利用最小一乘法在地籍坐標轉換資料偵錯之研究 - 政大學術集成
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(7) 謝誌 還記得兩年前獨自來到依山傍水的政大校園，如今卻帶著一本嘔心瀝血的論 文、滿滿的回憶與豐富的知識離開。完成一本論文絕不是個人埋頭苦幹的成果， 感謝一路上許多人的幫助，才能將好幾個夜晚的努力累積成薄薄的一本書。首先， 要感謝指導教授老生老師，謝謝老師總不吝給予建議與幫助。此外，老師傳授給 我的不只是學業上的知識，還有人生的課題，對我來說，老師像嚴師亦像慈父。 非常感謝期初和期末報告的評論老師邱老師和甯老師，以及口試委員江總和. 政 治 大 助力。黃老師帶點活潑、挑戰、深入淺出的遙測是讓我印象最深的一門課。經過 立. 聰哥，您們所提出的問題、建議與鼓勵，都是讓論文內容與結構更為完整豐富的. ‧ 國. 學. 詹老師的引見，才與程式有進一步接觸。歡笑最多的時光必定是士淵老師的 English time。在此，還要感謝劉啟清老師及中興測量公司幫忙提供花蓮地區的研. ‧. 究材料。. y. Nat. io. sit. 研究所期間除了學術上的新知以外，最有收穫的就是結交了許多好朋友。敏. n. al. er. 瑜是航測小老師，也是談心的好夥伴。汝晏是每晚一起為論文打拼的戰友，亦是. Ch. i Un. v. 個貼心的女孩兒。可愛的廖廖很愛大聲喊我"君君"，每每讓人精神為之一振。謝. engchi. 謝繁恩時常耐心替人解題。每次走進 GIS 教室看見桌遊王小黑和帥氣阿湯哥總 讓人心情好起來。感謝提姆在空閒之餘幫忙校正文章，也時常提醒、鼓勵我。梁 平是大家的開心果（出氣筒）也是點子王。搞笑又風趣的山姆為苦悶的研究生活 帶來許多歡笑。看起來悶騷的睿斯其實頗健談。冠雄總在聊天時爆出笑點。承一 是測班最穩固的靠山。小三是優秀的程式小老師。翎依是美食小天后。瘦瘦的惠 雅竟然是大食怪。宇鴻也常在研究室一起留到半夜。安勤是熱心助人又健談好相 處的大姐姐。還有風趣的顏董總是非常熱心，又常常熱情款待大家。 最後，要感謝最親愛的家人們，當研究遇到瓶頸水深火熱時，您們是我最好 的後盾，希望能與您們分享這個小小的成就。 Adeline.
(8) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.
(9) 摘要 臺灣現行之地籍坐標系統，依不同的建立時期與地球原子，主要有 TWD67 （Taiwan Datum 1967）和 TWD97（Taiwan Datum 1997）兩種。為了地籍資料管 理、操作及運用之便利，常需執行坐標轉換。根據不同需求，有各種不同的坐標 轉換方法，通常使用最小二乘法求解坐標轉換參數。然而，最小二乘法計算方便， 但僅適用於資料含有偶然誤差的情形。因此，不論使用何種坐標轉換方法，資料 本身是否已完全剔除錯誤，對轉換後之坐標精度有一定程度的影響。. 治 政 最小一乘法為平差方法之一，其平差結果不易受粗差的影響，故穩健性強。 大 立 由於最小一乘法之目標函數中，含有絕對值不可直接微分求解的問題，所以限制 ‧ 國. 學. 其實用性；然而，該問題隨著軟體的開發而克服，故目前在參數估計及資料偵錯. ‧. 上皆有良好的成效。因此，本研究之目的為依據最小一乘法之特性，使用此平差. sit. y. Nat. 方法於地籍坐標轉換中，測試其資料偵錯能力及穩健性。此外，並比較以最小一. io. n. al. er. 乘法與常用的最小二乘法坐標轉換後成果之差異、優缺點及適用情形。. i Un. v. 依據研究目的，為檢測地籍坐標資料的品質，以確保地籍坐標轉換的精度，. Ch. engchi. 本研究先模擬三個不同大小之實驗區及含不同大小與數量粗差之參考點與檢核 點坐標資料，以測試最小一乘法與最小二乘法的穩健性及資料偵錯能力。另一方 面，亦使用真實地籍資料，來探討此兩種方法於真實地籍坐標轉換時之資料偵錯 能力與適用性。而坐標轉換方法則分別採用四參數及六參數兩種，以比較不同坐 標轉換方法與平差方式之成果。 根據本研究成果顯示，最小一乘法於地籍坐標轉換時，具有不易受粗差影響 平差結果之穩健性，以及可由點位殘差中判斷出粗差之位置及大小的偵錯能力。 另一方面，最小二乘法平差結果易受粗差的影響，不具有抗差性及偵錯能力。然 而，在坐標資料不含有粗差的情形中，最小二乘法之成果則較最小一乘法為佳或 I.
(10) 相當。因此，為提升地籍坐標轉換之精度，建議未來在執行地籍坐標轉換時，先 以最小一乘法執行資料偵錯，待錯誤坐標剔除後，再以最小二乘法求取坐標轉換 參數。 關鍵字：地籍坐標轉換、最小一乘法、最小二乘法、資料偵錯. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. II. i Un. v.
(11) Abstract There are two coordinate systems with different geodetic datum in Taiwan region, i.e., TWD67 （Taiwan Datum 1967） and TWD97 （Taiwan Datum 1997）. In order to maintain the consistency of cadastral coordinates, it is necessary to transform one coordinate system to another. However, no matter what transformation method was used, the accuracy of the result is highly depended on the data quality. Since the uncertainty about whether outliers exist or not, so the outlier detection of data. 政 治 大. becomes an important work before coordinate transformation.. 立. The LAD（Least Absolute Deviation） method was affected by nearly very little. ‧ 國. 學. or none from outliers. Thus, this method has been successfully used for outlier measurements detection in other fields. Therefore, LAD method was used to detect. ‧. outliers in cadastral coordinate transformation in this study. This method provides an. y. Nat. io. sit. examination to ensure the quality of cadastral coordinates before converting one. n. al. er. coordinate system to another. So, the accuracy of coordinate transformation can be. Ch. i Un. v. increased. Then, the coordinate transformation results of LAD method and LS （Least. engchi. Squares） method in the aspects of outlier detection ability and the accuracy of coordinate transformation were compared. On one hand, three varied sizes of simulating test areas, which contains different magnitude of outliers, at numbers of reference points and check points were placed, for checking the robustness and outlier detection ability in LAD and LS methods. On the other hand, data of real test areas were also used. Then, results from different coordinate transformation and adjustment methods were compared and analyzed, by using 4 and 6 parameter coordinate transformation respectively.. III.
(12) The test results show that LAD method is more robust than LS method, and outliers can be detected easily from the residuals of reference points. While LS method is affected by outliers and the outlier detection ability is weaker than LS method. However, if the data contain none outliers, the coordinate transformation results by using LS method is better than LAD method. Therefore, it is suggested to using LAD method firstly. Then, after deleting all the outliers, one can use LS method to calculate coordinate transformation parameters. Keywords: Cadastral Coordinate Transformation, Least Absolute Deviation（LAD）,. 政 治 大. Least Squares（LS）, Outlier Detection. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. IV. i Un. v.
(13) 目錄 摘要................................................................................................................................ I Abstract ...................................................................................................................... III 目錄............................................................................................................................... V 圖目錄........................................................................................................................ VII 表目錄......................................................................................................................... IX 第一章 緒論 ............................................................................................................... 1 第一節 前言........................................................................................................ 1 第二節 第三節 第四節 第五節. 研究動機................................................................................................ 3 研究目的................................................................................................ 5 研究流程................................................................................................ 6 論文架構................................................................................................ 7. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. 第二章 文獻回顧與理論基礎 ................................................................................... 9 第一節 應用最小二乘法於地籍坐標轉換........................................................ 9 一、相關文獻................................................................................................ 9 二、應用最小二乘法於地籍坐標轉換...................................................... 11 三、四參數轉換.......................................................................................... 12 四、六參數轉換.......................................................................................... 14. Nat. y. sit. n. al. er. io. 第二節 最小一乘法.......................................................................................... 16 一、源起...................................................................................................... 16 二、理論基礎.............................................................................................. 17 三、最小一乘法與最小二乘法之特性比較.............................................. 17 四、應用最小一乘法於測量之相關文獻.................................................. 18 第三節 線性規劃基本原理.............................................................................. 20 一、標準型線性規劃.................................................................................. 20 二、單形法基本原理.................................................................................. 21 三、解決 LAD 目標函數含有絕對值的方法 ........................................... 23 四、以 MATLAB 之 linprog 函數解算線性規劃問題.............................. 23. Ch. engchi. i Un. v. 第四節 利用最小一乘法求解地籍坐標轉換參數.......................................... 28 一、將四參數及六參數坐標轉換觀測方程式轉換為矩陣形式.............. 28 二、將四、六參數坐標轉換化為線性規劃標準型.................................. 29 三、解算成果.............................................................................................. 31 第三章 實驗方法與資料處理 ................................................................................. 33 第一節 實驗資料.............................................................................................. 33 一、模擬資料.............................................................................................. 33 二、真實資料.............................................................................................. 39 V.
(14) 第二節. 實驗方法.............................................................................................. 42. 一、模擬資料.............................................................................................. 43 二、真實資料.............................................................................................. 44 三、精度檢核.............................................................................................. 45 第三節 資料處理.............................................................................................. 47 一、參考點與檢核點數量比例原則.......................................................... 47 三、參考點與檢核點之選點原則.............................................................. 51 第四章 實驗成果與分析 ......................................................................................... 55 第一節 模擬資料實驗成果(1)－參考點與檢核點的 TWD67 坐標存在粗差 的狀況 …………………………………………………………………..55 一、單一參考點之 TWD67 坐標中加入不同大小之粗差 ...................... 55 二、數個參考點之 TWD67 坐標加入不同粗差數量 .............................. 81 三、參考點和檢核點之 TWD67 坐標中皆加入粗差 ............................ 101 第二節 模擬資料實驗成果(2)－參考點的 TWD97 坐標存在粗差的狀況 107. 政 治 大 第三節 模擬資料實驗成果(3)－參考點的 TWD67 坐標與 TWD97 坐標同時 立 存在粗差的狀況................................................................................................ 113 ‧. ‧ 國. 學. 第四節 真實資料實驗成果............................................................................ 119 一、花蓮縣主權段實驗區........................................................................ 119 二、臺中市實驗區.................................................................................... 127. y. Nat. 第五章 結論與建議 ............................................................................................... 133 第一節 結論.................................................................................................... 133. sit. n. al. er. io. 一、最小一乘法於地籍坐標轉換時之穩健性與資料偵錯能力............ 133 二、應用最小一乘法於真實資料之地籍坐標轉換................................ 134 三、應用最小一乘法與最小二乘法於地籍坐標轉換成果比較............ 135 第二節 建議.................................................................................................... 136. Ch. engchi. i Un. v. 參考文獻.................................................................................................................... 139 一、中文參考文獻.................................................................................... 139 二、外文參考文獻.................................................................................... 140 三、網頁參考文獻.................................................................................... 142. VI.
(15) 圖目錄 圖 1-1、研究流程圖 ..................................................................................................... 6 圖 2-1、四參數轉換示意圖 ....................................................................................... 13 圖 2-2、六參數轉換示意圖 ....................................................................................... 14 圖 2-3、單形法示意圖 ............................................................................................... 22 圖 3-1、16 點實驗區坐標點位分布圖 ...................................................................... 36 圖 3-2、36 點實驗區坐標點位分布圖 ...................................................................... 37 圖 3-3、64 點實驗區坐標點位分布圖 ...................................................................... 38 圖 3-4、花蓮縣花蓮市主權段實驗區 ....................................................................... 39 圖 3-5、花蓮縣主權段實驗區點位分布圖 ............................................................... 40 圖 3-6、臺中市 46 點實驗區 ..................................................................................... 41 圖 3-7、原臺中市實驗區點位分布圖 ....................................................................... 41. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. 圖 3-8、模擬資料實驗流程圖 ................................................................................... 43 圖 3-9、真實資料實驗流程圖 ................................................................................... 44 圖 3-10、檢核點 之 及平均值與參考點數量的關係圖 ................................... 50 圖 3-11、檢核點 之 及平均值與參考點數量的關係圖................................... 51 圖 3-12、檢核點 之 及平均值與參考點數量的關係圖 ................................... 51 圖 3-13、三種選點方法產生之參考點與檢核點分布圖 ......................................... 53. Nat. y. sit. n. al. er. io. 圖 3-14、36 點模擬實驗區依點號順序選點之參考點與檢核點分布圖 ................ 54 圖 4-1、16 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用四種方法檢核點之 σP ..... 60 圖 4-2、16 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用四種方法檢核點之 σP ..... 63 圖 4-3、36 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用四種方法檢核點之 σP ..... 68 圖 4-4、36 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用四種方法檢核點之 σP ..... 71 圖 4-5、64 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用四種方法檢核點之 σp ..... 76 圖 4-6、64 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用四種方法檢核點之 σp ..... 79 圖 4-7、於參考點之 TWD67 坐標加入不同數量粗差示意圖 ................................ 81 圖 4-8、16 點實驗區加入不同數量粗差後使用四種平差方法檢核點之 σp .......... 85 圖 4-9、36 點實驗區使用四種方法於加入不同數量粗差檢核點之 σp .................. 91. Ch. engchi. i Un. v. 圖 4-10、64 點實驗區加入不同數量粗差使用四種方法檢核點之 σp（情況 A） 97 圖 4-11、64 點實驗區加入不同數量粗差使用四種方法檢核點之 σp（情況 B） .................................................................................................................................... 100 圖 4-12、36 點實驗區於 TWD97 坐標中加粗差使用四種方法檢核點之 σP ...... 112 圖 4-13、花蓮縣主權段初步使用四種方法轉換後各參考點之 N 和 E 比較圖120 圖 4-14、花蓮縣主權段剔除點 C463 使用四種方法轉換之 N 和 E 比較圖 .... 122 圖 4-15、花蓮縣主權段剔除點 C350 後使用四種方法轉換參考點之 N 和 E 比較 圖................................................................................................................................ 124 VII.
(16) 圖 4-16、花蓮縣主權段於剔除粗差前後使用四種方法轉換檢核點之 σE、σN、σP .................................................................................................................................... 126 圖 4-17、臺中市區使用四種方法轉換之參考點 N 和 E 比較圖 ....................... 128 圖 4-18、臺中市區於剔除粗差後使用四種方法轉換之參考點 N 和 E 比較圖130 圖 4-19、臺中市區於剔除粗差前後使用四種方法轉換檢核點之 σE、σN、σP ... 132. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. VIII. i Un. v.
(17) 表目錄 表 1-1、TWD67 與 TWD97 坐標系統各項參數 ........................................................ 2 表 2-1、最小二乘法、最小一乘法及全最小二乘法之比較 ................................... 19 表 2-2、各肉類供給地之總生產量 ........................................................................... 24 表 2-3、各肉類需求地之總需求量 ........................................................................... 24 表 2-4、各供給地至各需求地每一噸之運費 ........................................................... 24 表 3-1、樣本數量與中誤差關係表 ........................................................................... 34 表 3-2、四參數與六參數坐標轉換的各參數值 ....................................................... 35 表 3-3、16 點實驗區坐標點中加入的偶然誤差資料 .............................................. 36 表 3-4、36 點實驗區坐標點中加入的偶然誤差資料 .............................................. 37 表 3-5、64 點實驗區坐標點中加入的偶然誤差資料 .............................................. 38 表 3-6、共同點（參考點）與檢核點數量表 ........................................................... 47. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. 表 3-7、36 點模擬實驗資料以最小二乘法四參數坐標轉換及改變參考點數量之檢 核點 、 及∆P 統計表 .......................................................................................... 50 表 3-8、64 點模擬實驗資料，以最小二乘法四參數坐標轉換及改變點位分布方式， 檢核點之 、 及∆P 統計表 .................................................................................. 54 表 4-1、16 點實驗區於單一參考點之 TWD67 坐標中加入不同大小粗差示意表. n. al. er. io. sit. y. Nat. ...................................................................................................................................... 56 表 4-2、16 點實驗區於點 11 之 E 方向加入 1 m 粗差使用 LS4、LAD4 參考點之 △E、△N .................................................................................................................... 57 表 4-3、16 點實驗區於點 11 之 E 方向加入 1 m 粗差使用 LS6、LAD658 參考點 之△E、△N ................................................................................................................ 58 表 4-4、16 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 59 表 4-5、16 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 59 表 4-6、16 點實驗區於點 11 之 N 方向加入 1 m 粗差使用 LS4、LAD4 參考點之 △E、△N .................................................................................................................... 61. Ch. engchi. i Un. v. 表 4-7、16 點實驗區於點 11 之 N 方向加入 1 m 粗差使用 LS6、LAD6 參考點之 △E、△N .................................................................................................................... 61 表 4-8、16 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 62 表 4-9、16 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 63 表 4-10、36 點實驗區於參考點之 TWD67 坐標加入不同大小粗差示意表 ......... 64 表 4-11、36 點實驗區於 E 方向加入 1 m 粗差使用 LS4、LAD4 部份參考點之△E、 IX.
(18) △N............................................................................................................................... 65 表 4-12、36 點實驗區於 E 方向加入 1 m 粗差使用 LS6、LAD6 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 66 表 4-13、36 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 67 表 4-14、36 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 67 表 4-15、36 點實驗區於 N 方向加入 1 m 粗差使用 LS4、LAD4 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 69 表 4-16、36 點實驗區於 N 方向加入 1 m 粗差使用 LS6、LAD6 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 69 表 4-17、36 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 70 表 4-18、36 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、. 政 治 大 σ 、σ .......................................................................................................................... 71 立 表 4-19、64 點實驗區於參考點之 TWD67 坐標加入不同大小粗差示意表 ......... 72 N. P. ‧. ‧ 國. 學. 表 4-20、64 點實驗區於 E 方向加入 1 m 粗差使用 LS4、LAD4 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 73 表 4-21、64 點實驗區於 E 方向加入 1 m 粗差使用 LS6、LAD6 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 74 表 4-22、64 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、. y. Nat. sit. n. al. er. io. σN、σP .......................................................................................................................... 75 表 4-23、64 點實驗區於 E 方向加入不同大小粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 75 表 4-24、64 點實驗區於 N 方向加入 1 m 粗差使用 LS4、LAD4 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 77 表 4-25、64 點實驗區於 N 方向加入 1 m 粗差使用 LS6、LAD6 部份參考點之△E、 △N............................................................................................................................... 77 表 4-26、64 點實驗區使於 N 方向加入不同大小粗差用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 78. Ch. engchi. i Un. v. 表 4-27、64 點實驗區於 N 方向加入不同大小粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、 σN、σP .......................................................................................................................... 79 表 4-28、16 點實驗區於數個參考點之 TWD67 坐標加入不同數量粗差示意表 . 82 表 4-29、16 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 參考點之△E、△N 83 表 4-30、16 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 參考點之△E、△N 83 表 4-31、16 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、σN、σP ...................................................................................................................................... 84 表 4-32、16 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、σN、σP X.
(19) ...................................................................................................................................... 85 表 4-33、36 點實驗區於參考點之 TWD67 坐標加入不同數量粗差示意表 ......... 87 表 4-34、36 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 參考點之△E、△N 88 表 4-35、36 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 參考點之△E、△N 89 表 4-36、36 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、σN、σP ...................................................................................................................................... 90 表 4-37、36 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、σN、σP ...................................................................................................................................... 90 表 4-38、於參考點之 TWD67 坐標加入粗差之密集與分散示意圖 ...................... 92 表 4-39、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 部份參考點之△E、△ N（情況 A） ............................................................................................................... 93 表 4-40、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 部份參考點之△E、△ N（情況 A） ............................................................................................................... 94 表 4-41、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 部份參考點之△E、△. 政 治 大 N（情況 B） ............................................................................................................... 95 立 表 4-42、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 部份參考點之△E、△ ‧. ‧ 國. 學. N（情況 B） ............................................................................................................... 95 表 4-43、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、σN、σP （情況 A） .................................................................................................................. 96 表 4-44、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、σN、σP （情況 A） .................................................................................................................. 97. y. Nat. sit. n. al. er. io. 表 4-45、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS4、LAD4 檢核點之 σE、σN、σP （情況 B） .................................................................................................................. 98 表 4-46、64 點實驗區加入不同數量粗差使用 LS6、LAD6 檢核點之 σE、σN、σP （情況 B） .................................................................................................................. 99 表 4-47、各實驗區使用 LAD4、LAD6 對粗差數量容忍度比較表 ..................... 101 表 4-48、36 點實驗區於檢核點 TWD67 坐標中加粗差使用 LS4 之 E、 N .... 102 表 4-49、36 點實驗區於檢核點 TWD67 坐標中加粗差使用 LAD4 之 E、 N . 102 表 4-50、36 點實驗區於檢核點 TWD67 坐標中加粗差使用 LS4 及 LAD4 檢核點 之 σE、σN................................................................................................................... 103. Ch. engchi. i Un. v. 表 4-51、36 點實驗區於參考點與檢核點 TWD67 坐標加粗差使用 LS4 之 E、 N .................................................................................................................................... 104 表 4-52、36 點實驗區於參考點與檢核點 TWD67 坐標加粗差使用 LAD4 之 E、 N .................................................................................................................................... 104 表 4-53、36 點實驗區於參考點與檢核點 TWD67 坐標加粗差使用 LS4、LAD4 檢 核點之 σE、σN........................................................................................................... 105 表 4-54、綜合成果比較表 ....................................................................................... 106 表 4-55、36 點實驗區於參考點之 TWD97 坐標中加入粗差示意表 ................... 108 XI.
(20) 表 4-56、36 點實驗區於 TWD97 坐標中加粗差使用 LAD4、LS4 參考點之△E、 △N............................................................................................................................. 109 表 4-57、36 點實驗區於 TWD97 坐標中加粗差使用 LAD6、LS6 參考點之△E、 △N............................................................................................................................. 110 表 4-58、36 點實驗區於 TWD97 坐標中加粗差使用四種方法檢核點之 σE、σN、σP .................................................................................................................................... 111 表 4-59、36 點實驗區在不同參考點位上，分別於 TWD67 及 TWD97 坐標中加入 不同大小粗差示意表................................................................................................ 114 表 4-60、36 點實驗區在不同參考點上，同時於 TWD67 及 TWD97 坐標系統中皆 含粗差示意表............................................................................................................ 115 表 4-61、36 點實驗區使用實驗資料一於 24 點參考點之△E、△N ................... 116 表 4-62、36 點實驗區使用資料二於 24 點參考點之△E、△N ........................... 117 表 4-63、36 點實驗區在參考點之 TWD67 坐標與 TWD97 坐標中加入粗差檢核點 之 σE、σN、σP ........................................................................................................... 118. 政 治 大 表 4-64、花蓮縣主權段初步使用四種方法轉換參考點之 N 和 E 三倍中誤差（s） 立 .................................................................................................................................... 121 ‧. ‧ 國. 學. 表 4-65、花蓮縣主權段於剔除粗差前後使用四種方法轉換參考點之 N、 E 中誤 差................................................................................................................................ 124 表 4-66、花蓮縣主權段於剔除粗差前後使用四種方法轉換檢核點之 σE、σN、σP. y. Nat. .................................................................................................................................... 125 表 4-67、臺中市區於剔除粗差前後使用四種平差方法轉換參考點之 N 和 E 中誤. sit. n. al. er. io. 差................................................................................................................................ 131 表 4-68、臺中市區於剔除粗差前後使用四種方法轉換檢核點之 σE、σN、σP ... 131. Ch. engchi. XII. i Un. v.
(21) 第一章. 緒論. 第一節 前言. 孟子曰：「仁政必自經界始」，又曰：「經界正則庶民興」，由此可知地籍 釐整之重要性（溫豐文，2012）。地籍資料記載於地籍圖上，地籍圖中標示著每 一宗土地之界址、形狀、方位和面積等資料，作為國家執行各種政策與建設時， 訂定土地界址位置之基本依據，亦是各地政機關於辦理地籍測量、都市計畫、土. 治 政 地利用調查與土地徵收等重要的資料。地籍之釐整，有賴於完整的坐標資訊（王 大 立 奕鈞，2006）。臺灣之地籍資料，自日據時期之地籍測量原圖開始，到民國 65 ‧ 國. 學. 年開始執行地籍圖重測，直至今日歷經諸多時期的轉變。因此，隨著時代變遷、. ‧. 測量科技進步等因素，一個國家或地區，可能同時存在多個地籍坐標系統。. sit. y. Nat. 臺灣現階段仍有多個地籍坐標系統尚未整合完成的問題，當前地籍測量所使. n. al. er. io. 用之坐標系統，可概分為地籍坐標（日據時期及修測地籍圖）、TM（Transverse. i Un. v. Mercator）3 度分帶坐標（早期重測地籍圖使用） 、TM 2 度分帶坐標（69 年內政. Ch. engchi. 部發布之 Taiwan Datum 1967, TWD67 坐標系統），及 TM 2 度分帶坐標（Taiwan Datum 1997, TWD97）坐標系統等四種（王奕鈞，2006）。在上述這些地籍坐標 系統中，目前較常用的主要有 TWD67 和 TWD97 兩種，依據內政部地政司衛星 測量中心的說明，TWD67 和 TWD97 有關參數定義如表 1-1 所示。兩坐標系統 最大的差異在於採用的參考橢球體不同，TWD97 採用 GRS80 參考橢球體， TWD67 則採用 GRS67 參考橢球體；而兩坐標系統皆使用 TM 2 度分帶之投影方 式。. 1.
(22) 表 1-1、TWD67 與 TWD97 坐標系統各項參數 TWD97 GRS80（Geodetic Reference System 1980）. TWD67 GRS67（Geodetic Reference System 1967）. 長半徑a. 6378137.0 公尺. 6378160.0 公尺. 短半徑b. 6356752.3141 公尺. 6356774.7192 公尺. 1/298.257222101. 1/298.25. TM 2度分帶. TM 2度分帶. 東經121度（臺灣、琉球嶼、綠. 東經121度（臺灣、琉球嶼、綠. 參考橢球體. 扁率 f=（a-b）/a 投影方式. 投影坐標原 點. 中央子午線與赤道交點， 政 治 大 且橫坐標西移250,000公尺. 中央子午線與赤道交點， 且橫坐標西移250,000公尺. 立0.9999. 0.9999. 學. 中央子午線 尺度比. 島、蘭嶼及龜山島）、 島、蘭嶼及龜山島）、 東經119度（澎湖、金門及馬祖） 東經119度（澎湖、金門及馬祖）. ‧ 國. 中央子午線. 坐標系統的不一致性，使得各項資料及資訊間無法順利整合。因此，在實務. ‧. 上，為方便地籍資料之管理、操作及運用，不同的坐標系統間常需轉換。一般而. Nat. sit. y. 言，地表上點位之坐標應為三維坐標，然而，繪製成圖時僅能使用投影的技術，. n. al. er. io. 將三維的空間資訊以二維的方式展現於地籍圖上。因此，地籍圖上並無記載各宗. i Un. v. 地界址之高程資料，故地籍坐標間轉換使用二維的平面坐標轉換方法即可。. Ch. engchi. 2.
(23) 第二節 研究動機. 為解決因建立於不同年代與大地基準的各坐標系統間無法套合的問題，以及 為了實務上方便加值利用，除了實行以 TWD97 為大地基準的地籍圖重測外，地 籍坐標轉換係較為快速且便利的方法。臺灣之地籍圖重測，雖始於民國 65 年， 但由於各種因素之影響，工作進度嚴重落後，若要完全依靠重測方法重整地籍， 並非短時間內所能實現，此時，地籍坐標轉換則為一種短時間內快速有效的方 法。. 政 治 大. 然而，不論使用何種地籍坐標轉換方法，對轉換後精度最根本的影響，乃資. 立. 料本身的品質。在為數眾多的坐標資料中，因觀測時之環境條件、儀器的精密度. ‧ 國. 學. 與可靠程度、及人為的操作等因素，無法百分之百確保觀測量中不會存在錯誤資 料。因此，為確保坐標轉換後之精度，地籍坐標轉換前之資料偵錯遂成為一項必. ‧. 要的工作。. sit. y. Nat. io. er. 誤差的來源有因儀器本身不完善所導致的儀器誤差（Instrumental Errors）， 因溫度、溼度、風力、大氣折光等自然條件所造成的自然誤差（Natural Errors），. al. n. iv n C 以及來自人類習慣、感官限制等之人為誤差（Personal h e n g c h i U Errors）三類。所有的測 量資料均含有不可避免的誤差，其差別僅在於誤差的大小。而誤差的種類主要分 為偶然誤差、系統誤差與粗差三種，茲分別敘述如下（何維信，2009）： 1.. 偶然誤差（Random Errors） ：在相同觀測條件下，對某一固定量一系列 的觀測，若成果的差異在正負號或數值上無一致的傾向，且其值常甚小， 正負出現機率相等，這類誤差即為偶然誤差。. 2.. 系統誤差（Systematic Errors）：若在同一觀測條件下，對某一固定量觀 測多次，其觀測誤差依一定的規律變化或保持為常數，即為系統誤差。 可於作業前或作業中，以檢定與校正儀器等方法予以消除。 3.
(24) 3.. 粗差（Outliers or Blunders）：又稱為錯誤（Mistakes）或大誤差（Gross Errors） 。由於人為疏忽、經驗缺乏、或不細心，如記錯或讀錯讀數、照 準錯誤等原因所造成。一般誤差大於三倍中誤差的值即被視為粗差，觀 測量中應不允許存在粗差。資料偵錯的目的，即在觀測量平差前找出錯 誤的資料，並予以剔除。. 通常在執行地籍坐標轉換時，不論使用四參數或六參數轉換，均使用最小二 乘法（Least Squares, LS）平差求解轉換參數。只要是具有線性關係的參數估計 問題，且不必考慮任何觀測資料之統計特性，即可以最小二乘法解算（何維信，. 政 治 大 生偏差，影響未知數之推估，故無法以一般常用的三倍中誤差為標準來剔除錯誤 立. 2009） 。然而，若資料中含有粗差時，其協變方函數（Covariance Function）會產. ‧ 國. 學. 觀測量（張裕民，1993）。因此，最小二乘法雖然計算方便，但其僅適用於觀測 量中含有偶然誤差的情況，並不適合用於資料中有系統誤差及粗差的情形。. ‧. 最小一乘法（Least Absolute Deviation, LAD）類似於最小二乘法，是一種平. y. Nat. io. sit. 差的方法。最小一乘法的目標函數為殘差絕對值之和最小，故平差結果不易受粗. n. al. er. 差影響，穩健性較最小二乘法強。以往因最小一乘法之目標函數中含有絕對值不. Ch. i Un. v. 可微分，導致計算困難之問題，已隨軟體及程式的開發而克服，故在參數估計及. engchi. 資料偵錯上皆有良好的成效。目前，最小一乘法多使用於統計領域，較少應用於 測量領域中。本研究依其穩健的特性，將之運用在地籍坐標轉換上。希望試驗在 地籍坐標轉換時，使用最小一乘法平差之結果是否具有穩健性及良好的資料偵錯 的能力，以提升地籍坐標轉換成果之精度。. 4.
(25) 第三節 研究目的. 綜上所述，可知臺灣目前仍有地籍坐標未整合的問題，在實務上為方便操作 運用，尚需以坐標轉換方式套合不同坐標的情況。以及因測量時，不論使用多精 密的儀器，觀測量中必定含有不可避免的誤差之事實，因此，為了確保地籍坐標 轉換精度，地籍坐標轉換前，必須執行坐標資料偵錯工作。另外，由於最小一乘 法其平差成果不易受到粗差影響的特性，希望能藉由本研究，探討其在地籍坐標 轉換中，是否為可行的資料偵錯方法？ 因此，本研究目的有三：. 立. 政 治 大. 一、以含有粗差的模擬資料，測試最小一乘法於地籍坐標轉換之資料偵錯能力與. ‧. ‧ 國. 學. 穩健性。. 二、以真實資料探討現實中使用最小一乘法於地籍坐標轉換時，資料偵錯能力、. io. sit. y. Nat. 精度表現以及可能遇到的問題。. n. al. er. 三、以最小二乘法，分別測試上述之模擬資料與真實資料，以比較最小一乘法與. Ch. i Un. v. 最小二乘法之坐標轉換成果，及分析兩種平差方法的特性與適用情形。. engchi. 5.
(26) 第四節 研究流程. 本研究之研究流程如圖 1-1 所示： 確定研究方向. 相關文獻及資料蒐集. 理論基礎研究. 立. 政 治 大 實驗區資料模擬與蒐集. ‧ 國. 學. 編寫 LAD、LS 等相關平差程式. ‧. al. sit. io. 無 誤. er. Nat. 程式測試. y. 有 誤. n. iv n C 以實驗區資料測試 及 LS h e n g c LAD hi U 實驗成果之比較與分析. 結論與建議. 圖 1-1、研究流程圖. 6.
(27) 第五節 論文架構. 本論文架構主要分成五個章節，各章節之內容編排如下： 第一章、緒論 以臺灣地籍坐標發展為背景，說明其誘發本研究之動機與研究之目的，以及 介紹研究流程與論文的基本架構。 第二章、文獻回顧與理論基礎. 治 政 回顧目前國內、外在地籍坐標轉換、最小一乘法、最小二乘法及線性規劃之 大 立 相關書籍、研究論文、文章、期刊等資料以及相關理論基礎，並說明本研究方法 ‧ 國. 學. 之可行性，以及如何應用線性規劃方式解算最小一乘法。. ‧. 第三章、實驗方法與資料處理. y. Nat. io. sit. 介紹模擬實驗區的模擬方法和真實實驗區的資料內容，依據第二章之結論，. n. al. er. 規劃實驗的方法與流程，以及實驗資料處理，包括：參考點與檢核點數量比例原. Ch. 則及參考點與檢核點之選點原則等。. engchi. i Un. v. 第四章、實驗成果與分析 以第三章介紹的實驗資料，展示、分析與討論研究成果，內容分為：模擬資 料成果（1）、模擬資料成果（2）、模擬資料成果（3）及真實資料等四部分。 第五章、結論與建議 根據第四章實驗成果之分析及小結歸納成總結，以提供後續研究者對最小一 乘法於坐標轉換與資料偵錯相關研究之參考，及建議未來可繼續研究的方向。. 7.
(28) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 8. i Un. v.
(29) 第二章. 文獻回顧與理論基礎. 第一節 應用最小二乘法於地籍坐標轉換. 一、 相關文獻 由於地籍圖之圖根點多已遺失，而界址點實地多未設界標。因此，傳統坐標 轉換時，常有共同點不足之情形。鄭彩堂（2002）為了改善這個問題，以限制條. 政 治 大. 件及附加參數配合坐標轉換方法，選擇三個不同時期測設之實驗區，採用三、四、. 立. 六參數轉換圖解區地籍圖，並加入適當約制條件。依據計算成果顯示，使用三、. ‧ 國. 學. 四、六參數，在各不同區域有不同的精度表現。加入界址點間之幾何條件後，可 提高界址點精度；而加入附加參數後，可使轉換成果與現況較為吻合。然而，附. ‧. 加面積條件後，會使平面精度降低；因此，若採用此平差模式，必須同時考量平. Nat. er. io. sit. y. 面精度與面積條件之平衡。. 陳世平（2003）以現行地政事務所使用之「土地登記複丈地價地用電腦作業. al. n. iv n C 系統」為作業平台，藉加密控制點及補建圖根點，採用六參數轉換模式，建立一 hengchi U. 套能以數值法辦理圖解數化區土地複丈之作業模式。經實驗檢測，能有效將圖解 數化資料，連接上周邊數值重測區現行的TWD67坐標系統，解決現行圖解數化 資料與真實空間位置間無法連結的問題，達成直接以數值法辦理圖解數化區土地 複丈作業之目標。研究假設，圖解數化成果是依正確之數值地籍圖資料，也就是 說圖解地籍圖上界址點線間之相對位置關係，不因數值化而有所改變之前提下做 轉換。在沒有附加約制條件下，進行坐標轉換，雖然面積及界址有些許變形扭曲， 但因該研究區域為農業區，其誤差容忍度較高，若在住宅或商業地區則易引起糾 紛。. 9.
(30) 許皓寧（2003）以臺北市為例，使用四參數與七參數方式來轉換地籍資料 TWD67與TWD97坐標系統。研究成果顯示，兩種方法轉換結果相同，因為七參 數轉換原理，係假設任兩軸為垂直正交，且三軸僅有一個尺度上的變形；四參數 轉換之假設兩坐標軸正交，且僅有一尺度變形。而此研究認為地籍坐標為平面坐 標，因此在行七參數轉換時，需設坐標正高及大地坐標橢球高為零，故兩種參數 轉換結果無明顯差異。而在區域方面，不同大小或歷史因素不同的地區，適用的 轉換方式也不相同。研究中所採取的方法，較適用於較大範圍（臺北市）；於小 範圍（地政事務所管轄範圍）運用時，則精度較低。此外，有些小區域的精度不 高，但因埋沒在大區域中，而無法凸顯問題所在。. 立. 政 治 大. 王奕鈞（2006）研究使用神經網路方式轉換地籍坐標系統，成果表示利用神. ‧ 國. 學. 經網路方法可以得到與傳統相同或更佳的精度。文章中指出，因傳統的四參數與 六參數轉換不太適用於大區域的坐標轉換，其原因是因為這兩種轉換方法無法達. ‧. 到精度的要求，因此大多適用於小地區之坐標轉換。然而，本篇之大範圍研究區. Nat. sit er. io. 不相同。. y. 指的應為臺灣全島資料分區，與許皓寧（2003）定義的大範圍為臺北市之尺度並. al. n. iv n C 吳孟旭（2008）使用VRS-RTKh （Virtual Reference e n g c h i U Station Real-time Kinematic） 取代傳統單主站RTK於圖根點重測，該研究使用四參數及六參數轉換方法來轉換 實驗區內的圖根點坐標，將實驗區分為實驗區全區與將全區分成四小區兩種方法 分別測試。結果發現，分成四區後之轉換成果優於全區，而六參數轉換後精度則 優於四參數。 吳亞翰（2009）以台中市北屯區內一圖解區地段為例，分別採用四參數及六 參數坐標轉換方法，先對區塊實施現況測量，再對取得現況面積之區塊以最小二 乘法附加限制條件進行約制，使轉換後之面積與現況面積相等。根據此研究結果 顯示，該研究改善了傳統四參數與六參數坐標轉換後面積存在差異的情形；在精 10.
(31) 度方面，六參數坐標轉換之成果則優於四參數坐標轉換，但均符合公差15 cm限 定之範圍（地籍測量實施規則第七十五條規定圖解法位置誤差限制為圖上0.3mm， 相當於實地15 cm）。 經以上相關文獻可歸結出，因地籍坐標轉換範圍通常以地段或小區域為單位， 因此，應不需使用到高階多項式轉換方法，四參數及六參數轉換方法係最常使用 且適用性較佳的地籍坐標轉換方法。故本研究採用該兩種坐標轉換方法於後續實 驗中。另外，因地籍坐標為平面坐標，無高程資料，應不必使用三維的坐標轉換 方式，若要使用三維轉換方法，也須先利用該區點位坐標計算求得正高值再行坐. 政 治 大. 標轉換。而本研究著重於地籍坐標轉換的資料偵錯，故不考慮轉換時條件約制的. 立. 部分。至於實驗區範圍，本研究選取不同條件及大小之區域，測試並比較各方法. ‧ 國. 學. 於不同類型區域之成果與適用性。. ‧. 二、應用最小二乘法於地籍坐標轉換. Nat. sit. y. 要轉換新、舊兩個不同坐標系統時，為求解兩系統之轉換參數，需同時有新、. n. al. er. io. 舊兩坐標系統間共同點的坐標資料，才可執行坐標轉換。其中，共同點又可分為. i Un. v. 參考點與檢核點兩種，參考點係用來求取轉換參數，檢核點則可作為轉換後檢核. Ch. engchi. 及評估精度之用。如前一章節所述，由於地籍圖為平面圖，其上僅記錄界址點之 平面資料，並無高程資料。因此，地籍坐標轉換為二度空間系統間之轉換，即在 二個坐標系統間建立某種函數關係。 不論使用何種坐標轉換方法，一般皆使用最小二乘法來求解，其觀測方程式 之矩陣模型如（2.1）式所示（許皓寧，2003；王奕鈞，2006；何維信，2009； Ghilani, 2010）： Amn X n1 Lm1 Vm1. （2.1）. 若以轉換TWD67坐標系統為TWD97坐標系統為例，則上式中的A表示由 11.
(32) TWD67坐標系統之縱、橫線坐標所組成的設計（係數）矩陣；X為兩坐標系統間 轉換參數的未知數矩陣；L係由TWD97坐標系統之縱、橫線坐標值組成之觀測量 矩陣；V代表轉換後TWD97坐標之殘差矩陣（m為觀測量個數、n為未知數個數）。 n. 最小二乘法準則，就是要在滿足 vi2 min （min代表極小值）的條件下，求解 i 1. 未知參數的推估值。其數學矩陣模式如（2.2）式：. a11 a A 21 a m1. a12 a 22 am2. a1n a 2 n a mn . x1 x X 2 xn . 立. 三、四參數轉換. l1 l L 2 lm . v1 v V 2 vm . 政 治 大. （2.2）. ‧ 國. 學. 四參數轉換（4-Parameter Transformation），又稱為正形轉換（Conformal. ‧. Transformation），其意義為轉換後，原為正方形之區域仍保持正方形，亦稱為. sit. y. Nat. Helmert轉換。所謂四參數，即一個旋轉參數、一個尺度參數、兩個平移參數（包. io. er. 括x軸和y軸）。因需解算方程式中的四個參數，因此，最少需要兩個控制點方能 解算，且最少需三個控制點才可以評估精度。此種轉換方法，適用於圖紙上x軸. al. n. iv n C 與y軸兩方向比例尺相同，並保持正交之情形。其轉換方程式及示意圖如（2.3） hengchi U 式及圖2-1所示（許皓寧，2003；Wolf et. al, 2004；王奕鈞，2006；李添福，2006； 吳亞翰，2009）：. X S cos x S sin y Tx Y S sin x S cos y T y. 12. （2.3）.
(33) 圖 2-1、四參數轉換示意圖. 政 治 大 T 和 T 為 x 軸及 y 軸的原點平移量，θ角表示兩系統間坐標軸之旋轉角度。 （2.3） 立 圖 2-1 中 P 為待轉換坐標點， （x, y）為原始坐標系統， （X,Y）為新坐標系統，. x. y. ‧ 國. 學. 式中 S 表示尺度參數（Scale）。. er. io. al. X ax by c Y bx ay d. sit. y. Nat. 性方程式（2.3）為線性模式，如下式所示：. ‧. 可令（2.3）式中， S cos a 、 S sin b 、 Tx c 、 Ty d ，可簡化非線. （2.4）. n. iv n C （2.4）式為四參數轉換的線性方程式，a 、c、d為四個轉換參數。若有 h e n g c h、i bU 兩個已知點，則恰可求解上述轉換參數；若已知點數超過兩點，即須以最小二乘 平差法求解。若要使用四參數轉換方法，轉換TWD67坐標系統為TWD97坐標系 統，可將（2.4）式以（2.2）式的矩陣方式表示如下（n代表已知點的數量）：. x1 y 1 A x n y n. y1 x1 yn xn. 1 0 0 1 1 0 0 1. a b X c d . 13. X1 Y 1 L Xn Yn . （2.5）.
(34) 接著，以最小二乘法原理，求解4個轉換參數，如下式：. . A L . AT AX AT L X AT A. 1. T. （2.6）. 四、六參數轉換 六 參 數 轉 換 （ 6-Parameter Transformation ） ， 又 稱 為 仿 射 轉 換 （ Affine Transformation），與四參數轉換類似。該轉換參數除了2個平移參數及1個旋轉 參數外，另外加上3個參數，允許欲轉換坐標系的坐標軸（包括x軸和y軸）各有 不同的尺度比例，且坐標軸間非正交；計有1個旋轉參數、1個非正交的微偏值、. 政 治 大. 2個平移參數以及2個尺度參數，共6個參數。此方法適用於x、y兩軸方向彼此不. 立. 正交，且兩軸比例尺稍不相同之情況。最少須3個控制點，才能解算轉換參數。. ‧ 國. 學. 其轉換方程式及示意圖如（2.7）式及圖2-2所示（許皓寧，2003；王奕鈞，2006； 李添福，2006；吳亞翰，2009）：. ‧. n. sit er. io. al. y. Nat. X S x cos x S y sin y Tx Y S x sin x S y cos y T y. Ch. engchi. i Un. 圖 2-2、六參數轉換示意圖 14. v. （2.7）.
(35) 圖 2-2 中 P 為待轉換坐標點，（x, y）為原始坐標系統，（X, Y）為新坐標系 統，坐標系統非正交，因此兩軸的旋轉角度略有不同，分別為 α 與 β。（2.7）式 中 Sx 及 Sy 表示 x 軸和 y 軸方向的尺度參數。 令（2.7）式中，S x cos a、S x cos a、Tx c、S x sin d、S y cos e、 Ty f ，簡化非線性方程式（2.7）為線性模式如（2.8）式：. X ax by c Y dx ey f. （2.8）. （2.8）式即為六參數轉換的線性函式，a、b、c、d、e、f 為六個轉換參數。. 學. ‧ 國. 治 政 若有3個已知點，則恰可求解轉換參數；若已知點數超過3個，即須以最小二乘平 大 立 差法求解。若要使用六參數轉換方法，轉換TWD67坐標系統為TWD97坐標系統， 可將（2.8）式以（2.2）式的矩陣方式表示如下（n代表已知點的數量）：. yn 0. 1 0 0 xn. 0 yn. io. n. al. Ch. a b c X d e f . 0 1 0 1. engchi. X1 Y 1 L Xn Yn . y. 0 y1 . sit. 0 x1 . er. 1 0 . ‧. y1 0 . Nat. x1 0 A xn 0. i Un. v. 接著，以最小二乘法原理計算，即可求解六個轉換參數。. 15. （2.9）.
(36) 第二節 最小一乘法. 最小一乘法（Least Absolute Deviation（s）, LAD）（Calitz, 1996; Li, 2004; Madhuchhanda et. al, 2004; Chen et al, 2006; Kuzmanovi´c, 2009）;又稱為 Least Absolute Value （LAV）（Soliman et. al, 1997; Nobakhti et. al, 2009; Bektas et. al, 2010; Sisman, 2011）或稱為 L1 norm（Calitz, 1996; Fu, 2004; Li, 2004; Bidabad, 2005; Chen, et. al, 2006; Bektas et. al, 2010; Khodabandeh, 2011; Yetkin et. al, 2011） 等。 一、源起. 立. 政 治 大. 最小一乘法理論為西元 1755 至 1757 年間，由 Boscovitch 和 Laplace 兩位數. ‧ 國. 學. 學家在研究直線擬合時所提出，比現在廣為使用的最小二乘法（LS）早了 40 多. ‧. 年。然而，最小二乘法至今廣泛運用於各種不同領域，但卻鮮少在文獻或實務中. sit. y. Nat. 發現關於最小一乘法的應用。這是由於最小一乘法之目標函數中含有絕對值，因. io. er. 此，無法直接以解析法透過微分方式解算，造成計算上的困難，導致發展受到阻. al. 礙而停滯。直到西元 1955 年時，Charnes、Cooper 和 Ferguson 等人，他們在研. n. iv n C 究一特定管理問題中，使用線性規劃方式求解最小一乘法，才解決了計算上的困 hengchi U. 境，也因此奠定了最小一乘法的發展基礎。隨後於西元 1987 年 9 月，在瑞士召 開了有關最小一乘法研究之國際會議。隨著理論及計算方面的發展，最小一乘法 已逐漸成為一熱門學說，特別在經濟學、統計學及生物醫學方面有許多應用及相 關研究（Li, 2004；Chen et al,, 2006；王文峰，2006；王福昌等人，2007；顧樂 民，2011）。. 16.
(37) 二、理論基礎 最小一乘法基本理論為假設一組資料包含點（xi, yi）, i= 1, 2, ..., n，要找出 一個方程使得 （ f x i） y i 。因此，假設 f（xi）是一個線性方程式 f（xi）=bxi+c （b, c 為未知） ；或是非線性方程式 f（xi）=axi2+bxi+c（a, b, c 為未知） ，目標函 數（S）為使其殘差（. ）,. ，絕對值之和達到最小，如下式所示： n. n. i 1. i 1. S yi f xi Vi min. （2.10）. 三、最小一乘法與最小二乘法之特性比較. 治 政 目前，在平差計算中最常使用的方法為最小二乘法 大，因其計算簡單、速度快、 立 效率佳的優點而廣為使用（Nobakhti et. al, 2009） 。然而，在許多實際算例及分析 ‧ 國. 學. 中都表明，最小二乘法因其目標函數為殘差平方總和最小之理論. ‧. （式中 P 代表權），若個別觀測量含有粗差，對於真值而言偏離值很大，平方後. sit. y. Nat. 會放大粗差，因而影響整體平差成果。而最小一乘法理論之目標函數，則是殘差 ，因此不像最小二乘法會因平方而放大粗差，而. io. 影響整體平差成果（王文峰，2006； Bektas, 2010）。. n. al. Ch. engchi. er. 絕對值之和達最小. i Un. v. 最小一乘法不易受粗差影響的特性，比最小二乘法具有穩健性（robustness） ， 可運用於許多領域，特別有助於應用在忽略了考慮資料偵錯問題之研究中。但若 是確定觀測量中沒有存在粗差或已剔除錯誤資料，計算較為簡單方便的最小二乘 法會是較佳的選擇。然而，最小一乘法雖然克服了最小二乘法的不足，但如何實 現算法是一個難題。但隨著軟體的開發，以往因最小一乘法之目標函數中含有絕 對值不可微分而計算困難的問題，亦隨之克服，故現今最小一乘法在參數估計及 資料偵錯上皆有良好的成效（Pfeil, 2006；肖建華等，2006）。. 17.
(38) 四、應用最小一乘法於測量之相關文獻 最小一乘法的相關應用與研究，大多用於經濟學、統計學及生物醫學等方面， 較少用於測量方面，以下介紹幾篇最小一乘法應用於測量領域的相關文獻： Calitz 等人（1996）使用最小一乘法於影像匹配，由其研究成果顯示，最小 一乘法和最小二乘法算法一樣穩定；在沒有存在粗差時，最小一乘法與最小二乘 法可得到相似的計算結果；但若存在粗差時，最小一乘法可得到比最小二乘法精 度更高的結果。該研究指出，最小一乘法，可與最小二乘法以及權迭代最小二乘 法配合使用，或取代這兩種方法。. 治 政 Yetkin 等人（2011）使用最小一乘法於大地測量網研究，在模擬的 GPS 網 大 立 中，於存在粗差（加入 3 個離群值）及沒有粗差的觀測值中，測試使用最小一乘 ‧ 國. 學. 法與最小二乘法等兩種平差方法。其成果顯示，當觀測量中含有粗差時，最小一. ‧. 乘法比最小二乘法在資料偵錯方面較為成功，而且所計算出的坐標值也較為合理. sit. y. Nat. 且可靠；當觀測值中沒有粗差時，最小一乘法產生的結果與觀測量僅存在偶然誤. io. er. 差的最小二乘法結果相似。因此，該研究指出在大地測量網應用方面，最小一乘 法是一個可找出粗差的穩健方法。. n. al. Ch. engchi. i Un. v. Sisman（2011）採用最小二乘法、最小一乘法及全最小二乘法（Total Least Square, TLS）搭配三維相似轉換（3D Similarity Transformation）於土耳其的三維 坐標系統轉換之參數估計和粗差偵錯，以上三種平差方法之函數模型與目標函數 如表 2-1 所示。表中 l+v=Ax 同於前一節中觀測方程式之矩陣模型 L+V=AX，而 P 代表所對應之權。該研究利用沒有加入粗差及加入粗差的觀測量測試這三種方 法，由各種方法之殘差值顯示，最小一乘法會完全反映出加入的錯誤量，而其他 兩種方法中，錯誤則會被轉移到其他觀測量中。此研究建議，應先使用最小一乘 法找出錯誤值，並剔除這些錯誤值後，再以全最小二乘法求取轉換參數。. 18.
(39) 表 2-1、最小二乘法、最小一乘法及全最小二乘法之比較（Sisman, 2011）. 由以上相關文獻可看出，因現今最小一乘法之使用不如最小二乘法普及，故 其理論、解算方法以及成果常被拿來與最小二乘法比較。而由成果可發現，最小 一乘法於觀測量不含粗差的時候，成果略差或相當於最小二乘法；然而，當觀測 量含有粗差時，最小一乘法則為較佳的方法。因此，可判斷最小一乘法可應用於. 治 政 臺灣地籍坐標轉換中，而本研究亦使用最小二乘法與最小一乘法搭配四、六參數 大 立 坐標轉換方法來執行地籍坐標轉換，並比較及分析這些方法的成果。 ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 19. i Un. v.
(40) 第三節 線性規劃基本原理. 因最小一乘法（LAD）目標函數中含有絕對值，具有不可微分的特性，使最 小一乘法無法像最小二乘法，可直接用解析方式（Analytical Solving Method）來 求解。目前，在解決最小一乘法目標函數問題時，最常使用的方法為單形法 （Simplex-based Methods），該算法為線性規劃（Linear Programming, LP）求解 方式之一。 線性規劃問題，是目標函數和約束條件，都是線性的最優化問題。其最早於. 政 治 大. 1947 年，由 G. B. Dantzig 所發展而成。1948 年時，T. C. Koopmans 和 G. B. Dantzig. 立. 才提出「線性規劃」的名稱。1949 年 G. B. Danzig 提出單形法，採用指數的逐次. ‧ 國. 學. 迭代尋找一個最優解，有效求解線性規劃問題。因此，由 1947 至 1949 年這段期 間，為線性規劃主要基礎發展時期（Fang et. al, 1993）。. ‧. io. sit. y. Nat. 一、標準型線性規劃. n. al. er. 所謂線性規劃問題，係指尋找每個決策變數的一個特定非負之值，且在這特. Ch. i Un. v. 定解上，目標函數達到極小值，並同時滿足所有的約束條件（方述誠，1994）。. engchi. 一個標準型的線性規劃問題，有幾個重要元素（Key Elements），包含 n 個決策 變數（即為待求的未知數）、1 個目標函數（Objective Function）、m 個線性約束 條件（Constraints），其內容如（2.11）式：. Min. z c1 x1 c 2 x 2 c n x n. s.t.. a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n b m x1 , x2 ,, xn 0 20. （2.11）.
(41) 式中 x1 , x2 ,, xn 為待確定的決策變數，線性規劃中要求決策變數需為非負的 實 數 ； c1 , c2 ,, cn 代 表 決 策 變 數 相 對 應 的 價 格 （ Cost ） 係 數 ， 目 標 函 數 z c1 x1 c2 x2 cn xn 為 極 小 化 （ Min ）， 需 為 線 性 組 合 且 不 含 常 數 項 。 而 n. a x j 1. ij. j. bi , i 1,, m 是第 i 個線性約束條件，記為 s.t.（subject to） （章棟恩等，. 2008），其中 aij （i=1,…, m, j=1,…, n）為約束係數，bi （i=1,…, m）是右端項 （Right-hand-side）係數。 上述線性規劃問題可簡化為矩陣形式，如（2.12）式：. s.t.. x0. （2.12）. 學. 其中各矩陣內容分別為： •. 價格係數矩陣（Cost Vector） C c1 c2 cn . •. 決策變數矩陣（Solution Vector） x x1. T. y. Nat. sit. x2 xn . T. er. io. al. v n i a a C h e n gAch i U 約束係數矩陣（Constraint Matrix） a a n. •. 11. m1. •. ‧. ‧ 國. 立. Z CT x. 政 Ax治 B 大. Min. mn 1n. 右端項係數矩陣（Right-hand-side Vector） B b1 b2 bn . T. 二、單形法基本原理 線性規劃問題，是目標函數和約束條件都是線性的最優化問題，係由多條線 性約束條件之直線所圍成的區域，也就是可行域（F） ；並要在可行域中，找到符 合目標函數的最佳解，而最佳解可能落在這些線段交叉所形成的頂點之一。因此， 線性規劃求解，可簡單分為以下三個步驟（方述誠，1993）。 21.
(42) 步驟一：先找出可行域中所有頂點。 步驟二：計算每個頂點對應函數值（也就是計算目標函數 CTx 之值）。 步驟三：相互比較，找出具有最小函數值（CTx Min）的頂點。 單形法，是線性規劃解法中最早提出的方法，相關的商用軟體也相當成熟， 其原理如圖 2-3 所示。由前段可知，線性規劃之最佳解，可能出現在某一頂點上； 因此，由某一頂點開始，檢查所有於可行域中與該點相連的鄰近頂點。若有任何 鄰近頂點的函數值 cTx 較起始頂點低，那麼便移動到這個鄰近頂點。接著，以此 點為新的頂點，依據前述方法，再檢查與它相連的鄰近頂點來決定往何處移動。. 治 政 因可行域的頂點個數有限，故最後終會找到一個函數值比所有鄰近頂點都來得小 大 立 或相當的頂點，或是可以發現此頂點有一個極值方向會使函數值降到無限小（方 ‧ 國. 學. 述誠，1993）。圖 2-3 可以看出，可行解周圍包含許多頂點（x1、x2…），而單形. ‧. 法會由可行解的一個頂點（xk）開始，沿著邊界移動到另一個頂點（xk+1） ，直至. n. al. er. io. sit. y. Nat. 找到最佳解（x＊）為止。. Ch. engchi. i Un. v. 圖 2-3、單形法示意圖（方述誠，1993）. 22.
(43) 三、解決 LAD 目標函數含有絕對值的方法 因線性規劃中決策變數須為正值，因此，決策變數 xi 可表示為兩個非負實數 及. 。. 代表決策變數為正值時之非負實數，. 代表決策變數為負值時之非. 負實數。觀念：若值為正，則負的那一部分為 0；若值為負，則正的那一部分為 0，因此，至少有一個值為 0，如（2.13）式所示（方述誠，1994）。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. ；. （2.13）. ‧. sit. y. Nat. 式中，R 代表實數；因此，xi xi xi。舉例來說，若 xi 5，則 xi 5、xi 0 ，. n. al. er. io. xi xi xi 5 0 5 ；若 xi 5 ，則 xi 0 、 xi 5 ， xi xi xi 0 5 5 。. Ch. i Un. v. 而若欲求 之絕對值時，則 xi xi xi ，舉例而言，若 xi 5，則 xi 5、 xi 0 ，. engchi. xi xi xi 5 0 5 ；若 xi 5 ，則 xi 0 、 xi 5 ， xi xi xi 0 5 5 。. 四、以 MATLAB 之 linprog 函數解算線性規劃問題 MATLAB 是由 Math Works 公司於 1984 年推出，其名稱是「矩陣實驗室」 （MATrix LABoratory）縮寫而成。因此，其最早的目標係提供一套非常完善的 矩陣運算指令，但隨著數值運算需求的演變以及個人電腦運算速度的倍增， MATLAB 已成為各種領域計算的標準程式語言之一（肖建華等，2006；張智星， 2007；王福昌等，2007） 。MATLAB 中解決線性規劃問題之函數為 linprog，透過 23.
(44) 此一指令即可實現線性規劃，詳細內容請參閱 MATLAB 網站（Math Works, 2013）。 下列以一個供給和需求的問題為例，說明如何將一個問題轉化為線性規劃標 準型，及以 MATLAB 解算線性規劃問題。假設某國肉類的供給與需求現象如以 下各表所示，表 2-2 為各肉類供應地（A、B、C、D）之總生產量，表 2-3 為各 肉類需求地（甲、乙、丙）的總需求量，表 2-4 為各供給地至各需求地每一噸肉 品的運費。試以線性規劃方法標準型之模式，計算最符合經濟效益的配送方式。 表 2-2、各肉類供給地之總生產量. 治 政總生產量（噸） 大. 供給地. 4,000. B. 3,000. C. 2,000. D. 1,000. 學. n. al. 總需求量（噸）. 甲. 5,000. 丙. e n g 3,000 chi. C 乙h. er. io. 需求地. sit. Nat. 表 2-3、各肉類需求地之總需求量. y. ‧. ‧ 國. 立A. i Un. v. 2,000. 表 2-4、各供給地至各需求地每一噸之運費 運費（元）. 甲. 乙. 丙. A. 30. 10. 40. B. 15. 20. 60. C. 60. 35. 25. D. 5. 45. 7. 解算步驟：一開始先決定「決策變數」為何，此乃線性規劃中最重要的步驟， 24.
(45) 需符合吝嗇原則（Parsimony Principle） ，亦即變數越少越好。待決策變數決定後， 再決定目標函數及約束條件，相關算式如下。. （一）決策變數（Variables）：因各供給地至各需求地之配送量未知，因此 決策變數為各供給地至各需求地之配送量，對照表 2-4，A 地至甲地以. x11 表示、A 地至乙地以 x12 表示…，以此類推，如下表所示。 甲. 乙. 丙. A. x11. x12. x13. B. x21. x22. x23. C D. 立. x x x 治 政 x x 大x 31. 32. 33. 41. 42. 43. ‧ 國. 學. （二）目標函數（Objective Function）：本例題之目標為計算最符合經濟效益的 配送方式，也就是各供給地至各需求地之總運費需達到最小。因此，目標函. ‧. 數 z 為各地之配送量（也就是前述之決策變數）乘上相對應之運費（如表. sit. y. Nat. 2-4）極小化。. n. al. er. io. z 30 x11 10 x12 40 x13 15x21 20 x22 60 x23 60 x31 35x32 25x33 5x41 45x42 7 x43 min. Ch. i Un. v. （三）約束條件（Constraints） ：因供給地和需求地，各有固定的生產量與需求量；. engchi. 因此，需由供給與需求兩方面來探討，各地之配送量（決策變數）分別受限 於各地的總生產量（如表 2-2）與總需求量（如表 2-3） ，且其值必須大於或 等於零。 （供給方）. （需求方）. 25.
(46) （四）以 MATLAB 解算 MATLAB 中線性規劃問題的函數為 linprog，格式為 x=linprog (f,A,b)，表示 目標函數 min f’x 和約制條件 s.t. A．x≦b 線性規劃的最優解（章棟恩等，2008； Math Works, 2013） 。依據前述決策變數、目標函數及約束條件，編寫相關程式如 下： f=[30;10;40;15;20;60;60;35;25;5;45;7]; % f在此為各地每單位之運費 Aeq=[1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0, 0,0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1 ,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0, 1]; beq=[4000;3000;2000;1000;5000;3000;2000];. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. % 約束條件為若為不等式，以A．x≦b表示；若為等式，則以Aeq．x=beq表示 x=linprog(f,[],[],Aeq,beq,zeros(12,1));. ‧. % 求線性規劃最優化解，因不含不等式之約束條件A．x≦b，故A=[]、B=[] fprintf(' x= %12.2f \n',x). sit. n. al. er. io. 程式運行結果如下： x= x= x= x= x= x=. 1000.00 3000.00 0.00 3000.00 0.00 0.00. x= x= x= x= x= x= z=. 0.00 0.00 2000.00 1000.00 0.00 0.00 160000.00. y. Nat. minz=f'*x; % 各供給地至各需求地之總運費 fprintf('z= %12.2f \n',minz). Ch. engchi. 26. i Un. v.
(47) 根據運算結果可知，當各生產地至各需求地之配送量分別為： x11 1,000 、. x12 3,000、 x13 0、 x21 3,000、 x22 0、 x23 0、 x31 0、 x32 0、 x33 2,000 、 x41 1,000 、 x42 0 、 x43 0 噸時，總運費為最低 160,000 元。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i Un. v.
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