析法的理論，並在教育現瑒實驗使 用，前後有七、八年之久，證明是一個有效的分析工具。 二、試題關聯結構法理論 在此，略用篇幅詳細說明理論上直觀的意義，假設有A、B兩組學生各有十 位，均參加試題共為六題的同一種測驗，若假設答對者得一分，答錯者得零分， 其得分情況如下表所示： A 組 試題1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 1 1 0 0 0 學生 4 0 1 1 0 0 0 學生 5 0 1 1 0 1 1 學生 6 0 0 1 0 1 1 學生 7 0 0 1 1 1 1 學生 8 0 0 0 1 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 B 組 試題 1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 0 1 0 0 0 學生 4 0 0 0 0 0 0 學生 5 0 1 1 1 1 1 學生 6 0 1 1 0 1 1 學生 7 0 1 1 1 1 1 學生 8 0 0 1 0 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0
20 由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可 以改成下表 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表： 接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤S-P 表 A 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 5 0 1 1 0 1 1 6 0 0 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 1 6 0 1 1 0 1 1 7 0 1 1 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數數 2 5 7 4 6 6 A 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 6 0 0 1 0 1 1 8 0 0 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 1 1 0 1 1 8 0 0 1 0 1 1 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6
由上表知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即二組 之試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順序結構圖， 依下列方法細加分析，就會有顯著的不同。 A組中，答對試題1的學生是1號及2號，他們亦同時答對了試題4，亦即答對 試題1的學生亦答對試題4，此時就有試題4到試題1的箭頭，記作4→1；同理， 答對試題4的學生是1號、2號、7號及8號，他們亦同時答對了試題5、6，所以分 別有5→4、6→4；另一方面，答對試題1的學生是1號及2號，他們亦同時答對了 試題2，答對試題2的學生是1號、2號、3號、4號及5號，他們亦同時答對了試題 3，所以分別有2→1、3→2；此外，答對試題4的學生有7號沒答對試題2，故沒 有試題2到試題4的箭頭指向，其餘均依此類推。 同法，在B組中，答對試題1的學生是1號及2號亦答對了試題4，亦即答對試 題1的學生亦答對試題4，此時就有試題4到試題1的箭頭，記作4→1；答對試題4 的學生是1號、2號、5號及7號亦答對了試題2，所以有2→4；答對試題2的學生 是1號、2號、5號、6號及7號分別答對了試題5、6，所以分別有5→2、6→2；答 對試題5、6的學生有1號、2號、5號、6號、7號及8號亦答對了試題3，故有3→5、 3→6；其餘均依此類推。 A 組 試 題 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 0 0 4 1 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 7 6 6 5 4 2 B 組 試 題 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 1 1 0 6 1 1 1 1 0 0 8 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 7 6 6 5 4 2
22 從以上分析，如果定義答對率為 試題答對率＝────────── 則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題關 聯結構圖，如下所示： 答對率 A 組結構圖 B 組結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 在此值得注意的是上面兩個試題關聯結構圖截然不同，僅管兩個表的試題 其答對率雖然相同，然而兩組學生的理解結構卻不相同。左圖顯示A組有兩個系 列存在，即試題1、2、3的系列以及試題1、4、5、6系列，而右圖顯示B組的試 題形成一個單純的一元化系列。故試題關聯結構圖可看出在S-P表所觀察不到的 各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。 三、試題關聯結構順序性係數 以上所述只為闡明試題關聯結構分析法而設計的特殊實例，現在以數理推 導理論來製造指向，為達到此目的，首先考慮令： Ｘ＝（ｘij）N×n i＝1,2,…,N; j＝1,2,…,N. 其中ｘij＝1表第ｉ個學生答對試題Ij，ｘij＝0表第ｉ個學生答錯試題Ij。 又設： 3 2 1 4 5 6 5 6 3 2 4 1 受試學生答對人數 受試全體學生的人數
P（Ij）表試題Ij答對人數的答對率。
P（Ik）表試題Ik答對人數的答對率。
P（ Ij）表試題Ij答錯人數的答對率。
P（ Ik）表試題Ik答錯人數的答對率。
P（Ij，Ik）表試題Ij與試題Ik均答對的同時答對率。
P（ Ij，Ik）表試題Ij答錯且試題Ik答對的同時答對率。 P（Ij， Ik）表試題Ij答對且試題Ik答對的同時答對率。 P（ Ij， Ik）表試題Ij與試題Ik均答錯的同時答對率。 則可知下面機率的四分割表： 試 題Ik 對(1) 錯(0) 合計
對(1) P（Ij，Ik） P（Ij， Ik） P（Ij）
錯(0) P（ Ij，Ik） P（ Ij， Ik） P（ Ij） 試 題 合計 P（Ik） P（ Ik） 1 依上所述，竹谷誠（1992）提出順序性係數，其定義如下：
r
*jk＝
1－
P（ Ij，Ik）/ P（ Ij）P（Ik） 四、試題關聯結構法的功能 經過研究的結果，試題關聯結構分析法有下列五種功能： （一）教學設計： 在單元教學活動前，教師可以將欲進行的課程內容的先前經驗概念，作 一知識結構分析後，再依結構所對應的知識概念分別出題，並加以施測，24 所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以考驗出先前經驗概 念不足之處，從而想像出未來指導時的困難所在，以為進行設計教學歷程 的參考。 （二）形成性評量（formative evaluation）： 在單元教學活動後，欲知班上學習結果，可以利用知識結構分析出題， 編製形成性評量，再加以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進 行分析，就可以知道學童學習後的知識結構，以便對學童不清楚之處，加 強補救教學。 （三）認知學習構造： 形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤S-P表獲得注意係數，從而偵測 出異質性的學童，此類學童所畫出結構圖與班上的結構圖可以互為比較， 即可知道此類學童異質的原因，從而加強輔導教學。 （四）概念形成過程： 對縱貫研究（longitudinal study）而言，學童概念的形成過程有層次 之分，例如山田完對教師進行評定學童設有四層次，即操作經驗層次、知 覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次，如果以此四層次來評定各年 級班上學生的形成過程，並建立各年級的結構圖，即可知學生的概念形成 過程的發展。對橫斷研究而言，亦可知班上學生的概念形成過程的分布。 （五）課程教材構造： 由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過「試題關聯結構分析法」進行 構圖，可得一般學童的學習構造，對教科書編者而言，是貴重的資料，而 且對於分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都有很大的作用。 其次，值得提醒注意的是，此種「試題關聯結構圖」與「詮釋結構圖」 （Interpretative structural modeling, 簡稱ISM）不能混為一談，因為詮釋 結構圖沒有透過成就測驗或是形成性評量，而是使用經過設計的兩兩關係概念
問卷來找出受試者概念間的指向，或是藉由受試者自行建構的兩兩關係概念指 向，再運用圖形理論來統合所有被製造出來的指向，並加以畫出構圖，這是一 種屬於知識結構分析的特殊方法。但由於國小學童對知識架構不夠成熟，使用 此法通常無法獲得真正可靠的結果，所以此種方法僅適宜分析專家（expert） 或是知識較為成熟的受試者的知識結構。 事實上，上述「詮釋結構分析法」與「試題關聯結構分析法」，不但可解決 日本教育學者坂元昂的授業改造技法一書中，所注重的教材構造分析與學習結 構圖的編製，亦可解決美國著名的教育學者Scandura,J.M.所倡導的結構式學習
理論（Structural learning theory, 簡稱SLT）的不足之處，（湯雅玲，1994）。
因為結構式學習理論，必須尋找理想化教師（idealized teacher），藉其專業 能力，對教材內容的結構，進行有系統的分析。理想化教師依據教材的問題型 式著手，並將知識化約成一套由領域（domain）、範圍（range）和運作（operation） 三部份所組成的「規則」（rule），再以此「規則」為基礎，細分成許多原子要 素，然後確認學習者已知或未精熟（nonmastery）之處，理想教師便從學習者 失敗的路徑（path）要素，開始執行教學設計與活動。此時，在教學過程中可 用「詮釋結構分析法」形成「規則」的結構路徑，而「確認學習者已知或未精 熟的路徑」可用「試題關聯結構分析法」，來補足理想教師分析上實務的困難。 根據Scandura的研究，以結構分析的方式，處理幾何作圖問題、計算技巧、代 數證明、小學數學課程以及Piaget保留概念問題等，都有極豐碩的實證性研究 成果，（Scandura & Scandura, 1980）。
綜上所述，本研究中所編之等值分數試題主要是為了得知一個班級學童的 知識結構，因此是為形成性評量，透過評量結果所建立的結構圖，可以用來瞭 解學童知識結構不穩固的地方，而據以實施補救教學或改進教學設計，以更符 合學童知識結構的發展。
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第五節
2001年版Bloom認知領域教育目標分類理論之相關研究本節主要探討Bloom認知領域教育目標分類理論，茲將其理論敘述如下： 西元1956年經由Bloom等三十多人的努力，認知領域教育目標分類手冊 （Taxonomy of Educational objective,Handbook1:Cognitive Domain）問世， 並將認知領域教育目標分為知識（Knowledge）、理解（Comprehension）、應用 （Application）、分析（Analysis）、綜合（Synthesis）、評鑑（Evaluation） 六個主要類目；歷經多年使用後，在西元2001年提出修定版（revised edition） （Anderson& Krathwohl, 2001)的刊物，修訂版將教育目標分類分成知識向度 (knowledge dimension)和認知歷程向度(cognitive process dimension)兩部 分(Anderson et al, 2001)，前者為協助教師區分教什麼(what to teach)，後 者在促進學生保留(retention)和遷移(transfer)所習得的知識，見圖2-1。(譯 自Anderson et al(2001)，p268) 事實知識(Factual Knowledge) 概念知識(Conceptual Knowledge) 程序知識(Procedual Knowledge) 後設認知(Metacognitive Knowledge) 知識(Knowledge) 記憶( Remember) 理解(Comprehension) 了解(Understand) 應用(Application) 應用(Apply) 分析(Analysis) 分析（Analyze) 綜合(Synthesis) 評鑑(Evaluate) 評鑑(Evaluation) 創作(Create) 圖2-2 Bloom 教育目標分類系統新舊版本對照圖 認知 歷程 向度 知識 向度 修訂版(Anderson et al ,2001) 舊版 (Bloom,1956)
一、2001年版Bloom 認知領域教育目標分類之理論分析 (一)知識向度之理論介紹
就知識向度而言，修訂版將知識分成事實知識(factual knowledge)、概念 知識(concept knowledge)、程序性知識(procedure knowledge)、及後設認知 知識(metacognition knowledge)。事實知識與概念知識是指有關什麼(what)的 知識，主要的差異在於前者指學生學習科目後和解決問題時的應備知識，而後 者則視為獨立和特定的元素；程序性知識是有關如何(how)的知識，指對一系列 或連串的步驟，知覺為一個程序；後設認知知識則包括對認知的知識，以及對 認知歷程的控制(control)、監控(monitoring)和調整(regulation)，包括適用 所有工作的一般策略、使用策略情境、策略有效程度和自我知識等方面。以下 將逐一說明： A 事實知識(Factual Knowledge)：指學生應了解的術語，或是可以進行問題解 決的基本要素。 Aa 術語的知識(knowledge of terminology)：即特定語文與非語文的標題與符 號。
Ab 特定細節和元素的知識(knowledge of specific details and elements)： 指事件、位置、人物、資料、資訊等，可包括精確、特定的資訊或約略的資 訊。
B 概念知識(Conceptual Knowledge)：指基本要素與較大的結構共同發揮功能 的互動關係。
Ba 分類和類別的知識(knowledge of classifications and categories)：意 指對不同事物的類別、等級、區分和排列的知識。
Bb 原理和通則的知識(knowledge of principles and generalizations)：指 透過觀察現象所摘述的摘要，更重要的是可用於描述、預測、解釋或決定行 動與採取的方向。
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Bc 理 論 ／ 模 式 ／ 結 構 的 知 識 (knowledge of theories, models, and structures)：意指對複雜的現象、問題和事物提出清楚、完全與系統性的 觀點，以理論和模式呈現，亦可用來描述、了解、解釋和預測現象，是事實 與概念中最抽象的層次。
C 程序知識(Procedural Knowledge)：指知道如何做某事的知識；通常是一系 列或有步驟的流程，以及決定何時運用不同程序的規準。
Ca 特定學科的技能和演算知識(knowledge of subject-specific skills and algorithms)：指有固定最終結果，或具有固定順序步驟的知識。例如:測量距 離，估算面積。
Cb 特定學科的技術和方法知識(knowledge of subject-specific techniques and methods)：對結果具共識或學科規範的知識，反應專家思考和解決問題的 方式。
Cc 運用規準的知識(knowledge of criteria for determining when to use appropriate procedures)：指知道何時使用程序和過去使用該程序的知識， 通常為歷史紀錄或百科全書形式。
D 後設認知知識(Metacognitive Knowledge)：指一般認知以及自我知識的認知 和覺察；含認知知識、監控、控制、調整認知(monitoring, control and regulation of cognition)。
Da 策略知識(strategic knowledge)：指用於學習、思考和問題解決的策略知 識，可跨領域應用。
Db 認 知 任 務 知 識 ( 包 括 脈 絡 和 情 境 的 知 識 ) (knowledge about cognitive tasks,including appropriate contextual and conditional knowledge)： 指學生了解可以運用後設認知的知識，意即「何時」與「為何」能適當運用策 略的知識；例如:知道看地圖比純背文字更易記憶方位，知道How，When，Why 的 運用。
Dc 自我知識(self knowledge)：可分四部分，包括對自己認知與學習能力優缺 點的知識、偏好的策略，個人動機、信念、興趣、目標的察覺等。 (二)認知歷程向度之理論介紹 在認知歷程向度部分，修訂版分為較低層次的記憶(remember)、了解 (understand)、應用(apply)和分析(analyze)，以及較高層次的評鑑(evaluate) 與創造(crearte)，其中記憶和學習保留具密切關聯，而另五種則與學習遷移有 關。而各類之下又各細分項目共有十九次類，修訂版也有階層(hierarchy)，但 不像過去是「累積階層」(cumulative hierarchy)，即指前一類是下一類的基 礎﹔而是「漸增複雜性階層」(increasing complexity hierarchy)，即指類別 層次是顯示出複雜性漸增(Krathwhol,2002)。以下將逐一說明： 1 記憶(Remember)：是從長期記憶中提取相關知識。 1.1 再認(Recognizing)：搜尋長期記憶，找出與呈現資訊一致或近似的知 識。 1.2 回憶(Recalling)：當提示(問題)出現，從長期記憶中提取相關知識。 2 了解(Understand)：從教學訊息(在課堂中、在書本中或電腦螢幕上的口 語、書面與圖形訊息)中創造意義(make sense)；建立所學新知識與舊經驗的連 結。 2.1 詮釋(Interpreting)：在不同知識表徵間從事表徵轉換。從文字表徵 轉換到另外其它的文字表徵(可稱為轉述)；從圖畫表徵轉換到文字表徵(可稱為 讀圖的能力)；從文字表徵轉換到圖畫表徵；從數字表徵轉換到文字表徵；從文 字表徵轉換到數字表徵；從音符表徵轉換到音調表徵等。 2.2 舉例(Exemplifying)：對一般概念或原則知識，給一個特定的例子。 舉例涉及：指認出一般概念或原則的定義性特徵；使用這些特徵來選擇或建構 一個特定的例子。 2.3 分類(Classifying)：指認出某物(特定的例子)隸屬於某一特定類目
30 (概念或原則)。分類涉及偵測出相關特徵或組型，使其匹配於示例與概念或原 理之間。 2.4 摘要(Summarizing)：對所呈現的資訊，提出單一陳述來表徵，或提取 出一個主題。摘要：建構一個資訊的表徵。 2.5 推論(Inferring)：是從一系列的示例找出一個組型。當受測者能從一 系列示例中，藉由登錄相關聯的屬性與注意到示例間的關係，進而抽取出一個 概念或程序知識。推論的歷程包含：比較示例，指認出組型規則，使用組型規 則產出新符合組型規則的新示例。 2.6 比較(Comparing)：指認兩個或多個實體(物件、事件、想法、問題或 情境)間的異同，乃致於能找出一個新學事物與已知事物之間的一對一關係。常 與推論與實行並用。 2.7 解釋(Explaining)：能建構及使用現象系統中因果模式。歷程包括建 構因果模式；使用模式來取決系統中某部分改變或一連串事件中某特定事件的 改變是如何牽動其他部分或事件的改變。 3 應用(Apply)：牽涉使用程序(步驟)來執行作業或解決問題。與程序知識 緊密連結。一項作業是指學生已經知道採用哪些程序的任務，所以是一種偏例 行作業取向的任務。一項問題是事先不知道採用哪些程序的任務，所以是一種 偏解決問題取向的任務。 3.1 執行(Executing)：當碰到一個熟悉的任務，學生例行地執行一組程序。 3.2 實行(Implementing)：當碰到一個不熟悉的任務，學生需要了解問題， 需要從所學過的程序中選擇一組來直接採用或修改後採用；與了解、創造緊密 聯結。 4 分析(Analyze)：牽涉分解材料成局部，指出局部之間與對整體結構的關 聯。與評鑑、創造緊密連結。 4.1 辨別 (Differentiating)：牽涉從一個完整結構中，根據關聯性與重
要性，區辨出局部或部分來。能區辨出有關的與無關的或是重要的與不重要的 部分；能注意有關的或是重要的資訊。寫出或指出在所提供材料中最重要或最 有關聯的部分。 4.2 組織(Organizing)：指認出溝通情境中的各元素，能認出這些元素是 如何統整在一起，能對所呈現的資訊片段，建立系統與和諧的關聯。 4.3 歸因(Attributing)：指明確指出溝通情境中的觀點、偏見、價值、意 圖。歸因涉及解構過程-能指出所呈現資訊的意圖。詮釋強調對事物的了解，歸 因超越基本了解，去推論在事物背後的意圖與觀點。
5 評 鑑 (Evaluate) ： 根 據 規 準 (criteria) 與 標 準 (standards) 作 判 斷 (judgment)。 5.1 檢查(Checking)：考驗一組運作或是產品的內部矛盾與邏輯謬誤。 5.2 評論(Critiquing)：根據外在規準與標準作判斷。 6 創造(Create)：涉及將各個元素組裝在一起，形成一個完整且具功能的 整體。創作的目標是要學生能透過在心智上重組元素或重組局部，使成一個過 去鮮少出現的組型或結構。 6.1 產生(Generating)：涉及表徵問題，形成滿足特定規準的多種可能性 或假設。 6.2 計畫(Planning)：涉及規劃能滿足問題規準的解決方法，也就是發展 解決問題的計畫。計畫是指可執行方法步驟的規劃。 6.3 製作(producing)：涉及執行明確的解決問題規劃方案。
32 二、九年一貫課程數學領域分段能力指標與修訂版Bloom 認知領域教育目標 分類之對照分析（鄭蕙如、林世華，2005） 茲將與本研究有關的內容，分述如下： （一）數與量領域 就知識向度而言，可以看到歸屬於事實知識的指標偏少，指標主要著重於 概念知識及程序知識，其中第一、二階段較強調程序知識，而第三四階段則較 強調概念知識。就教學現場來看，小學階段計算應是學習重要的一環，而隨著 年齡的增長，對於數學概念也應具更深的了解；而在此領域中，缺乏後設認知 知識的指標。 就認知歷程而言，各階段認知歷程方面皆重視了解及應用，在第一至三階 段記憶的歷程出現，而在第四階段首次出現了「分析」的認知歷程。就教學現 場來看，當學習者年齡較小時，所具備的能力以記憶為主，當年齡逐漸增長時， 則會呈現了解與應用的能力，同時會開始伴隨的分析的能力。 （二）各內容領域整體而言 就數學科各內容領域(數與量、圖形與空間、統計與機率、代數)，以修訂 版Bloom 之知識向度綜觀來看，九年一貫課程較著重於「概念知識」的學習、 其次為「程序知識」(圖形與空間除外)、再其次為「事實知識」、分段能力指 標未能歸類的則為「後設認知知識」。 就數學科各內容領域(數與量、圖形與空間、統計與機率、代數)，以修訂 版Bloom 之認知歷程向度綜觀來看，九年一貫課程較著重於「了解」及「應用」 歷程、其次為「分析」歷程、再其次「記憶」及「評鑑」歷程、而「創造」歷 程在分段能力指標中無指標能順利歸類。 （三）九年一貫課程數學學習領域分段能力指標分析 茲將與本研究有關之能力指標與2001年版對應之向度整理如下表2-3：
表 2-3 分段能力指標分析一覽表 指標代碼 指標內容 知識 向度 認知 向度 N-1-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。 B 2,2.6,3.1 N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時 或分同單位的加減計算。 Aa,Ca 1.1,2.1, 3.1 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母 分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生 活中的問題。 Ba,Ca 2,3 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算 問題。 Aa,Ca 1.1,3.1 N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解決生活中的問題。 B 2,3 N-3-06 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。 Aa,Bb,C 1.1,2,3.1 將研究試題按照此分類表，製作成時間相關概念雙向細目表。（放在第三 章第三節，表3-2）
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